Numerische Methoden I Schriftliche Prüfung Gruppe A 23. Jan :00-14:00 (120 min)
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- Benedict Graf
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1 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Montanuniversität Leoben Numerische Methoden I Schriftliche Prüfung Gruppe A 23. Jan :00-4:00 (20 min) Name Matrikelnummer Mündliche Prüfung: Bitte markieren Sie Ihren Wunschtermin mit und einen Ersatztermin mit 2! Donnerstag, 26. Jan., 2 7 Uhr Freitag, 27. Jan., 9 2 Uhr Freitag, 27. Jan., 3 6 Uhr Montag, 30. Jan., 9 2 Uhr Dienstag, 3. Jan., 3 6 Uhr Ich brauche einen anderen Termin und melde mich bei Prof. Brand Ergebnis der schriftlichen und Termin der mündlichen Prüfung via . Bei dieser Prüfung können ein Taschenrechner und die Formelsammlungen der Mathematik-Vorlesungen verwendet werden. Eine Formelsammlung zu Numerischen Methoden liegt bei. Darüber hinaus dürfen keine schriftlichen Unterlagen oder elektronischen Geräte verwendet werden. Beispiel Punkte Note Prüfer Gesamt
2 . Aufgabe Nichtlineare Gleichungen Gesucht ist die Lösung der Gleichung e x = 2 x. (a) Stellen Sie linke und rechte Seite der Gleichung als Funktionsgraphen im Definifionsbereich 0 x dar und bestimmen Sie aus der Graphik näherungsweise die Lösung. Begründen Sie aus den Eigenschaften der beiden Funktionen: Es gibt genau eine Lösung 2 R. (b) Eine Möglichkeit, die Gleichung als Fixpunkt-Aufgabe zu formulieren, ist x = 2 e x Rechnen Sie für Startwert x (0) = =2 einige (wenigstens vier) Fixpunkt-Iterationen. Beurteilen Sie: Konvergenz oder Divergenz? Prüfen Sie, ob die theoretische Konvergenzbedingung der Fixpunkt-Iteration hier erfüllt sein kann. (c) Das Newton-Verfahren liefert für diese Gleichung, ausgehend vom Startwert, folgende Näherungswerte: 0; ; ; ; Wie viele Nachkommastellen sind im letzten Näherungswert vermutlich schon exakt? (Begründung!) (d) Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem e x + y = 0 x + y 2 = 0 Rechnen Sie, ausgehend vom Startvektor [x ; y ] (0) = [0; ], einen Schritt des Newton-Raphson- Verfahrens und bestimmen Sie damit die Näherungslösung [x ; y ] (). 2. Aufgabe Überbestimmte Gleichungssysteme (a) Finden Sie mittels der Normalengleichungen die Kleinste-Quadrate-Lösung für das Gleichungssystem 5 [ ] 5 x 2 4 = 5 x (b) Für die Matrix des Gleichungssystems aus Punkt (a) lautet die QR-Zerlegung: 5 =3 2 =3 2 =3 2 4 = 2 =3 2 =3 = =3 =3 2 =3 Lösen Sie das System unter Verwendung dieser Zerlegung (c) Geben Sie für die Lösung von (a) und (b) die 2-Norm des Residuum-Vektors an. Bonus-Frage: Es ist kein Zufall, dass beide Residuums-Vektoren die gleiche 2-Norm haben. Aber können Sie das begründen? 0 0
3 3. Aufgabe: Interpolation Für drei Wertepaare (es sind reale Werte für Temperatur in Grad Celsius und Wasserdampfdruck in Pa) sind hier das Schema der dividierten Differenzen und die Lagrange-Polynome gegeben. x y(x) , , , (20 x )(30 x ) L 0 (x ) = 600 L (x ) = x (30 x ) 200 x (x 20) L 2 (x ) = 300 Das quadratische Interpolationspolyom lautet p(x ) = 3;48x 2 + 6;8x + 6 in Standard-Darstellung. Für numerische Berechnungen ist es aber weder notwendig noch günstig, die Standard-Darstellung zu verwenden oder andere Darstellungen in diese Form umzurechnen. (a) Geben Sie p(x ) in der Newton-Form an und berechnen Sie damit p(5). (b) Geben Sie p(x ) in der Lagrange-Form an und berechnen Sie damit p(5). (c) Es liegen zu den selben Temperatur-Werten noch andere Daten (Spezifische Wärmekapazität c p in J/(kg K) bei bar) vor: Nützen Sie die in (b) schon ausgewerteten L i (5) und interpolieren Sie c p (5). T c p 427;6 48,8 478,4 (d) Im gegebenen Schema der dividierten Differenzen soll auch noch das Wertepaar (0; 228) berücksichtigt werden. Fügen Sie eine neue Schrägzeile an, bestimmen Sie ein kubisches Interpolationspolynom und berechnen Sie damit p(5). 4. Aufgabe: Gewöhnliche Differentialgleichungen Gegeben ist für y = y (x ) die Differentialgleichung mit Anfangsbedingung y 0 = x 3y ; y (0) = : (a) Berechnen Sie y () genähert mit dem einfachen Euler-Verfahren und Schrittweite h = 2. (b) Ein Verfahren 2. Ordnung (das modifizierte Eulerverfahren) verwendet für eine Differentialgleichung der Form y 0 (x ) = f (x; y ) den Rechenschritt x i+ = x i + h y i+ = y i + h f ( x i + h 2 ; y i + h ) 2 f (x i ; y i ) ; Berechnen Sie auch so mit h = =2 einen Näherungswert für y (). (c) Der (auf sechs Nachkommastellen) exakte Wert ist y () = 0; Geben Sie jeweils für Punkt (a) und (b) an: Wie groß ist der globale Diskretisierungsfehler? Angenommen, Sie rechnen diese Aufgabe mit h =. Schätzen Sie dafür den globalen Diskretisierungsfehler. 0 (d) Das implizite Euler-Verfahren verwendet für eine Differentialgleichung der Form y 0 (x ) = f (x; y ) den Rechenschritt y i+ = y i + h f (x i+; y i+) : Berechnen Sie auch damit (wieder mit h = =2) einen Näherungswert für y (). (e) Was sind die charakteristischen Eigenschaften impliziter und, im Vergleich dazu, expliziter Verfahren? Punkteschlüssel: Beispiel Punkte 2; 3; 2; 3 4;4; 2 3; 3; 2; 2 2; 2; 2; 2; 2
4 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Montanuniversität Leoben Numerische Methoden I Schriftliche Prüfung Gruppe B 23. Jan :00-4:00 (20 min) Name Matrikelnummer Mündliche Prüfung: Bitte markieren Sie Ihren Wunschtermin mit und einen Ersatztermin mit 2! Donnerstag, 26. Jan., 2 7 Uhr Freitag, 27. Jan., 9 2 Uhr Freitag, 27. Jan., 3 6 Uhr Montag, 30. Jan., 9 2 Uhr Dienstag, 3. Jan., 3 6 Uhr Ich brauche einen anderen Termin und melde mich bei Prof. Brand Ergebnis der schriftlichen und Termin der mündlichen Prüfung via . Bei dieser Prüfung können ein Taschenrechner und die Formelsammlungen der Mathematik-Vorlesungen verwendet werden. Eine Formelsammlung zu Numerischen Methoden liegt bei. Darüber hinaus dürfen keine schriftlichen Unterlagen oder elektronischen Geräte verwendet werden. Beispiel Punkte Note Prüfer Gesamt
5 . Aufgabe Nichtlineare Gleichungen Gesucht ist die Lösung der Gleichung e x = x. (a) Stellen Sie linke und rechte Seite der Gleichung als Funktionsgraphen im Definifionsbereich 0 x 2 dar und bestimmen Sie aus der Graphik näherungsweise die Lösung. Begründen Sie aus den Eigenschaften der beiden Funktionen: Es gibt genau eine Lösung 2 R. (b) Eine Möglichkeit, die Gleichung als Fixpunkt-Aufgabe zu formulieren, ist x = e x + Rechnen Sie für Startwert x (0) = einige (wenigstens vier) Fixpunkt-Iterationen. Beurteilen Sie: Konvergenz oder Divergenz? Prüfen Sie, ob die theoretische Konvergenzbedingung der Fixpunkt-Iteration hier erfüllt sein kann. (c) Das Newton-Verfahren liefert für diese Gleichung, ausgehend vom Startwert, folgende Näherungswerte: ; ; ; ; Wie viele Nachkommastellen sind im letzten Näherungswert vermutlich schon exakt? (Begründung!) (d) Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem x + y 2 = x 2 + y = 0 [ ] Rechnen Sie, ausgehend vom Startvektor, einen Schritt des Newton-Verfahrens und bestimmen Sie damit eine verbesserte Näherungslösung. 2. Aufgabe Überbestimmte Gleichungssysteme (a) Finden Sie mittels der Normalengleichungen die Kleinste-Quadrate-Lösung für das Gleichungssystem 3 6 [ x x 2 ] = 0 7 (b) Für die Matrix des Gleichungssystems aus Punkt (a) lautet die QR-Zerlegung: 3 6 0;6 0 0; = ;8 0 0;6 Lösen Sie das System unter Verwendung dieser Zerlegung. 0 0 (c) Geben Sie für die Lösung von (a) und (b) die 2-Norm des Residuum-Vektors an. Bonus-Frage: Es ist kein Zufall, dass beide Residuums-Vektoren die gleiche 2-Norm haben. Aber können Sie das begründen?
6 3. Aufgabe: Interpolation Für drei Wertepaare (es sind reale Werte für x: Wasserdampfdruck in hpa und T : Temperatur in Celsius) sind hier das Schema der dividierten Differenzen und die Lagrange-Polynome gegeben. x T(x) , , , (200 x )(400 x ) L 0 (x ) = (00 x )(400 x ) L (x ) = (00 x )(200 x ) L 2 (x ) = Das quadratische Interpolationspolyom lautet T (x ) = 0;0002x 2 + 0;2x + 28 in Standard-Darstellung. Für numerische Berechnungen ist es aber weder notwendig noch günstig, die Standard-Darstellung zu verwenden oder andere Darstellungen in diese Form umzurechnen. (a) Geben Sie T (x ) in der Newton-Form an und berechnen Sie damit T (250). (b) Geben Sie T (x ) in der Lagrange-Form an und berechnen Sie damit T (250). (c) Es liegen zu den selben x-werten genauere T -Daten vor: x T 45;8 60,06 75,86 Nützen Sie die in (b) schon ausgewerteten L i (250) und interpolieren Sie T (250). (d) Im gegebenen Schema der dividierten Differenzen soll auch noch das Wertepaar (300; 69) berücksichtigt werden. Fügen Sie eine neue Schrägzeile an, bestimmen Sie ein kubisches Interpolationspolynom und berechnen Sie damit T (250). 4. Aufgabe: Gewöhnliche Differentialgleichungen Gegeben ist für y = y (x ) die Differentialgleichung mit Anfangsbedingung y 0 = 3y x y (0) = : (a) Berechnen Sie y () genähert mit dem einfachen Euler-Verfahren und Schrittweite h = =2. (b) Für eine Differentialgleichung der Form y 0 (x ) = f (x; y ) verwendet das Verfahren 2. Ordnung von Heun den Rechenschritt x i+ = x i + h mit k = f (x i ; y i ) y i+ = y i + h 2 (k + k 2 ) k 2 = f ( x i+; y i + hf (x i ; y i ) ) ; Berechnen Sie auch so mit h = =2 einen Näherungswert für y (). (c) Der (auf sechs Nachkommastellen) exakte Wert ist y () = 0; Geben Sie jeweils für Punkt (a) und (b) an: Wie groß ist der globale Diskretisierungsfehler? Angenommen, Sie rechnen diese Aufgabe mit h =. Schätzen Sie dafür den globalen Diskretisierungsfehler der beiden Verfahren. 0 (d) Das implizite Euler-Verfahren verwendet für eine Differentialgleichung der Form y 0 (x ) = f (x; y ) den Rechenschritt y i+ = y i + h f (x i+; y i+) : Berechnen Sie auch damit (wieder mit h = =2) einen Näherungswert für y (). (e) Was sind die charakteristischen Eigenschaften impliziter und, im Vergleich dazu, expliziter Verfahren? Punkteschlüssel: Beispiel Punkte 2; 3; 2; 3 4;4; 2 3; 3; 2; 2 2; 2; 2; 2; 2
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