Numerische Methoden I Schriftliche Prüfung Gruppe A 23. Jan :00-14:00 (120 min)

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Numerische Methoden I Schriftliche Prüfung Gruppe A 23. Jan :00-14:00 (120 min)"

Transkript

1 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Montanuniversität Leoben Numerische Methoden I Schriftliche Prüfung Gruppe A 23. Jan :00-4:00 (20 min) Name Matrikelnummer Mündliche Prüfung: Bitte markieren Sie Ihren Wunschtermin mit und einen Ersatztermin mit 2! Donnerstag, 26. Jan., 2 7 Uhr Freitag, 27. Jan., 9 2 Uhr Freitag, 27. Jan., 3 6 Uhr Montag, 30. Jan., 9 2 Uhr Dienstag, 3. Jan., 3 6 Uhr Ich brauche einen anderen Termin und melde mich bei Prof. Brand Ergebnis der schriftlichen und Termin der mündlichen Prüfung via . Bei dieser Prüfung können ein Taschenrechner und die Formelsammlungen der Mathematik-Vorlesungen verwendet werden. Eine Formelsammlung zu Numerischen Methoden liegt bei. Darüber hinaus dürfen keine schriftlichen Unterlagen oder elektronischen Geräte verwendet werden. Beispiel Punkte Note Prüfer Gesamt

2 . Aufgabe Nichtlineare Gleichungen Gesucht ist die Lösung der Gleichung e x = 2 x. (a) Stellen Sie linke und rechte Seite der Gleichung als Funktionsgraphen im Definifionsbereich 0 x dar und bestimmen Sie aus der Graphik näherungsweise die Lösung. Begründen Sie aus den Eigenschaften der beiden Funktionen: Es gibt genau eine Lösung 2 R. (b) Eine Möglichkeit, die Gleichung als Fixpunkt-Aufgabe zu formulieren, ist x = 2 e x Rechnen Sie für Startwert x (0) = =2 einige (wenigstens vier) Fixpunkt-Iterationen. Beurteilen Sie: Konvergenz oder Divergenz? Prüfen Sie, ob die theoretische Konvergenzbedingung der Fixpunkt-Iteration hier erfüllt sein kann. (c) Das Newton-Verfahren liefert für diese Gleichung, ausgehend vom Startwert, folgende Näherungswerte: 0; ; ; ; Wie viele Nachkommastellen sind im letzten Näherungswert vermutlich schon exakt? (Begründung!) (d) Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem e x + y = 0 x + y 2 = 0 Rechnen Sie, ausgehend vom Startvektor [x ; y ] (0) = [0; ], einen Schritt des Newton-Raphson- Verfahrens und bestimmen Sie damit die Näherungslösung [x ; y ] (). 2. Aufgabe Überbestimmte Gleichungssysteme (a) Finden Sie mittels der Normalengleichungen die Kleinste-Quadrate-Lösung für das Gleichungssystem 5 [ ] 5 x 2 4 = 5 x (b) Für die Matrix des Gleichungssystems aus Punkt (a) lautet die QR-Zerlegung: 5 =3 2 =3 2 =3 2 4 = 2 =3 2 =3 = =3 =3 2 =3 Lösen Sie das System unter Verwendung dieser Zerlegung (c) Geben Sie für die Lösung von (a) und (b) die 2-Norm des Residuum-Vektors an. Bonus-Frage: Es ist kein Zufall, dass beide Residuums-Vektoren die gleiche 2-Norm haben. Aber können Sie das begründen? 0 0

3 3. Aufgabe: Interpolation Für drei Wertepaare (es sind reale Werte für Temperatur in Grad Celsius und Wasserdampfdruck in Pa) sind hier das Schema der dividierten Differenzen und die Lagrange-Polynome gegeben. x y(x) , , , (20 x )(30 x ) L 0 (x ) = 600 L (x ) = x (30 x ) 200 x (x 20) L 2 (x ) = 300 Das quadratische Interpolationspolyom lautet p(x ) = 3;48x 2 + 6;8x + 6 in Standard-Darstellung. Für numerische Berechnungen ist es aber weder notwendig noch günstig, die Standard-Darstellung zu verwenden oder andere Darstellungen in diese Form umzurechnen. (a) Geben Sie p(x ) in der Newton-Form an und berechnen Sie damit p(5). (b) Geben Sie p(x ) in der Lagrange-Form an und berechnen Sie damit p(5). (c) Es liegen zu den selben Temperatur-Werten noch andere Daten (Spezifische Wärmekapazität c p in J/(kg K) bei bar) vor: Nützen Sie die in (b) schon ausgewerteten L i (5) und interpolieren Sie c p (5). T c p 427;6 48,8 478,4 (d) Im gegebenen Schema der dividierten Differenzen soll auch noch das Wertepaar (0; 228) berücksichtigt werden. Fügen Sie eine neue Schrägzeile an, bestimmen Sie ein kubisches Interpolationspolynom und berechnen Sie damit p(5). 4. Aufgabe: Gewöhnliche Differentialgleichungen Gegeben ist für y = y (x ) die Differentialgleichung mit Anfangsbedingung y 0 = x 3y ; y (0) = : (a) Berechnen Sie y () genähert mit dem einfachen Euler-Verfahren und Schrittweite h = 2. (b) Ein Verfahren 2. Ordnung (das modifizierte Eulerverfahren) verwendet für eine Differentialgleichung der Form y 0 (x ) = f (x; y ) den Rechenschritt x i+ = x i + h y i+ = y i + h f ( x i + h 2 ; y i + h ) 2 f (x i ; y i ) ; Berechnen Sie auch so mit h = =2 einen Näherungswert für y (). (c) Der (auf sechs Nachkommastellen) exakte Wert ist y () = 0; Geben Sie jeweils für Punkt (a) und (b) an: Wie groß ist der globale Diskretisierungsfehler? Angenommen, Sie rechnen diese Aufgabe mit h =. Schätzen Sie dafür den globalen Diskretisierungsfehler. 0 (d) Das implizite Euler-Verfahren verwendet für eine Differentialgleichung der Form y 0 (x ) = f (x; y ) den Rechenschritt y i+ = y i + h f (x i+; y i+) : Berechnen Sie auch damit (wieder mit h = =2) einen Näherungswert für y (). (e) Was sind die charakteristischen Eigenschaften impliziter und, im Vergleich dazu, expliziter Verfahren? Punkteschlüssel: Beispiel Punkte 2; 3; 2; 3 4;4; 2 3; 3; 2; 2 2; 2; 2; 2; 2

4 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Montanuniversität Leoben Numerische Methoden I Schriftliche Prüfung Gruppe B 23. Jan :00-4:00 (20 min) Name Matrikelnummer Mündliche Prüfung: Bitte markieren Sie Ihren Wunschtermin mit und einen Ersatztermin mit 2! Donnerstag, 26. Jan., 2 7 Uhr Freitag, 27. Jan., 9 2 Uhr Freitag, 27. Jan., 3 6 Uhr Montag, 30. Jan., 9 2 Uhr Dienstag, 3. Jan., 3 6 Uhr Ich brauche einen anderen Termin und melde mich bei Prof. Brand Ergebnis der schriftlichen und Termin der mündlichen Prüfung via . Bei dieser Prüfung können ein Taschenrechner und die Formelsammlungen der Mathematik-Vorlesungen verwendet werden. Eine Formelsammlung zu Numerischen Methoden liegt bei. Darüber hinaus dürfen keine schriftlichen Unterlagen oder elektronischen Geräte verwendet werden. Beispiel Punkte Note Prüfer Gesamt

5 . Aufgabe Nichtlineare Gleichungen Gesucht ist die Lösung der Gleichung e x = x. (a) Stellen Sie linke und rechte Seite der Gleichung als Funktionsgraphen im Definifionsbereich 0 x 2 dar und bestimmen Sie aus der Graphik näherungsweise die Lösung. Begründen Sie aus den Eigenschaften der beiden Funktionen: Es gibt genau eine Lösung 2 R. (b) Eine Möglichkeit, die Gleichung als Fixpunkt-Aufgabe zu formulieren, ist x = e x + Rechnen Sie für Startwert x (0) = einige (wenigstens vier) Fixpunkt-Iterationen. Beurteilen Sie: Konvergenz oder Divergenz? Prüfen Sie, ob die theoretische Konvergenzbedingung der Fixpunkt-Iteration hier erfüllt sein kann. (c) Das Newton-Verfahren liefert für diese Gleichung, ausgehend vom Startwert, folgende Näherungswerte: ; ; ; ; Wie viele Nachkommastellen sind im letzten Näherungswert vermutlich schon exakt? (Begründung!) (d) Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem x + y 2 = x 2 + y = 0 [ ] Rechnen Sie, ausgehend vom Startvektor, einen Schritt des Newton-Verfahrens und bestimmen Sie damit eine verbesserte Näherungslösung. 2. Aufgabe Überbestimmte Gleichungssysteme (a) Finden Sie mittels der Normalengleichungen die Kleinste-Quadrate-Lösung für das Gleichungssystem 3 6 [ x x 2 ] = 0 7 (b) Für die Matrix des Gleichungssystems aus Punkt (a) lautet die QR-Zerlegung: 3 6 0;6 0 0; = ;8 0 0;6 Lösen Sie das System unter Verwendung dieser Zerlegung. 0 0 (c) Geben Sie für die Lösung von (a) und (b) die 2-Norm des Residuum-Vektors an. Bonus-Frage: Es ist kein Zufall, dass beide Residuums-Vektoren die gleiche 2-Norm haben. Aber können Sie das begründen?

6 3. Aufgabe: Interpolation Für drei Wertepaare (es sind reale Werte für x: Wasserdampfdruck in hpa und T : Temperatur in Celsius) sind hier das Schema der dividierten Differenzen und die Lagrange-Polynome gegeben. x T(x) , , , (200 x )(400 x ) L 0 (x ) = (00 x )(400 x ) L (x ) = (00 x )(200 x ) L 2 (x ) = Das quadratische Interpolationspolyom lautet T (x ) = 0;0002x 2 + 0;2x + 28 in Standard-Darstellung. Für numerische Berechnungen ist es aber weder notwendig noch günstig, die Standard-Darstellung zu verwenden oder andere Darstellungen in diese Form umzurechnen. (a) Geben Sie T (x ) in der Newton-Form an und berechnen Sie damit T (250). (b) Geben Sie T (x ) in der Lagrange-Form an und berechnen Sie damit T (250). (c) Es liegen zu den selben x-werten genauere T -Daten vor: x T 45;8 60,06 75,86 Nützen Sie die in (b) schon ausgewerteten L i (250) und interpolieren Sie T (250). (d) Im gegebenen Schema der dividierten Differenzen soll auch noch das Wertepaar (300; 69) berücksichtigt werden. Fügen Sie eine neue Schrägzeile an, bestimmen Sie ein kubisches Interpolationspolynom und berechnen Sie damit T (250). 4. Aufgabe: Gewöhnliche Differentialgleichungen Gegeben ist für y = y (x ) die Differentialgleichung mit Anfangsbedingung y 0 = 3y x y (0) = : (a) Berechnen Sie y () genähert mit dem einfachen Euler-Verfahren und Schrittweite h = =2. (b) Für eine Differentialgleichung der Form y 0 (x ) = f (x; y ) verwendet das Verfahren 2. Ordnung von Heun den Rechenschritt x i+ = x i + h mit k = f (x i ; y i ) y i+ = y i + h 2 (k + k 2 ) k 2 = f ( x i+; y i + hf (x i ; y i ) ) ; Berechnen Sie auch so mit h = =2 einen Näherungswert für y (). (c) Der (auf sechs Nachkommastellen) exakte Wert ist y () = 0; Geben Sie jeweils für Punkt (a) und (b) an: Wie groß ist der globale Diskretisierungsfehler? Angenommen, Sie rechnen diese Aufgabe mit h =. Schätzen Sie dafür den globalen Diskretisierungsfehler der beiden Verfahren. 0 (d) Das implizite Euler-Verfahren verwendet für eine Differentialgleichung der Form y 0 (x ) = f (x; y ) den Rechenschritt y i+ = y i + h f (x i+; y i+) : Berechnen Sie auch damit (wieder mit h = =2) einen Näherungswert für y (). (e) Was sind die charakteristischen Eigenschaften impliziter und, im Vergleich dazu, expliziter Verfahren? Punkteschlüssel: Beispiel Punkte 2; 3; 2; 3 4;4; 2 3; 3; 2; 2 2; 2; 2; 2; 2

4 Runge-Kutta-Verfahren

4 Runge-Kutta-Verfahren Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 43 4 Runge-Kutta-Verfahren 4. Konstruktion Ausgangspunkt wie immer (Substitution: s = t + τh, 0 τ ) y(t + h) = y(t) + [y(t + h) y(t)] = y(t) + = y(t) + h 0

Mehr

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software 3.Jan 2011-10.Jul 2011 Dienstag, 11. Januar 2011 Donnerstag, 13. Januar 2011 Dienstag, 18. Januar 2011 Montag, 7. Februar 2011 Montag, 14. Februar 2011 Samstag, 26. Februar 2011 Donnerstag, 3. März 2011

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

Becker I Brucker. Erfolg in Mathe 2015. Realschulabschluss Baden-Württemberg Wahlteil. Übungsbuch mit Tipps und Lösungen

Becker I Brucker. Erfolg in Mathe 2015. Realschulabschluss Baden-Württemberg Wahlteil. Übungsbuch mit Tipps und Lösungen Becker I Brucker Erfolg in Mathe 2015 Realschulabschluss Baden-Württemberg Wahlteil Übungsbuch mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Aufgaben 5 1 Algebra.......................................

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens: x + 4y = 8 5x y = x y = x y = Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge

Mehr

Funktionen (linear, quadratisch)

Funktionen (linear, quadratisch) Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

ORIENTATIVER STUNDENPLAN

ORIENTATIVER STUNDENPLAN ORIENTATIVER STUNDENPLAN SEMANA (Woche) 1 (28 Stunden) 9:00 9:45 9:45 10:30 Begrüßung in der Deutschen Handelskammer in Madrid Avd. Pio XII nº 26 PAUSE 10 min. 10 min. 10 min. 10 min. 10 min. 10:40 11:25

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Transformation und Darstellung funktionaler Daten

Transformation und Darstellung funktionaler Daten Transformation und Darstellung funktionaler Daten Seminar - Statistik funktionaler Daten Jakob Bossek Fakultät für Statistik 7. Mai 2012 Übersicht Einleitung Einordnung im Seminar Motivation am Beispiel

Mehr

Nichtlineare Optimierungsprobleme mit Komplexität

Nichtlineare Optimierungsprobleme mit Komplexität Definition eines Nichtlinearen Optimierungsproblemes (NLP) min f (x) bzw. min f (x) s.d. x S x S wobei die zulässige Menge S R n typischerweise definiert ist durch S {x R n : h(x) =, c(x) } für Gleichungs-

Mehr

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775, Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen

Mehr

Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1

Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1 Probeklausur Ingenieurmathematik für Maschinenbau Studiengang Prüfungsfach Prüfer Prüfungstermin Prüfungsdauer Prüfungsunterlagen Hilfsmittel Maschinenbau

Mehr

Datum Wochen Band DVD Band eingelegt Protokoll kontr. Recovery kontr. Tag Nr. RW Sign. Sign. Sign.

Datum Wochen Band DVD Band eingelegt Protokoll kontr. Recovery kontr. Tag Nr. RW Sign. Sign. Sign. Monat: Januar Anzahl Bänder: 9 01.01.2015 Donnerstag Do DO 02.01.2015 Freitag Fr FR 03.01.2015 Samstag 04.01.2015 Sonntag 05.01.2015 Montag Mo1 MO 06.01.2015 Dienstag Di DI 07.01.2015 Mittwoch Mi MI 08.01.2015

Mehr

Dienstag, 3. September Mittwoch, 4. September Donnerstag, 5. September Freitag, 6. September. Mittwoch, 25. September.

Dienstag, 3. September Mittwoch, 4. September Donnerstag, 5. September Freitag, 6. September. Mittwoch, 25. September. 3. Semester Montag, 2. September Dienstag, 3. September Mittwoch, 4. September Donnerstag, 5. September Freitag, 6. September Montag, 9. September Dienstag, 10. September Mittwoch, 11. September Donnerstag,

Mehr

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11.

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. ETH EIDGENÖSSISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE ZÜRICH Analysis mit dem Computer-Algebra-System des TI-92 Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. November 1997 Eidgenössische Technische

Mehr

Übung 3: Einfache Graphiken und Näherungen durch Regression

Übung 3: Einfache Graphiken und Näherungen durch Regression Übung 3: Einfache Graphiken und Näherungen durch Regression M. Schlup, 9. August 010 Aufgabe 1 Einfache Graphik Für die abgegebene Leistung P = UI eines linearen, aktiven Zweipols mit Leerlaufspannung

Mehr

Numerische Behandlung des Eigenwertproblems

Numerische Behandlung des Eigenwertproblems Numerische Behandlung des Eigenwertproblems Zusammenfassung Das Ziel dieses Vortrages ist, zwei gute Methoden für die numerische Bestimmung der Eigenwerte zu zeigen und wie man diese mit Matlab anwenden

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

Fotografie * Informatik * Mathematik * Computer-Algebra * Handreichung für Lehrer

Fotografie * Informatik * Mathematik * Computer-Algebra * Handreichung für Lehrer BIKUBISCHE INTERPOLATION AM BEISPIEL DER DIGITALEN BILDBEARBEITUNG - AUFGABENSTELLUNG FÜR SCHÜLER Problem Bei Veränderung der Größe eines Digitalbildes sind entweder zuviel Pixel (Verkleinerung) oder zuwenig

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 8. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 NLP Aufgabe KKT 2 Nachtrag

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Mathematik für Bioinformatik und Systembiologie. - Kapitel Einführung in die Optimierung - Roland Herzog und Dirk Lebiedz

Mathematik für Bioinformatik und Systembiologie. - Kapitel Einführung in die Optimierung - Roland Herzog und Dirk Lebiedz Mathematik für Bioinformatik und Systembiologie - Kapitel Einführung in die Optimierung - Roland Herzog und Dirk Lebiedz WS 2009/10 Universität Freiburg Dieses Vorlesungsskript ist auf der Basis von Vorlesungen

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Wie man sieht ist der Luftwiderstand -abgesehen von der Fahrgeschwindigkeit- nur von Werten abhängig, die sich während der Messung nicht ändern.

Wie man sieht ist der Luftwiderstand -abgesehen von der Fahrgeschwindigkeit- nur von Werten abhängig, die sich während der Messung nicht ändern. Wie hoch ist der - und Luftwiderstand eines Autos? Original s. http://www.arstechnica.de/index.html (Diese Seite bietet außer dieser Aufgabe mehr Interessantes zur Kfz-Technik) Kann man den Luftwiderstand

Mehr

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2)

Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Rekursionen (Teschl/Teschl 8.1-8.2) Eine Rekursion kter Ordnung für k N ist eine Folge x 1, x 2, x 3,... deniert durch eine Rekursionsvorschrift x n = f n (x n 1,..., x n k ) für n > k, d. h. jedes Folgenglied

Mehr

Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation

Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 13, A-6020 Innsbruck, Österreich. Franz.Pauer@uibk.ac.at 1 Einleitung Schlussrechnungen

Mehr

Gleichungen Aufgaben und Lösungen

Gleichungen Aufgaben und Lösungen Gleichungen Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. Januar 3 Inhaltsverzeichnis Lineare Gleichung. a x + b = c....................................................... Aufgaben....................................................

Mehr

Bearbeiten Sie vier der fünf Aufgaben!

Bearbeiten Sie vier der fünf Aufgaben! Master-Kursprüfung West-East Trade Theory SS 2014 Pflichtmodul Internationale VWL (M.Sc. IVWL) Schwerpunktmodul Außenwirtschaft (M.Sc. VWL) 6 Kreditpunkte Bearbeitungsdauer: 90 Minuten 16.7.2014 Prof.

Mehr

Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen

Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen Kapitel 2 Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 21 Aufgabenstellung und Motivation Ist f eine in einem abgeschlossenen Intervall I = [a, b] stetige und reellwertige Funktion, so heißt

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen

Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Zusammengestellt von Hannes Ernst, KSR Lernziele: - Lineare Gleichungen von Hand auflösen können. - Lineare Gleichungen mit Parametern

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Numerische Integration

Numerische Integration Numerische Integration Die einfachste Anwendung des Integrals ist wohl die Beantwortung der Frage nach der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der Achse über einem gegebenen Intervall ('Quadraturaufgabe').

Mehr

Finite Differenzen und Elemente

Finite Differenzen und Elemente Dietrich Marsal Finite Differenzen und Elemente Numerische Lösung von Variationsproblemen und partiellen Differentialgleichungen Mit 64 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork London Paris

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Aufgabe 1 (Excel) Anwendungssoftware 1 / 11 Semesterschlussprüfung 21.06.2004

Aufgabe 1 (Excel) Anwendungssoftware 1 / 11 Semesterschlussprüfung 21.06.2004 Anwendungssoftware 1 / 11 Dauer der Prüfung: 90 Minuten. Es sind alle fünf Aufgaben mit allen Teilaufgaben zu lösen. Versuchen Sie, Ihre Lösungen soweit wie möglich direkt auf diese Aufgabenblätter zu

Mehr

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678

q = 1 p = 0.8 0.2 k 0.8 10 k k = 0, 1,..., 10 1 1 0.8 2 + 10 0.2 0.8 + 10 9 1 2 0.22 1 = 0.8 8 [0.64 + 1.6 + 1.8] = 0.678 Lösungsvorschläge zu Blatt 8 X binomialverteilt mit p = 0. und n = 10: a PX = = 10 q = 1 p = 0.8 0. 0.8 10 = 0, 1,..., 10 PX = PX = 0 + PX = 1 + PX = 10 10 = 0. 0 0.8 10 + 0. 1 0.8 9 + 0 1 10 = 0.8 8 [

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

Ergänzungsseminar zu "Rechenmethoden für Studierende der Chemie"

Ergänzungsseminar zu Rechenmethoden für Studierende der Chemie Ergänzungsseminar zu "Rechenmethoden für Studierende der Chemie" VAK 02-03-2-RM-3 Johannes Ranke Ergänzungsseminar zu "Rechenmethoden für Studierende der Chemie" p.1/13 Programm 18.4. Überblick über Software

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

Mitschrift von Höhere Mathematik 4, Sommer 2013, Prof. Ulbrich

Mitschrift von Höhere Mathematik 4, Sommer 2013, Prof. Ulbrich Mitschrift von Höhere Mathematik 4, Sommer 203, Prof. Ulbrich Benedict Simlinger, published by http://latex4ei.de/ July 6, 203 Inhaltsverzeichnis Gewöhnliche DGL 3. nichtlineare DGL erster Ordnung..................

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Sechste Übungseinheit

Sechste Übungseinheit F Sechste Übungseinheit Inhalt der sechsten Übungseinheit: MATLAB-Werkzeuge zum Anpassen von Funktionen an Daten (Bonus-Material) Alternativen zur Minimierung der Fehlerquadrate: Robuste Regression, Total

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Ohne Mathematik undenkbar!

Ohne Mathematik undenkbar! Die tägliche - Suche: Ohne Mathematik undenkbar! Dipl.-Wirt.Math. Jan Maruhn FB IV - Mathematik Universität Trier 29. März 2006 29. März 2006 Seite 1 Gliederung Einleitung und Motivation Das Internet als

Mehr

Angewandte Umweltsystemanalyse: Finite-Elemente-Methode (FEM)

Angewandte Umweltsystemanalyse: Finite-Elemente-Methode (FEM) Angewandte Umweltsystemanalyse: Finite-Elemente-Methode (FEM) Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz 1 Helmholtz Centre for Environmental Research UFZ, Leipzig 2 Technische Universität Dresden TUD, Dresden

Mehr

Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 06.07.2007, 14.00 16.00.

Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 06.07.2007, 14.00 16.00. 1 Statistik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 06.07.2007, 14.00 16.00. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle 9 gestellten Aufgaben. b) Lösungswege sind anzugeben. Die Angabe des Endergebnisses

Mehr

Optimierung mit Matlab

Optimierung mit Matlab Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Numerische und Angewandte Mathematik Prof. Dr. L. Cromme Computerbasierte Mathematische Modellierung für Mathematiker, Wirtschaftsmathematiker, Informatiker im Wintersemester

Mehr

Klausur zur Vorlesung Methoden der empirischen Kapitalmarktforschung

Klausur zur Vorlesung Methoden der empirischen Kapitalmarktforschung Universität Augsburg Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Finanz und Bankwirtschaft Matrikelnummer Klausur zur Vorlesung Methoden der empirischen Kapitalmarktforschung Prof. Dr. Marco Wilkens

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

Grundlagen der Numerischen Mathematik. Heinrich Voß

Grundlagen der Numerischen Mathematik. Heinrich Voß Grundlagen der Numerischen Mathematik Heinrich Voß Technische Universität Hamburg Harburg Arbeitsbereich Mathematik 2004 2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Zahlendarstellung............................

Mehr

Brückenkurs Mathematik Mathe: Das 1x1 der Ingenieurwissenschaften

Brückenkurs Mathematik Mathe: Das 1x1 der Ingenieurwissenschaften Brückenkurs Mathematik Mathe: Das x der Ingenieurwissenschaften Gewöhnliche Differentialgleichungen, lineare Algebra oder Integralrechnung vertiefte Kenntnisse der Mathematik sind Voraussetzung für den

Mehr

MINT-Circle-Schülerakademie

MINT-Circle-Schülerakademie 1 Einführung MINT-Circle-Schülerakademie Kurze Einführung, was Maple ist, wozu es dienen kann, wo es verwendet wird. Zur Einführung die folgenden Aufgaben bearbeiten lassen. Aufgabe 1. Gib unter Maple

Mehr

2.5.2 Selbstorganisierte Karten: das Modell von Kohonen. Weil es beim Perzeptron keine Wechselwirkung in der Verarbeitungsschicht

2.5.2 Selbstorganisierte Karten: das Modell von Kohonen. Weil es beim Perzeptron keine Wechselwirkung in der Verarbeitungsschicht 2.5.2 Selbstorganisierte Karten: das Modell von Kohonen Weil es beim Perzeptron keine Wechselwirkung in der Verarbeitungsschicht zwischen den einzelnen Neuronen gibt, spielt deren räumliche Anordnung keine

Mehr

Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele

Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Modellbildungssysteme: Pädagogische und didaktische Ziele Was hat Modellbildung mit der Schule zu tun? Der Bildungsplan 1994 formuliert: "Die schnelle Zunahme des Wissens, die hohe Differenzierung und

Mehr

A2.3: Sinusförmige Kennlinie

A2.3: Sinusförmige Kennlinie A2.3: Sinusförmige Kennlinie Wie betrachten ein System mit Eingang x(t) und Ausgang y(t). Zur einfacheren Darstellung werden die Signale als dimensionslos betrachtet. Der Zusammenhang zwischen dem Eingangssignal

Mehr

2.4 Adaptive Verfahren mit Schrittweitensteuerung

2.4 Adaptive Verfahren mit Schrittweitensteuerung 0 0 0 Euler und RK4 fuer f(t,y) = t 0. Euler RK4 /N 0 0 f(t,y) =. t 0., graduiertes Gitter RK4 /N 4 Fehler bei T = 0 3 0 4 0 5 Fehler bei T = 0 5 0 0 0 6 0 7 0 0 0 0 2 0 3 0 4 0 5 Anzahl Schritte N 0 5

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Programmieren in JavaScript

Programmieren in JavaScript Lineare Programme 1. Euro a) Schreiben Sie ein Programm, dass Frankenbeträge in Euro umrechnet. Der Benutzer gibt dazu den aktuellen Kurs ein, worauf das Programm einige typische Werte (z.b. für Fr 10,

Mehr

TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge

TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge TEST Basiswissen Mathematik für Ingenieurstudiengänge Erste Fassung März 2013 Dieser Test beinhaltet Aufgaben zu den wesentlichen Themen im Bereich Mathematik, die Basiswissen für ein Ingenieurstudium

Mehr

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.3. Algebra Gleichungen

Kapitel 3 Mathematik. Kapitel 3.3. Algebra Gleichungen TG TECHNOLOGISCHE GRUNDLAGEN Kapitel 3 Mathematik Kapitel 3.3 Algebra Gleichungen Verfasser: Hans-Rudolf Niederberger Elektroingenieur FH/HTL Vordergut 1, 877 Nidfurn 055-654 1 87 Ausgabe: Februar 009

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011

Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011 Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011 Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur:

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

15 Lasst den Compi rechnen Computeralgebra

15 Lasst den Compi rechnen Computeralgebra Ma th ef it Wir verwenden hier wxmaxima 0.8.6 und Maxima 5.22.1. Es ist möglich, Teile dieses Kapitels bereits früher bei den entsprechenden Buchabschnitten zu verwenden. Einen ausgezeichneten Online-Lehrgang

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung

8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung Universität Duisburg-Essen Essen, den.6. Fakultät für Mathematik S. Bauer C. Hubacsek C. Thiel 8. Übung zur Vorlesung Mathematisches Modellieren Lösung In dieser Übung sollen in Aufgabe und die qualitativ

Mehr

Serie 13: Online Test

Serie 13: Online Test D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.

Mehr

Protokoll Physikalisch-Chemisches Praktikum für Fortgeschrittene

Protokoll Physikalisch-Chemisches Praktikum für Fortgeschrittene K. B. Datum des Praktikumstags: 4.12.2007 Matthias Ernst Protokoll-Datum: 8.12.2007 Gruppe 11 Assistent: T. Bentz Testat: AK-Versuch: Modellierung von verbrennungsrelevanten Prozessen Aufgabenstellung

Mehr

Schnittkraftermittlung mittels Bi-linearer Arbeitslinien

Schnittkraftermittlung mittels Bi-linearer Arbeitslinien Schnittkraftermittlung mittels Bi-linearer Arbeitslinien Bachelor Projekt eingereicht am Institut für Baustatik der Technischen Universität Graz im November 2011 Verfasser: Betreuer: Manuel Thalhammer

Mehr

Vorbereitungskurse Mathematik für zukünftige Bachelor-Studierende an der Hochschule Luzern Wirtschaft

Vorbereitungskurse Mathematik für zukünftige Bachelor-Studierende an der Hochschule Luzern Wirtschaft Vorbereitungskurse Mathematik für zukünftige Bachelor-Studierende an der Bei Studienbeginn am 19. September 2016 wird im Fach Mathematik die Beherrschung des Stoffes der kaufmännischen Berufsmatura vorausgesetzt.

Mehr

Übungen aus den numerischen Methoden der Astronomie SS 2011

Übungen aus den numerischen Methoden der Astronomie SS 2011 Übungen aus den numerischen Methoden der Astronomie SS 2011 1. Fermat Teil I : Berechnen Sie die Fläche eines rechtwinkeligen Dreiecks mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes. Die beiden Katheten sollen

Mehr

Mit Fallstudien und numerischen Lösungen

Mit Fallstudien und numerischen Lösungen Kerstin Rjasanowa Mathematische Modelle im Bauingenieurwesen Mit Fallstudien und numerischen Lösungen Rjasanowa Mathematische Modelle im Bauingenieurwesen Lehrbücher des Bauingenieurwesens Dallmann Baustatik

Mehr

Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min

Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min 1 Prof. Dr. Fred Böker 08.08.2006 Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Gesamtpunkte: 39 Aufgabe

Mehr

Mögliche Prüfungsfragen zu VO Mathematische Software

Mögliche Prüfungsfragen zu VO Mathematische Software Mögliche Prüfungsfragen zu VO Mathematische Software SS 2009 Der Prüfungsstoff umfasst alles, was in der Vorlesung vorgetragen wurde. Die folgende Liste soll Ihnen bei der Vorbereitung helfen. Bei der

Mehr

1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS

1. Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS . Mathematik-Schularbeit 6. Klasse AHS Arbeitszeit: 50 Minuten Lernstoff: Mathematische Grundkompetenzen: (Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme: AG. Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und

Mehr

Ingenieurinformatik Diplom-FA (Teil 2, C-Programmierung)

Ingenieurinformatik Diplom-FA (Teil 2, C-Programmierung) Hochschule München, FK 03 SS 2014 Ingenieurinformatik Diplom-FA (Teil 2, C-Programmierung) Zulassung geprüft: (Grundlagenteil) Die Prüfung ist nur dann gültig, wenn Sie die erforderliche Zulassungsvoraussetzung

Mehr

Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation

Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation Schlussrechnung, Modellbildung und Interpolation Franz Pauer Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik Universität Innsbruck Tag der Mathematik Graz, 7. Februar 2013 Beispiele für Schlussrechnungen

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Klausur Mathematik 2

Klausur Mathematik 2 Mathematik für Ökonomen WS 2014/15 Campus Duisburg PD Dr. V. Krätschmer, Fakultät für Mathematik Klausur Mathematik 2 17.02.2015, 12:30-14:30 Uhr (120 Minuten) Erlaubte Hilfsmittel: Nur reine Schreib-

Mehr

Projekt Standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik. T e s t h e f t B 1. Schulbezeichnung:.. Klasse: Vorname: Datum:.

Projekt Standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik. T e s t h e f t B 1. Schulbezeichnung:.. Klasse: Vorname: Datum:. Projekt Standardisierte schriftliche Reifeprüfung in Mathematik T e s t h e f t B Schulbezeichnung:.. Klasse: Schüler(in) Nachname:. Vorname: Datum:. B Große und kleine Zahlen In Wikipedia findet man die

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II. Aufgaben und Lösungen

Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II. Aufgaben und Lösungen Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg OPTIMIERUNG II Aufgaben und Lösungen SS 2005 Aufgaben Aufgabe 41 Ein Betrieb stellt zwei Produkte P 1 und P 2 her, die die

Mehr

Faktorisierung ganzer Zahlen mittels Pollards ρ-methode (1975)

Faktorisierung ganzer Zahlen mittels Pollards ρ-methode (1975) Dass das Problem, die Primzahlen von den zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfaktoren zu zerlegen zu den wichtigsten und nützlichsten der ganzen Arithmetik gehört und den Fleiss

Mehr

7. Numerik mit MATLAB

7. Numerik mit MATLAB Start Inhalt Numerik mit MATLAB 1(24) 7. Numerik mit MATLAB 7.1 Lineare Algebra Normen. Matrixzerlegungen. Gleichungssysteme. 7.2 Lineare Ausgleichsrechnung qr, svd, pinv, \. 7.3 Interpolation interp1,

Mehr

Computer Vision: 3D-Geometrie. D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17

Computer Vision: 3D-Geometrie. D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17 Computer Vision: 3D-Geometrie D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17 Lochkamera Modell C Projektionszentrum, Optische Achse, Bildebene, P Hauptpunkt (optische Achse kreuzt die Bildebene),

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Investition und Finanzierung

Investition und Finanzierung Investition und Finanzierung - Vorlesung 6 - Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen -92 - Die Interne Zinsfußmethode (1) Entscheidungsgröße: Interner Zinsfuß r Entscheidungsregel: r Max u.d.b.

Mehr