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1 Vertelugstests Voraussetzug ud verwadte Theme Für dese Beschrebuge sd Grudlage der Statstk vortelhaft. Weterführede ud verwadte Theme sd: Eführug De folgede Tests dee dazu, ob ee Daterehe eer vorgegebee statstsche Verteluge etsprcht. I de meste Fälle wrd auf Normalvertelug geprüft. Zel ud Nutze Nur we ma vo eer bestmmte Vertelug ausgehe ka, dürfe wetere bestmmte Methode verwedet werde. So st z.b. de Stadardberechug auf Prozessfähgket ur be Normalvertelug zulässg, ebeso weder t-test für de Mttelwerttest. Grudlage Bevor ma sch mt de etsprechede Hypothesetests auseadersetzt, st es drged zu empfehle, sch de Date vsuell azuschaue. Im Folgede werde de wchtgste Tests für de Normalvertelug aufgezegt. Überscht der vorgestellte Tests: Shapro-Wlk (SW) z.b. ²-Test (CH) Aderso-Darlg (AD) Kolmog,-Smrov (KS) auch Cramér vo Mses (CM) Epps-Pulley (EP) Jarque-Bera Test (JB) < 50, Stadard m deutschsprachgem Raum, DGQ e.v. ab 50, Klasserug der Date ötg. Stadard Mtab & Sx Sgma ud m eglschsprachgem Raum. Klassker mt Klasserug ach Lteratur, aber ohe möglch relatv stark abhägg vo Stchprobegröße. weger verbretet, tolerat gege Abwechuge. weger verbretet, sehr tolerat gege Abwechuge. Ee Stchprobegröße vo mehr als 5 st cht zu empfehle. Aufgrud des mmer eger werdede Vertrauesbereches führe kleste Abwechuge der Date schell zu eer Ablehug der getestete Vertelug. Be all de Tests soll auch berückschtgt werde, dass dese ur svoll sd, we de Date aus techscher Scht auch als ormalvertelt azuehme sd. Z.B. be Lebesdauerdate würde ma glech auf ee Webull-Vertelug h teste. Wchtg st das Wsse um de techsche Zusammehag ud de zu erwartede CRGRAPH 07

2 Vertelugstests Vertelug! Es st sehr davo abzurate Date ubekate Herkuft ud Sachlage zu verwede! Shapro-Wlk Test Der Shapro-Wlk-Test prüft de Nullhypothese, dass ee Stchprobe aus eer ormalvertelte Grudgesamthet stammt. Deser Test wurde 965 vo Samuel Shapro ud Mart Wlk veröffetlcht ud wrd als lestugsfähger Stadardtest zur Bestmmug der Normalvertelug agesehe. De Prüfgröße wrd berechet als: w b b ( ) s a x Der Test west de Nullhypothese zurück, we de Prüfgröße w kleer st, als der krtsche Wert. Ist w < wkrt wrd de Nullhypothese auf dem Sgfkazveau abgeleht. Der Prüfwert ud de Gewchtuge a sd u.a. Peterso, Grudlage der Statstk zu etehme. Alteratv zum Prüfwert ka auch auf e Tprüf umgerechet werde. w T prüf l w De Koeffzete, ud sd ebefalls Peterso zu etehme. Dese Prüfgröße ka drekt mt dem u-wert der Normalvertelug verglche werde. Für e Sgfkazveau vo =0,05 st deser -,645. We Tprüf < -,645, da st de Nullhypothese auf Normalvertelug abzulehe. Kolmogorov-Smrov Apassugstest Der Kolmogorov-Smrov Apassugstest (kurz KS-Test) prüft de Apassug eer beobachtete a ee belebge zu erwartede Vertelug. Besoders bem Vorlege kleer Stchprobeumfäge etdeckt der KS-Test eher Abwechuge vo der Normalvertelug. Vertelugsrregulartäte sd m Allgemee besser mttels des ²- Tests achzuwese. Der KS-Test ka für stetge ud dskrete Verteluge ud für Stchprobe m Umfag bs 50 agewedet werde. Ab 50 st der ²-Apassugstest zu verwede. Geprüft wrd de Nullhypothese: De Stchprobe etstammt der bekate Vertelug. Es werde für jede Wert de relatve Summehäufgkete verglche ud der maxmale Dfferezwert als Prüfgröße Tprüf verwedet. T prüf max H B H E mt : HB : beobachtete Häufgket HE : erwartete Häufgket Be der Bestmmug der erwartete Summehäufgkete st be klasserte Date zu beachte, dass für de jewelge Wert x de halbe Klassebrete dazu addert werde muss (Betrachtug auf de jewels obere Klassegreze). Grudsätzlch st de Notwedgket der Klasserug als Nachtel azusehe, da de Prüfgröße vo der Klassebrete abhägt. CRGRAPH 07

3 Vertelugstests Dese Prüfgröße wrd gege ee krtsche Wert verglche, der eschlägge statstsche Tabelle zu fde st. Ist Tprüf > Tkr wrd de Nullhypothese auf dem Sgfkazveau abgeleht. Cramér-vo-Mses Test Der Cramér-vo-Mses-Test st, we der KS-Test auch, e allgemeer statstscher Test, mt dem utersucht werde ka, ob de Häufgketsvertelug der Date vo eer vorgegebee Wahrschelchketsvertelug abwecht. Der Test st beat ach Harald Cramér ud Rchard vo Mses, de h zwsche 98 ud 930 etwckelt ud veröffetlcht habe. Es wrd desem Test de Abwechug zwsche de Häufgkete der Date zur erwartete Vertelugsfukto betrachtet. Der Nachtel st be desem Test, dass er vo der Stchprobegröße relatv stark abhägg st (sehe Verglech der Apassugstests am Ede). Für de Test auf Normalvertelug glt deshalb de Testgröße: T H( x ) mt H(x) = Vertelugsfukto = F(x) Aderso-DarlgTest auf Normalvertelug Der Aderso-DarlgTest prüft de Nullhypothese, dass ee Stchprobe aus eer ormalvertelte Grudgesamthet stammt. Der große Vortel des Aderso-Darlg Tests st, dass her kee Klasserug der Date, we z.b. bem KS-Test, otwedg st. Deser Test st für klee ud größere Stchprobe geeget ud berückschtgt sbesodere de Radbereche der Date. A² mt u x x s ( -)(l( ( u )) l(- ( u - ))) bzw. u ) für de Wahrschelchket des u-wertes aus der Normalvertelug. ( Mt A² wrd de wetere Hlfsgröße z gebldet: z 0,75 A²,5 mt der der pvalue gebldet wrd. z 0, pvalue = exp( 3, ,4z 3,73 z ) 0, < z 0,34 pvalue = exp( 8,38 + 4,796z 59,938 z ) 0, 34 < z 0, 6 pvalue = exp (0,977 4, 79z,38 z ) 0, 6 < z pvalue = exp(,937 5, 709z + 0,086 z ) De Nullhypothese, dass de Date ormalvertelt sd, wrd verworfe, we CRGRAPH 07

4 Vertelugstests pvalue < st (Stadard = 0,05). Ee Awedug deses Vertelugstests st ur be relatv klee Stchprobe bs etwa =00 svoll, da be große Date der Test fast mmer de Nullhypothese ableht. Aderso-Darlg Test auf Webull-Vertelug A² ( -) (l( H( t Der Aderso Darlg Test prüft de Nullhypothese, dass de Date Webull-vertelt sd. Deser Test st für klee ud größere Stchprobe geeget ud berückschtgt sbesodere de Radbereche der Date. Zuächst wrd folgede Kezahl bestmmt: )) l(- H( t - ))) mt H( t ) für de Wahrschelchket aus der Webull-Vertelug a der Stelle t. Mt A² wrd de wetere Hlfsgröße z gebldet: 0, z A² mt der der pvalue gebldet wrd. pvalue = exp( z) De Nullhypothese, dass de Date eer Webull-Vertelug etspreche, wrd verworfe, we pvalue < (Stadard = 0,05). De Webull-Vertelug st jedoch ee uverselle Vertelugsform. De praktsche Bedeutug deses Tests st deshalb eher gerg. Be Ablehug der Nullhypothese ka aber vo eer Mschvertelug ausgegage werde, woraus sch evtl. uterschedlche Ausfallursache ablete lasse. Ee Awedug deses Vertelugstests st ur be relatv klee Stchprobe bs etwa =00 svoll, da be große Date der Test fast mmer de Nullhypothese ableht. ²-Apassugstest Verglche wrd, ählch we bem Kolmogorov-Smrov-Apassugstest, ee Stchprobe aus eer Grudgesamthet gege ee theoretsche Vertelug. De Prüfgröße bestmmt sch durch: k H B H H E E mt k=azahl der Klasse, bzw. Merkmale. De beobachtete Häufgkete stehe der Spalte de erwartete der Spalte. Geprüft wrd de Nullhypothese: De beobachtete Vertelug HB etsprcht der erwartete HE, wobe her de absolute Ezelhäufgkete gemet sd. Der ²-Apassugstest stellt m Allgemee Vertelugsrregulartäte fest. Be Vorlege kleer Stchprobeumfäge etdeckt der KS-Test eher Abwechuge vo der Normalvertelug. Be de erwartete Häufgkete st de Klassebrete K zu berückschtge. Für de Normalvertelug glt somt: CRGRAPH 07

5 Vertelugstests H E K xx s s e De Date sd zur Egabe berets klassert azugebe. Dese Prüfgröße wrd gege ee krtsche Wert verglche, der eschlägge statstsche Tabelle zu fde st. Herbe wrd e Frehetsgrad f beötgt, der sch folgedermaße bestmmt: f = k - - a wobe a de Azahl der geschätzte zusätzlche Parameter st. Be der Apassug a ee Bomal- oder Possovertelug st a=. Für ee Normalvertelug glt: Werde x ud s aus de klasserte Date geschätzt, so st a=. Werde x ud drekt aus de Orgaldate berechet, so st a= ud st µ ud bekat, so beträgt a=0. Ist ² > ²kr, wrd de Nullhypothese auf dem Sgfkazveau abgeleht. De alteratve Vorgeheswese st, dass Ho verworfe wrd, we pvalue < st (Stadard = 0,05). Ezelhäufgkete< sollte vermede werde. Sd für bestmmte Merkmale zu klee Ezelhäufgkete vorhade (<), so sollte dese mt adere Werte zusammegefasst werde. De Klassemtte st etspreched azupasse. Sehe auch ²-Homogetätstest. Für wetere Tests se auf de Lteratur verwese. Epps-Pulley Test Der Apassugstest vo Epps ud Pulley (983) hat de Vortel, dass deser vo der Stchprobegröße wetgehed uabhägg st, we ur lechte Abwechuge vo der Normalvertelug vorlege (sehe Verglech der Apassugstests am Ede). Der Epps-Pulley Test st der DIN ISO 5479 beschrebe, aber och weg verbretet. Epps ud Pulley schlage folgede Gewchtugsfukto vor: EP ( ) g ; ( x) h x h dx mt dem auf de Varable z agewedete cht parametrsche Dchteschätzer g ; ( x) ; h h x z h Auf Bass umfagrecher Smulatoe empfehle Epps ud Pulley für =. Heze (994, p. 3) schlägt für 0 folgede stadardormalvertelte Prüfgröße vor: Z * EP 4 3 l EP * * EP 0,365,34,3 ) EP () * ( CRGRAPH 07

6 Vertelugstests 0,0068,6664 3, ,5595 De Hypothese, dass de Date ormalvertelt sd, wrd auf dem Sgfkazveau abgeleht, we: * Z u Umgekehrt ka heraus der pvalue bestmmt werde (Auflösug ach ). Jarque-Bera Test (JB) Der Jarque-Bera-Test st e statstscher Test, der ahad der Schefe ud der Wölbug (Asymmetre ud Sptzgket der Gaußkurve) de Date prüft, ob ee Normalvertelug vorlegt. Der Test wurde vo Carlos Jarque ud Al Bera vorgeschlage. Deser Test hat de Vortel, we der Epps-Pulley auch, dass er vo der Stchprobegröße wetgehed uabhägg st, we ur lechte Abwechuge vo der Normalvertelug vorlege (sehe Verglech der Apassugstests am Ede). De Schefe S, auch als zetrales Momet 3. Ordug bezechet, st defert durch: S x x x x 3 3 / x x bzw. für Stchprobe ( )( ) s Be Symmetre der Gauß-Glockekurve st der Wert der Schefe = 0. De Wölbug, auch als Kurtoss oder zetrales Momet 4. Ordug bezechet, st defert durch: 4 x x K x x ( ) ( )( )( 3) bzw. für Stchprobe x x s 4 3( ) ( )( 3) Be Normalvertelug ergbt sch der Wert = 3. Ma verwedet astelle der Wölbug deshalb auch de Begrff Exzess = Wölbug 3. Be eer Wölbug > 3, hat de Vertelug flache Ede ud ee große Streuug. De Teststatstk ach Jarque-Bera st da: JB 6 S K 3 4 Dese Kegröße st äherugswese ²-vertelt (mt zwe Frehetsgrade): JB ~ ; Be eem Sgfkazveau vo 5% wrd de Hypothese auf Normalvertelug verworfe, we JB > 6 st. Umgekehrt ka der pvalue durch Auflösug ach bestmmt werde. 3 CRGRAPH 07

7 Vertelugstests Awedug Vsual-XSel 3.0 / I Vsual-XSel gbt es 3 Möglchkete statstsche Vertelugstests durchzuführe.. Efache Grafk CRGRAPH 07

8 Vertelugstests. Verwedug vo Templates De zu testede Date sollte sch der Zwscheablage befde. CRGRAPH 07

9 Vertelugstests 3. Template Vertelugstest verschedeer Verteluge CRGRAPH 07

10 Vertelugstests Lteratur Taschebuch der statstsche Qualtäts- ud Zuverlässgketsmethode De wchtgste Methode ud Verfahre für de Praxs. Behaltet statstsche Methode für Versuchsplaug & Dateaalyse, sowe Zuverlässgket & Webull. - Statstsche Verteluge ud Tests & Mschverteluge - Sx Sgma Eführug ud Zykle - Systemaalyse Wrkdagramm, FMEA, FTA, Matrze-Methode - Sha- ud Taguch-Methode - Versuchsplaug DoE, D-Optmal - Korrelatos- ud Regressosverfahre - Multvarate Dateauswertuge - Prozessfähgket Messmttelfähgket MSA 4 ud VDA 5 - Regelkarte - Tolerazrechug ud Mote-Carlo-Smulato - Statstsche Hypothesetests - Webull ud Lebesdaueraalyse - Stchprobegröße 90 Sete, Rgbuch ISBN: CRGRAPH 07

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