R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen

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1 Die ntürlichen Zhlen (zusmmen mit der Addition und der Multipliktion) wurden in Kpitel 3 xiomtisch eingeführt. Aus den ntürlichen Zhlen knn mn nun die gnzen Zhlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} die rtionlen Zhlen, die reellen Zhlen und uch die komplexen Zhlen (zusmmen mit den jeweiligen Additionen und Multipliktionen) konstruieren. Die mit Abstnd ufwendigste Konstruktion ist die der reellen Zhlen. Ds wird ber erst Teil der Vorlesung Anlysis sein. Wir führen hier nur exemplrisch vor wie mn us den ntürlichen Zhlen die gnzen Zhlen konstruiert. Gnze Zhlen Gegeben seien lso die ntürlichen Zhlen (zusmmen mit der Addition und der Multipliktion). Wir betrchten nun wieder die Äquivlenzreltion us Beispiel Es sei lso M = N N und R die Reltion R := {((, b), (c, d)) + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klssen...,Kl(1, 3), Kl(1, 2), Kl(1, 1), Kl(2, 1), Kl(3, 1),... Wir denieren nun eine Addition uf M/R vi Kl(, b) Kl(c, d) = Kl( + c, b + d). Mn bechte, dss die neue Abbildung nur us der beknnten Opertion + in N hervorgeht. Problemtisch ist, dss ds Ergebnis der Addition Kl(, b) Kl(c, d) nscheinend von der Whl der Repräsentnten (,b) Kl(,b) bzw. (c, d) Kl(, b) bhängt 1. Mn muss lso noch die wohldeniertheit der Abbildung testen. Sei lso (ã, b) ein Elemente us der gleichen Äquivlenzklsse wie (, b) und ( c, d) ein Elemente us der gleichen Äquivlenzklsse wie (c, d), dnn ist Kl(ã, b) Kl( c, d) = Kl(ã + c, b + d). Wegen + b = b + ã und c + d = d + c gilt ber Kl(ã + c, b + d) = Kl( + c, b + d). 1 Klr ws gemeint ist? Sowohl (1,2) wie uch (2,3) sind j Elemente der gleichen Äquivlenzklsse Kl(1,2). Trotzdem muss die Summe eindeutig sein. 27

2 Ähnlich wird nun uch eine Multipliktion uf M/R deniert. Nämlich Kl(, b) Kl(c, d) = (c + bd, d + bc). Mn bechte, dss für jedes Element Kl(c, d) M/R sowohl Kl(1, 1) Kl(c, d) = Kl(1+c, 1+d) = Kl(c, d) wie uch Kl(1, 1) Kl(c, d) = Kl(c+d,c+d) = Kl(1, 1) gilt. Ds ElementKl(1, 1) nennen wir b jetzt 0. Die Elemente Kl(1, 2), Kl(1, 3),... nennen wir 1, 2,... und dieelemente Kl(2, 1), Kl(3, 1),... nennen wir 1, 2... Auÿerdem schreiben wir in Zukunft Z sttt M/R, + b sttt b und b sttt b. Wir hben lso uf einer neuen Menge Z eine neue Addition und eine neue Multipliktion deniert. Mn knn nun nchrechnen, dss sämtliche us der Schule beknnten Rechenregeln uch uf unserer Menge Z stimmen. Insbesondere gelten lle Rechenregeln von N uf Z eingeschränkt uf 1, 2, 3. Deshlb stellt mn sich uch weiterhin N ls Teilmenge von Z vor (obwohl N in unserer Konstruktion forml etws nderes ist). Rtionle Zhlen und reelle Zhlen Im Gegenstz zum Zhlenbereich N läÿt sich jede dditive Gleichung + x = b mit, b Z lösen. Andererseits läst sich nicht jede multipliktive Gleichung x = b mit, b Z in Z lösen. Dher betrchtet mn die Rtionlen Zhlen, lso die Brüche { n } Q := m n Z, m N. Auch hier müÿte mn nun die Menge Q zusmmen mit einer Addition und einer Multipliktion forml usn und Z konstruieren. Auch hier werden wieder pssende Äquivlenzklssen gebildet. Diese Konstruktion wird im Prpädeutikum zum Them Äquivlenzreltionen nchgeholt. In der linren Algebr werden Sie lernen ws ein Körper ist. Hier sei schon einml gesgt, dss Q (genu wie R und C) ein Beispiel für einen Körper ist, N und Z ber nicht. Für jetzt reicht uns die Erkenntnis, dss Q bezüglich Addition und Multipliktion bgeschlossen ist, d.h. für lle p, q Q ist q + p Q und pq Q. Ich hoe Sie erinnern sich noch drn wie mn eine solche Addition bzw. Multipliktion durchführt. Nämlich nch den Formeln b + c d = d + bc bd bzw b c d = b cd. Um vernünftig Mthemtik betreiben zu können reicht die Menge der rtionlen Zhlen noch nicht us. Z.B. ist die Gleichung x 2 = 2 in Q nicht lösbr. Trotzdem knn mn sich Probleme vorstellen, deren Lösung eben genu die Bedingung x 2 = 2 erfüllt 2. Dher erweitert mn die rtionlen Zhlen noch uf die 2 Z.B. die Frge, wie lnge ist die Digonle eines rechtwinkligen Dreiecks dessen Ktheten beide die Länge 1 hben. Wenn wir eine Mthemtik nur in Q ufziehen wollten dnn wäre die Antwort: So ein Dreieck gibt es nicht. 28

3 reellen Zhlen. Wie ds genu geht werden Sie in der Vorlesung Anlysis erfhren. Vernschulichen knn mn sich die reellen Zhlen ber ls die Punkte uf einer Gerden. Sowohl uf Q wie uch uf R gibt es eine Ordnungsreltion > bzw.. Auch hier verzichten wir uf eine formle Konstruktion. Für Q und R führen wir noch ein pr Bezeichnungen ein: Sei F = Q oder F = R und, b F mit < b. Ds bgeschlossene Intervll [, b] sei deniert durch [, b] := {x F x b}. Anlog denieren wir oene Intervlle ], b[:= {x F <x < b}. Desweiteren sei [, b[ := {x F x < b}, ], b] := {x F < x b}, ], [ := {x F < x}, [, [ := {x F x}, ], [ := {x F x < }, [, [ := {x F x } Die Gleichung X = 0 besitzt keine Lösung in reellen Zhlen. Um diese Gleichung ber trotzdem lösen zu können, führen wir eine neue Zhl i = 1 ls Lösung dieser Gleichung ein: i = 0; diese Zhl heiÿt uch imginäre Einheit. Wir hben noch nicht richtig erklärt, ws denn nun eigentlich i = 1 für eine Zhl sein soll. Wir führen dzu die komplexen Zhlen geometrisch ls Punkte in der Guÿschen Ebene ein. Stz und Denition 4.1 Die Menge C := R 2 ller Pre reeller Zhlen versehen mit der Addition und der Multipliktion (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) := (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) ist ein Körper, der sogennnte Körper der komplexen Zhlen. Hierbei ist (0, 0) ds Nullelement (0, 0) und (1, 0) ds Einselement (1, 0). Die komplexe Zhl heiÿt imginäre Einheit. i := (0, 1) Oenbr gilt i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0). Also ist i 2 ds dditiv Inverse des Einselements. 29

4 Jede komplexe Zhl (x, y) läÿt sich eindeutig zerlegen, ls Summe us dem 1- Anteil (den sogennnten Relnteil) und dem i-anteil (den sogennnten Imginärnteil), d.h. (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + iy. Für ds prktische Rechnen in komplexen Zhlen ist diese Schreibweise uch geeigneter. Mn veriziert leicht: (+ib)+(c+id) = (+c)+i(b+d), (+ib) (c+id) = (c bd)+i(d+bc); hierbei hben wir in der zweiten Gleichung die Gleichung i 2 = 1 usgenutzt. Ds multipliktiv Inverse von +ib C \ {0} berechnet sich wie folgt: 1 + ib = 1 + ib ib ib = ib 2 + b = b + i b b 2. Zu einer komplexen Zhl z = + ib heiÿt der Relteil von z und wird mit Rez bezeichnet und b heiÿt der Imginärteil von z und wird mit Im z notiert. Zu z = + ib bezeichnet z = ib die zu z konjugierte komplexe Zhl (bei der Berechnung des Inversen von z 0 hben wir lso mit dem Konjugierten von z erweitert). Es gilt z = Re z + i Im z, Rez = 1 2 (z + z), Im z = 1 (z z). 2i Komplexe Zhlen lssen sich gut in der Guÿschen Zhlenebene drstellen: i Im z +ib + ib ib ib Rez Für z = + ib C ist z z = ( + ib)( ib) = 2 + b 2 eine nicht-negtive reelle Zhl, und für z 0 ist diese Zhl positiv. Wir setzen z = zz und nennen dises Zhl den Absolutbetrg der komplexen Zhl z. Geometrisch misst z den Abstnd von z zum Ursprung 0 in der Guÿschen Zhlenebene (Pythgors). Es gilt die Dreiecksungleichung z + w z + w. 30

5 Die komplexen Zhlen hben sehr schöne nlytische und lgebrische Eigenschften: Z.B. ist C lgebrisch bgeschlossen, d.h. jede lgebrische Gleichung über C besitzt eine Lösung (Fundmentlstzes der Algebr). Ferner gibt es eine Verbindung zu den trigonometrischen Funktionen. (Dzu später mehr!) 31

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