Ist die elektrische Feldstärke einer Punktladung exakt proportional 1/r 2?

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1 Ist die elektische Feldstäke eine Punktladung exakt popotional 1/? Feynman s Lectues on Physics sind unübetoffen, wenn es daum geht, Physik zu vestehen 1 Inteessant auch die Ausflüge in die Nischen de Physik, die vom Lehbuchstoff abschweifen und längst Bekanntes in Fage stellen Ein kleine Abschnitt im Kapitel Elektostatik beispielsweise ist übeschieben: Is the field of a point chage exactly 1/? Siche keine Fage, die im Alltagsgeschäft de Physik eine Rolle spielt Abe welchen Physike inteessiet es nicht, ob de Exponent von im Coulomb schen Gesetz nun genau ist, ode ob e, vielleicht bei seh goßen und seh kleinen Abständen, von diesem Wet abweicht 3 Ode in wie weit man eine Abweichung vom Wet heutzutage aufgund von Messungen im Labo einschänken kann Bei den Messungen im Labo nutzt man die Tatsache aus, dass nu bei exaktem 1/ -Velauf das Innee eines geladenen Leites feldfei ist In de Regel misst man dazu die Potenzialdiffeenz zwischen zwei konzentisch angeodneten metallischen Kugeln: eine äußeen, auf möglichst hohe Spannung aufgeladenen Hohlkugel und eine im Innen befindlichen kleineen Metallkugel Das Expeiment liefet eine obee Genze fü die Potenzialdiffeenz, aus de man den Maximalbetag de Abweichung des Exponenten von vom Wet gewinnt (Rechnungen dazu weite unten) Daten, die ich vo Jahen anlässlich eines Votags zusammengetagen hatte 3, egaben damals eine obee Genze von etwa fü die elative Abweichung vom Wet Inzwischen gibt es Expeimente, die diese Genzen weite vebesset haben 4 Damit wid auch die obee Genze fü die Masse des Photons weite eingeschänkt 5 Zum Veständnis de Potenzialdiffeenzmessungen sind die nachfolgenden Übelegungen und Rechnungen hilfeich Außedem wid ein fü den Schulunteicht geeignetes Expeiment beschieben, mit dem eine obee Genze fü diese Potentialdiffeenz bestimmt weden kann Das Innee eine geladenen Hohlkugel ist feldfei, wenn die Ladung auf ih homogen veteilt ist Dass dies eine Folge des 1/ -Gesetzes ist, egibt sich aus folgende Übelegung: Wi denken uns einen beliebigen Punkt P im Innen de Kugel, duch den wi eine beliebig oientiete Geade legen Diese sei die Achse eines Doppelkegels mit dem Scheitelpunkt P, de aus de Kugel zwei gegenübe liegende Flächen A 1 und A heausschneidet (Abbildung 1) De Punkt P habe von A 1 den Abstand 1, von A den Abstand Wi betachten jetzt die Feldstäken E 1 und E, die sich im Punkt P aufgund de Ladungen in A 1 bzw A egeben Da es sich um gleichnamige Ladungen handelt, sind E 1 und E entgegengesetzt geichtet Ihe Betäge sind wegen de homogenen Ladungsveteilung popotional zu den Flächeninhalten A 1 bzw A und wegen des 1/ -Gesetzes umgekeht popotional zu 1 bzw Also E 1 A 1 / 1 und E A / Das abe heißt, die Feldstäken vehalten sich wie die Raumwinkel, die von den beiden Hälften des Doppelkegels übestichen weden und die sind gleich Somit heben sich E 1 und E exakt auf und die Feldstäke in P aufgund de Ladungen in den gegenübe liegenden Flächen A 1 und A ist Null Dieselbe Übelegung gilt fü alle Doppelkegel duch P und fü alle Punkte P im Innen de Kugel Abbildung 1 Die Feldstäken im Punkt P, die von den Ladungen auf den Flächen A 1 und A ausgehen, sind popotional zum Raumwinkel, unte dem sie von P aus escheinen Da die Raumwinkel A 1 / 1 und A / gleich sind, sind es die Feldstäken auch Wegen de gleichnamigen Ladungen sind sie entgegengesetzt geichtet

2 Ist die elektische Feldstäke E übeall im Innen de Kugel Null, hat jede Punkt dot gleiches Potenzial Denn E ist bekanntlich gleich dem (negativen) Gadienten des Potenzials Eine zweite Metallkugel, die sich im Innen de geladenen Kugel befindet, hat dahe das gleiche Potenzial wie die äußee, geladene Kugel Ein Voltmete zwischen beiden Kugeln zeigt keinen Ausschlag, unabhängig davon, auf welche Spannung (welches Potenzial) die äußee Kugel aufgeladen ist Die äußee Kugel wikt, wie man sagt, als Faadaysche Käfig Offenba ist die Potenzialdiffeenz zwischen innee und äußee Kugel nicht meh Null, wenn die Coulombkaft vom 1/ -Velauf abweicht Um das zu zeigen, nehmen wi wie üblich an, de Exponent von weiche um eine kleine Göße vom Wet ab Wi scheiben dahe die Feldstäke E, die von eine punktfömigen Ladung q ausgeht, als (1) 1 q E ( ) 4 0 Die nun folgende Rechnung geht auf Maxwell 6 zuück Folgt die Feldstäke, die von eine Punktladung ausgeht, dem nach Gl (1) modifizieten Velauf, nimmt das Potenzial gemäß (1+ ) mit wachsendem Abstand vom Ot de Ladung ab Fü eine kontinuieliche Ladungsveteilung ist übe das Volumen zu integieen, in dem sich die Ladung befindet Ist die Dichte de äumlich veteilten Ladung, egibt sich fü das Potenzial am Ot x () V x 1 ( x ') 4 x x' 3 ( ) d x' 0 1 Integiet wid übe die gestichenen Koodinaten In unseem Fall ist die Dichte de Ladung auf de äußeen Kugel Diese habe den Radius a, so dass wi scheiben ( ', ', ') ( ' a) Dabei sind wi zu Kugelkoodinaten (,, ) mit dem Nullpunkt im Zentum de Hohlkugel übegegangen Die gleichmäßige Veteilung de Ladung übe die Hohlkugel wid duch das Podukt Flächenladungsdichte (konstant) mal Delta-Funktion ( a) ausgedückt Die gesamte, auf de Kugel befindliche Ladung ist damit Q = 4 a Wi beechnen nun das Potenzial an einem beliebigen Punkt P im Innen de Kugel De Symmetie wegen legen wi (ohne Beschänkung de Allgemeinheit) die z-achse des Koodinatensystems Abbildung Zu Integation übe die Ladung de Hohlkugel, Gl(3) des Textes duch diesen Punkt Dann ist de Abstand dieses Punktes vom Kugelmittelpunkt und das Podukt Ladungsdichte mal Volumenelement lässt sich scheiben (Abb )

3 3 (3) ( x ') dx' ( ' ad ) ' 'sin ' d' d' Im Integal Gl () fühen wi voab die Integation übe und aus und ehalten (4) 3 ( x ') dx' asin ' d' Das heißt, wi beechnen den Beitag zum Potenzial de Ladung, die sich auf de Kugelobefläche in einem Ring de Beite a d mit dem Radius a sin befindet (Abb ) De Abstand dieses Ladungselements vom Punkt P ist (5) x x a a ' cos ' Damit wid das Integal Gl () V() 1 a sin ' d' 4 a acos ' 0 0 (1 )/ (6) Q sin ' d' 4 a acos ' 0 0 (1 )/ 1 Q d(cos ') 4 a acos ' 0 1 (1 )/ Mit de Substitution u a a cos ' wid du d(cos ) a, also d(cos ) du a und das Integal zu V() ( a ) Q 1 du (1 )/ 4 a u 0 ( a ) Die Integation egibt Q 1 4 a 1 (7) V() a a Da wi das Potenzial nu im Innen de Kugel beechnen, ist a > Dahe ist auch de zweite Tem in de eckigen Klamme göße als Null (andeenfalls hätte man den Tem a in Betagsstichen klammen müssen) Fü das Potenzial de äußeen Kugel ( = a) ehalten wi Q 1 V( a) 4 0 a 1 a 1 De auf V(a) bezogene elative Potenzialunteschied zwischen einem Punkt im Abstand vom Kugelmittelpunkt und de äußeen Hohlkugel (Abstand a vom Mittelpunkt de Kugel) betägt somit

4 1 1 V ( ) V ( a) a a a (8) 1 V ( a) a a De Tem auf de echten Seite diese Gleichung lässt sich wegen x 1 lnx fü << 1 näheungsweise scheiben V () V () a a a 1 ln a a 1 ln a 1 V( a) a a a a Duch Umfomung ehält man daaus den Maxwellschen Tem 6 (9) V () V () a a ln a ln a V( a) a 4a Man scheibt in de Regel (10) V() V() a V( a) M ( a, ) mit (11) 1 a a a M( a, ) ln ln a 4a als Geometiefakto Diese Geometiefakto ist von de Gößenodnung 1, sein Velauf als Funktion von /a zeigt Abbildung 3 E nimmt Wete an zwischen M(0) = 0,3069 und M(1) = 0 Abbildung 3 Geometiefakto M(/a), Gl(11) des Textes Die Randwete sind M(0) = 0,31 und M(1) = 0 Šabatka und Dvořák 7 bescheiben ein fü den Schulunteicht geeignetes Demonstationsexpeiment, mit dem sich eine obee Genze fü den Potenzialunteschied zwischen innee und äußee Kugel bestimmen lässt Meine mit den Mitteln de Physiksammlung aufgebaute Appaatu sah ähnlich aus: Statt de äußeen Kugel wid ein zylindische Dahtkäfig (Duchmesse 4 cm, Höhe 30 cm) mit eine Maschenbeite von etwa 1 cm vewandt Sie weden von de Lehmittelindustie 8 als Modell eines Faadayschen Käfigs angeboten De Käfig uht auf eine Aluminiumplatte, die ihn nach unten elektisch leitend abschließt Käfig und Platte wiedeum liegen auf eine mehee Zentimete dicken Styoposcheibe und sind damit gegen Ede isoliet Die innee Kugel ist eine de

5 üblichen Konduktokugeln (Duchmesse 1 cm), die in jede Physiksammlung vohandenen sind Die Kugel liegt etwa in de Mitte des Käfigs auf einem Glasgefäß und ist damit iheseits gegenübe de Aluminiumplatte (und dem Dahtkäfig) isoliet Auf de Obeseite de Kugel befindet sich das Messgeät zu Messung de Potentialdiffeenz, ein Digitalvoltmete mit möglichst goßem Innenwidestand Die Eingangsbuchsen des Voltmetes weden duch kuze Kabel mit de inneen Kugel bzw dem Dahtkäfig vebunden 9 Abbildung 4 zeigt eine schematische Skizze, Abbildung 5 ein Foto de Anodnung Abbildung 4 Vesuchsanodnung zu Bestimmung de Potentialdiffeenz zwischen Dahtkäfig und Kugelkondukto im Innen des Käfigs, siehe Text Zu Messung wude de Dahtkäfig mit dem Ausgang eines Hochspannungsgeäts vebunden und auf U 0 = 5 kv aufgeladen Dabei blieb die Anzeige des Voltmetes im 00 mv-beeich bis auf wenige als 0,1 mv konstant Die Genauigkeit de Anzeige wid vom Hestelle 10 mit ± (0,5 % + digits) angegeben, das sind ± (1 + 0,) mv Also ist die Potentialdiffeenz ΔV = V() V(a) in Gl (10) zwischen Dahtkäfig und innee Kugel maximal 1,3 mv Abbildung 5 Foto de Vesuchsanodnung Als Geometiefakto wid ein mittlee Wet M = 0, angenommen, so dass Gl (10) zu V V() V() a 0,, V V( a)

6 wid Mit V V 1, 3 mv 5kV folgt als (seh gob geschätzte) obee Genze fü den Betag de Abweichung des Exponenten vom Wet 510 0, 8 7,5 10 Diese Wet ist zwa klein gegenübe, abe keineswegs ekodvedächtig E wid von modenen Expeimenten 4 um viele Zehnepotenzen unteboten De Vesuch ist deshalb meh Demonstation als Messung E soll ja auch in este Linie zeigen, dass man die Abweichung vom Wet des Exponenten im Coulombschen Gesetz bestimmen kann ohne die Entfenungsabhängigkeit de Coulombkaft zu messen Liteatu und Anmekungen 1 Richad P Feynman, Robet B Leighton und Matthew Sands, The Feynman Lectues on Physics, Addison-Wesley Reading MS, USA, 1963 Natülich bemühen sich alle Physiklehbüche, die Physik veständlich zu machen Hie eine Liste de Büche, in die ich bei Bedaf hineinschaue Richad P Feynman et al, Band II, Abschnitt 5 8, a a O 3 H Theissen, Physik und Didaktik, Bayeische Schulbuch-Velag, 3 (1975), S 57 Die damaligen Messdaten bestätigten daübe hinaus 1/ fü Abstände zwischen und m, also übe einen Beeich von 5 Zehnepotenzen 4 ein Übeblick übe die Entwicklung de Expeimente bis zum Jah 004 enthält beispielsweise die Abeit: B G Spaviei, G T Gillies und M Rodiguez, Physical Implications of Coulomb s Law, Metologia 41 (004) S Liang-Cheng Tu and Jun Luo: Expeimental Tests of Coulomb s Law and the Photon Rest Mass, Metologia 41 (004) S J C Maxwell: A Teatise on Electicity and Magnetism (3 Auflage, Dove, New Yok, 1954) 7 Zdeněk Šabatka und Leoš Dvořák, Depatment of Physics Education, Faculty of Mathematics and Physics, Chales Univesity in Pague, Czech Republic: Two simple ways of veification of the 1/ dependence in Coulomb s law at both high school and univesity level Intenetadesse unbekannt 8 z B Phywe: Faaday-Käfig, Atikel-N: Man könnte den Dahtkäfig außen mit Aluminiumfolie vekleiden (bis auf ein Sichtfenste zum Ablesen des Anzeigeinstuments), um ihn elektisch noch dichte zu machen In einem Demonstationsexpeiment ist das nicht sinnvoll, da dann de Vesuchsaufbau nicht einsehba ist 10 Das Messgeät ist ein VC444 de Fa Conad

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