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Sven Sternberg
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1 Computational Geometry, MU Leoben Computational Geometry Lehrveranstaltung: Darstellende Geometrie I, Übungen SS Übungsleiterin: S. Prabitz-Hallama Rinne mit Abfluss Stoffgebiet: Abwickelbare Flächen 1

2 2 1 Aufgabenstellung Die Rinne (Figur 1) besteht aus der unteren Hälfte eines Drehzylinders Φ (Achse a, Radius 40mm). Der Abfluss ist ein zweiter Drehzylinder Φ 1 (Achse a 1, Radius 40mm). Die beiden Halbellipsen k und k und die beiden Erzeugendenstrecken CC und DD bilden einen geschlossenen, auf Φ liegenden Linienzug l. Verbinden Sie den Linienzug l mit dem Abschlusskreis k 1 von Φ 1 durch ein abwickelbares und kantenfreies Übergangsstück Ψ. Stellen Sie das Objekt in Grund- und Aufriss dar, und bestimmen Sie eine hinreichende Anzahl von Erzeugenden des Übergangsstückes Ψ. Ermitteln Sie für diese Diskretisierung von Ψ die Verebnung. Konstruieren Sie in der Verebnung 1. die Kurven k v und k v 1 punktweise und 2. die Tangenten an k v bzw. k v 1 in den Punkten A v, C v bzw. A v 1, H v 1 und in jeweils einem weiteren Punkt. DIN A4 Querformat H (100/15), H (100/195) H v (190/125), H v 1 (190/y < 125) Figur 1. Angabe.

3 Darstellende Geometrie I, Übungen, SS 2011: Rinne mit Abfluss 3 2 Konstruktionsbeschreibung Der Kurvenzug l wie auch der Kreis k 1 liegen symmetrisch bzgl. der beiden Ebenen π 2 und π 3. Daher wird auch das gesuchte Übergangsstück Ψ diese beiden Ebenen als Symmetrieebenen besitzen. Es genügt daher ein Viertel etwa das vor π 2 und rechts von π 3 liegende zu konstruieren und zu verebnen. 2.1 Konstruktion des Übergangsstückes Ψ Allgemeines Prinzip: Eine Fläche Ψ ist genau dann abwickelbar, wenn sie aus lauter Geraden (Erzeugenden) aufgebaut ist (also eine Regelfläche ist) und längs jeder fest gewählten Erzeugenden nur von einer einzigen Tangentialebene berührt wird. Letzteres heißt, dass zwei beliebige Punkte P und P 1 derselben Erzeugenden p dieselbe Tangentialebene besitzen. Wir wollen nun eine Torse Ψ durch zwei vorgegebene ebene Kurven k und k 1 bestimmen (Verbindungstorse von k und k 1 ). Gemäß obiger Charakterisierung muss notwendigerweise jede Erzeugende e von Ψ die Kurve k bzw. k 1 in einem Punkt P bzw. P 1 treffen, sodass die Tangente t an k in P und die Tangente t 1 an k 1 in P 1 in einer gemeinsamen Ebene τ liegen. Diese Ebene ist dann die längs der Erzeugenden p berührende Tangentialebene von Ψ. Figur 2. Konstruktion einzelner Erzeugender p der Verbindungstorse zweier ebener Kurven k und k 1. Im Fall ebener Kurven k und k 1 haben wir daher folgende Methode zur Konstruktion einzelner Erzeugender p von Ψ (Figur 2): 1. Wähle einen Punkt P auf k und bestimme die Tangente t an k in diesem Punkt. 2. Schneide t mit der Schnittgeraden s der Trägerebenen ε von k und ε 1 von k 1 : S := t s. 3. Lege aus S eine Tangente t 1 an k 1 und bestimme den Berührpunkt P 1. Die Gerade p := P P 1 ist Erzeugende einer möglichen 1 Verbindungstorse von k und k 1. 1 Die Aufgabe, aus einem Punkt S eine Tangente t 1 an eine Kurve k 1 zu legen, besitzt i.a. mehrere Lösungen; daher gibt es i.a. auch mehrere mögliche Verbindungstorsen von k und k 1.

4 4 Anwendung des allgemeinen Prinzips auf den vorliegenden Fall: In unserem Fall liegt eine ebene Kurve k 1 und ein aus den ebenen Bestandteilen k, k, CC, DD bestehender Kurvenzug vor. (a) Wir wenden das oben beschriebene Prinzip zunächst auf das ebene Kurvenpaar k, k 1 an (Figur 3). Dazu bestimmen wir zuerst die Schnittgerade s der Trägerebenen ε von k und ε 1 von k 1. s ist zweitprojizierend, da es sich bei ε um eine zweitprojizierende Ebene und bei ε 1 um eine erste Hauptebene handelt. Anschließend wählen wir einen Punkt P auf k. Der Aufriss P kann beliebig auf k angenommen werden (die Trägerebene ε von k ist ja zweitprojizierend, weshalb k im Aufriss als Strecke erscheint). Der Grundriss P ergibt sich dann mit Hilfe der Konstruktion von Proclus, welche auch den Grundriss t der Tangente t an k in P liefert (Konstruktion in blauer Farbe). Aus dem Schnittpunkt S von t und s legen wir eine Tangente 2 t 1 an den Kreis k 1. Der Berührpunkt P 1 ist dann Partnerpunkt zu P d.h. die Gerade p := P P 1 ist eine Erzeugende des gesuchten Verbindungsstücks. Dieses Verfahren kann beliebig oft wiederholt werden, wodurch sich eine beliebige Anzahl von Erzeugenden konstruieren lässt. Zum Punkt C k etwa gehört der Partnerpunkt C 1 = H 1 auf k 1. Im Punkt A k ist die Tangente t A an k parallel zu s, weshalb der Schnittpunkt t A s in den Fernpunkt S u von s fällt. Die aus S u legbare Tangente an k 1 liefert den Partnerpunkt A 1 auf k 1. Figur 3. Konstruktion einzelner Erzeugender p. (b) Wir wollen nun das oben beschriebene Prinzip auf das Kurvenpaar CC, k 1 anwenden (Figur 4). Da CC Teil einer Geraden g ist, fällt die Tangente in einem beliebigen Punkt von g mit g zusammen. 2 Prinzipiell lassen sich natürlich zwei Tangenten aus S an k 1 legen; die zweite liefert jedoch einen Partnerpunkt, der zu einer Selbstdurchdringung des Übergangsstückes führt.

5 Darstellende Geometrie I, Übungen, SS 2011: Rinne mit Abfluss 5 Weil g parallel zur Trägerebene ε 1 von k 1 liegt, ist der Schnittpunkt von g und ε 1 der Fernpunkt G u von g. Eine der beiden aus G u an k 1 legbaren Tangenten liefert den Berührpunkt C 1 = H 1. Dieser ist somit Partnerpunkt zu allen Punkten von g. Deshalb ist das Dreieck CCC 1 Teil des gesuchten Übergangsstückes Ψ. Dieses Dreieck liegt in der Ebene τ c, welche die unter (a) konstruierte Torse längs der Randerzeugenden c := CC 1 bzw. c := CC 1 berührt. Somit ist ein kantenfreier Übergang zwischen Torse und Dreieck längs c bzw. c gewährleistet. Figur 4. Das tangential an die Torse anschließende Dreieck CCC Konstruktion der Verebnung Durch die Konstruktion einer Folge von Erzeugenden haben wir ein Näherungspolyeder des Übergangsstückes Ψ erhalten. Hierbei ist zu berücksichtigen, dass je zwei aufeinanderfolgende Erzeugenden p = P P 1, q = QQ 1 dieser Diskretisierung i.a. zueinander windschief liegen. Durch Einziehen einer Diagonale kann das windschiefe Viereck P P 1 Q 1 Q jedoch in zwei Dreiecke, etwa in P P 1 Q und P 1 QQ 1, zerlegt werden (Figur 5). Nach Konstruktion der wahren Größen der einzelnen Dreiecke erhalten wir durch Aneinanderhängen aufeinanderfolgender Dreiecke die Verebnung des Näherungspolyeders der Verbindungstorse von k und k 1. In Figur 5 ist die Konstruktion der wahren Länge der Strecke P P 1 mit Hilfe des 1. Stützdreiecks dargestellt (blau). Die Strecke P 1 Q 1 erscheint im Grundriss in wahrer Länge (grün) und kann von dort direkt in die Abwicklung übertragen werden. Die wahre Länge der Strecke P Q erhält man etwa durch Drehung der Trägerebene der Ellipse k parallel zur 1. Bildebene (orange Konstruktion). An die Anfangserzeugende CC 1 ist dann noch die wahre Größe des Dreiecks HCC 1 anzuhängen. Dieses Dreieck liegt in einer zweiten Hauptebene, weshalb es im Aufriss in wahrer Größe erscheint.

6 6 Figur 5. Punktweise Konstruktion der Verebnung. 2.3 Konstruktion von Tangenten an in die Verebnung übertragene Kurven Da eine Verebnung eine längentreue und somit auch winkeltreue Abbildung einer krummen Fläche in eine Ebene ist, bleibt insbesondere der Schnittwinkel einer Flächenkurve k mit einer Erzeugenden der Fläche dabei erhalten. Das wollen wir bei der Konstruktion der Tangenten an in die Verebnung mitgenommene Kurven ausnutzen (Figur 6): (a) Der Kreis k schneidet die Erzeugende a := AA 1 im Punkt A rechtwinklig; daher ist auch die Tangente t v A an die verebnete Kurve kv im Punkt A v rechtwinklig zur Verebnung a v der Erzeugenden a (blaue Konstruktion). Analoges gilt für die Tangente t v A 1 an k v 1 in A v 1. (b) Um die Winkel der Tangenten an k bzw. k 1 für ein allgemeines Partnerpunktepaar P, P 1 zu übertragen, verwenden wir zweckmäßigerweise das Dreieck P P 1 S, wobei S den Schnittpunkt der Tangenten t und t 1 bezeichnet (rote Konstruktion). Dieses Dreieck liegt in der Tangentialebene τ p, die Φ längs der Erzeugenden p = P P 1 berührt. Nach Konstruktion der wahren Größe des Dreiecks und Übertragung in die Abwicklung können die Tangenten t v und t v 1 eingezeichnet werden. Da die Strecke P 1 S in der Grundrissebene liegt, kann ihre wahre Länge direkt im Grundriss abgenommen werden. (c) Bei den Tangenten t C und t C1 in den Punkten C und C 1 = H 1 geht man analog wie in (b) vor, wobei zu bemerken ist, dass das zu übertragende Dreieck CC 1 T in der 2. Hauptebene τ C liegt und daher im Aufriss bereits in wahrer Größe erscheint (grüne Konstruktion).

7 Darstellende Geometrie I, Übungen, SS 2011: Rinne mit Abfluss 7 Figur 6. Tangentenkonstruktion. Figur 7 zeigt das Resultat. Einige der konstruierten Erzeugenden wurden im Grund- und Aufriss eingetragen. Vom Netz der konstruierten Diskretisierung ist lediglich ein Viertel eingezeichnet. Die restlichen drei Teile erhält man durch Spiegelung. Die eingetragenen Erzeugenden treten natürlich nicht als Kanten am Objekt auf. Figur 7. Resultat.

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