Wurzel aus 2 und Wurzel aus 1: was ist das und wie rechnet man damit?

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1 Wurzel aus 2 und Wurzel aus : was ist das und wie rechnet man damit? Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck, Technikerstr. 3/7, A-6020 Innsbruck, Österreich. Franz.Pauer@uibk.ac.at Vortrag beim ÖMG-LehrerInnenfortbildungstag 2008 in Wien 28. März 2008

2 Einleitung Eine Wurzel aus 2 ist eine Zahl, deren Quadrat 2 ist. Eine Wurzel aus ist eine Zahl, deren Quadrat ist. Anders formuliert: Eine Wurzel aus 2 ist eine Nullstelle des Polynoms x 2 2. Fragen: Eine Wurzel aus ist eine Nullstelle des Polynoms x 2 +. Gibt es eine solche Zahl? Wenn ja, ist sie eindeutig bestimmt? Zur. Frage: In Q gibt es beide nicht. Zur 2. Frage: Wenn a 2 = 0 ist, dann ist auch ( a) 2 = 0. 2

3 Inhalt. Zahlenbereichserweiterungen 2. Erinnerung: Division mit Rest von Polynomen 3. Es gibt beide: 2 und!! 4. Erinnerung: Der erweiterte Euklidische Algorithmus für Polynome 5. Was heißt das, den Nenner wurzelfrei machen? = 3 2+4?? 6. Wie rechnet ein Computeralgebrasystem mit 2 und mit? 7. Eine leichte Verallgemeinerung: Rechnen mit anderen algebraischen Zahlen 3

4 . Zahlenbereichserweiterungen Erweiterung motiviert z.b. durch die Aufgabe: Finde eine Zahl z so, dass N Z 3 + z = 2 Z Q 3 z = 2 Q Q[ n t] (n N 2, t Q) z n = t Q R z = lim n t n, t n Q R C z 2 = 4

5 Erweitere den Zahlbereich K (mit + und ) zum Zahlbereich L (um eine gegebene Aufgabe zu lösen) heißt L als Menge, die K enthält, angeben die Rechenoperationen + und auf K zu Rechenoperationen auf L erweitern den Rechenkomfort erhalten, d.h. alle Rechenregeln für + und in K sollen auch in L gelten (insbesondere: wenn K ein Körper ist, dann soll L auch ein Körper sein) die gegebene Aufgabe muss eine Lösung in L haben L soll möglichst klein sein 5

6 2. Erinnerung: Division mit Rest von Polynomen Satz: (Division mit Rest von Polynomen) Zu je zwei Polynomen f und g mit g 0 gibt es eindeutig bestimmte Polynome m und r mit den Eigenschaften f = m g+r und [r = 0 oder grad(r) < grad(g)]. m... polynomialer Quotient von f und g r... Rest von f nach Division durch g Divisionsalgorithmus (Berechnung von m und r): Setze m := 0 und r := f. Solange r 0 und grad(r) grad(g) ist, ersetze r durch r t g und m durch m+t, wobei t := lk(r) lk(g) x grad(r) grad(g) ist. 6

7 Beispiel: f := x 4 + 2x 3 2x 2 + x, g := x 2 2 Berechne m und r mit f = m g + r und (r = 0 oder grad(r) < grad(g))! x 4 +2x 3 2x 2 +x = (x 2 + 2x)g + (5x ) x 4 +2x 2 +2x 3 +x 2x 3 +4x +5x Also: m = x 2 + 2x r = 5x. 7

8 3. Konstruktion der Erweiterungen Q Q[ 2] und Q Q[ ] Q[x] := { n i=0 c i x i n N, c 0,..., c n Q } Polynomring (in x) über Q. Q L := {a + bx a, b Q} Q[x] mit der Addition von Polynomen (a + bx) + (c + dx) := (a + c) + (c + d)x und der (neuen) Multiplikation (a+bx) (c+dx) := Rest von (a+bx) (c+dx) nach Division durch x 2 2 bzw. x 2 + Das Produkt (a + bx) (c + dx) liegt nicht in L, wohl aber sein Rest nach Division durch x 2 2 bzw. x 2 +! 8

9 Noch zu zeigen: Alle Elemente 0 in L haben ein inverses Element. Dann kann leicht nachgeprüft werden: Für + und auf L sind alle Rechenregeln eines Körpers erfüllt. Was ist x x? x x ist der Rest von x 2 nach Division durch x 2 2 bzw. x 2 +, wegen x 2 =.(x 2 2) + 2 bzw. x 2 =.(x 2 + ) also 2 bzw.. Daher ist x L eine Wurzel aus 2 bzw., wir schreiben für x 2 bzw. i und für L Q[ 2] bzw. Q[i]. 9

10 Alle Elemente von L können eindeutig in der Form a + b 2 bzw. a + bi mit a, b Q angeschrieben werden! Aufgaben wie z.b. Vereinfache ( ) 2 2! können präziser formuliert werden, z.b.: Berechne rationale Zahlen a und b so, dass ist! ( ) 2 2 = a + b 2 0

11 4. Erinnerung: Der erweiterte Euklidische Algorithmus Satz: Es seien f, g Polynome, beide 0. Es gibt Polynome u, v so, dass u f + v g = ggt (f, g) ist. Diese können mit dem folgenden Verfahren (erweiterter Euklidischer Algorithmus) berechnet werden: Setze A := (A, A 2, A 3 ) := (f,, 0) und B := (B, B 2, B 3 ) := (g, 0, ). Solange B das Polynom A nicht teilt, berechne den polynomialen Quotienten m von A und B und setze C := B, B := A m C := (A m C, A 2 m C 2, A 3 m C 3 ) und A := C. Wenn B das Polynom A teilt, dann ist u := lk(b ) B 2 und v := lk(b ) B 3.

12 Beispiel: > f:=xˆ4+2*xˆ3-2*xˆ2+x-; f := x x 3 2 x 2 + x > g:=xˆ2-2; g := x 2 2 > gcdex(f,g,x,u,v); > u; v; x x3 49 x x > =u*f+v*g; = ( x 49 ) f + ( x3 49 x x) g 2

13 5. Division in Q[ 2] bzw. Q[i] Sei y := 2 bzw.. Das Polynom x 2 y ist in Q[x] irreduzibel, dh. es kann nicht als Produkt von zwei Polynomen kleineren Grades geschrieben werden. Daher ist ggt (x 2 y, a + bx) =, für alle a, b Q (mit a 0 oder b 0). Kann in L dividiert werden? Gibt es zu f := a + bx = a + b y ein Polynom g Q[x] mit g f =? Berechne mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus Polynome u, v Q[x] mit u (x 2 y) + v f =. Einsetzen von y L auf beiden Seiten ergibt 0 + v( y) f( y) =. Daher ist f = f( y) in L invertierbar und f = v( y). 3

14 Ist grad(v) >, ersetzt man v durch seinen Rest nach Division durch x 2 y, aus v = m (x 2 y)+r und (r = 0 oder grad(r) < 2) folgt v( y) = 0 + r( y). L ist also ein Körper und hat auch alle anderen gewünschten Eigenschaften. Ein Element /f von L wurzelfrei machen bedeutet: Rationale Zahlen a, b mit der Eigenschaft berechnen. (f =)/f = a + b y 4

15 6. Rechnen mit Wurzel aus 2 in Maple > irreduc(xˆ2-2); true > alias(alpha=rootof(zˆ2-2)); > alphaˆ2; α α 2 > evala(alphaˆ2); 2 > (-2*alpha+3*alphaˆ2)*(2+alphaˆ3)- 0*alpha-3; ( 2 α + 3 α 2 ) (2 + α 3 ) 0 α 3 > evala(%); 3 5

16 > /(3*alpha+4); > evala(%); 3 α α 2 > gcdex(xˆ2-2,3*x+4,x,u,v); > v; x 2 > subs(x=alpha,v); α 2 > evala((5*alpha+)ˆ(-3)); α 7649 > factor(xˆ2-2,alpha); (x + α) (x α) 6

17 Rechnen mit Wurzel aus - in Maple > restart; > irreduc(xˆ2+); true > alias(i=rootof(zˆ2+)); > /(4-3*i); i 4 3 i > evala(%); i 25 > factor(xˆ2+,i); (x + i) (x i) 7

18 7. Algebraische Zahlen Sei h ein irreduzibles Polynom in Q[x] mit und sei L := { n i=0 c i x i n < grad(h), c 0,..., c n Q } mit der Addition von Polynomen und der Multiplikation f g := Rest von f g nach Division durch h. L ist ein Körper: Sei 0 f L, dann ist ggt (f, h) =. Berechne Polynome u, v mit u h + v f = (erw. Euklidischer Algorithmus). Sei g L der Rest von v nach Division durch h. Dann ist g f =. 8

19 Das Polynom h hat in diesem Körper eine Nullstelle, und zwar x. Alle Elemente von L können in eindeutiger Weise als rationale Linearkombinationen von geschrieben werden., x,..., x grad(f) Beispiel: Sei h := x 3 2 und f := x 2 +x+2. Wir schreiben 3 2 für die Nullstelle x von h in L =: Q[ 3 2]. Dann ist f ( 2 x2 + ) = in L, also =

20 Rechnen mit einer 5-ten Wurzel aus 2 (einer Nullstelle von x 5 2) in Maple > restart; > g:=xˆ5-2; > irreduc(g); g := x 5 2 true > alias(beta=rootof(zˆ5-2)); > (2*betaˆ4-3*betaˆ3- -2*betaˆ2+beta-8)ˆ(-); β 2 β 4 3 β 3 2 β 2 + β 8 > evala(%); β β β β4 20

21 Rechnen in Maple mit einer Nullstelle von x x 7 2 x 5 0 x 4 + x 3 x 2 + > k:=xˆ8+3*xˆ7-2*xˆ5-0*xˆ4+xˆ3-xˆ2+; k := x x 7 2 x 5 0 x 4 + x 3 x 2 + > irreduc(k); > solve(k,x); true RootOf(%, index = ), RootOf(%, index = 2), RootOf(%, index = 3), RootOf(%, index = 4), RootOf(%, index = 5), RootOf(%, index = 6), RootOf(%, index = 7), RootOf(%, index = 8) % := Z Z 7 2 Z 5 0 Z 4 + Z 3 Z 2 + 2

22 > alias(gamma=rootof(k)); δ > (gammaˆ5+6*gammaˆ4-7*gammaˆ3+5)ˆ(-); > evala(%); γ γ 4 7 γ γ γ γ γ γ γ γ7 22