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1 ZHAW, DSV1, FS2010, Rumc, 1 Test = 28 Punkte Name: Vorname: 1: 2: : 4: 5: Punkte: Note: Aufgabe 1: AD-DA-System = 5 Punkte Das analoge Signal x a (t) = cos(2πf 0 t), f 0 =750 Hz, wird mit einem W-Bit AD-Wandler mit der Abtastfrequenz f s = khz digitalisiert und gleich wieder über einen W-Bit DA-Wandler mit integriertem ZOH rekonstruiert. 1 2 x a (t) ADC x[n] DAC (ZOH) y(t) f s f s a) Skizzieren Sie das Spektrum an den Punkten 1-, wenn W sehr gross ist. 1 X a (f) T s X(f) - 1 Y(f) - 1

2 ZHAW, DSV1, FS2010, Rumc, 2 b) Skizzieren Sie das Ausgangssignal y(t), wenn W gross ist. y(t) t T 0 =1/f 0 2T 0 c) Wie gross ist das SNR nach dem ADC, wenn W=10 Bit und der ADC einen Aussteuerbereich von ±10 hat? Aufgabe 2: DFT = 5 Punkte a) Betrachten Sie das folgende, abgetastete Signal x[n] mit N=10 Abtastwerten. Zeichnen Sie das zugehörige, normierte DFT-Spektrum X[m]/N im Diagramm unten ein und beschriften Sie die Achsen. X[m]/N 0

3 ZHAW, DSV1, FS2010, Rumc, b) Betrachten Sie das folgende DFT-Spektrum X[m] mit N=8 Spektralwerten. Zeichnen Sie das zugehörige Zeitsignal x[n] im Diagramm unten ein und beschriften Sie die Achsen. x[n] 0 t [ms] Aufgabe : LDIS = 5 Punkte Betrachten Sie die Filterkaskade H(z) mit den beiden Teilfiltern H 1 (z) = 0.5 (1-z -1 ) und H 2 (z) = 1+z -1 +z -2 +z -. Die Abtastfrequenz f s =8000 Hz. x[n] y H 1 (z) 1 [n] H 2 (z) y[n] H(z) a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion H(z) sowie die Filterkoeffizienten. Wenn Sie a) nicht lösen konnten, nehmen Sie im Folgenden einfach H(z) = 1-z -6 an. b) Bestimmen Sie die Differenzengleichung zur Berechnung von y[n] in Funktion von x[n]. c) Zeichnen Sie das Pol-Nullstellen-Diagramm von H(z). d) Skizzieren Sie das Betragsspektrum IH(f)I.

4 ZHAW, DSV1, FS2010, Rumc, 4 Aufgabe 4: Kurzfragen = 8 Punkte a) Ein DDS-IC habe ein 2 Bit grosses Phasenregister und werde mit einer Abtastfrequenz von f s =100 MHz betrieben. Die Wortbreite des DAC betrage W=14 Bit. - Bestimmen Sie das Tuningwort M, um ein Sinus-Signal der Frequenz f 0 = 12.5 MHz zu generieren. - Wie gross ist die Frequenzauflösung Δf? - Wie gross ist die maximale Frequenz f max, die Sie realistischerweise generieren können? b) Sie möchten mit dem Korrelationsfilter H(z) das Muster [ ] im Signal x[n] = [ ] finden. - Bestimmen Sie H(z). - Bestimmen Sie das Ausgangssignal y[n] des Korrelationsfilters H(z), wenn am Eingang das Signal x[n] anliegt. c) Betrachten Sie das folgende, abgetastete Signal x[n] mit N=16 Abtastwerten. Skizzieren Sie das zugehörige DFT-Spektrum X[m] = DFT(w[n] x[n]) im Diagramm unten ein, wenn w[n] ein Blackman-Fenster ist. Beschriften Sie die f-achse. Wozu dient das Fenster? IX[m]I db

5 ZHAW, DSV1, FS2010, Rumc, 5 Aufgabe 5: LDIS-Applikation = 5 Punkte Das Eingangssignal x[n] = [ ] wird mit der folgenden Filterbank in die beiden Ausgangssignale y 1 [n] und y 2 [n] gefiltert. H 1 (z) = z -1 y 1 [n] x[n] H 2 (z) = z -1 y 2 [n] a) Bestimmen Sie die Differenzengleichung zur Berechnung der Ausgangsfolge y 1 [n] und zeichnen Sie y 1 [n] im Diagramm unten ein. b) Bestimmen Sie die Filterstruktur (FIR/IIR) und die Filterart (TP, BP, HP, ) von H 1 (z). c) Bestimmen Sie die Differenzengleichung zur Berechnung der Ausgangsfolge y 2 [n] und zeichnen Sie y 2 [n] im Diagramm unten ein. d) Bestimmen Sie die Filterstruktur (FIR/IIR) und die Filterart (TP, BP, HP, ) von H 2 (z). e) Was macht diese Filterbank genau? Tipp: H 1 (z) + H 2 (z) = 1

6 ZHAW, DSV1, FS2010, Rumc, 6 Musterlösung Aufgabe 1 a) 1 X a (f) 1/2-1 2 T s X s (f) 1/2-1 1/2 Y(f) sin(x)/x-abschwächung durch ZOH - 1 b) Der DAC hält den diskreten Wert während eines Abtastintervalls fest. Das Ausgangssignal y(t) ist dann ein Treppenstufensignal und sieht wie folgt aus, wenn W gross ist (4 Abtastwerte pro Periode): y(t) 1 T 0 =1/f 0 t c) SNR = = db

7 ZHAW, DSV1, FS2010, Rumc, 7 Aufgabe 2 a) (1/2 Punkt) x[n] = 1 cos(2π f 0 nt s ) wobei f 0 = khz und f s = 10 khz (1 Punkt) DFT(x[n]) = DFT(x DC [n]) DFT(x [n]) wobei x DC [n] = [ ] und x [n] = cos(2π f 0 nt s ): (1 Punkt) f-achse: N=10 äquidistante Spektralwerte zwischen 0 und f s. X[m]/N-Achse: DC hat Amplitude 1 und cos-ton Amplitude -1/2. b) (1/2 Punkt) X[m] = X DC [m] + X 2 [m] (1/2 Punkt) X DC [m] = [ ] <=> x DC [n] = [ ] (1/2 Punkt) X 2 [m] = [ ] <=> x 2 [n] = cos(2π f 0 nt s ) wobei f 0 = 2 khz und f s = 8 khz X[m] <=> x DC [n] = [ ] siehe (1/2 Punkt) (1/2 Punkt) t-achse: N=10 äquidistante Abtastwerte zwischen 0 und 10 T s.

8 ZHAW, DSV1, FS2010, Rumc, 8 Aufgabe a) (1P) H(z) = H 1 (z) H 2 (z) = (1-z -4 ) / 2 b) (1P) y[n] = 0.5 x[n] 0.5 x[n-4] c) (1P) Pol-Nullstellen-Diagramm: d) (2P) Betragsspektrum linear und logarithmisch (nicht gefragt): Funktion (siehe loglog-plot, nicht gefragt): Ableitung der Frequenzen bis f s /10, in manchen Anwendungen möchte man die höheren Frequenzen nicht mehr ableiten bzw. verstärken, weil es sich z.b. nur noch um Rauschkomponenten handelt.

9 ZHAW, DSV1, FS2010, Rumc, 9 Aufgabe 4 a) (1P) Frequenzauflösung Δf = f s /2 2 (1P) M = f 0 / Δf = 2 2 (12.5 MHz / 100 MHz) = 2 29 (1P) f max 0.4 f s = 40 MHz b) (1P) H(z) = -1 + z -1 + z -2 + z -. (1P) y[n] = - x[n] + x[n-1] + x[n-2] + x[n-] = [ ] Das Muster kommt vor! c) (1/2 Punkte) x[n] = cos(2π f 0 nt s ) wobei f 0 = 1.75 khz und f s = 8 khz (1/2 Punkte) Frequenzauflösung der DFT = f s /N = 500 Hz (1/2 Punkte) DFT bestimmt Spektrum der periodisch fortgesetzten Zeitfenster-Folge. (1/2 Punkte) Es gibt Leakage, das mit dem Fenster beschränkt werden kann (1 Punkt) Betragsspektrum: mit Rechteck-Fenster (nicht gefragt):

10 ZHAW, DSV1, FS2010, Rumc, 10 Aufgabe 5 a) (1P) y 1 [n] = 0.5 x[n] x[n-1] siehe unten b) (1P) H 1 (z): FIR-Filter 1. Ordnung, TP (gleitender Mittelwert) c) (1P) y 2 [n] = 0.5 x[n] x[n-1] siehe unten d) (1P) H 2 (z): FIR-Filter 1. Ordnung, HP (Ableitung) e) (1P) Filterbank zerlegt Eingangssignal in langsam veränderlichen Anteil y 1 [n] und schnell veränderlichen Anteil y 2 [n]. Weil H 1 (z) + H 2 (z) = 1 gilt y 1 [n] + y 2 [n] = x[n], d.h. keine Signalkomponente von x[n] geht verloren.

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