Derivate und Bewertung

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1 . Dr. Daniel Sommer Marie-Curie-Str Frankfurt am Main Klausur Derivate und Bewertung Wintersemester 25/6

2 Klausur Derivate und Bewertung Wintersemester 25/6 Aufgabe : Statische Optionsstrategien Betrachten Sie eine Aktie S. Diese Aktie zahle während der Laufzeit der in dieser Aufgabe betrachteten Optionen keine Dividende. a) Was sagt die Put-Call-Parität für Europäische Optionen auf Aktien aus, die während der Optionslaufzeit keine Dividende zahlen? Geben Sie zur Beantwortung dieser Frage die entsprechende Gleichung an und erläutern Sie die von Ihnen gewählte Notation. b) Leiten Sie die Aussage unter a) mittels eines No-Arbitrage-Arguments her. c) Was versteht man unter einem Box-Spread bestehend aus Europäischen Optionen auf Aktien, die während der Optionslaufzeit keine Dividenden zahlen? Geben Sie das Portfolio an und erläutern Sie die von Ihnen gewählte Notation. d) Zeichnen Sie das Pay-Off-Profil der Einzelkomponenten und des kompletten Box-Spreads unter c) zum Zeitpunkt der Fälligkeit der Optionen (D.h. Anfangsinvestitionen bleiben bei der Darstellung unberücksichtigt.). e) Leiten Sie aus einem No-Arbitrage-Argument den Preis des Box-Spreads unter c) her. f) Betrachten Sie folgende Preise von Europäischen Optionen auf die Aktie S. Die Laufzeit aller Optionen ist gleich. Nehmen Sie an, Sie können zum aktuellen Zeitpunkt t diese Optionen zu den aufgeführten Preisen in beliebigen Stückzahlen kaufen und verkaufen. Strike = 5 Strike = 7 Call 9,9996,594 Put,3785,7246 Benutzen Sie die Put-Call-Parität und den Box-Spread und bestimmen Sie den Kurs der Aktie S zum aktuellen Zeitpunkt t. 2

3 Aufgabe 2: Exotische Optionen, Sensitivitäten und dynamische Modelle Betrachten Sie den dividendengeschützten Aktienindex I. Eine Bank emittiert eine Anleihe, deren Verzinsung von der Performance dieses Index abhängt. Die Ausstattungsmerkmale der Anleihe sind wie folgt: Nominal: Laufzeit: 2 Jahre Rückzahlung: pro Nominal Coupon: Jahr : % vom Nominal; Jahr 2: % vom Nominal, falls der Index nach Ablauf von 2 Jahren unter 4 notiert % vom Nominal, falls der Index nach Ablauf von 2 Jahren bei oder über 4 notiert a) Zeichnen Sie den Graphen der Höhe der Couponzahlung in je Nominal nach Ablauf von 2 Jahren in Abhängigkeit vom Indexstand. b) Durch welche exotische Option lässt sich die Couponzahlung am Ende des zweiten Jahres darstellen? Geben Sie die Formel für den Payoff der Option an. Nehmen Sie dabei an, dass je Nominal der Anleihe mit jeweils einer Option verbunden sind. c) Zum Zeitpunkt der Emission der Anleihe können die in der Tabelle am Ende der Teilaufgabe dargestellten Standardoptionen auf den Index mit einer Laufzeit von 2 Jahren zu den in der Tabelle angegebenen Werten in beliebiger Menge gekauft und verkauft werden. Wählen Sie aus diesen Optionen ein Portfolio aus Standardoptionen aus, dessen Payoff folgende Bedingungen erfüllt: i. Der Payoff ist immer mindestens so groß ist wie die Couponzahlung. ii. Bei einem Indexstand von 3 und niedriger beträgt der Payoff Null. iii. Bei einem Indexstand von 4 und mehr entspricht der Payoff exakt der Couponzahlung. Zeichnen Sie den Graphen des Payoffs, der sich aus diesem Portfolio von Standardoptionen zum Zeitpunkt der Fälligkeit (d.h. ohne Berücksichtigung von Anfangsinvestitionen) ergibt. Strike = 2 Strike = 3 Strike = 4 Strike = 5 Strike = 6 Call 3,98 2,56 3,4 6,79 3,3 Put,,9,9 4,35,2 d) Bestimmen Sie unter Nutzung des in c) ermittelten Portfolios und der dort angegebenen Optionspreise einen approximativen Wert für den Coupon dieser Anleihe zum Emissionszeitpunkt. e) Betrachten Sie die folgenden Grafiken -4 von Sensitivitäten von Portfolien aus Standardoptionen. Die Grafiken zeigen jeweils das, und des jeweiligen Portfolios. Welche der Grafiken passt in einer arbitragefreien Welt am besten zu dem unter c) zu ermittelnden Portfolio? Begründen Sie KURZ Ihre Antwort, indem Sie z.b. bei den nicht in Frage kommenden Grafiken auf einen Punkt hinweisen, der in einer arbitragefreien Welt nicht zu dem unter c) zu ermittelnden Portfolio paßt. 3

4 Portfolio- Portfolio-Gam ma,5,4,8,4,3,2,,3,2, -, ,6,4,2 -, ,2 -, ,3 -,6 Portfolio- Portfolio , -,2 -,3 -,4 -,5,3,2, -, ,2 -,3 -,4,6,4,2 -, ,4 -,6 -,8 Portfolio- Portfolio-Gam ma,5,3 3,4,3,2, -, ,2, -, ,2 -,3 -, ,4 -,6 -,8 - -,2 -,4 Portfolio- Portfolio-,3,3 4,2, ,,2, -, ,2,8,6,4,2 -, ,2 -,3 -,4 f) Die emittierende Bank hat zur exakten Berechnung des Wertes des Coupons einen Binomialbaum für den Indexwert aufgestellt und in diesem Binomialbaum den Coupon durch Rückwärtsinduktion (Erwartungswertbildung und Diskontierung) berechnet. Die folgende Grafik zeigt die Situation vor dem letzten Rückwärtsinduktionsschritt von t nach t. Die in der Grafik angegebenen Preise der AD-Securities PV(t,;t,) und PV(t,; t,), die in t in Zustand bzw. genau einen auszahlen, wurden mit Hilfe von duplizierenden Portfolien in Index und Nullcouponanleihe ermittelt. Beurteilen Sie anhand dieser Preise, ob das in der Grafik gezeigte Modell arbitragefrei ist. I ( t, ) = ( t,t ) B = PVCoupon 55, ( t, ) = 2,749 I ( t, ) = 5 ( t,t ) =, ( t, ;t, ) =,53688 ( t, ;t, ) =,49676 B PV PV I ( t, ) = ( t,t ) B = PVCoupon 45,24879 ( t, ) = 4,

5 g) Geben Sie die Gleichungssysteme an, die die duplizierenden Portfolien in Index und Nullcouponanleihe für die beiden AD-Securities jeweils erfüllen müssen. (Das Nachrechnen der angegebenen Preise der AD-Securities ist ausdrücklich NICHT verlangt.) h) Bestimmen Sie mit Hilfe der Preise der AD-Securities den Preis des Coupons zum Zeitpunkt t, bezeichnet mit PVCoupon(t,). Ist dieser Preis größer, kleiner oder gleich dem in d) ermittelten Preis? Ist dieses Ergebnis intuitiv sinnvoll? Begründen sie KURZ Ihre Antwort. 5

6 Aufgabe 3: Zinsen Gegeben seien die folgenden Preise von Nullkuponanleihen ( t,t ) = ; B( t,t ) =, ; B( t, t ), B, = für die Laufzeiten von einem, zwei und drei Jahren. Außerdem sei gegeben der Swapsatz für einen Zinsswap mit einer Laufzeit von 4 Jahren sw ( t,t ) 4,29286%. 4 = a) Erläutern Sie, was ein Zinsswap ist. Gehen Sie dabei besonders auf die wesentlichen Parameter ein, die bei Abschluß eines Swaps vereinbart werden müssen, um die Höhe der Zahlungen aus dem Swap eindeutig zu bestimmen (Angaben zum Settlement der Zahlungen wie z.b. Kontoangaben brauchen nicht erwähnt zu werden). Was versteht man unter den Begriffen Payer- und Receiver-Swap? b) Welche Beziehung besteht zwischen dem Swapsatz und den Preisen von Nullkuponanleihen? Drücken Sie in einer allgemeinen Formel unter Benutzung der obigen Notation den 4-Jahres- Swapsatz durch die Preise von Nullkuponanleihen aus. c) Ermitteln Sie den Preis der Nullkuponanleihe B(t,t 4 ). d) Ein Marktteilnehmer möchte heute (Zeitpunkt t ) mit Ihnen ein FRA abschließen, das nach 3,5 Jahren beginnt und in 4 Jahren fällig wird. Ermitteln Sie den Preis der Nullkuponanleihe mit Fälligkeit zum Zeitpunkt 3,5 Jahre durch lineare Interpolation der Continuously Compounded Nullkuponrenditen der Nullkuponanleihen mit Fälligkeit 3 Jahre und 4 Jahre. Bestimmen Sie sodann den heutigen Terminpreis für den Kauf in 3,5 Jahren einer Nullkuponanleihe mit einer Laufzeit von,5 Jahren. e) Betrachten Sie nun einen in der Vergangenheit abgeschlossenen Swap mit einer Restlaufzeit von 3 Jahren, dessen Zahlungen exakt zu den gleichen Terminen erfolgen wie die eines heute, d.h. in t abgeschlossenen Swaps mit einer Laufzeit von 3 Jahren. Der Swapsatz dieses in der Vergangenheit abgeschlossenen Swaps betrage 3%. Bewerten Sie diesen Swap auf Basis der heute, d.h. im Zeitpunkt t, geltenden Preise von Nullkuponanleihen. Geben Sie den Lösungsweg an. 6