Weitere NP-vollständige Probleme

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1 Wetere NP-vollständge Probleme Prosemnar Theoretsche Informatk Marten Tlgner December 10, 2014 Wr haben letzte Woche gesehen, dass 3SAT NP-vollständg st. Heute werden wr für enge wetere Probleme n NP zegen, dass se NP-vollständg snd, ndem wr 3SAT n polynomeller Zet darauf reduzeren. Gegeben st jedes mal ene 3-KNF-Formel w = c 1... c k mt Varablen x 1,..., x l. Daraus werden wr ene Instanz f(w) des neuen NP-Problems konstrueren und zegen, dass f(w) genau dann wahr st, wenn w erfüllbar st. Schleÿlch müssen wr uns noch klar machen, dass de Konstrukton n Polynomalzet läuft. VERTEX-COVER (Knotenüberdeckung) Se G = (V, E) en ungerchteter Graph. Ene Knotenmenge V V heÿt Knotenüberdeckung, wenn jede Kante enen Knoten aus V berührt, also wenn für alle {u, v} E glt: u V oder v V. Damt deneren wr de Sprache V ERT EX COV ER = {(G, t) G hat ene Knotenüberdeckung der Gröÿe t}. V ERT EX COV ER st n NP, denn als Zertkat können wr enfach ene Knotenüberdeckung der Gröÿe t nehmen. Um zu bewesen, dass es auch NP-vollständg st, zegen wr 3SAT P V ERT EX COV ER, wr suchen also f(w) = (G, t), so dass w 3SAT f(w) V ERT EX COV ER. Konstrukton von G Für jede Varable x j fügen wr zwe Knoten hnzu und verbnden se durch ene Kante. De beden Knoten heÿen x j und x j. Für jede Klausel c fügen wr dre Knoten hnzu und verbnden se zu enem Dreeck. Jeder der dre Knoten entsprcht enem Lteral n der Klausel. Schleÿlch wrd jeder Klausel-Knoten mt dem entsprechenden Varablen-Knoten verbunden. Wahl von t Wr wählen t = 2k + l (En Knoten pro Varable, zwe Knoten pro Klausel). Wr müssen zwe Rchtungen zegen. Zuerst nehmen wr an, dass w erfüllbar st. Für jede Varable x j nehmen wr enen Knoten, nämlch x j, falls x j = 1 oder x j, falls x j = 0. Damt snd alle Kanten zwschen den Varablen-Knoten überdeckt. Für jede Klausel suchen wr enen Knoten aus, der enem wahren Lteral entsprcht und nehmen de anderen beden n unsere Knotenüberdeckung. Das snd nsgesamt t Knoten, de alle Kanten überdecken: Mt zwe Knoten st jedes Klausel-Dreeck und zwe sener Verbndungen überdeckt. De letzte Verbndung st auch überdeckt, denn se geht zu enem wahren Lteral, das wr schon m ersten Schrtt aufgenommen haben. Nun nehmen wr an, dass G ene Knotenüberdeckung V der Gröÿe t hat. Um de Kanten zwschen den Varablen-Knoten zu überdecken, muss mndestens en Knoten aus jedem Varablen-Knoten-Paar n V sen. Aus jedem Klausel-Dreeck müssen mndestens zwe Knoten n V sen. Da V = 2k + l haben wr also genau enen Knoten n jedem Varablen-Paar und genau zwe n jedem Klausel-Dreeck. Wr belegen jedes Lteral, das wr n V aufgenommen haben, mt 1. De Belegung st erfüllend, wel der fehlende Knoten n jedem Klausel-Dreeck mt enem wahren Lteral verbunden sen muss, um alle Kanten zu überdecken: Jede Klausel enthält en wahres Lteral. 1

2 De Redukton läuft n Polynomalzet Für jede Varable gbt es ene Kante, für jede Klausel gbt es 6 Kanten, nsgesamt müssen also 6k + l = O(n) Kanten geschreben werden. Für (x 2 x 1 x 2 ) (x 1 x 1 x 2 ) HAMPATH (Hamlton-Pfad) Wr haben schon gesehen, dass HAMP AT H = {(G, s, t) G st en gerchteter Graph mt Hamlton-Pfad von s nach t} n NP st. Nun zegen wr 3SAT P HAMP AT H und damt, dass es auch NP-vollständg st. Konstrukton von G Der Graph G enthält Damantförmge Untergraphen. En Damant besteht aus enem oberen Knoten, zwe mttleren Knoten und enem unteren Knoten, so dass der obere Knoten ene ausgehende Kante zu jedem mttleren Knoten hat und der untere Knoten ene engehende Kante von jedem mttleren Knoten. Auÿerdem enthält G Ketten von Knoten - das soll heÿen das jeder Knoten zum nächsten Kettengled ene engehende und ene ausgehende Kante hat. Für jede Varable x j fügen wr enen Damanten hnzu, aber so, dass der untere Knoten von x j der obere Knoten von x j+1 st. Zwschen den mttleren Knoten jedes Damanten fügen wr ene Kette der Länge 3k + 1 hnzu. Dabe sollen mmer zwe Knoten für ene Klausel stehen, und zwschen den Klausel-Paaren (sowe am Anfang und am Ende der Kette) st je en Trennungsknoten. Auÿerdem bekommt jede Klausel enen Knoten c. Deser wrd mt den Ketten verbunden: Wenn n der Klausel c das Lteral x j vorkommt, bekommt der Knoten c ene engehende Kante vom ersten Knoten des -ten Klausel-Paares m j-ten Damanten und ene ausgehende Kante zum zweten Knoten deses Paares. Wenn stattdessen x j vorkommt, werden de Rchtungen der Kanten umgedreht. Wahl von s und t Der obere Knoten des ersten Damanten st s, der untere Knoten des l-ten Damanten st t. Wr gehen zuerst davon aus, dass es ene erfüllende Belegung gbt und suchen enen Hamlton-Pfad. Wr vernachlässgen de Klausel-Knoten aus dem drtten Schrtt und gehen durch de Damanten: Wenn n unserer Belegung de Varable x 1 = 1 st, gehen wr m ersten Damanten von s nach lnks, dann von lnks nach rechts durch de Kette und schleÿlch vom lnken Knoten nach unten (m Zck-Zack). Wenn x 1 = 0 st, gehen wr genau andersherum 2

3 (lnks und rechts vertauscht). Nun snd wr m oberen Knoten des zweten Damanten und machen das gleche, bs wr be t angekommen snd. De fehlenden Klausel-Knoten errechen wr, ndem wr en wahres Lteral aus jeder Klausel auswählen und an der entsprechenden Stelle n der Klausel-Kette enen Umweg machen. Das funktonert, wel de Rchtungen der Verbndungen passend zum Zck-Zack-Kurs gewählt wurden. Für de andere Rchtung nehmen wr an, dass es enen Hamlton-Pfad n G gbt. Wenn der Pfad de Form we oben hat (Zck-Zack mt Umwegen), können wr ene erfüllende Belegung enfach ablesen: De Varable x j wrd auf 1 gesetzt, wenn es m j-ten Damanten zuerst nach lnks geht, und se wrd auf 0 gesetzt, wenn es zuerst nach rechts geht. Dass der Pfad genau dese Form hat, wrd von den Trennungsknoten n den Ketten garantert. De Redukton läuft n Polynomalzet Für jede Varable brauchen wr ungefähr so vele Kanten, we es Klauseln gbt, also k Kanten. Für jede Klausel st de Anzahl der Kanten zwschen 2 und 6. Insgesamt müssen also O(n 2 ) Kanten geschreben werden. Für (x 1 x 1 x 2 ) (x 1 x 1 x 2 ) UNHAMPATH (Hamlton-Pfad auf ungerchteten Graphen) UNHAMP AT H st n NP mt dem Hamlton-Pfad als Zertkat. Um zu bewesen, dass es auch NP-vollständg st, zegen wr HAMP AT H P UNHAMP AT H. Se G = (V, E) en gerchteter Graph. Wr konstrueren enen ungerchteten Graphen G = (V, E ), ndem wr für jeden Knoten u V \ {s, t} dre Knoten n V enfügen: u n, u md und{ u out. Für s und t kommen nur de Knoten s out und t n dazu. Auÿerdem bekommt G für jedes u de Kanten u n, u md} { und u md, u out}. Schleÿlch fügen wr für jede Kante (u, v) E de Kante { u out, v n} n E hnzu. Wenn es enen Hamlton-Pfad P = (s, u 1,..., u n, t) n G gbt, st oenschtlch P = (s out, u n 1, umd 1, u out 1, un 2,..., uout n, t en Hamlton-Pfad n G. Umgekehrt muss en Hamlton-Pfad von s out nach t n n G aus solchen (u n, umd, u out )- Trpeln bestehen, denn von s out geht es nur zu enem u n -Knoten. Der nächste Knoten muss umd sen, denn wenn 3

4 wr u md von der anderen Sete besuchen, snd wr n ener Sackgasse. Von u md weter. Desem Pfad aus Trpeln entsprcht en Hamlton-Pfad n G. De Redukton läuft n Polynomalzet. SUBSET-SUM (Telsummenproblem) geht es nur nach u out und so Wr wssen schon, dass SUBSET SUM = {(S, t) T S : x T x = t}n NP st. Wr zegen, dass es NPvollständg st, ndem wr 3SAT P SUBSET SUM bewesen. Konstrukton von S Wr beschreben de Zahlen von S anhand hrer Dezmaldarstellung und gehen davon aus, dass jede Zahl l + k Stellen hat und auch mt Nullen anfangen kann. Mestens betrachten wr de ersten l Stellen und de restlchen k Stellen getrennt. Für jede Varable x j snd zwe Zahlen y j und z j n S. In den ersten l Stellen steht an der j-ten Stelle ene Ens. In den verblebenden k Stellen steht an der -ten Stelle von y j ene Ens, wenn n der Klausel c das Lteral x j vorkommt und an der -ten Stelle von z j steht ene Ens, wenn n der Klausel c das Lteral x j vorkommt. Sonst enthalten y j und z j nur Nullen. Für jede Klausel bekommt S zwe Zahlen g und h. Dabe st g = h. De ersten l Stellen enthalten nur Nullen. In den übrgen k Stellen st de -te Stelle ene Ens, der Rest snd Nullen. Wahl von t Als t nehmen wr de l + k-stellge Zahl, de aus l Ensen gefolgt von k Dreen besteht. Wr nehmen zuerst an, dass es ene erfüllende Belegung gbt und suchen Zahlen T S, de sch zu t summeren. Für jede Varable x j nehmen wr y j n T auf, wenn n unserer Belegung x j = 1 st. Wenn x j = 0 st, nehmen wr stattdessen z j. Damt haben wr ene l + k-stellge Zahl, de an der ersten l Stellen Ensen hat. An den folgenden k Stellen stehen Werte zwschen 1 und 3, denn jede Klausel enthält mndestens en wahres Lteral und höchstens dre. Wenn von den k Stellen de -te Stelle enen kleneren Wert als 3 hat, nehmen wr g oder h oder bede dazu. So kommen wr auf t. Jetzt nehmen wr an, dass es ene Telmenge T S gbt mt x T x = t. Da de ersten l Stellen 1 snd, wssen wr, dass für jedes j {1,..., l} en y j oder en z j n T sen muss, aber ncht bedes. Wr setzen x j = 1, wenn y j T und x j = 0, wenn z j T. Dese Belegung st erfüllend, denn de letzten k Stellen haben alle den Wert 3. Durch de g und h kann jede Stelle höchstens auf 2 gebracht werden, also muss mndestens ene Ens von enem x j oder y j kommen, das heÿt jede Klausel enthält en wahres Lteral. De Redukton läuft n Polynomalzet De Tabelle hat ungefähr (k +l) 2 enfach zu berechnende Enträge, wr brauchen also O(n 2 ) enfache (polynomelle) Schrtte. Für (x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) 4

5 x 1 x 2 x 3 c 1 c 2 y z y z y z g h g 2 1 h 2 1 t

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