Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme
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- Linus Kopp
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1 Vorlesung Höhere Mathematik: Numerik (für Ingenieure) Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme Jun.-Prof. Dr. Stephan Trenn AG Technomathematik, TU Kaiserslautern Sommersemester 205
2 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie /39 Aufgabenstellung Gegeben A R n n mit det(a) 0, b R n Gesucht x R n mit Ax = b Lösung in Matlab: x = A\b
3 2. Zeilenäquilibrierung
4 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 2/39 Verbesserung der Kondition Beispiel: A = [ ] 0, hat schlechte Kondition: κ(a) = A A = 0 6 ABER: Einfache Zeilenskalierung ergibt [ ] 0 A = und κ(a) = 0 Allgemein gilt: Ax = b det D 0 DAx = Db Idee der Zeilenäquilibrierung Finde: D R n n so dass κ(da) < κ(a) Beachte: κ(da) κ(d) κ(a) }{{}
5 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 3/39 Zeilenäquilibrierung d 0 Hier D = d dn Definition (Zeilenäquilibrierung) Diagonalmatrix D heißt Zeilenäquilibrierung n : d i a ij = i =,... n ( DA = ) j= / n d i = a ij i =,...,n j= Es gilt: κ(da) κ(a) (bezüglich ) und DA hat kleinste Kondition unter allen möglichen Zeilenskalierungen
6 2.2 Gauß-Eliminationen und LR-Zerlegung
7 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 4/39 Zeilensubtraktion Fakt: Umkehrbare Zeilenoperation ändert Ergebnis nicht, formal: Ax = b ZA x = Zb Ziel Finde Zeilenoperation Z so dass Z A besonders einfache Struktur hat Definition Eine Matrix der Form heißt obere Dreiecksmatrix Z A obere Dreiecksmatrix Lösung sehr einfach (Rückwärtseinsetzen) Beispiel Tafel
8 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 5/39 Gauß-Elimination (ohne Pivotisierung): Beispiel
9 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 5/39 Gauß-Elimination (ohne Pivotisierung): Beispiel
10 Gauß-Elimination (ohne Pivotisierung): Algorithmus Algorithmus Gegeben A = [a ij ] i,j=,...,n R n n, b = (b i ) i=,...,n Für Spalten j =,...,n wiederhole 2 Falls a jj 0 dann wiederhole für Zeilen i = j +,...,n 3 Berechne Faktor l ij = a ij a jj 4 Ziehe Vielfaches der j-ten Zeile von Zeile i ab, d.h. 5 Setze a ij 0 6 Für k = j +,...,n setze a ik a ik l ij a jk 7 Setze b i b i l ij b j 8 Sonst ABBRUCH j n j + A = [a ij ] i k n HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 6/39 b Rechenaufwand Tafel
11 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 7/39 Elementare Zeilenoperation γ-faches der Zeile j von Zeile i abziehen:... 0 L γ 0. ij = γ i-te Zeile j-te Spalte
12 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 8/39 Analyse Gauß-Elimination: 3 3 Fall A b L l2 2 0 L l L l4 4 A b A = L l4 4 Ll3 }{{} A, b = L l4 4 Ll3 b }{{} L L A b L l L l42 42 A 2 b L l43 43 A 3 b A 2 = L l42 42 Ll32 }{{} A, b 2 = L l42 42 Ll32 }{{} b L 2 L 2 A 3 = L l43 43 A 2, b 3 = L l b }{{}}{{} L 3 L 3
13 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 9/39 Analyse Gauß-Elimination: Allgemeiner Fall Beobachtung R := 0 = A n = L n L n 2... L A bzw. A = (L n L n 2... L ) R }{{} L Struktur von L Tafel
14 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 0/39 Gauß-Elimination ist LR-Zerlegung Folgerung Falls der Gauß-Eliminationsalgorithmus nicht vorzeitig abbricht, dann findet er eine ein LR-Zerlegung von A, d.h. A = L R wobei L = 0 R = 0. Bemerkung (Speichereffizienz) Im Algorithmus kann Zeile 5 wie folgt abgeändert werden: a ij l ij (statt a ij 0) L und R können direkt im Speicher von A abgelegt werden
15 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie /39 Eindeutigkeit der LR-Zerlegung und Symmetrie Bemerkung Die LR-Zerlegung A = 0 0 ist eindeutig. Folgerung (Symmetrischer Fall) Falls A = A (d.h. A symmetrisch) dann ist wobei D = d A = L D L... und L = 0. d n
16 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 2/39 Probleme der Gauß-Elimination Vorzeitiger Abbruch A = [ ] 0 Noch schlimmer: Nummerisch instabil! Beispiel Tafel
17 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 3/39 Gauß-Elimination mit Pivotisierung Definition (Gauß-Elimination mit Pivotisierung) Im j-ten Schritt der Gauß-Elimination tausche zunächst diejenige Zeile an die j-te Stelle, welche den betragsmäßig größten ersten Eintrag hat a jj a i j. 0 0 a nj wobei a i j = max i=j,...,n a ij
18 Zeilentausch und Permutationsmatrix Zeilentausch entspricht Multiplikation (von links) mit einfacher Permutationsmatrix P ij = i j HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 4/39
19 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 5/39 Existenz LR-Zerlegung mit Pivotisierung Satz Sei A R n n invertierbar. Dann liefert Gauß-Elimination mit Pivotisierung immer Zerlegung PA = 0 0 wobei P ein Produkt von einfachen Permutationsmatrizen ist. Außerdem sind alle Einträge von L betragsmäßig und insgesamt ergibt sich ein stabiler Algorithmus. Zusätzlicher Rechenaufwand: (n ) + (n 2) Vergleiche = (n )(n 2) 2 n n3
20 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 6/39 Anwendung der LR-Zerlegung P A = L R. Lösen von Ax = b (insbesondere für viele rechte Seiten b) A x = b PA x = Pb L R x }{{} L y = Pb und R x = y y = Pb Lösung durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen (Aufwand n 2 ) 2. Bestimmung der Inversen A Löse für i =, 2,..., n: 0. Ly i = Pe i und Rx i = y i, wobei e i 0 := i-te Zeile A 0. = [x, x 2,..., x n ], denn dann 0 A A = [A x,..., A x n ] = [e,..., e n ] = I
21 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 7/39 LR-Zerlegung zur Berechnung der Determinante Gegeben: A R n n Gesucht: det(a) Laplace scher Entwicklungsatz Laplac scher Entwicklungssatz braucht n! = n (n ) 2 Multiplikationen n = 20 > JAHRE auf gängigem Computer Es gilt aber: Also det(p) det(a) = det(pa) = det(lr) = det(l) det(r) }{{}}{{} =± = det(a) = ± n i= Rechenaufwand: n 3 n! (0,ms für n = 20) r ii
22 2.3 Cholesky-Zerlegung
23 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 8/39 Cholesky Zerlegung Satz und Definition Falls A symmetrisch positiv definit (s.p.d.), dann wobei D = d A = L D L... d n mit d i > 0 i und L = 0. Eine solche Zerlegung nennt man Cholesky-Zerlegung. Symmetrie ausnutzen Cholesky-Zerlegung ist spezielle LR-Zerlegung, aber geht es schneller?
24 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 9/39 Beispiel: Cholesky Zerlegung Mit A = =! LDL d L = l l 3 l 32 0 D = 0 d d 3 0 l 4 l 42 l d 4 gilt LDL = d d l 2 d l 3 d l 4 d l 2 d l d 2 d l 2 l 3 + d 2 l 32 d l 2 l 4 + d 2 l 42 d l 3 d l 2 l 3 + d 2 l 32 d l d 2 l d 3 d l 3 l 4 + d 2 l 32 l 42 + d 3 l 43 d l 4 d l 2 l 4 + d 2 l 42 d l 3 l 4 + d 2 l 32 l 42 + d 3 l 43 d l d 2 l d 3 l d 4
25 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 20/39 Beispiel: Herleitung Cholesky-Zerlegung d d l 2 d l 3 d l 4 d l 2 d l d 2 d l 2 l 3 + d 2 l 32 d l 2 l 4 + d 2 l 42 d l 3 d l 2 l 3 + d 2 l 32 d l d 2 l d 3 d l 3 l 4 + d 2 l 32 l 42 + d 3 l 43 d l 4 d l 2 l 4 + d 2 l 42 d l 3 l 4 + d 2 l 32 l 42 + d 3 l 43 d l d 2 l d 3 l d ! = A = Lösung d = 2 l 2 = d 2 = l 3 = 2 l 32 = d 3 = 3 l 4 = l 42 = 2 l 43 = d 4 =
26 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 2/39 Algorithmus: Cholesky-Zerlegung Algorithmus Gegeben: A = [a ij ] R n n s.p.d. Für Spalten j =,...,n wiederhole 2 d j = a jj j k= d kl 2 jk 3 Für Zeilen i = j +,...,n wiederhole ( 4 l ij = d j a ij ) j k= d kl ik l jk j Rechenaufwand Tafel i
27 Stabilität der Cholesky-Zerlegung Satz Für s.p.d. Matrizen ist die Cholesky-Zerlegung stabil. Erinnerung Stabilität nützt nichts bei schlechter Kondition! Beispiel (Hilbertmatrix): /2 /3 /n /2 /3 /4 /n+ A = /3 /4 /5 /n /n /n+ /n+2 /2n ist s.p.d. und Ax = b = ( /n, /n+,..., /2n ) hat Lösung x = (0,..., 0, ) Für n = 2 Matlab κ(a) 0 6 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 22/39
28 2.4 QR-Zerlegung: Einführung
29 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 23/39 Idee der QR-Zerlegung Ziel mit Q orthogonal und R = [ 0 A = Q R ] Vergleich mit LR-Zerlegung Pro: QR Zerlegung ist i.a. stabiler als LR-Zerlegung Contra: Rechenaufwand für QR-Zerlegung ist etwas höher
30 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 24/39 Erinnerung: Orthogonale Matrizen Definition Q R n n heißt orthogonal : Q Q = I Q = [q,q 2,...,q n ] mit q i q j = i j : q i q j und q i 2 = {, i = j, 0, i j, Satz (Eigenschaften orthogonaler Matrizen) Sei Q R n n orthogonal, dann gilt: Q = Q ist selbst orthogonal Qx 2 = x 2 x R n, insbesondere Q 2 = κ(q) = bezüglich 2 und κ(qa) = κ(a) = κ(aq) A R n n Q Q ist orthogonal Q orthogonal
31 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 25/39 Anwendung QR-Zerlegung auf Ax = b Sei A = Q R [ ] mit Q orthogonal und R = Lösung linearer Gleichungssysteme Ax = b Rx = Q b Bemerkung κ(r) = κ(a)
32 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 26/39 Wichtige orthogonale Matrizen Permutationen (Produkt von einfachen Permutationen wie in Abschnitt 2.2) Drehungen im R 2 Q ϕ x ϕ x [ ] cos ϕ sin ϕ Q ϕ = sin ϕ cos ϕ
33 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 27/39 Allgemeine Drehung im R n Drehungen im R n Q ϕ =... cos ϕ sin ϕ... sin ϕ cos ϕ...
34 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 28/39 Spiegelungen an Hyperebene Spiegelungen Q v x H v x Q v = I 2 v v v v wobei v ein Normalenvektor der Spiegel-Hyperebene ist
35 2.5 QR-Zerlegung: Givens-Rotationen
36 Givens-Rotation: Idee Idee Gegeben: a,b R 2 Gesucht: Rotation Q ϕ = [ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ] im R 2 mit Q ϕ ( a b ) = ( r 0) Dann gilt... cos ϕ sin ϕ... sin ϕ cos ϕ a b.... =.... r HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 29/39
37 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 30/39 Bestimmung von Q ϕ Aufgabe Finde Q ϕ = [ ] cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ mit Q ϕ ( b a ) = ( 0 r ). Fakt c, s R : [ ] [ ] c s cos ϕ sin ϕ = s c sin ϕ cos ϕ c 2 + s 2 = Herleitung Q ϕ Q ϕ orthogonal ± r = r ( = 0) 2 ( a Q ϕ b) 2 = a ( b) 2 = a 2 + b 2
38 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 3/39 Berechnung von Q ϕ Berechnungvorschrift für c und s ( ) a Gegeben R b 2 \ {0}. r = ± a 2 + b 2 c = a r s = b r Probe: c 2 + s 2 = a2 r 2 + b2 r 2 = a2 + b 2 a 2 + b 2 = [ ( ) ( a 2 ) ( c s a /r + = s c] b2 /r r 2 = b ba/r + ab /r 0 /r ) ( r = 0)
39 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 32/39 Bemerkungen zur Givens-Rotation r = ± a 2 + b 2, c = a r, s = b r Bemerkungen Drehwinkel ϕ wird nicht benötigt. Mit der Konvention sgn r = sgn a kann G ϕ mit Hilfe eines Wertes abgespeichert werden: [ ] s 2 s G ϕ = s s 2 Problem der Auslöschung für s kann umgangen werden
40 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 33/39 Beispiel: Givens-Rotation 0,3994 0, , , , ,32442,28870, A =,46037,745647,25662, , , , ,340836
41 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 33/39 Beispiel: Givens-Rotation 3, , , , , , , G 43 G 42 G 32 G 4 G 3 G 2 A = 0 0,804753, , A = QR mit Q = (G 43 G 42 G 32 G 4 G 3 G 2 ) = G2 G 3 G 4 G 32 G 42 G 43 = 0,3464 0, , , ,6029 0, , ,5665 0, ,3984 0, , , , , ,34226
42 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 34/39 Givens-Rotation allgemein Durch geeignete G ik werden nacheinander Nullen erzeugt bis [ ] G in k N G in k N... G ik A = wobei für i > k G ik =... c ik s ik... s ik c ik Rechenaufwand etwa viermal so hoch wie LR-Zerlegung dünne Besetzung kann ausgenutzt werden
43 2.6 QR-Zerlegung: Householder-Reflexion
44 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 35/39 Erinnerung: Hyperebene und Normalenvektor Definition (Hyperebene und Normalenvektor) H R n heißt Hyperebene : H ist (n )-dimensionaler linearer Unterraum von R n v R n \ {0} heißt Normalenvektor von Hyperebene H : h H : v h = 0 v H H ist Hyperebene v R n \ {0} : H = { h R n v h = 0 }
45 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 36/39 Idee der Householder-Reflexion Spiegelung an Hyperebene Spiegelung an Hyperebene gegeben durch Normalenvektor v R n \ {0}: Q v := I 2 v v v v Idee der Householder-Reflexion Gegeben: y R n Gesucht: Normalenvektor v so dass Q v y = ( 0. 0 ) Anwendung dieser Idee um QR-Zerlegung zu erhalten Tafel
46 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 37/39 Finden des richtigen v Herleitung von Q v Tafel Wahl von v y ± y 2 y 2 v := y ± y 2 e =. y n Geschickte Vorzeichenwahl v := y + sign(y ) y 2 e sign(x) = {, x 0, x < 0 keine Auslöschung
47 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 38/39 Beispiel: Householder-Reflexion A =
48 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 38/39 Beispiel: Householder-Reflexion Q v4 Qv3 Qv2 Q v A = A = QR mit Q = ( Qv4 Qv3 Qv2 Q v ) = Q v Q v2 Qv3 Qv4 =
49 2.7 Zusammenfassung
50 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 39/39 Zusammenfassung Ax = b Anwendungen von Zeilenoperationen Z,Z 2,...,Z N : Z N Z N Z A x = Z N Z b }{{} [ ] R= LR-Zerlegung (Gauß-Eliminationen)... Z i = -l i+,i.... -l n,i + Permutationen Resultat: PA = L }{{} R }{{} [ ] [ ]
51 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 39/39 Zusammenfassung Ax = b Anwendungen von Zeilenoperationen Z,Z 2,...,Z N : Z N Z N Z A x = Z N Z b }{{} [ ] R= Givens-Rotation Z i = c i s i... Resultat: A= Q R orthogonal [ ]
52 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 39/39 Zusammenfassung Ax = b Anwendungen von Zeilenoperationen Z,Z 2,...,Z N : Z N Z N Z A x = Z N Z b }{{} [ ] R= Householder-Reflexion Z i =... I 2 v i vi vi v i Resultat: A= Q R orthogonal [ ]
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