Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme"

Transkript

1 Vorlesung Höhere Mathematik: Numerik (für Ingenieure) Kapitel 2: Lineare Gleichungssysteme Jun.-Prof. Dr. Stephan Trenn AG Technomathematik, TU Kaiserslautern Sommersemester 205

2 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie /39 Aufgabenstellung Gegeben A R n n mit det(a) 0, b R n Gesucht x R n mit Ax = b Lösung in Matlab: x = A\b

3 2. Zeilenäquilibrierung

4 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 2/39 Verbesserung der Kondition Beispiel: A = [ ] 0, hat schlechte Kondition: κ(a) = A A = 0 6 ABER: Einfache Zeilenskalierung ergibt [ ] 0 A = und κ(a) = 0 Allgemein gilt: Ax = b det D 0 DAx = Db Idee der Zeilenäquilibrierung Finde: D R n n so dass κ(da) < κ(a) Beachte: κ(da) κ(d) κ(a) }{{}

5 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 3/39 Zeilenäquilibrierung d 0 Hier D = d dn Definition (Zeilenäquilibrierung) Diagonalmatrix D heißt Zeilenäquilibrierung n : d i a ij = i =,... n ( DA = ) j= / n d i = a ij i =,...,n j= Es gilt: κ(da) κ(a) (bezüglich ) und DA hat kleinste Kondition unter allen möglichen Zeilenskalierungen

6 2.2 Gauß-Eliminationen und LR-Zerlegung

7 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 4/39 Zeilensubtraktion Fakt: Umkehrbare Zeilenoperation ändert Ergebnis nicht, formal: Ax = b ZA x = Zb Ziel Finde Zeilenoperation Z so dass Z A besonders einfache Struktur hat Definition Eine Matrix der Form heißt obere Dreiecksmatrix Z A obere Dreiecksmatrix Lösung sehr einfach (Rückwärtseinsetzen) Beispiel Tafel

8 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 5/39 Gauß-Elimination (ohne Pivotisierung): Beispiel

9 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 5/39 Gauß-Elimination (ohne Pivotisierung): Beispiel

10 Gauß-Elimination (ohne Pivotisierung): Algorithmus Algorithmus Gegeben A = [a ij ] i,j=,...,n R n n, b = (b i ) i=,...,n Für Spalten j =,...,n wiederhole 2 Falls a jj 0 dann wiederhole für Zeilen i = j +,...,n 3 Berechne Faktor l ij = a ij a jj 4 Ziehe Vielfaches der j-ten Zeile von Zeile i ab, d.h. 5 Setze a ij 0 6 Für k = j +,...,n setze a ik a ik l ij a jk 7 Setze b i b i l ij b j 8 Sonst ABBRUCH j n j + A = [a ij ] i k n HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 6/39 b Rechenaufwand Tafel

11 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 7/39 Elementare Zeilenoperation γ-faches der Zeile j von Zeile i abziehen:... 0 L γ 0. ij = γ i-te Zeile j-te Spalte

12 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 8/39 Analyse Gauß-Elimination: 3 3 Fall A b L l2 2 0 L l L l4 4 A b A = L l4 4 Ll3 }{{} A, b = L l4 4 Ll3 b }{{} L L A b L l L l42 42 A 2 b L l43 43 A 3 b A 2 = L l42 42 Ll32 }{{} A, b 2 = L l42 42 Ll32 }{{} b L 2 L 2 A 3 = L l43 43 A 2, b 3 = L l b }{{}}{{} L 3 L 3

13 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 9/39 Analyse Gauß-Elimination: Allgemeiner Fall Beobachtung R := 0 = A n = L n L n 2... L A bzw. A = (L n L n 2... L ) R }{{} L Struktur von L Tafel

14 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 0/39 Gauß-Elimination ist LR-Zerlegung Folgerung Falls der Gauß-Eliminationsalgorithmus nicht vorzeitig abbricht, dann findet er eine ein LR-Zerlegung von A, d.h. A = L R wobei L = 0 R = 0. Bemerkung (Speichereffizienz) Im Algorithmus kann Zeile 5 wie folgt abgeändert werden: a ij l ij (statt a ij 0) L und R können direkt im Speicher von A abgelegt werden

15 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie /39 Eindeutigkeit der LR-Zerlegung und Symmetrie Bemerkung Die LR-Zerlegung A = 0 0 ist eindeutig. Folgerung (Symmetrischer Fall) Falls A = A (d.h. A symmetrisch) dann ist wobei D = d A = L D L... und L = 0. d n

16 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 2/39 Probleme der Gauß-Elimination Vorzeitiger Abbruch A = [ ] 0 Noch schlimmer: Nummerisch instabil! Beispiel Tafel

17 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 3/39 Gauß-Elimination mit Pivotisierung Definition (Gauß-Elimination mit Pivotisierung) Im j-ten Schritt der Gauß-Elimination tausche zunächst diejenige Zeile an die j-te Stelle, welche den betragsmäßig größten ersten Eintrag hat a jj a i j. 0 0 a nj wobei a i j = max i=j,...,n a ij

18 Zeilentausch und Permutationsmatrix Zeilentausch entspricht Multiplikation (von links) mit einfacher Permutationsmatrix P ij = i j HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 4/39

19 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 5/39 Existenz LR-Zerlegung mit Pivotisierung Satz Sei A R n n invertierbar. Dann liefert Gauß-Elimination mit Pivotisierung immer Zerlegung PA = 0 0 wobei P ein Produkt von einfachen Permutationsmatrizen ist. Außerdem sind alle Einträge von L betragsmäßig und insgesamt ergibt sich ein stabiler Algorithmus. Zusätzlicher Rechenaufwand: (n ) + (n 2) Vergleiche = (n )(n 2) 2 n n3

20 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 6/39 Anwendung der LR-Zerlegung P A = L R. Lösen von Ax = b (insbesondere für viele rechte Seiten b) A x = b PA x = Pb L R x }{{} L y = Pb und R x = y y = Pb Lösung durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen (Aufwand n 2 ) 2. Bestimmung der Inversen A Löse für i =, 2,..., n: 0. Ly i = Pe i und Rx i = y i, wobei e i 0 := i-te Zeile A 0. = [x, x 2,..., x n ], denn dann 0 A A = [A x,..., A x n ] = [e,..., e n ] = I

21 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 7/39 LR-Zerlegung zur Berechnung der Determinante Gegeben: A R n n Gesucht: det(a) Laplace scher Entwicklungsatz Laplac scher Entwicklungssatz braucht n! = n (n ) 2 Multiplikationen n = 20 > JAHRE auf gängigem Computer Es gilt aber: Also det(p) det(a) = det(pa) = det(lr) = det(l) det(r) }{{}}{{} =± = det(a) = ± n i= Rechenaufwand: n 3 n! (0,ms für n = 20) r ii

22 2.3 Cholesky-Zerlegung

23 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 8/39 Cholesky Zerlegung Satz und Definition Falls A symmetrisch positiv definit (s.p.d.), dann wobei D = d A = L D L... d n mit d i > 0 i und L = 0. Eine solche Zerlegung nennt man Cholesky-Zerlegung. Symmetrie ausnutzen Cholesky-Zerlegung ist spezielle LR-Zerlegung, aber geht es schneller?

24 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 9/39 Beispiel: Cholesky Zerlegung Mit A = =! LDL d L = l l 3 l 32 0 D = 0 d d 3 0 l 4 l 42 l d 4 gilt LDL = d d l 2 d l 3 d l 4 d l 2 d l d 2 d l 2 l 3 + d 2 l 32 d l 2 l 4 + d 2 l 42 d l 3 d l 2 l 3 + d 2 l 32 d l d 2 l d 3 d l 3 l 4 + d 2 l 32 l 42 + d 3 l 43 d l 4 d l 2 l 4 + d 2 l 42 d l 3 l 4 + d 2 l 32 l 42 + d 3 l 43 d l d 2 l d 3 l d 4

25 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 20/39 Beispiel: Herleitung Cholesky-Zerlegung d d l 2 d l 3 d l 4 d l 2 d l d 2 d l 2 l 3 + d 2 l 32 d l 2 l 4 + d 2 l 42 d l 3 d l 2 l 3 + d 2 l 32 d l d 2 l d 3 d l 3 l 4 + d 2 l 32 l 42 + d 3 l 43 d l 4 d l 2 l 4 + d 2 l 42 d l 3 l 4 + d 2 l 32 l 42 + d 3 l 43 d l d 2 l d 3 l d ! = A = Lösung d = 2 l 2 = d 2 = l 3 = 2 l 32 = d 3 = 3 l 4 = l 42 = 2 l 43 = d 4 =

26 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 2/39 Algorithmus: Cholesky-Zerlegung Algorithmus Gegeben: A = [a ij ] R n n s.p.d. Für Spalten j =,...,n wiederhole 2 d j = a jj j k= d kl 2 jk 3 Für Zeilen i = j +,...,n wiederhole ( 4 l ij = d j a ij ) j k= d kl ik l jk j Rechenaufwand Tafel i

27 Stabilität der Cholesky-Zerlegung Satz Für s.p.d. Matrizen ist die Cholesky-Zerlegung stabil. Erinnerung Stabilität nützt nichts bei schlechter Kondition! Beispiel (Hilbertmatrix): /2 /3 /n /2 /3 /4 /n+ A = /3 /4 /5 /n /n /n+ /n+2 /2n ist s.p.d. und Ax = b = ( /n, /n+,..., /2n ) hat Lösung x = (0,..., 0, ) Für n = 2 Matlab κ(a) 0 6 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 22/39

28 2.4 QR-Zerlegung: Einführung

29 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 23/39 Idee der QR-Zerlegung Ziel mit Q orthogonal und R = [ 0 A = Q R ] Vergleich mit LR-Zerlegung Pro: QR Zerlegung ist i.a. stabiler als LR-Zerlegung Contra: Rechenaufwand für QR-Zerlegung ist etwas höher

30 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 24/39 Erinnerung: Orthogonale Matrizen Definition Q R n n heißt orthogonal : Q Q = I Q = [q,q 2,...,q n ] mit q i q j = i j : q i q j und q i 2 = {, i = j, 0, i j, Satz (Eigenschaften orthogonaler Matrizen) Sei Q R n n orthogonal, dann gilt: Q = Q ist selbst orthogonal Qx 2 = x 2 x R n, insbesondere Q 2 = κ(q) = bezüglich 2 und κ(qa) = κ(a) = κ(aq) A R n n Q Q ist orthogonal Q orthogonal

31 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 25/39 Anwendung QR-Zerlegung auf Ax = b Sei A = Q R [ ] mit Q orthogonal und R = Lösung linearer Gleichungssysteme Ax = b Rx = Q b Bemerkung κ(r) = κ(a)

32 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 26/39 Wichtige orthogonale Matrizen Permutationen (Produkt von einfachen Permutationen wie in Abschnitt 2.2) Drehungen im R 2 Q ϕ x ϕ x [ ] cos ϕ sin ϕ Q ϕ = sin ϕ cos ϕ

33 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 27/39 Allgemeine Drehung im R n Drehungen im R n Q ϕ =... cos ϕ sin ϕ... sin ϕ cos ϕ...

34 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 28/39 Spiegelungen an Hyperebene Spiegelungen Q v x H v x Q v = I 2 v v v v wobei v ein Normalenvektor der Spiegel-Hyperebene ist

35 2.5 QR-Zerlegung: Givens-Rotationen

36 Givens-Rotation: Idee Idee Gegeben: a,b R 2 Gesucht: Rotation Q ϕ = [ cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ] im R 2 mit Q ϕ ( a b ) = ( r 0) Dann gilt... cos ϕ sin ϕ... sin ϕ cos ϕ a b.... =.... r HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 29/39

37 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 30/39 Bestimmung von Q ϕ Aufgabe Finde Q ϕ = [ ] cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ mit Q ϕ ( b a ) = ( 0 r ). Fakt c, s R : [ ] [ ] c s cos ϕ sin ϕ = s c sin ϕ cos ϕ c 2 + s 2 = Herleitung Q ϕ Q ϕ orthogonal ± r = r ( = 0) 2 ( a Q ϕ b) 2 = a ( b) 2 = a 2 + b 2

38 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 3/39 Berechnung von Q ϕ Berechnungvorschrift für c und s ( ) a Gegeben R b 2 \ {0}. r = ± a 2 + b 2 c = a r s = b r Probe: c 2 + s 2 = a2 r 2 + b2 r 2 = a2 + b 2 a 2 + b 2 = [ ( ) ( a 2 ) ( c s a /r + = s c] b2 /r r 2 = b ba/r + ab /r 0 /r ) ( r = 0)

39 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 32/39 Bemerkungen zur Givens-Rotation r = ± a 2 + b 2, c = a r, s = b r Bemerkungen Drehwinkel ϕ wird nicht benötigt. Mit der Konvention sgn r = sgn a kann G ϕ mit Hilfe eines Wertes abgespeichert werden: [ ] s 2 s G ϕ = s s 2 Problem der Auslöschung für s kann umgangen werden

40 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 33/39 Beispiel: Givens-Rotation 0,3994 0, , , , ,32442,28870, A =,46037,745647,25662, , , , ,340836

41 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 33/39 Beispiel: Givens-Rotation 3, , , , , , , G 43 G 42 G 32 G 4 G 3 G 2 A = 0 0,804753, , A = QR mit Q = (G 43 G 42 G 32 G 4 G 3 G 2 ) = G2 G 3 G 4 G 32 G 42 G 43 = 0,3464 0, , , ,6029 0, , ,5665 0, ,3984 0, , , , , ,34226

42 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 34/39 Givens-Rotation allgemein Durch geeignete G ik werden nacheinander Nullen erzeugt bis [ ] G in k N G in k N... G ik A = wobei für i > k G ik =... c ik s ik... s ik c ik Rechenaufwand etwa viermal so hoch wie LR-Zerlegung dünne Besetzung kann ausgenutzt werden

43 2.6 QR-Zerlegung: Householder-Reflexion

44 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 35/39 Erinnerung: Hyperebene und Normalenvektor Definition (Hyperebene und Normalenvektor) H R n heißt Hyperebene : H ist (n )-dimensionaler linearer Unterraum von R n v R n \ {0} heißt Normalenvektor von Hyperebene H : h H : v h = 0 v H H ist Hyperebene v R n \ {0} : H = { h R n v h = 0 }

45 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 36/39 Idee der Householder-Reflexion Spiegelung an Hyperebene Spiegelung an Hyperebene gegeben durch Normalenvektor v R n \ {0}: Q v := I 2 v v v v Idee der Householder-Reflexion Gegeben: y R n Gesucht: Normalenvektor v so dass Q v y = ( 0. 0 ) Anwendung dieser Idee um QR-Zerlegung zu erhalten Tafel

46 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 37/39 Finden des richtigen v Herleitung von Q v Tafel Wahl von v y ± y 2 y 2 v := y ± y 2 e =. y n Geschickte Vorzeichenwahl v := y + sign(y ) y 2 e sign(x) = {, x 0, x < 0 keine Auslöschung

47 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 38/39 Beispiel: Householder-Reflexion A =

48 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 38/39 Beispiel: Householder-Reflexion Q v4 Qv3 Qv2 Q v A = A = QR mit Q = ( Qv4 Qv3 Qv2 Q v ) = Q v Q v2 Qv3 Qv4 =

49 2.7 Zusammenfassung

50 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 39/39 Zusammenfassung Ax = b Anwendungen von Zeilenoperationen Z,Z 2,...,Z N : Z N Z N Z A x = Z N Z b }{{} [ ] R= LR-Zerlegung (Gauß-Eliminationen)... Z i = -l i+,i.... -l n,i + Permutationen Resultat: PA = L }{{} R }{{} [ ] [ ]

51 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 39/39 Zusammenfassung Ax = b Anwendungen von Zeilenoperationen Z,Z 2,...,Z N : Z N Z N Z A x = Z N Z b }{{} [ ] R= Givens-Rotation Z i = c i s i... Resultat: A= Q R orthogonal [ ]

52 HM: Numerik (SS 205), Kapitel 2, Folie 39/39 Zusammenfassung Ax = b Anwendungen von Zeilenoperationen Z,Z 2,...,Z N : Z N Z N Z A x = Z N Z b }{{} [ ] R= Householder-Reflexion Z i =... I 2 v i vi vi v i Resultat: A= Q R orthogonal [ ]

Lineare Ausgleichsprobleme. Jetzt: Lösung überbestimmter linearer GS, d.h. mehr Gleichungen als Unbekannte

Lineare Ausgleichsprobleme. Jetzt: Lösung überbestimmter linearer GS, d.h. mehr Gleichungen als Unbekannte Lineare Ausgleichsprobleme Bisher: Lösung linearer GS Ax = b, A R n,n, A regulär, b R n Jetzt: Lösung überbestimmter linearer GS, d.h. mehr Gleichungen als Unbekannte Ax = b mit A R m,n, b R m, m n, rg(a)

Mehr

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel

Vorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3

Mehr

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1)

In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N. Wenn (mit einem n > 1) 34 Determinanten In diesem Abschnitt betrachten wir nur quadratische Matrizen mit Komponenten aus einem Körper K, also A K n n für ein n N Wenn (mit einem n > 1) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, (1)

Mehr

KAPITEL 3. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren

KAPITEL 3. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren KAPITEL 3. Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren Beispiel 3.2. Gesucht u(x), das eine Differentialgleichung vom Typ u (x) + λ(x)u(x) = f(x), x [0,], mit den Randbedingungen u(0) = u() = 0

Mehr

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die

Mehr

Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante

Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante wwwmathematik-netzde Copyright, Page 1 of 5 Die Determinante Determinanten sind ein äußerst wichtiges Instrument zur Untersuchung von Matrizen und linearen Abbildungen Außerhalb der linearen Algebra ist

Mehr

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung

Kapitel 2: Matrizen. 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung Kapitel 2: Matrizen 2.1 Matrizen 2.2 Determinanten 2.3 Inverse 2.4 Lineare Gleichungssysteme 2.5 Eigenwerte 2.6 Diagonalisierung 2.1 Matrizen M = n = 3 m = 3 n = m quadratisch M ij : Eintrag von M in i-ter

Mehr

Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13)

Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. 13) Skalarprodukte (Teschl/Teschl Kap. ) Sei V Vektorraum über R. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung V V R, (x, y) x, y mit den Eigenschaften () x, y = y, x (symmetrisch), () ax, y = a x, y und x +

Mehr

Gliederung. Links-Rechts-Zerlegung Elimination faktorisiert A = L R. Determinante Inverse. Kleinste Quadrate. Lösung durch. Links-Rechts- Zerlegung

Gliederung. Links-Rechts-Zerlegung Elimination faktorisiert A = L R. Determinante Inverse. Kleinste Quadrate. Lösung durch. Links-Rechts- Zerlegung Matrixzerlegungen. 7. Vorlesung 170004 Numerische Methoden I Clemens Brand 29. April 2010 Gliederung Elimination faktorisiert A = L R Die A = L R Faktorisieren: Zerlege A in ein Produkt (einfacherer) Angenommen,

Mehr

7 Die Determinante einer Matrix

7 Die Determinante einer Matrix 7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =

Mehr

4.13. Permutationen. Definition. Eine Permutation der Elementen {1,..., n} ist eine bijektive Abbildung

4.13. Permutationen. Definition. Eine Permutation der Elementen {1,..., n} ist eine bijektive Abbildung 43 Permutationen Definition Eine Permutation der Elementen {,, n} ist eine bijektive Abbildung σ : {,,n} {,,n} Es ist leicht zu sehen, dass die Hintereinanderführung zweier Permutationen ergibt wieder

Mehr

Quadratische Matrizen Inverse und Determinante

Quadratische Matrizen Inverse und Determinante Kapitel 2 Quadratische Matrizen Inverse und Determinante In diesem Abschnitt sei A M(n, n) stets eine quadratische n n Matrix. Für nicht-quadratische Matrizen ergeben die folgenden Betrachtungen keinen

Mehr

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14.

Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination. Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/10. 14. Gleitkommaarithmetik und Pivotsuche bei Gauß-Elimination Vorlesung Computergestützte Mathematik zur Linearen Algebra Lehrstuhl für Angewandte Mathematik Wintersemester 2009/0 4. Januar 200 Instabilitäten

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Matrizen und Determinanten

Matrizen und Determinanten Matrizen und Determinanten 1 Matrizen und Determinanten 1 Einführung in den Matrizenbegriff Zur Beschreibung und Lösung vieler physikalischer Probleme ist die Vektorrechnung vonnöten Durch Verwendung von

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011)

Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011) M. Sc. Frank Gimbel Beginn der Vorlesung zur Numerik I (Wintersemester 2010/2011) 1 Motivation Ziel ist es, ein gegebenes lineares Gleichungssystem der Form Ax = b (1) mit x, b R n und A R n n zu lösen.

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern

Mehr

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D.

Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW. Beispiellösung für Serie 10. Aufgabe ETH Zürich D-MATH. Herbstsemester Dr. V. Gradinaru D. Dr. V. Gradinaru D. Devaud Herbstsemester 5 Lineare Algebra für D-ITET, D-MATL, RW ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie Aufgabe..a Bezüglich des euklidischen Skalarprodukts in R ist die Orthogonalprojektion

Mehr

( ) Lineare Gleichungssysteme

( ) Lineare Gleichungssysteme 102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv

Mehr

Lineare Algebra I Zusammenfassung

Lineare Algebra I Zusammenfassung Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition

Mehr

2 Lineare Gleichungssysteme

2 Lineare Gleichungssysteme Beispiel.5: Funktion von Runge (V) Beispiel Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, NWF III, Institut für Mathematik Martin Arnold: Grundkurs Numerische Mathematik (WiS 27/8) Abbildung.3: Interpolation

Mehr

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv

Mehr

6 Lösung linearer Gleichungssysteme I: LR-Zerlegung und Verwandte

6 Lösung linearer Gleichungssysteme I: LR-Zerlegung und Verwandte Numerik I Version: 240608 40 6 Lösung linearer Gleichungssysteme I: LR-Zerlegung und Verwandte Die zwei wichtigsten Aufgaben der linearen Algebra: Lösung linearer Gleichungssysteme: Ax = b, wobei die n

Mehr

4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung

4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung 4.4 Orthogonalisierungsverfahren und die QR-Zerlegung Die Zerlegung einer regulären Matrix A R n n in die beiden Dreiecksmatrizen L und R basiert auf der Elimination mit Frobeniusmatrizen, d.h. R = FA,

Mehr

6 Hauptachsentransformation

6 Hauptachsentransformation 6 Hauptachsentransformation A Diagonalisierung symmetrischer Matrizen (6.1) Satz: Sei A M(n n, R) symmetrisch. Dann gibt es eine orthogonale n n-matrix U mit U t AU = D Diagonalmatrix Es folgt: Die Spalten

Mehr

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme

Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme Matrizen, Determinanten, lineare Gleichungssysteme 1 Matrizen Definition 1. Eine Matrix A vom Typ m n (oder eine m n Matrix, A R m n oder A C m n ) ist ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2016 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Interpretation und Verständnis der Gleichungen Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik unter

Mehr

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014

Skript zur Vorlesung. Lineare Algebra. Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf. 2. Oktober 2014 Skript zur Vorlesung Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf 2. Oktober 2014 erstellt von Sindy Engel erweitert von Prof. Dr.-Ing. Katina Warendorf Inhaltsverzeichnis 1 Vektoren 4 1.1 Grundbegriffe.................................

Mehr

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor)

Besteht eine Matrix nur aus einer Spalte (Zeile), so spricht man auch von einem Spaltenvektor (Zeilenvektor) Matrizenrechnung. Matrizen Matrizen sind bereits im Kapitel Lineare Gleichungssysteme aufgetreten. Unter einer (m n) -Matrix A verstehen wir ein rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten. Der.

Mehr

Euklidische und unitäre Vektorräume

Euklidische und unitäre Vektorräume Kapitel 7 Euklidische und unitäre Vektorräume In diesem Abschnitt ist der Körper K stets R oder C. 7.1 Definitionen, Orthonormalbasen Definition 7.1.1 Sei K = R oder C, und sei V ein K-Vektorraum. Ein

Mehr

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2.

1 Definition. 2 Besondere Typen. 2.1 Vektoren und transponieren A = 2.2 Quadratische Matrix. 2.3 Diagonalmatrix. 2. Definition Die rechteckige Anordnung von m n Elementen a ij in m Zeilen und n Spalten heißt m n- Matrix. Gewöhnlich handelt es sich bei den Elementen a ij der Matrix um reelle Zahlen. Man nennt das Paar

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7

Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe

Mehr

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme

37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass

Mehr

Kapitel 17. Determinanten

Kapitel 17. Determinanten Kapitel 17. Determinanten Vorschau: Determinanten Es gibt drei Problemfelder, für die Determinanten von großem Nutzen sind: die formelmäßige Überprüfung der linearen Unabhängigkeit eines Systems von n

Mehr

Iterative Lösung großer Gleichungssysteme, UE SS Angaben + Ausarbeitungen zu Übung 1, mit Anmerkungen

Iterative Lösung großer Gleichungssysteme, UE SS Angaben + Ausarbeitungen zu Übung 1, mit Anmerkungen 106.082 Iterative Lösung großer Gleichungssysteme, UE SS 2015 Angaben + Ausarbeitungen zu Übung 1, mit Anmerkungen Iterative Lösung großer Gleichungssysteme, UE (106.082), SS 2015 1. Übungsblatt 1. LU-

Mehr

4.4. Rang und Inversion einer Matrix

4.4. Rang und Inversion einer Matrix 44 Rang und Inversion einer Matrix Der Rang einer Matrix ist die Dimension ihres Zeilenraumes also die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen Daß der Rang sich bei elementaren Zeilenumformungen nicht ändert

Mehr

Tutorium Mathematik II, M Lösungen

Tutorium Mathematik II, M Lösungen Tutorium Mathematik II, M Lösungen März 03 *Aufgabe Bestimmen Sie durch Hauptachsentransformation Lage und Typ der Kegelschnitte (a) 3x + 4x x + 3x 4x = 0, (b) 3x + 4x x + 3x 4x 6 = 0, (c) 3x + 4x x +

Mehr

Spezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a = a 1 gelöst werden:

Spezialfall: Die Gleichung ax = b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a = a 1 gelöst werden: Inverse Matritzen Spezialfall: Die Gleichung ax b mit einer Unbekannten x kann mit Hilfe des Kehrwerts 1 a a 1 gelöst werden: ax b x b a a 1 b. Verallgemeinerung auf Ax b mit einer n nmatrix A: Wenn es

Mehr

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen

4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen 4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig,

Mehr

Einführung in die Mathematik für Informatiker

Einführung in die Mathematik für Informatiker Einführung in die Mathematik für Informatiker Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 12.12.2016 9. Vorlesung Eigenschaften linearer Abbildungen Beschreibung linearer Abbildungen durch Matrizen... Eigenschaften

Mehr

6 Numerische Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme

6 Numerische Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme Numerische Mathematik für ingenieurwissenschaftliche Studiengänge 208 6 Numerische Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme The simplest model in applied mathematics is a system of linear equations.

Mehr

Vektoren und Matrizen

Vektoren und Matrizen Vektoren und Matrizen Einführung: Wie wir gesehen haben, trägt der R 2, also die Menge aller Zahlenpaare, eine Körperstruktur mit der Multiplikation (a + bi(c + di ac bd + (ad + bci Man kann jedoch zeigen,

Mehr

Vektorräume und Rang einer Matrix

Vektorräume und Rang einer Matrix Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Vektorräume und Rang einer Matrix Dr. Thomas Zehrt Inhalt:. Lineare Unabhängigkeit 2. Vektorräume und Basen 3. Basen von R n 4. Der Rang und Rangbestimmung

Mehr

Kapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn.

Kapitel 5. Eigenwerte. Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich der Produktion ist, d.h. wenn. Kapitel 5 Eigenwerte Josef Leydold Mathematik für VW WS 2016/17 5 Eigenwerte 1 / 42 Geschlossenes Leontief-Modell Ein Leontief-Modell für eine Volkswirtschaft heißt geschlossen, wenn der Konsum gleich

Mehr

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung

4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung 4.5 Überbestimmte Gleichungssysteme, Gauß sche Ausgleichrechnung In vielen Anwendungen treten lineare Gleichungssysteme auf, die eine unterschiedliche Anzahl von Gleichungen und Unbekannten besitzen: Ax

Mehr

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse

Mehr

Lineare Ausgleichsprobleme. Lineare Ausgleichsprobleme. Normalgleichungen. Normalgleichungen

Lineare Ausgleichsprobleme. Lineare Ausgleichsprobleme. Normalgleichungen. Normalgleichungen Wir betrachten in diesem Abschnitt das lineare Ausgleichsproblem Ax b 2 = min! (1) Heinrich Voss voss@tu-harburgde Hamburg University of Technology Institute for Numerical Simulation mit gegebenem A R

Mehr

Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls

Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv

Mehr

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema

1 Lineare Algebra. 1.1 Matrizen und Vektoren. Slide 3. Matrizen. Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema 1 Lineare Algebra 1.1 Matrizen und Vektoren Slide 3 Matrizen Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema eine n m-matrix A besteht aus n Zeilen und m Spalten mit den Matrixelementen a ij, i=1...n und

Mehr

5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21

5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3. a 11 a 12 a 21 a 22. det(a) =a 11 a 22 a 12 a 21. a 11 a 21 5. Determinanten 5.1 Determinanten der Ordnung 2 und 3 Als Determinante der zweireihigen Matrix A = a 11 a 12 bezeichnet man die Zahl =a 11 a 22 a 12 a 21. Man verwendet auch die Bezeichnung = A = a 11

Mehr

Der CG-Algorithmus (Zusammenfassung)

Der CG-Algorithmus (Zusammenfassung) Der CG-Algorithmus (Zusammenfassung) Michael Karow Juli 2008 1 Zweck, Herkunft, Terminologie des CG-Algorithmus Zweck: Numerische Berechnung der Lösung x des linearen Gleichungssystems Ax = b für eine

Mehr

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt

Proseminar Lineare Algebra II, SS 11. Blatt Blatt 1 1. Berechnen Sie die Determinante der Matrix 0 0 4 1 2 5 1 7 1 2 0 3 1 3 0 α. 2. Stellen Sie folgende Matrix als Produkt von Elementarmatrizen dar: 1 3 1 4 2 5 1 3 0 4 3 1. 3 1 5 2 3. Seien n 2

Mehr

2 Direkte Lösungsverfahren für lineare Gleichungen

2 Direkte Lösungsverfahren für lineare Gleichungen 2 Direkte Lösungsverfahren für lineare Gleichungen Sei A R invertierbar und b R. Löse Ax = b genau und effizient. Die LR-Zerlegung Wir berechnen eine Zerlegung A = LR mit L, R R und den folgen Eigenschaften:

Mehr

Mathematik II Frühjahrssemester 2013

Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra 73 Ergänzungen Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 73 Ergänzungen 1 / 17 1 Reguläre Matrizen Prof Dr

Mehr

C orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w =

C orthogonal und haben die Länge 1). Dann ist die Länge von w = x u + y v gegeben durch w 2 Def. = w,w = 1 v Die Länge Def. Sei (V,, ) ein Euklidscher Vektorraum. Für jeden Vektor v V heißt die Zahl v,v die Länge von v und wird v bezeichnet. Bemerkung. Die Länge des Vektors ist wohldefiniert, da nach Definition

Mehr

V DETERMINANTEN In diesem Kapitel entwickeln wir die Theorie der Determinanten Die folgenden Beispiele sollen die Einfuhrung dieses Begries motivieren

V DETERMINANTEN In diesem Kapitel entwickeln wir die Theorie der Determinanten Die folgenden Beispiele sollen die Einfuhrung dieses Begries motivieren SKRIPTUM { LINEARE ALGEBRA II JB COOPER Inhaltsverzeichnis: x Determinanten x Eigenwerte x Euklidische Raume x8 Dualitat, Tensorprodukte, Alternierende Formen Anhang: ) Mengen, Abbildungen ) Gruppen )

Mehr

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante

4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante 4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer

Mehr

4.2.3 LR-Zerlegung für diagonaldominante Matrizen

4.2.3 LR-Zerlegung für diagonaldominante Matrizen 4.2 Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme 4.2.3 LR-Zerlegung für diagonaldominante Matrizen Satz 4.28 besagt, dass die LR-Zerlegung für beliebige reguläre Matrizen mit Pivotierung möglich ist.

Mehr

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und

Mehr

Eigenwerte und Diagonalisierung

Eigenwerte und Diagonalisierung Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende

Mehr

Quadratische Matrizen

Quadratische Matrizen Quadratische Matrizen (n n)-matrizen heißen quadratische Die entsprechenden linearen Abbildungen sind laut Definition Endomorphismen des R n (weil f A : R n R n ) Das Produkt von (n n)- Matrizen ist auch

Mehr

4 Direkte Verfahren für spezielle Systeme

4 Direkte Verfahren für spezielle Systeme Numerische Mathematik 150 4 Direkte Verfahren für spezielle Systeme 4.1 Die Cholesky-Zerlegung Satz 4.1 Es sei A = [a i,j ] R n n [C n n ] symmetrisch [Hermitesch]. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

Mehr

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen

3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen 3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange

Mehr

Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen

Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen Betrachtet wird ein System linearer Gleichungen (im deutschen Sprachraum: lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen für n Unbekannte, m, n N. Gegeben sind m n Elemente

Mehr

Grundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

Grundsätzliches Rechnen mit Matrizen Anwendungen. Matrizenrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015 Matrizenrechnung Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Matrizenrechnung Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Matrixbegriff Rechenregeln Spezielle Matrizen 2 Matrizenrechnung Determinanten

Mehr

2. Aufgabe Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke so, dass möglichst wenige Multiplikationen ausgeführt werden müssen!

2. Aufgabe Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke so, dass möglichst wenige Multiplikationen ausgeführt werden müssen! Studiengang: PT/LOT/PVHT Semester: WS 9/ lgebra Serie: 2 Thema: Matrizen, Determinanten. ufgabe Gegeben sind die Matrizen = µ 2 3 2 µ 3 2 4, B = 2 Berechnen Sie: a) 2 + 3B b) B 2 c) B T d) B T e) T B f)

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Lineare Gleichungssysteme und Determinanten. Lineare Gleichungssysteme.2 Determinanten 3 iii 2 LINEARE GLEIHUNGSSYSTEME UND DETERMINANTEN KAPITEL

Mehr

6 Eigenwerte und Eigenvektoren

6 Eigenwerte und Eigenvektoren 6.1 Eigenwert, Eigenraum, Eigenvektor Definition 6.1. Es sei V ein Vektorraum und f : V V eine lineare Abbildung. Ist λ K und v V mit v 0 und f(v) = λv gegeben, so heißt die Zahl λ Eigenwert (EW) von f,

Mehr

Quadratische Formen und Definitheit

Quadratische Formen und Definitheit Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Quadratische Formen und Definitheit Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Quadratische Formen 2. Quadratische Approximation von Funktionen 3. Definitheit von

Mehr

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen

A Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne

Mehr

QR-Zerlegung Allgemeines. Householder-Spiegelung. Givens-Rotation. Gram-Schmidt-Orthogonalisierung. Fazit. QR-Zerlegung.

QR-Zerlegung Allgemeines. Householder-Spiegelung. Givens-Rotation. Gram-Schmidt-Orthogonalisierung. Fazit. QR-Zerlegung. 20.0.2011 Inhaltsverzeichnis 1 2 3 4 1 2 3 4 der Matrix A R mxn, m n A = Q R Matrix Q: Q R nxn orthogonale Matrix (Spalten paarweise orthogonal) Q Q T = E Matrix R: R R mxn obere Dreiecksmatrix r 11 r

Mehr

Kap 5: Rang, Koordinatentransformationen

Kap 5: Rang, Koordinatentransformationen Kap 5: Rang, Koordinatentransformationen Sei F : V W eine lineare Abbildung. Dann ist der Rang von F erklärt durch: rang F =dim ImF. Stets gilt rang F dimv, und ist dimv

Mehr

Lösungsskizzen zur Klausur

Lösungsskizzen zur Klausur sskizzen zur Klausur Mathematik II Sommersemester 4 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren des R 4 gegeben: b = b = b 3 = b 4 = (a) Prüfen Sie ob die Vektoren b b 4 linear unabhängig sind bestimmen Sie

Mehr

Lösung (die Geraden laufen parallel) oder unendlich viele Lösungen.

Lösung (die Geraden laufen parallel) oder unendlich viele Lösungen. 1 Albert Ludwigs Universität Freiburg Abteilung Empirische Forschung und Ökonometrie Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Dr. Sevtap Kestel Winter 2008 Kapitel 16 Determinanten und inverse Matrizen

Mehr

A2.3 Lineare Gleichungssysteme

A2.3 Lineare Gleichungssysteme A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen

Mehr

Mathematik I Übungsblatt 5 WS 12/13 Prof. Dr. W. Konen, Dr.A.Schmitter

Mathematik I Übungsblatt 5 WS 12/13 Prof. Dr. W. Konen, Dr.A.Schmitter Bereiten Sie die Aufgaben parallel zu den in der Vorlesung besprochenen Themen für die nächsten Übungsstunden jeweils vor! Aufgabe 5.1 Vektoroperationen Gegeben sind die folgenden Vektoren: u = 3 1 2 v

Mehr

3.4 Der Gaußsche Algorithmus

3.4 Der Gaußsche Algorithmus 94 34 Der Gaußsche Algorithmus Wir kommen jetzt zur expliziten numerischen Lösung des eingangs als eine Motivierung für die Lineare Algebra angegebenen linearen Gleichungssystems 341 n 1 a ik x k = b i,

Mehr

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG

KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I MUSTERLÖSUNG KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I Wiederholungsprüfung MUSTERLÖSUNG. April 2008 Name: Studiengang: Aufgabe 2 3 4 5 6 Summe Punktzahl /50 Allgemeine Hinweise: Bitte schreiben Sie Ihre Lösungen jeweils unter

Mehr

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS 10/11 Musterlösungen zu Aufgabenblatt 11

Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS 10/11 Musterlösungen zu Aufgabenblatt 11 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, WS / Musterlösungen zu Aufgabenblatt Aufgabe 76: Bestimmen Sie mittels Gauß-Elimination die allgemeine Lösung der folgenden linearen Gleichungssysteme Ax b: a)

Mehr

6 Symmetrische und hermitesche Matrizen

6 Symmetrische und hermitesche Matrizen $Id: quadrat.tex,v.0 0/06/9 :47:4 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 0/06/9 3:46:46 hk Exp $ 6 Symmetrische und hermitesche Matrizen 6.3 Quadratische Funktionen und die Hauptachsentransformation Wir sind

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen. Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems

Mehr

Iterative Verfahren, Splittingmethoden

Iterative Verfahren, Splittingmethoden Iterative Verfahren, Splittingmethoden Theodor Müller 19. April 2005 Sei ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b b C n, A C n n ( ) gegeben. Es sind direkte Verfahren bekannt, die ein solches Gleichungssystem

Mehr

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische

Mehr

Lineare Algebra KAPITEL III. 12 Matrizen und der Gauß-Algorithmus. I) Matrizen

Lineare Algebra KAPITEL III. 12 Matrizen und der Gauß-Algorithmus. I) Matrizen KAPITEL III Lineare Algebra 12 Matrizen und der Gauß-Algorithmus I Matrizen Definition 121 Matrizen und der R n Es seien m,n 1 zwei positive ganze Zahlen a Eine m n-matrix über R ist ein rechteckiges Schema

Mehr

Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom

Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom Vektor und Matrixnormen Vorlesung vom 18.12.15 Grundlagen: Matrix Vektor und Matrixprodukt. Lineare Räume. Beispiele. Problem: Berechne die Lösung x von Ax = b zu gegebenem A R n,n und b R n. Ziele: Konditionsanalyse

Mehr

Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Inverse Matrix. 1-E Ma 1 Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix -E Ma Lubov Vassilevskaya Inverse Matrix Eine n-reihige, quadratische Matrix heißt regulär, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt. Anderenfalls heißt sie singulär.

Mehr

Rang und Inverses einer Matrix

Rang und Inverses einer Matrix Rang und Inverses einer Matrix wgnedin@math.uni-koeln.de 29. April 2014 In dieser Notiz werden Methoden und Beispiele zur Berechnung des Rangs einer Matrix sowie der Inversen einer invertierbaren Matrix

Mehr

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie

Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b

Mehr

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen

Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen

Mehr

x,y A = t xay v i,v j A = e i,e j t PAP

x,y A = t xay v i,v j A = e i,e j t PAP 75 Lineare Algebra II SS 2005 Teil 6 Bilinearformen 6A Kongruenz quadratischer Matrizen Sei K ein Körper, sei A M(n n, K) eine quadratische Matrix Wie wir zu Beginn von Teil 3 gesehen haben, liefert A

Mehr

1 Rechnen mit 2 2 Matrizen

1 Rechnen mit 2 2 Matrizen 1 Rechnen mit 2 2 Matrizen 11 Produkt Wir berechnen das allgemeine Produkt von A = Für das Produkt gilt AB = a11 a 12 a 21 a 22 a11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7

Technische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7 Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion

Mehr

Kapitel 5. LU Zerlegung. 5.1 L- und U-Matrizen

Kapitel 5. LU Zerlegung. 5.1 L- und U-Matrizen Kapitel 5 LU Zerlegung In vielen Fällen interessiert uns die inverse Matrix A 1 gar nicht. Stattdessen suchen wir die Lösung der Matrixgleichung Ax = b bzw. x = A 1 b 5.1) für einen oder wenige Vektoren

Mehr

Normalengleichungen. Für eine beliebige m n Matrix A erfüllt jede Lösung x des Ausgleichsproblems Ax b min die Normalengleichungen A t Ax = A t b,

Normalengleichungen. Für eine beliebige m n Matrix A erfüllt jede Lösung x des Ausgleichsproblems Ax b min die Normalengleichungen A t Ax = A t b, Normalengleichungen Für eine beliebige m n Matrix A erfüllt jede Lösung x des Ausgleichsproblems Ax b min die Normalengleichungen A t Ax = A t b, Normalengleichungen 1-1 Normalengleichungen Für eine beliebige

Mehr

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr

Stefan Ruzika. 24. April 2016

Stefan Ruzika. 24. April 2016 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers

Mehr

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015

Mathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2015 4. April 2016 Zu der Vorlesung wird ein Skript erstellt, welches auf meiner Homepage veröffentlicht wird: http://www.math.uni-hamburg.de/home/geschke/lehre.html

Mehr

1 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse

1 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse Singulärwertzerlegung A sei eine Matrix mit n Spalten und m Zeilen. Zunächst sei n m. Bilde B = A A. Dies ist eine n n-matrix. Berechne die Eigenwerte von B. Diese

Mehr