Computerpraktikum im GP II Einführung in Mathematica

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1 Computerpraktikum im GP II Eiführug i Mathematica Daiel Brete Michael Karcher Jes Koeslig Tim Baldsiefe Was ist Mathematica Mathematica ist ei Computeralgebrasytem, d. h., dass Mathematica z.b. Itegrale symbolisch löse ka. Dies ist vermutlich die meist geutzte Fuktio vo Mathematica i de erste Semester. Für de Praktikumsversuch utze wir icht diese Eigeschaft, soder die Möglichkeit relativ eifache Rechuge, die ma auch mit Papier ud Tascherecher durchführe köte zu automatisiere. Diese Aufgabe lässt sich mit praktisch jeder Programmiersprache bearbeite. Wir habe us für Mathematica etschiede, weil Sie diese Software im weitere Verlauf Ihres Studiums och häufiger verwede werde. Zum Beispiel für die Bearbeitug vo Übugsaufgabe zu de Theorievorlesuge. Eiige Dozete stelle auch bereits i de Vorlesuge Physik I oder II Aufgabe, die mit Mathematica gelöst werde solle. I diesem Fall habe sie scho erste Erfahruge gesammelt. Vorteile bei usere kleie Recheaufgabe im Praktikum gegeüber Tabellekalkulatioe sid, dass ma icht a ei starres Tabelleraster gebude ist, Formel ud Ergebisse gleichzeitig sichtbar sid ud die Schreibweise vo Fuktioe der gewohte Darstellug äher kommt. Mathematica ka weit mehr als wir hier ausutze. Nebe de verblüffede Fuktioe zum symbolische Reche gibt es Fuktioe für umerische Berechuge, die Kostruktio komplizierter Grafike, das Eibide exterer C-Programme ud für die statistische Dateaalyse. Ausserdem gibt es eiige Textverarbeitugsfuktioe ud Möglichkeite zum Formelsatz, mit dee dieses Heft erstellt wurde. Sie köe mit Mathematica ei komplettes Praktikumsprotokoll vo de physikalische Grudlage bis zur Fehlerrechug erstelle. Zumidest aber sollte Sie ach dieser Eiführug i der Lage sei, grafische Auswertuge statt mit Bleistift ud Millimeterpapier mit Mathematica auszufühe Hiweise zur Bedieug Starte Gebe Sie i eiem Termialfester mathematica ei. Geschickt ist es, vor dem Starte i das Verzeichis zu wechsel, i dem sich die zu bearbeitede Dateie befide oder erstellt werde solle. Sie erspare sich so das wiederholte Auswähle vo Verzeichisse i eier etwas uübersichtliche Dialogbox. Sie köe auch beim Programmaufruf eie Datei mit agebe, z.b.:»mathematica meiedatei.b«. Mathematica- Dateie heisse Notebooks ud habe die Edug».b«. Dateie öffe, schliesse, Programm beede Diese Fuktioe erreiche Sie über das Meü File, dass sich mit der Maus i gewohter Weise bediee lässt. Das Beede des Programms geligt ur mit dem Befehl Quit aus diesem Meü. Ei Doppelklick auf das Festerschliesse-Symbol i der Titelleiste des Programms schliesst zwar das aktuelle Fester, öffet aber ei eues, falls es sich um das eizige Mathematica-Fester hadelt. Eiige Uzuläglichkeite I Mathematica fuktioiere leider viele Taste icht so, wie ma es gewoht ist. Auf viele Systeme löscht icht vorwärts soder rückwärts. Der umerische Zeherblock ka icht beutzt werde. Bei gedrückter Nummlocktaste fuktioiert kaum och etwas. Glücklicherweise ist der Spuck beedet, we Sie sie wieder ausschalte. Drucke Drucke köe Sie über die Druckfuktio im Meu File. Achte Sie ubedigt darauf, dass sie die Box Iclude Mathematica Fots eischalte; die Soderzeiche werde sost icht richtig gedruckt. Auch die Wahl des richtige Papierformats (A4) ist etscheided. Um auf dem Drucker im Recheerraum auszudrucke, gebe Sie im Feld Prit to»lpr -Ptal«ei. Oder erzeuge Sie eie Postscriptdatei, i dem Sie de Pukt File markiere ud eie Dateiame eigebe. Vorsicht, Sie köe gleichzeitig sowohl i eie Datei, als auch auf de Drucker drucke. Achte Sie also darauf, dass ur die gewüschte Optio markiert ist. Gegewärtig sid die vo Mathematica erzeugte Postscript-Dateie icht gaz DSC-Stadard koform. Dies ka dazu führe, dass die Soderzeiche icht richtig wiedergegebe werde, we Sie versuche die Dateie mit de pstools (psbook, psup usw.) achzubearbeite. Hilfe

2 2 maskript70.b Hilfe Die Hilfe rufe Sie über de Meupukt Help Documetatio Ceter... auf. De gesuchte Begriff oder Teile davo (z.b. ParametricPlot3D oder auch ur Paramet) im Feld SEARCH: eigebe ud mit bestätige. Meist ruft ma aus eiem vo zwei Grüde die Hilfe auf. Etweder sucht ma eie Befehlsbeschreibug, ma weiß also scho (oder vermutet es zumidest), welcher Befehl das leistet, was ma erreiche möchte; oder ma will etwas bestimmtes erreiche, weiss aber icht mit welchem Befehl. Im erste Fall sucht ma eifach de Befehlsame. Die Befehlserkläruge sid meist sehr illustrativ. Im zweite Fall sollte ma ach Begriffe suche, die i Texte zu ebe diesem Thema vorkomme köte. Da die Hilfe auch das Mathematica- Buch ethält, ka eiem auch hier meist geholfe werde. Eigebe vo Befehle Klicke Sie auf die weisse Arbeitsfläche oder erzeuge Sie ei eues leeres Notbook mit FileNew ud begie Sie zu schreibe. Eie Zelle (Eigabe) i Mathematica ka mehrere Zeile umfasse. Der Zeilewechsel erfolgt eifach mit. Nach der letzte Aweisug drücke Sie, um alle Befehle i eier Zelle auf eimal auszuführe. Dieses ruft de Kerel, de mathematische Ker Mathematicas, auf ud lässt diese die eigegebee Zelle iterpretiere ud ausreche. Dieser Vorgag heisst Evaluiere (Evaluatio). Im folgede sid die fettgedruckte Zeile die Eigabe, ud die dü gedruckte Zeile die zugehörige Ausgabe vo Mathematica. Probiere Sie das folgede Beispiel aus. I Mathematica köe Sie für die Multiplikatio astelle des Sters»*«auch ei Leerzeiche verwede Möchte Sie zwische zwei Zelle (Durch eckige Klammer am rechte Rad markiert.) eie eue Zelle eifüge, klicke Sie zwische die Zelle. Es erscheit eie horizotale Liie. We Sie zu schreibe begie, öffet sich die eue Zelle. Ma ka auch das gaze Notebook auf eimal auswerte. Hierzu muss ma i der Befehlsleiste Evaluatio Evaluate Notebook auswähle. Mathematica speichert alle Evaluieruge (mit alle Date, Variable ud Fuktioe), die es währed eier Sitzug durchführt. So kommt es, dass Mathematica Fuktioe, die ma scho vor lagem gelöscht hat, immer och ket ud dere Fuktiosame deshalb icht freigibt. I eier solche Situatio hilft es, de Kerel zu beede ud da das Notebook ereut isgesamt zu evaluiere. Da ka ma dort, wo ma ausgesetzt hatte, weiter arbeite. De Kerel beedet ma über EvaluatioQuit Kerellocal. Grudlage der Sytax vo Mathematica Sämtliche i Mathematica vordefiierte Fuktioe begie mit eiem Großbuchstabe. Die Parameterliste für Fuktioe werde i eckige Klammer agegebe. Die rude Klammer diee ur zum Klammer vo mathematische Ausdrücke. Daher heisst es aber Si2 Pi, da ur im erste Fall die Klammer die Fuktio der Gruppierug vo Terme habe, im zweite Fall aber die Klammer agebe, dass Argumete a eie Fuktio übergebe werde. Da alle vordefiierte Name (die vo Fuktioe wie Si, Cos oder Sqrt oder vo Variable wie Pi) mit eiem Großbuchstabe begie, wird empfohle, alle selbst defiierte Name mit eiem Kleibuchstabe afage zu lasse. - Ei eifacher Ausdruck: 4/(2+3) - Ei Ausdruck, i dem eie Fuktio beutzt wird: 3*Si[2*(2+x)] Kommetare Will ma, dass Mathematica eie Zelle icht auswertet, da sie ur Fließtext oder eie Kommetar ethält, so muß Mathematica gesagt werde, dass es sich ur um eie Text-Zelle hadelt. Dazu muss die Zelle am rechte Rad markiert werde, da wählt ma aus dem Meu FormatStyleText. Markiert ma higege ur de Ihalt der Zelle oder Teile davo, bewirke die verschiedee Styles ur uterschiedliche Formatieruge, ohe die Art der Auswertug der Zelle zu veräder. Es gibt eie große Mege weiterer Style- ud allgemeier Eistelluge für Zelle, die sich uter FormatStyle, bzw. Format... befide.

3 maskript70.b 3 Ausdrücke Ausdrücke, die Mathematica zur Bearbeitug gegebe werde, werde so weit wie möglich ausgewertet: a a Wie ma sieht, werde die Zahle so weit wie möglich zusammegefasst, aber sobald Variable auftrete, arbeitet Mathematica sehr vorsichtig. Um Mathematica zu sage, dass ei Ausdruck vereifacht werde soll, verwedet ma die Fuktio Simplify: Simplify3 2 5 a a Hier hat Mathematica jetzt vo selbst de Faktor 5 ausgeklammert. Die Fuktio FullSimplify tut dasselbe, versucht jedoch bei komplizierte Ausdrücke och mehr Umformuge ud liefert so machmal ei besseres Ergebiss. Will ma eie Ausdruck ausmultipliziere, muss ma Expad verwede: Expad3 2 5 a a Möchte ma dagege aus eiem ausmultiplizierte Term wieder ei Produkt gewie, ka ma Factor beutze, obwohl i de meiste Fälle Simplify auch scho ausreicht. Variable Factorx^3 3 x^2 y 3 x y^2 y^3 x y 3 Variable sid vom Prizip her sehr eifach. Ma ka mit dem Gleichheitszeiche Variableame, die, wie scho obe empfohle, mit eiem Kleibuchstabe begie sollte, eie Wert zuweise, ohe dass eie vorherige Deklaratio erforderlich ist. Sobald der Name später wieder auftaucht, setzt Mathematica dort de zugewiesee Wert ei. Mit der folgede Zeile wird auf 3 gesetzt: 3 3 Jetzt ka ma wie eie Zahl verwede, ud we ma daach eie eue Wert zuweist, gilt ab da dieser Wert: 2 6 2^ Wie ma sieht, kommt ach der Zuweisug =4 bei dem gleiche Ausdruck 2* ei aderer Wert heraus, da sich selbst geädert hat. Diese Fuktio ist machmal ützlich, sollte aber vorsichtig beutzt werde, de es ist i Mathematica vorgesehe, dass ma jederzeit jede Formel äder ud eubereche ka. Das geht atürlich ur solage gut, wie sich die Variable seit der erste Berechug icht geädert habe. Daher lautet eie Empfehlug: Variable sollte ur eimal gesetzt werde, ud zwar atürlich vor jeder Awedug dieser Variable.

4 4 maskript70.b Uterdrücke der Ausgabe Häufig möchte ma das Ergebis eier Berechug icht auf dem Bildschirm ausgebe. Um dies zu erreiche, ka ma die Aweisug dere Ausgabe uterdrückt werde soll mit eiem Semikolo abschliesse. Wir mache davo i diesem Text gelegetlich Gebrauch um Platz zu spare. We Sie die Beispiele achvollziehe wolle, köe sie die Semikolos weglasse, um die Ausgabe zu sehe. 5 3; ist ohe Ausgabe silos. Aber we Sie eier Variable eie Wert zuweise, kee Sie die Ausgabe scho: h 7; Ausserdem köe mit dem Semikolo mehrere Aweisuge i eier Zeile eigegebe werde. Soderzeiche h 7; l 9; Will ma u griechische Buchstabe i eiem Ausdruck, Umlaute i eiem Kommetar oder mathematische Symbole wie oder i eiem Text verwede, muss ma diese Zeiche gesodert eifüge, we sie sich icht auf der Tastatur befide. Dies ka ma über Palette, die ma ach Beliebe im Meu uter Palettes... aufrufe ka. Für viele dieser Zeiche existiert aber auch ei Tastatur Shortcut. Diese Shortcuts werde i der Form Shor - tcut eigegebe. So sid, z.b. D = d = [ [ = a " = ä Liste - Vektore ud Matrize Die grudlegede Datestruktur i Mathematica ist die Liste. Eie Liste ist eie Aufzählug oder eie Mege vo Elemete. Hierbei kommt es, im Gegesatz zu mathematische Mege, jedoch auch auf die Reihefolge der Elemete a. Die Elemete eier Liste köe so gut wie alles sei, was Mathematica ket. Also ist auch eie Liste eier Zahl, eier Fuktio ud eier weitere Liste eie Liste. Um Elemete zu eier Liste zusammezufasse, gibt es de Befehl List. List1, a, ArcTa, c, d, "Strig" 1, a, ArcTa, c, d, Strig Abkürzed ka ma aber auch eifach die Elemete i ei Paar gemeisamer geschweifter Klammer setze. 1, a, ArcTa, c, d, "Strig" 1, a, ArcTa, c, d, Strig Die meiste aive Fuktioe i Mathematica sid dergestalt, dass sie auf eie Liste agewedet auf jedes Listeelemet eizel wirke. Dies ist eie Kurzschreibweise für die Fuktio Map. kurz für: Si0, Pi 2, Pi 0, 1, 0 MapSi, 0, Pi 2, Pi 0, 1, 0 Liste sid eie Möglichkeit, Vektore ud Matrize darzustelle. Vektore fasst ma als Liste vo Zahle (Real) auf ud Matrize als Liste vo Vektore. Das Arbeite mit Vektore ud Matrize ist i Mathematica recht bequem möglich, da die eifache Recheoperatore Vektore ud Matrize elemetweise verküpfe: 2, 3, 4 1, 5, 8 3, 8, 12 Ist ur eier vo zwei Operade ei Vektor, der adere dagege ei eifacher Ausdruck, so wird der Ausdruck mit jedem eizele Elemet des Vektors verküpft. Das mag bei der Additio zwar reichlich silos erscheie, ist aber das Verhalte, das ma bei eier Multiplikatio erwartet:

5 maskript70.b 5 2, 3, 4 1 3, 4, 5 2, 3, 4 2 4, 6, 8 Ma ka atürlich auch zwei Vektore miteiader multipliziere, aber das führt wie bei der Additio, bei der eie Zahl zu eiem Vektor addiert wird, icht zu mathematisch sivolle Operatioe: 2, 3, 4 1, 1, 2 2, 3, 8 Zum Bestimme des Skalarproduktes verwedet ma statt des Steres eie Pukt. Dieser steht im allgemeie für Matrixprodukt. Das Skalarprodukt zweier Vektore ist auch ichts weiter als das Matrixprodukt eies Zeilevektors mit eiem Spaltevektor. Da Mathematica zwische Zeile- ud Spaltevektore sowieso icht uterscheidet, ist das Skalarprodukt tatsächlich ei Matrixprodukt 2, 3, 4.1, 1, 1 9 Eie Matrix wird als Vektor vo Vektore gleicher Läge eigegebe: 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4 Die Ausgabe erscheit ormalerweise schöer, we ma die Matrix i der sogeate MatrixForm darstellt, idem ma die Fuktio MatrixForm auf die Matrix awedet. Mathematica macht die Ausgabe i der Spezialform dadurch ketlich, dass a die Ausgabeummer //MatrixForm agehägt wird. Das kommt vo eier gaz allgemeie Methode, Fuktioe zu verkette, die erst etwas später erklärt wird: MatrixForm1, 2, 2, MatrixForm1, 2, 2, 3 1, 0, 0, MatrixForm1, 2, 2, 3 1, 0, 0, MatrixForm1, 2, 2, 3.1, 0, 0, Ma beachte vor allem de Uterschied zwische der elemetweise Multiplikatio mit dem Ster ud der Matrixmultiplikatio mit dem Pukt. Zugreife auf Elemete eier Liste: Wir defiiere zu Demostratioszwecke eie Vektor u ud eie Matrix v. u 6, 9 6, 9 MatrixFormv 1, 2, 3, Häufig kommt es vor, dass ma auf ei gaz bestimmtes Elemet eies Vektors, eier Matrix oder allgemei eier Liste zugreife will. Diese Zugriff ermöglicht die Fuktio Part. Ihre Kurzforme sid viel eifacher. Alle der folgede Forme sid Kurzschreibweise für de mit Part realisierte Zugriff auf die Elemete eier Liste. Zugreife auf das erste Elemet des Vektors u geschieht so:

6 6 maskript70.b Partu, 1 u1 6 6 ud der Zugriff auf das Elemet i der erste Zeile ud zweite Spalte der Matrix v so: PartPartv, 1, 2; Partv, 1, 2; v12; v1, 2; v1, 2; v1, 2; v 1,2 2 der Zugriff auf eie komplette Spalte ka mit Hilfe des Platzhalters "All" erreicht werde: vall, 2 2, 4 Die Listeeigabehilfe Die Eigabe lägerer Liste z.b. Messwertetabelle mit geschweifte Klammer ist umstädlich ud uübersichtlich. We sie solche lage Tabelle icht aus eier Datei eilese möchte (siehe später), köe Sie die Listeeigabehilfe verwede. Wähle Sie hierzu aus dem Meu IsertTable/Matrix/Palette. I dem sich öffede Dialogfeld wähle Sie, ob Sie die Liste als Matrix oder Tabelle formatiere möchte ud die Zahl der Zeile ud Spalte. I der so eigegügte Vorlage köe Sie mit zum ächste freie Feld sprige. Fuktioe Fuktioe werde geauso wie Variable mit dem eifache Gleichheitszeiche defiiert. Dabei steht auf der like Seite des Gleichheitszeiches ei sogeates Muster. Über Muster ka ma sehr viel sage, was aber de Rahme dieses Skripts bei weitem spregt. Daher fasse wir hier kurz zusamme, was vo vorehmlicher Bedeutug ist: Schreibt ma eifach f[x]=x^2, scheit es auf de erste Blick auch zu fuktioiere: fx x^2 x 2 x fx x x 2 Aber sobald ma versucht, ei aderes Argumet als x zu verwede, tut Mathematica plötzlich so, als ob es keie Ahug hätte, wie f defiiert ist: y fy y fy Hier wurde die Fuktio icht eigesetzt. Ma ka auch och Simplify darauf awede: Es klappt eifach icht. Der Fehler liegt i der Defiitio der Fuktio. Wie scho erwäht, steht auf der like Seite des Gleichheitszeiches ei Muster. I diesem Fall ist es ei sehr eifaches Muster, ämlich die Fuktio f mit dem Argumet x. Daher wird»die Fuktio f mit dem Argumet x«auch durch die rechte Seite ersetzt. Allerdigs icht»die Fuktio f mit dem Argumet y«, da diese Eigabe icht auf das Muster passt. Was ma beötigt, ist ei Muster, das allgemeier gefasst ist. Dazu verwedet ma de Uterstrich, häufig auch»blak«geat, da er für eie beliebige Ausdruck steht, wie eie Blakostelle, die och ausgefüllt werde muss. Daher der ächste Versuch mit eier kostate Fuktio: costzwei_ 2 2 costzwei5 costzweix costzweix^2 6 Hier hat Mathematica festgestellt, dass das Muster»Die Fuktio costzwei mit eiem beliebige Argumet«i der utere Zeile dreimal vorkommt ud für jedes Vorkomme 2 eigesetzt, so dass sich das Gesamtergebis 6 ergebe hat. Das ist aber auch och icht gaz das, was ma eigetlich braucht, da ma zwar jetzt ei schö allgemeies Muster hat, aber leider icht mehr a das Argumet herakommt. Daher gibt es i Mathematica die Möglichkeit, dem Blak eie Name zu gebe, idem ma ih vor de Uterstrich schreibt. Dieser Name ka da auf der rechte Seite wie eie ormale Variable verwedet werde: Die Fuktio quadrat wird jetzt mit dem Muster»Die Fuktio quadrat mit eiem beliebige Argumet, dass im weitere x geat wird,«defiiert.

7 ergebe hat. Das ist aber auch och icht gaz das, was ma eigetlich braucht, da ma zwar jetzt ei schö allgemeies Muster hat, aber leider icht mehr a das Argumet herakommt. Daher gibt es i Mathematica die Möglichkeit, dem Blak eie Name zu gebe, idem ma ih vor de Uterstrich schreibt. Dieser Name ka da auf der rechte Seite wie eie ormale Variable verwedet werde: Die Fuktio quadrat wird jetzt mit dem Muster»Die Fuktio quadrat mit eiem beliebige Argumet, dass im weitere x geat wird,«defiiert. maskript70.b 7 quadratx_ x^2 x 2 quadrat3 9 Ma sollte darauf achte, dass, we auf der rechte Seite eie Variable vorkommt, die bereits eie Wert zugewiese bekomme hat, dieser Wert verwedet wird, egal, ob es vielleicht eie Parameter gibt, der de gleiche Name hat: egierefalsch_ 15 egiererichtig_ egierefalsch8, egiererichtig8 15, 8 Die Fuktio egierefalsch ist ei Beispiel für dieses Problem. Ma sieht es allerdigs hier scho i der Atwort vo Mathematica, de icht jede Zahl ka egiert -15 ergebe. Leider bemerkt ma bei schwierige Fuktioe dieses Problem icht immer sofort. Daher die Warug: Variable sollte ur mit Bedacht ud aussagekräftigere Name als beutzt werde. Fuktioe köe mit = oder := defiiert werde. Üblicherweise wird := verwedet. Da tritt auch das obe beschriebee Problem icht auf. egieredochichtfalsch_ : egieredochichtfalsch27 27 Bei Verwedug vo = wird die rechte Seite erst so weit wie möglich ausgewertet ud da als Fuktiosdefiitio gespeichert. Verwedet ma higege := erfolgt die Auswertug erst beim Aufruf der Fuktio, achdem die Parameter eigesetzt wurde. Bei viele eifache Fuktioe ist das egal. Der Uterschied wird aber bei Kostruktioe wie im folgede Beispiel, das wir aus der Hilfe etomme habe, deutlich. exx_ : Expad1 x 2 iexx_ Expad1 x x x 2 exy 2 iexy y y y 2 y 2 Es gibt drei Möglichkeite, eie Fuktio auf eie Ausdruck azuwede. Bisher habe wir ur die Fuktiosotatio keegelert. Darüberhiaus gibt es och die Präfix- ud die Postfixotatio. Die Sytax lautet bzw. Argumet//Fuktio. Jeweils das gleiche leiste also Sqrt4; Sqrt4; 4 Sqrt 2

8 8 maskript70.b Symbolisch Reche Was Mathematica wirklich besser macht als eie Tascherecher ist icht ur die Möglichkeit, mit selbstdefiierte Fuktioe oder Vektore zu reche, soder vor allem die Möglichkeit, symbolisch zu reche, also die mathematische Terme zu bearbeite. Zum Beispiel ka Mathematica viele Gleichuge exakt löse, i dem es die Umformuge, die ötig sid, um ach de Variable aufzulöse selbst vorimmt: Solve3 x x^2 10 x 5, x 2 Für de Vergleich zweier Terme verwedet ma das doppelte Gleichheitszeiche, das im Gegesatz zum eifache Gleichheitszeiche keie Zuweisug, soder eie Vergleich vorimmt. Die Fuktio Solve diet dazu, die Lösuge eier Gleichug zu suche. Solage ur eie Variable dari vorkommt, wird automatisch ach dieser Variable aufgelöst. Dabei darf der Variable vorher kei Wert zugewiese worde sei, de dieser Wert würde eigesetzt, bevor die Gleichug gelöst wird, ud damit ka Mathematica ur och feststelle, ob der aktuelle Wert der Variable die Gleichug löst oder icht: Solve2 30 Solve2 29 Die Ausgabe sieht etwas seltsam aus. I dem erste Fall erhält ma eie Liste, die die leere Liste ethält, im zweite Fall eifach die leere Liste. Ma erklärt, dass die eifache leere Liste bei Solve stets da herauskommt, we eie Gleichug ulösbar ist, da es da ebe keie Lösug gibt, die i der Liste stehe köte, ud die leere Liste i eier Liste bei allgemeigültige Gleichuge, da es eie Lösug gibt, bei der aber keie weitere Aussage gemacht werde köe. Diese Aussage "ma muss ichts weiter vorraussetze" wird durch die iere leere Liste ausgedrückt, ud ist i der Liste aller Lösuge das eizige Ergebis. Ma ka symbolisch icht ur Gleichuge löse, soder auch differeziere ud itegriere: D2 x x^2, x 2 2 x Itegrate2 2 x, x 2 x x 2 Im erste Fall wurde der Term 2x+x^2 ach x differeziert, im zweite Fall wurde über x itegriert. Die Itegratioskostate lässt Mathematica weg, ma muss sie selbst addiere, we ma eie Itegratioskostate braucht. Numerisch reche Die Aweisug SiPi 8 Si Π 8 fuktioiert icht so, wie Sie es vermutlich erwartet habe. Mathematica wertet Ausdrücke ormalerweise ur symbolisch aus. We das icht fuktioiert wird der Ausdruck uverädert zurückgegebe. Nur we der Ausdruck Gleitkommazahle ethält, erfolgt automatisch eie umerische Auswertug. Gaze Zahle köe als Gleitkommazahle geschriebe werde, i dem ma eie Pukt ahägt. SiPi, SiPi 8, Si0.125 Pi, Si1, Si1. 0, Si Π, , Si1, Mit der Fuktio N ka ma eie umerische Auswertug erzwige. Sie wird oft i der übersichtlichere Postfixotatio verwedet.

9 maskript70.b 9 NSiPi 8 SiPi 8 N Wichtige Befehle ReadList[ ] ReadList["file",{typ1,typ2,...}] liest Date aus file ei ud erstellt eie Liste mit Elemete der Form {typ1,typ2,...}. dateliste ReadList"sius.dat", Real, Real 0., 0., 1., , 2., , 3., , 4., Real, Iteger, Complex sid hierbei grudlegede Zahletype, die Mathematica ket. Der Pukt hiter eier Zahl i der Ausgabe bedeutet, dass es sich um eie Gleitkommazahl vom Type Real ud icht um eie Gazzahl vom Typ Iteger hadelt. TableForm[ ] Um diese Date übersichtlicher darzustelle, ka ma sich des Befehles TableForm bediee. TableFormdateliste I Postfixotatio wird auch die Befehlseigabe übersichtlicher: dateliste TableForm Der Tabelle ka ma och Spalteüberschrifte verpasse, idem ma beim Fuktiosaufruf vo TableForm die Optio TableHeadigs aspricht. Die leere geschweifte Klammer steht dabei für die hier icht beutzte Zeilebeschriftug. TableFormdateliste, TableHeadigs, "", "si" si Wie ma schell bemerkt, ist eie Postfixotatio uter Verwedug vo mehrere Argumete icht möglich. Hier muss ma sich mit eiem Trick behelfe. Auch we das zuerst umstädlicher aussieht, als i der Fuktiosotatio, zahlt es sich bei lägere Ausdrücke durch eie größere Übersichtlichkeit wieder aus. Dazu defiiert ma eie Hilfsfuktio, die sich auf ei Argumet beschräkt. Die primitive Variate sieht da so aus: tablewithheadstable_ TableFormtable, TableHeadigs, "", "si"; dateliste tablewithheads; Das ergibt zwar das gewüschte Ergebis, allerdigs ist es etwas aufwädig, für die eimalige Beutzug eie eigee Fuktio zu defiiere. Daher ket Mathematica das Kozept der»pure fuctios«, das ma vielleicht mit»aoyme Fuktioe«übersetze köte. Eie pure fuctio hat keie Name, soder wird dort defiiert, wo sie beutzt wird. Die ausführliche Variate beutzt dazu de Mathematica-Befehl Fuctio, der eie solche Fuktio erzeugt. Der erste Parameter vo Fuctio ist der Name der Variable, die als Parameter der zu defiierede aoyme Fuktio diet. Möchte ma i seier Fuktio mehrere Parameter beutze wolle, so gibt ma eifach statt eier Variable eie Liste vo Variabe als erste Parameter vo Fuctio a. Der zweite Parameter vo Fuctio ist

10 beutzt wird. 10 maskript70.b Die ausführliche Variate beutzt dazu de Mathematica-Befehl Fuctio, der eie solche Fuktio erzeugt. Der erste Parameter vo Fuctio ist der Name der Variable, die als Parameter der zu defiierede aoyme Fuktio diet. Möchte ma i seier Fuktio mehrere Parameter beutze wolle, so gibt ma eifach statt eier Variable eie Liste vo Variabe als erste Parameter vo Fuctio a. Der zweite Parameter vo Fuctio ist die Defiitio der aoyme Fuktio. Also das, was auf der rechte Seite des Gleichheitszeiche i der Fuktiosdefiitio steht. Das Beispiel sieht jetzt so aus: dateliste Fuctiotable, TableFormtable, TableHeadigs, "", "si"; Die beate Parameter, hier also table, mache die gaze Sache zwar etwas übersichtlicher, aber auch läger. Daher gibt es auch och eie Sytax, bei der icht ur die Fuktio keie Name mehr hat, soder auch die Parameterame etfalle. De erste (ud häufig eizige) Parameter bezeichet ma mit #, die weitere Parameter mit #2, #3 ud so weiter. Der Kosistez wege ka der erste Parameter auch mit #1 agesproche werde. Um diese Sytax zu beutze, lässt ma das erste Argumet vo Fuctio eifach gaz weg: dateliste FuctioTableForm, TableHeadigs, "", "si"; Ud schliesslich gibt es och die Möglichkeit, auch das Wort Fuctio durch de Postfixoperator & zu ersetze, der hiter de Fuktiosrumpf zu schreibe ist, wodurch ma kürzere ud daher übersichtlichere Ausdrücke erhält, sofer ma die Möglichkeite icht überstrapaziert: Traspose[ ] dateliste TableForm, TableHeadigs, "", "si" & si Traspose[list] bildet das Traspoierte eies Vektors oder eier Matrix. v 1, 2, 3 MatrixForm M 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33 MatrixForm Trasposev MatrixForm TrasposeM MatrixForm Replace[ ], ReplaceAll[ ] oder /. ReplaceAll beutzt Ersetzugsregel der Form x2, um Ausdrücke umzuforme, bzw. zu löse. Die Sytax ist ReplaceAll[Ausdruck,Ersetzugsregel()] oder äquivalet dazu auch Ausdruck /. Ersetzugsregel(). ReplaceAllx x 2, x 2 x x 2. x Mehrere Ersetzugsregel werde i Form eier Liste vo Ersetzugsregel agegebe. Cosa b 2. a 0, b 1 2 Im Gegesatz hierzu ersetzt der Befehl Replace ur gaze Ausdrücke.

11 maskript70.b 11 Replace1 x, 1 x 1 a Replace1 x, x a 1 a 1 x Das Iteressate a Replace ist u, dass ma hiermit Ersetzuge bis zu eiem vorher bestimmte Level eies Ausdrucks vorehme ka. Der Level bezeichet hier die Mathematica-itere Schachtelug der Ausdrücke. De Level ka ma immer mit der Fuktio FullForm asehe, der Ausdrücke vollstädig i Fuktiosotatio, so wie sie i Mathematica iter dargestellt werde ud auch eigegebe werde köte, ausgibt. FullForma b c d Plusa, b, Times1, c, d FullFormx 2 Powerx, 2 Replacex 2, x a, 1 a 2 Der Level vo x i x 2 ist 1, wie ma aus FullFormx 2 zu ersehe ist : Power x, 2 Level 1 Level 0 Level 1 FullFormSix 2 PowerSix, 2 ReplaceSix 2, x a, 1 Six 2 Replace hatte hier keie Effekt, weil sich x erst auf dem zweite Level befidet. Betrachte wir eimal, wie sich das Ersetze i Liste verhält. FullFormx, Replacex, x a, 2 Listx, a FullFormx, Replacex, x a, 2 ListListx, a FullFormx, Replacex, x a, 2 ListListListx, x Die dritte Ersetzug hatte wiederum keie Effekt, da sich das x i der dritte Liste auf der dritte Ebee befidet. Fuktioe aus Packages Für das folgede Beispiel wird der Befehl ErrorListPlot beötigt, der icht zum Stadardsprachumfag gehöre, soder i eiem Zusatzpaket ethalte ist, welches mit der folgede Eigabe gelade wird. Bitte beachte Sie, dass es sich bei dem Hochkomma»`«icht um ei Apostroph»'«soder um eie Akzet grave hadelt, der sich auf eglische Tastature auf der Taste liks ebe der»1«befidet. Needs"ErrorBarPlots`" ErrorListPlot..., x i, y i, y i,... zeichet die Meßwerte x, y mit y Fehler y. Mit PlotStyle{Aweisuge} ka ma grafische Eigeheite, wie Farbe ud Strichbreite eies Plots bestimme. Hier gibt es eie große Azahl verschiedeer Möglichkeite, die i der Mathematica-Hilfe beschriebe werde. Dies gilt ebeso für de Befehl PoitSize.

12 12 maskript70.b Awedugsbeispiel: Lieare Regressio Dieses Beispiel sollte Sie Schritt für Schritt achvollziehe. Am Ede werde Sie eie Fuktio erhalte, die Sie für die Auswertug Ihrer Praktikumsversuche weiter verwede köe. Lade der Mathematika-Stadardpakete Needs"ErrorBarPlots`" Mit dem ächste Befehl werde die Messwerte aus eier Textdatei i eie Liste gelese. I der Datei stehe die Werte durch Leerzeiche getret i drei Spalte. liear ReadList"liear.txt", Real, Real, Real 0., 2.8, 1., 2., 5.2, 1.5, 4., 6.8, 1.2, 6., 9.6, 0.9, 8., 11.2, 1.4, 10., 14., 1.4, 12., 15.6, 1.5, 14., 17., 1.2, 16., 19.8, 1.3, 18., 21.4, 1.5 Die iere Liste der so erzeugte Liste liear etspreche de Zeile der Datei. Der Zugriff auf die eizele Werte wird eifacher, we wir Liste erzeuge, die eier Spalte der ursprügliche Datei etspreche. Diese Aufgabe lässt sich mit folgeder Eigabe löse: x liearall, 1 y liearall, 2 y liearall, 3 0., 2., 4., 6., 8., 10., 12., 14., 16., , 5.2, 6.8, 9.6, 11.2, 14., 15.6, 17., 19.8, , 1.5, 1.2, 0.9, 1.4, 1.4, 1.5, 1.2, 1.3, 1.5 I de Formel für die lieare Regressio trete Summe über alle Datepukte auf. Um diese auzuwerte, brauche wir die Zahl der Datepukte, d.h., die Zahl der Elemete eier Liste. Legth liefert de gewüschte Wert. Legthx 10 Jetzt köe wir die Formel aus dem Skript verwede, um Steigug, Achseabschitt ud die zugehörige Fehler der Regressiosgerade zu ermittel. Das Summezeiche wurde aus eier Palette eigefügt, die sich beim Starte vo Mathematica automatisch öffet. Ist dies icht der Fall, wähle Sie aus dem Meu FilePalettesBasicIput. 1 S xi 2 i 1 yi 2 i 1 yi i 1 xi yi 2 2 a0 1 S xi 2 i 1 yi xi yi 2 i 1 yi 2 i 1 yi 2 i 1 yi 2 xi yi 1 b0 1 S i 1 yi 2 i a0 Sqrt 1 S xi 2 i 1 yi b0 Sqrt 1 S i 1 yi xi yi xi yi yi 2 i 1 yi 2 i 1 yi 2 Nu sid alle Paramter berechet ud wir köe das Ergebis grafisch ausgebe. Die Messpukte werde mit dem Befehl ErrorListPlot ausgegebe:

13 maskript70.b 13 ErrorListPlotliear Die Ausgleichsgerade ka mit dem Befehl Plot gezeichet werde. Das erste Argrumet dieser Fuktio ist die zu plottede Fuktio, das zweite eie Liste, die Laufvariable ud die Greze der x-achse beihaltet. x ka icht als Laufvariable verwedet werde, weil wir scho eie Liste gleiche Names defiiert habe. Probiere Sie es aus! Plot a0 b0 t, t, 1, Jetzt müsse wir ur och beide Graphe zusamme azeige lasse. Hierzu verwede wir de Befehl Show, der als Argrumet eie Liste vo Grafik-Befehle erhält ud auch dafür sorgt, dass alle Graphe gleich skaliert werde.

14 14 maskript70.b ShowErrorListPlotliear, Plot a0 b0 t, t, 1, Lieare Regessio als wiederverwedbare Fuktio Die Aufgabe, Lieare Regressio auf eie Satz Werte azuwede, habe wir im vorige Abschitt gelöst. We wir das Gaze u auf eie adere Datei awede wolle, müsse wir die Schritte alle eizel wiederhole. Oder besser das Notebook uter eiem adere Name speicher, de Dateiame der Messwerte äder ud das Notebook eu auswerte. Sie köte so verfahre ud diese Abschitt übersprige, we Sie icht weiter i Mathematica eidrige wolle. Sivoller ist es aber, eie Fuktio zu defiiere, der die Werte übergebe werde ud die da alle Berechuge durchführt. Fuktioe, die irgedwo aufgerufe werde, dürfe keie evetuell scho vorhadee Variable überschreibe. Deshalb ist die Verwedug vo lokale Variable uerlässlich. Lokale Variable sid Variable, die ur ierhalb eies gewisse Bereiches - hier eier Fuktio - gelte. Im Gegesatz zu adere Programmiersprache sid ierhalb vo Fuktioe defiierte eue Variable i Mathematica grudsätzlich global. Dies ist eie gefährliche Fehlerquelle! Um Variable als lokal zu deklariere wird der Befehl Module verwedet. Erstes Argrumet ist eie Liste der lokale Variabel, das zweite die Aweisuge, die ausgeführt werde solle. Die eizele Aweisuge werde mit Semikolos getret. Das Semikolo uterdrückt gleichzeitig die Ausgabe des jeweilige Befehles. Vergesse Sie das Semikolo, erhalte Sie eie auf de erste Blick icht ubedigt achvollziehbare Fehlermeldug. Probiere Sie es aus, damit sie später icht verzweifel! Begie wir mit eiem eifache Beispiel, die Übergabe vo Parameter habe wir ja scho kee gelert: EifachesBeispiela_, b_ : Modulesumme, mittel, summe a b; mittel summe 2 Mit dieser Fuktio ka ma tatsächlich de Mittelwert zweier Zahle bereche: EifachesBeispiel3, 5 4 Die lokale Variable existiere ach diesem Aufruf icht mehr. (Hier platzspared als Liste ausgegebe): summe, mittel, a, b summe, mittel, a, b Auch eie vor dem Fuktiosaufruf defiierte globale Variable wird icht überschriebe: summe EifachesBeispiel2, 6 4

15 maskript70.b 15 summe 12 Schreite wir also zur Tat ud baue wir user Beispiel zu eier Fuktio um. Als Parameter übergebe wir userer Fuktio die aus der Datei eigelesee Liste, da folgt die Deklaratio der lokale Variabel, die Summeidizes sid dabei automatisch lokal. Die restliche Zeile köe wir uverädert weiter verwede. Dabei helfe die Fuktioe Kopiere ud Eifüge. Lediglich ei paar Semikolos müsse ergäzt werde. Nicht mehr beötigte Teile des Notebooks köe Sie lösche, i dem Sie die Zelle am rechte Rad mit der Maus markiere ud drücke. Durch dieses Lösche vergisst Mathematica Ihre Eigabe jedoch och icht. Das köe Sie ur durch Beede des Kerels ud ereutes Auswerte des Notebooks erreiche. Deshalb sollte Sie dies stets tu bevor Sie eie mit Mathematica erstellte Lösug zum Abgebe ausdrucke. LiRegdate_ : Modulex, y, y, S, a0, b0, a0, b0,, Legthdate; x dateall, 1; y dateall, 2; y dateall, 3; 1 S xi 2 i 1 yi 2 i 1 yi 2 i 1 xi yi 2 2 ; a0 1 S xi 2 i 1 yi yi 2 i 1 yi 2 i 1 yi 2 i 1 1 b0 1 S i 1 yi 2 i 1 a0 Sqrt 1 S xi 2 ; i 1 yi 2 1 b0 Sqrt 1 S i 1 yi 2 xi xi yi xi yi 2 i 1 yi 2 i 1 Wede wir die Fuktio u auf usere Datesatz a, erhalte wir: LiRegliear xi yi yi 2 ; yi yi 2 ; Das ist icht gaz das, was wir us vorgestellt habe. Es wird ur das Ergebis der letzte Aweisug ausgegebe. Um mehrere Variable i übersichtlicher Form auszugebe, uterdrücke wir zuächst auch die Ausgabe der letzte Aweisug mit eiem Semikolo ud erweiter die Prozedur um die folgede Zeile: Prit"Berechug der Fehler aus de Eigagsfehler"; PritTableForm"", "Wert", "Fehler", "Steigug b", b0, b0, "Achseabschitt a", a0, a0; Der Befehl Prit erzeugt auch da eie Ausgabe, we er mit eiem Semikolo abgeschlosse wird. Als Ausgabe erhalte wir da: LiRegliear Berechug der Fehler aus de Eigagsfehler Wert Fehler Steigug b Achseabschitt a Um auf die vo userer Fuktio berechete Werte i folgede Rechuge eifach zugreife zu köe, lasse wir die Fuktio mit eier zusätzliche Zeile eie Liste vo Ersetzugsregel zurückgebe. Beachte sie, dass die Aweisug, dere Ausgabe der zurückgegebee Fuktioswert sei soll, icht mit eiem Semikolo abgeschlosse werde darf ud folglich als letzte stehe muss.

16 16 maskript70.b b b0, b b0, a a0, a a0 Awedug der Fuktio Um die Fuktio azuwede ud mit de berechete Werte weiterzureche, wird die vo der Fuktio zurückgegebee Liste i eier Variabel gespeichert. regerg LiRegliear Berechug der Fehler aus de Eigagsfehler Wert Fehler Steigug b Achseabschitt a b , b , a , a Auf eizele der berechete Werte köe wir jetzt zugreife, idem wir ausutze, dass regerg eie Liste vo Ersetzugsregel ist, ud daher a, a, b ud b durch Awedug der Ersetzregel mit /. regerg durch ihre Werte ersetzt werde. a. regerg oder etwas komplizierter: a b. regerg Ausgleichs- ud Grezgerade köe da wie folgt erzeugt werde: ShowErrorListPlotliear, PlotEvaluate b t a, b b t a a, b b t a a. regerg, t, 0, 18, PlotStyle Dashig.0, Dashig0.01, Dashig Der Befehl Evaluate ist a dieser Stelle otwedig, um zu erzwige, dass erst die Ersetzug vorgeomme wird ud da die Stützstelle der Kurve berechet werde. Lässt ma ih weg, erhält ma eie Fehlermeldug, weil Mathematica bei Abarbeitug des Plotbefehls zuächst die zu plottede Fuktio kompiliert, um die Rechug zu beschleuige. Dies ist mit Ersetzugsaweisuge icht möglich. Der Parameter PlotStyle diet dazu, die Gerade uterscheidbar zu mache. Details fide Sie i der Hilfe. Liearisierte Expoetialfuktioe Lese wir zuächst eie Datei mit Messwerte, die eiem expoetielle Gesetz folge, ei. Schö wäre es, we die Werte dabei gleich übersichtlich ausgegebe werde köte. Dies geligt mit dem scho zuvor gebrauchte Befehl TableForm - diesmal als achgestellter Operator.

17 maskript70.b 17 expoetial ReadList"exp.txt", Real, Real, Real TableForm, TableHeadigs, "x", "y", " y" & x y y Versucht ma weiter zu arbeite, stellt ma schell fest, dass ma auf die eizele Listeelemete icht mehr richtig zugreife ka. Dies liegt dara, dass die Variable expoetial u die formatierte Tabelle ethält. Durch richtiges Klammer geligt es, der Variable die uformatierte Liste zuzuweise ud deoch eie formatierte Ausgabe zu erzeuge: expoetial ReadList"exp.txt", Real, Real, Real TableForm, TableHeadigs, "x", "y", " y" & x y y Der Fuktio LiReg werde u icht die Werte direkt soder die logarithmierte Werte mit etspreched umgerechete Fehler übergebe. Das dritte Argumet der Replace-Aweisug gibt dabei a, dass ur bis zur zweite Schachtelugsebee der Liste ersetzt werde soll. liearisiert Replaceexpoetial, xi_, yi_, yi_ xi, Logyi, 1 yi yi, 2 TableForm, TableHeadigs, "x", "ly", " ly 1 y y" & x ly ly 1 y y experg LiRegliearisiert Berechug der Fehler aus de Eigagsfehler Wert Fehler Steigug b Achseabschitt a b , b , a , a

18 18 maskript70.b Show ErrorListPlotliearisiert, AxesLabel "x", "ly", PlotEvaluateb t a. experg, t, 0, 18 ly x Ergebis We Sie a diesem Pukt agekomme sid, sollte Sie ei Notebook vor sich habe, dass etwa wie folgt aussieht: Needs"ErrorBarPlots`" LiRegdate_ : Modulex, y, y, S, a0, b0, a0, b0,, Legthdate; x dateall, 1; y dateall, 2; y dateall, 3; 1 S xi 2 i 1 yi 2 i 1 yi 2 i 1 xi yi 2 2 ; a0 1 S xi 2 i 1 yi yi 2 i 1 yi 2 i 1 yi 2 i 1 1 b0 1 S i 1 yi 2 i 1 a0 Sqrt 1 S xi 2 ; i 1 yi 2 1 xi xi yi xi yi 2 i 1 yi 2 i 1 xi yi yi 2 ; yi yi 2 ; b0 Sqrt 1 S ; i 1 yi 2 Prit"Berechug der Fehler aus de Eigagsfehler"; PritTableForm"", "Wert", "Fehler", "Steigug b", b0, b0, "Achseabschitt a", a0, a0; b b0, b b0, a a0, a a0 Auswertug lieare Fuktio liear ReadList"liear.txt", Real, Real, Real 0., 2.8, 1., 2., 5.2, 1.5, 4., 6.8, 1.2, 6., 9.6, 0.9, 8., 11.2, 1.4, 10., 14., 1.4, 12., 15.6, 1.5, 14., 17., 1.2, 16., 19.8, 1.3, 18., 21.4, 1.5

19 maskript70.b 19 regerg LiRegliear Berechug der Fehler aus de Eigagsfehler Wert Fehler Steigug b Achseabschitt a b , b , a , a ShowErrorListPlotliear, PlotEvaluate b t a, b b t a a, b b t a a. regerg, t, 0, 18, PlotStyle Dashig.0, Dashig0.01, Dashig Auswertug Expoetialfuktio expoetial ReadList"exp.txt", Real, Real, Real TableForm, TableHeadigs, "x", "y", " y" & x y y liearisiert Replaceexpoetial, xi_, yi_, yi_ xi, Logyi, 1 yi yi, 2 TableForm, TableHeadigs, "x", "ly", " ly 1 y y" & x ly ly 1 y y

20 20 maskript70.b experg LiRegliearisiert Berechug der Fehler aus de Eigagsfehler Wert Fehler Steigug b Achseabschitt a b , b , a , a Show ErrorListPlotliearisiert, AxesLabel "x", "ly", PlotEvaluateb t a. experg, t, 0, 18 ly x Literatur: Die beide folgede Titel sid bei der Auskuft i der Fachbereichsbibliothek erhältlich. Sie köe im Rahme de Kurzausleihe für eie Tag (z.b. i de Recherraum), über Nacht oder übers Wocheede ausgeliehe werde. Wolfram, Stephe: Mathematica book. 4 Aufl Gaylord, Richard J. et al: Programmig with Mathematica. 2. Aufl 1996 Das Mathematica book ethält eie gut lesbare Eiführug, die vor allem das Löse kleierer mathematischer Probleme ohe eigetliche Programmierug erklärt. Ausserdem ethält es eie ausführliche Beschreibug der Befehle vo Mathematica ud der meiste Stadard-Packages. Das Buch ist auch im Volltext über die Hilfe- Fuktio zugäglich. Programmig with Mathematica richtet sich a völlige Afäger sowohl im Bezug auf Mathematica als auch im Hiblick auf allgemeie Programmiertechike. Es führt gleichzeitig Schritt für Schritt i Mathematica ud i elemetare Programmiertechike ei.

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