Analysis 1. Einführung. 22. März Mathe-Squad GbR. Einführung 1

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1 Analysis 1 Einführung Mathe-Squad GbR 22. März 2017 Einführung 1

2 y x /* */ Einführung Allgemeines 2

3 Allgemeines Funktion f(x) bildet jeden x-wert genau auf einen y-wert ab Definitionsmenge D f gibt alle x-werte an, die in f(x) eingesetzt werden dürfen Wertemenge W gibt alle y-wert an, die durch die Funktion f(x) angenommen werden Einführung Allgemeines 2

4 Wertemengen: R alle reellen Zahlen R 0 alle reellen Zahlen 0 (R <0, R 0, R >0 analog) R \ {a 1,..., a n } alle reellen Zahlen außer den Punkten a 1 bis a n [a; b] abgeschlossenes Intervall von a nach b ]a; b[ offenes Intervall von a nach b ]a; b] halboffenes Intervall von a nach b (a nicht im Intervall enthalten) Beachte wird immer mit einer offenen Klammer versehen Einführung Allgemeines 3

5 Wichtige Funktionen Gerade f(x) = m x + t m Steigung, t Achsenabschnitt Definitionsbereich D f = R m = y x Einführung Wichtige Funktionen 4

6 Polynome f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 a k nennt man die Koeffizienten von x k Definitionsbereich D f = R Den höchsten Exponenten nennt man den Grad des Polynoms Beachte Ein Polynom vom Grad k kann maximal k Nullstellen haben Geraden und Parabeln sind spezielle Polynome Einführung Wichtige Funktionen 5

7 Wurzelfunktion f(x) = k x = x 1 k Definitionsbereich D f = R 0 für k gerade D f = R für k ungerade Die k x ist die Zahl, die man hoch k nehmen muss, um x zu erhalten k 0 = 0 k 1 = 1 Einführung Wichtige Funktionen 6

8 Betragsfunktion f(x) = x Der Betrag einer Zahl macht die Zahl positiv Grafisch spiegelt der Betrag einer Funktion die negativen Teile an der x-achse W 0 Einführung Wichtige Funktionen 7

9 Gebrochen rationale Funktion f(x) = g(x), wobei g(x) und h(x) Funktionen sind h(x) g(x) ist der Zähler, h(x) ist der Nenner Nullstellen: g(x) = 0 Definitionslücken: h(x) = 0 Die Definitionslücken nennt man Polstellen Einführung Wichtige Funktionen 8

10 Sinus und Kosinus f(x) = sin(x), g(x) = cos(x) Definitionsbereich D f = R Verlaufen periodisch zwischen 1 und 1 Beachte den Zusammenhang mit dem Einheitskreis (negativer Wert ist Drehung mit dem Uhrzeigersinn) π enspricht 180 Grad Nullstellen: Sinus: k π mit k Z (Z sind alle ganzen Zahlen) Kosinus: π 2 + k π mit k Z Sinus ist punktsymmetrisch, Kosinus ist achsensymmetrisch Achtung Einstellung des Taschenrechner von D auf R, wenn man mit Vielfachem vom π rechnet Einführung Wichtige Funktionen 9

11 (Natürliche) Exponentialfunktion f(x) = e x Definitionsbereich D f = R Eulersche Zahl e = 2, Für alle x-werte gilt: e x > 0 und hat damit insbesondere keine Nullstelle e 0 = 1 Beachte e x = 1 e x Einführung Wichtige Funktionen 10

12 (Natürliche) Logarithmus f(x) = ln(x) Definitionsbereich D f = R >0 Umkehrfunktion der e-funktion Grafisch ist ln(x) die Spiegelung von e x an der Winkelhalbierenden ln(1) = 0 Einführung Wichtige Funktionen 11

13 Nullstellen f(x) = 0 Spezialfall Polynome: f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 kann in Linearfaktorschreibweise dargestellt werden, wobei die Nullstellen sofort abgelesen werden können Seien x 1,..., x n n Nullstellen (können auch mehrmals auftreten), dann gilt: f(x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x +a 0 = a n (x x 1 )... (x x n ) Vielfachheit der Nullstellen: gerade Anzahl: Graph berührt die x-achse ungerade Anzahl: Graph schneidet die x-achse Bemerkung Bei einem Polynom vom Grad 3 muss eine Nullstelle x 1 erraten werden. Dann Polynomdivision durch (x x 1 ) Einführung Nullstellen 12

14 Symmetrie Tipp Achsensymmetrie: f(x) = f( x) Punktsymmetrie: f(x) = f( x) Setze in die Funktion x ein und überprüfe, ob genau die selbe Funktion (Achsensymmetrie) oder ob die gleiche Funktion mit einem negativen Vorzeichen (Punktsymmetrie) herauskommt. Wenn keiner dieser Fälle auftritt, liegt keine Symmetrie vor. Einführung Symmetrie 13

15 Änderung von Funktionen Die Funktion g(x) soll aus einer beliebige Funktion f(x) entstehen. Es gilt dann für g(x): g(x) = a f ( b (x + c) ) + d a: Streckung/Stauchung in die y-richtung Streckung für a > 1 Stauchung für 0 < a < 1 Spiegelung an der x-achse füra negativ b: Streckung/Stauchung in die x-richtung Stauchung für b > 1 Streckung für 0 < b < 1 Spiegelung an der y-achse für b negativ Einführung Änderung von Funktionen 14

16 c: Verschiebung in die x-richtung Verschiebung nach links für c > 0 Verschiebung nach rechts für c < 0 d: Verschiebung in die y-richtung Verschiebung nach oben für d > 0 Verschiebung nach unten für d < 0 Einführung Änderung von Funktionen 15