Fachwissenschaftliche Grundlagen

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Hetty Kalb
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1 Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau 1. Vorlesung Roland Gunesch Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 1 / 26

2 Themen heute 1 Ziele dieser Vorlesung 2 Mathematik an der Universität 3 Wann hat Mathematik jemals jemandem genützt? 4 Verstehen und Beweisen 5 Grundlagen: Aussagenlogik Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 2 / 26

3 Organisatorisches Organisatorisches Vorlesungen: Mittwoch 10:15 11:45 sowie Donnerstag 12:1513:45 Übungen: 2 Stunden pro Woche, bitte umgehend anmelden. Einteilung und Koordination: Ulrike Dreyer (Sprechstunde Di 14 Uhr) Klausur: Anmeldung erforderlich: Übungsaufgaben: Aufgaben werden korrigiert (Kriterium: sinnvolle Lösungsansätze). Teamarbeit in Gruppen, 3-4 Personen pro Team, Teameinteilung bitte beibehalten. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 3 / 26

4 Ziele dieser Vorlesung Ziele dieser Vorlesung Kontakt mit Mathematik auf Universitätsniveau, Unterschiede zur Schule verstehen Gutes Verständnis einiger ausgewählter Methoden (wenige Methoden gut kennen statt viele Methoden nur als Rechentechnik mechanisch abarbeiten) Konzept mathematischer Beweis verstehen und benutzen können; selbst Aussagen beweisen können Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 4 / 26

5 Mathematik an der Universität Mathematik an der Universität verglichen mit Mathematik an der Schule Wo sind die Unterschiede? Beispiel anhand einer einfachen Schulaufgabe: Lösen Sie 2x + 1 = 0. Lösung: x = 1 2. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 5 / 26

6 Mathematik an der Universität Mathematik an der Universität Lösen wir an der Universität vielleicht besonders groÿe Gleichungen? Z.B x = 0? Eher nicht. Oder besonders schwierige Gleichungen? Z.B. x x = 0? Auch nicht unbedingt. Was machen wir dann? Verstehen. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 6 / 26

7 Wann hat Mathematik jemals jemandem genützt? Wann hat Mathematik jemals jemandem genützt? 3 Beispiele: Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 7 / 26

8 Wann hat Mathematik jemals jemandem genützt? Internetsuche Durch Mathematik zum Milliardär Zwei Studierende denken über ein mathematisches Problem nach (Gewichtung von Internetseiten). Sie verstehen das Problem, besser als andere. Die beiden werden Milliardäre. (Sergei Brin und Larry Page; ihr mathematisches Produkt heiÿt Google) Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 8 / 26

Wann hat Mathematik jemals jemandem genützt? Kathedralen Durch Mathematik zu Schönheit Architekten und Ingenieure haben lange über stabile Konstruktionen nachgedacht.

9 Wann hat Mathematik jemals jemandem genützt? Kathedralen Durch Mathematik zu Schönheit Architekten und Ingenieure haben lange über stabile Konstruktionen nachgedacht. Besonders Talentierte haben es als mathematisches Problem verstanden. Sie konnten besonders elegante und schöne Kathedralen bauen. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9 / 26

10 Wann hat Mathematik jemals jemandem genützt? Kathedralen Übrigens kann man man ähnlichen Methoden auch besonders lange und elegante Brücken bauen. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 10 / 26

11 Wann hat Mathematik jemals jemandem genützt? Muster in biologischen Systemen Durch Mathematik Leben verstehen Biologische Systeme zeigen oft unerwartete Muster. Mathematik hilft, diese zu verstehen. Sehen Sie ein Muster in Sonnenblumen? Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 11 / 26

12 Verstehen und Beweisen Wie ist Mathematik an der Universität anders als an der Schule? Typische Unterschiede: mehr Verstehen statt rechnen (macht auch mehr Spaÿ) mehr Abstraktion (nützlich aber schwierig; Abstraktionsschockgefahr) Aussagen müssen bewiesen werden. (Wie? Das lernen Sie hier.) Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 12 / 26

13 Verstehen und Beweisen Beispiel eines Beweises Satz Sei n eine gerade ganze Zahl, das heiÿt, es gibt eine ganze Zahl m, so dass n = 2m gilt. Dann ist n 2 wieder eine gerade ganze Zahl. Beweis. n = 2m = n 2 = 4m 2 = n 2 = 2M mit M = 2m 2. Frage: Gilt die Umkehrung auch? Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 13 / 26

14 Verstehen und Beweisen Wozu beweisen? Hypothetische Unterhaltung: A: Was ist der Satz von Pythagoras? B: Das ist eine Aussage über Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck. Seit Jahrtausenden bekannt. A: Ja und, gilt die Aussage immer noch? Interessanterweise ist letztere Frage berechtigt. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 14 / 26

15 Verstehen und Beweisen Wozu beweisen? Gelten Erkenntnisse aus Naturwissenschaften (Astronomie, Physik, Geographie), aus der Medizin, und aus den meisten Bereichen des Lebens, nach Jahrtausenden noch viel? Kennen Sie jahrtausendealte Erkenntnisse über Informatik, Neurowissenschaften, Nanotechnologie? Haben Gesellschaft, Politik, Literatur nach Jahrtausenden noch dieselbe Struktur? Mathematik ist ganz besonders: Im Gegensatz zu allen naturwissenschaftlichen Erkenntnissen halten mathematische Erkenntnisse ewig. Sie lernen also hier, Dinge zu schaen, die ewig halten. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 15 / 26

16 Verstehen und Beweisen Aussagenlogik Dazu benötigen wir eine geeignete Sprache und gedankliche Konzepte. Für logisches Schlussfolgern benutzen wir die Aussagenlogik. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 16 / 26

17 Grundlagen: Aussagenlogik Aussagen Wir befassen uns zunächst mit solchen Aussagen, die wahr oder falsch sind. Andere Möglichkeiten existieren erst einmal nicht (tertium non datur). Beispiele: 1=1 0=1 In diesem Raum sind mindestens 132 Personen anwesend. Heute ist Mittwoch. Diese Vorlesung ist extrem interessant. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 17 / 26

18 Grundlagen: Aussagenlogik Aussagenlogik: Die Verknüpfung und (Konjunktion) Die Verknüpfung a und b der Aussage a und der Aussage b, auch geschrieben als a b, ist wahr, wenn sowohl a als auch b wahr sind. Ansonsten falsch. Beispiele: (1 = 1) (2 = 2) ist wahr. (1 = 1) (7 = 8) ist falsch. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 18 / 26

19 Grundlagen: Aussagenlogik Aussagenlogik: Die Verknüpfung oder (Disjunktion) Die Verknüpfung a oder b der Aussage a und der Aussage b, auch geschrieben als a b, ist wahr, wenn mindestens eine der Aussagen a, b wahr sind. Ansonsten falsch. Beispiele: (1 = 1) (2 = 3) ist wahr. (1 = 1) (7 = 7) ist wahr. Dies ist ein inklusives oder. Es gibt auch ein exklusives oder, für das w w = f gilt. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 19 / 26

20 Grundlagen: Aussagenlogik Aussagenlogik: Die Verknüpfung impliziert (Implikation) Die Verknüpfung a impliziert b der Aussage a und der Aussage b, auch geschrieben als a = b, ist immer wahr, auÿer wenn aus etwas Wahrem etwas Falsches folgt. Insbesondere ist (f = w) eine korrekte Implikation, also wahr. Beispiele: (1 = 1) = (2 = 3) ist falsch. (1 = 2) = (0 = 0) ist wahr. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 20 / 26

21 Grundlagen: Aussagenlogik Aussagenlogik: Die Verknüpfung impliziert (Implikation) Sprechweisen: Wenn a, dann b. b, wenn a. Aus a folgt b. b folgt aus a. a ist hinreichend für b. b ist notwendig für a. b ist mindestens so wahr wie a. a gilt höchstens dann, wenn b gilt. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 21 / 26

22 Grundlagen: Aussagenlogik Aussagenlogik: Die Verknüpfung ist äquivalent zu Die Verknüpfung a ist äquivalent zu b der Aussage a und der Aussage b, auch geschrieben als a b, ist wahr, wenn beide der Aussagen a, b wahr sind oder wenn sie beide falsch sind. Ansonsten ist die Äquivalenz falsch. Beispiele: (1 = 1) (2 = 2) ist wahr. (0 = 1) (7 = 8) ist wahr. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 22 / 26

23 Grundlagen: Aussagenlogik Aussagenlogik: Die Verknüpfung ist äquivalent zu Sprechweisen: a und b sind äquivalent. a gilt genau dann, wenn b gilt. a dann und nur dann, wenn b. Aus a folgt b und umgekehrt. a und b implizieren sich gegenseitig. a ist gleichbedeutend zu b. a ist genauso wahr wie b. a ist gleichwertig zu b. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 23 / 26

24 Grundlagen: Aussagenlogik Aussagenlogik: Das Gegenteil (Negation) Für eine Aussage a schreiben wir mit das Gegenteil: Wenn a wahr ist, ist a falsch und umgekehrt. Beispiele: (0 = 1) ist wahr. (1 = 1) ist falsch. Sprechweisen: nicht a, Nicht-a, Gegenteil von a, Komplement von a a Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 24 / 26

25 Grundlagen: Aussagenlogik Aussagen mit Variablen Zunächst müssen wir die logischen Verknüpfungen, die wir kennen, wirklich verstehen. Danach werden wir Aussagen studieren, deren Wahrheitsgehalt von Variablen abhängig ist. Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 25 / 26

26 Anhang Literatur Einführende Literatur I Hermann Schichl, Roland Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten Springer-Verlag, 2009 ISBN Lutz Warlich: Grundlagen der Mathematik fuer Studium und Lehramt Aula-Verlag ISBN Kristina Appell, Jürgen Appell Mengen Zahlen Zahlbereiche. Eine elementare Einführung in die Mathematik Spektrum, 2005 Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 26 / 26

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