Berufsreifeprüfung Mathematik

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1 BRP Mathematik VHS Favoriten Seite 1 / 8 Berufsreifeprüfung Mathematik Lehrplan laut Berufsreifeprüfungscurriculaverordnung Volkshochschule Favoriten Frühjahrstermin 2016 Notenschlüssel: Note Sehr gut Gut Befriedigend Genügend Nicht genügend Punkte Fotoausarbeitung (8 Punkte) Ein Fotoversand verlangt für jeden Abzug 0,35 und eine Versandkostenpauschale von 3,50. Im Drogeriemarkt kostet ein Abzug 65 Cent und es gibt keine zusätzlichen Kosten. (a) Es werden 10 Bilder zum Entwickeln gegeben. i. Berechnen Sie, wie viel Prozent des Endbetrags die Versandkosten beim Fotoversand ausmachen. (1 P) ii. Überprüfen Sie, ob die Abzüge im Drogeriemarkt billiger kommen. (1 P) (b) Kostenfunktion Es sei x die Anzahl der Fotos und K(x) der entsprechende Preis. i. Erstellen Sie die Kostenfunktionen für den Fotoversand und den Drogeriemarkt. (2 P) ii. Veranschaulichen Sie beide Kostenfunktionen durch ihre Grafen in einer Zeichnung. (2 P) iii. Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch, ab welcher Anzahl bestellter Fotos der Fotoversand billiger als der Drogeriemarkt ist. (2 P)

2 BRP Mathematik VHS Favoriten Seite 2 / 8 2. In der Galerie (12 Punkte) (a) Das berühmte Gemälde "Adele Bloch-Bauer I" von Gustav Klimt wurde 2006 von dem Unternehmer Ronald Lauder um 106,7 Mio Euro ersteigert. Seitdem ist es in der Neuen Galerie in Manhattan, New York City, ausgestellt. Das Gemälde hat die Maße 1,38m x 1,38m. Eine Besucherin sieht die Unterkante des Bildes unter dem Höhenwinkel α = 9,46 und die Oberkante unter dem Höhenwinkel β = 32,07. i. Tragen Sie die Winkel in die Skizze ein. (2 P) ii. Berechnen Sie die Entfernung der Besucherin vom Bild. (4 P) iii. Berechnen Sie, in welcher Höhe sich die untere Bildkante befindet, wenn sich die Augenhöhe der Besucherin in 1,30 m Höhe befindet. (2 P)

3 BRP Mathematik VHS Favoriten Seite 3 / 8 (b) Folgender Graf zeigt den Winkel γ, unter dem die Besucherin ein anderes Bild sieht, in Abhängigkeit von ihrem Abstand x zur Bildwand. i. Lesen Sie den maximalen Winkel und den zugehörigen Abstand ab. (2 P) ii. Zeichnen Sie diesen Winkel im folgenden Einheitskreis ein und markieren Sie den Sinus-, Cosinus- und Tangenswert. (2 P)

4 BRP Mathematik VHS Favoriten Seite 4 / 8 3. Waldgrundstück (10 Punkte) Ein Waldgrundstück wird von einer geradlinigen Forststraße AB = 200 m, von 2 dazu normalen Zäunen AD und BC und einem geschwungenen Bach DC begrenzt (siehe Skizze). Nach Einpassung in ein Koordinatensystem kann der Bach näherungsweise durch die Funktion f (x)= x x2 +x+100 beschrieben werden. (a) Grundstücksplan i. Ermitteln Sie eine Wertetabelle von f(x) über [0; 200] mit einer Schrittweite von 50 m. (1 P) ii. Stellen Sie die zwei Geradengleichungen auf, auf denen die Strecken AB und BC liegen. (2 P) (b) Untersuchung des Bachlaufs i. Begründen Sie, wieso man den Bachlauf nicht mit einer linearen oder quadratischen Funktion modellieren kann. (1 P) ii. Berechnen Sie den kürzesten Abstand des Bachlaufs von der Straße. (2 P) iii. Berechnen Sie den Wendepunkt W und zeigen Sie, dass W der Halbierungspunkt der Strecke DC ist. (2 P) (c) Untersuchung des Grundstücks i. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Waldgrundstücks mit Integral. (1 P) ii. Begründen Sie mit Hilfe einer Skizze, wieso der Flächeninhalt des Grundstücks mit dem Inhalt des Rechtecks ABCD übereinstimmt. (1 P)

5 BRP Mathematik VHS Favoriten Seite 5 / 8 4. Der Absturz der SMS :-( (9 Punkte) Laut einem Zeitungsartikel vom nimmt die Zahl der gesendeten SMS ab. Wurden im Jahr 2012 noch 8,4 Milliarden Kurznachrichten verschickt, so hat sich die Anzahl der SMS im Jahr 2014 auf 4,6 Milliarden drastisch reduziert. (a) Geben Sie an, um wie viel Prozent die Zahl der versendeten Kurznachrichten von 2012 auf 2014 gesunken ist. (1 P) Dieser Trend soll sich auch im Jahre 2015 fortsetzen. (b) Setzen Sie für die Zahl der gesendeten SMS einen linearen Zusammenhang voraus und geben Sie eine Formel an, mit der man die Anzahl der gesendeten SMS für die nächsten Jahre berechnen kann. Dazu verwenden Sie folgende Variablen: G(t) Anzahl der gesendeten SMS (in Milliarden) nach t Jahren t Zeit in Jahren ab 2012 (2 P) (c) Setzen Sie für die Zahl der gesendeten SMS einen exponentiellen Zusammenhang voraus und berechnen Sie die nach diesem Modell zu erwartende Anzahl an gesendeten Kurznachrichten für (2 P) Die Anzahl der täglich in einer kleinen Stadt versendeten Kurznachrichten sei normalverteilt mit μ = und σ = (d) Erklären Sie, warum die folgenden beiden Aussagen Aussage 1: An einem Tag werden höchstens SMS verschickt Aussage 2: An einem Tag werden mindestens verschickt gleich wahrscheinlich sind. (1 P) (e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Tag mehr als SMS verschickt werden. (1 P) (f) Tragen Sie die fehlenden Beschriftungen in die dafür vorgesehenen Kästchen ein. (2 P)

6 BRP Mathematik VHS Favoriten Seite 6 / 8 5. Mitarbeitergehälter (10 Punkte) In einer Firma werden an die zwölf Mitarbeiter folgende monatliche Bruttogehälter bezahlt: 1 700, 1 500, 1 600, 1 700, 1 800, 1 600, 1 700, 1 800, 1 700, 2 400, 1 900, (a) Übertragung in ein tabellarisches und grafisches Modell Ordnen Sie den Merkmalsausprägungen x = 1500, 1600,, 2400 die relativen Häufigkeiten r(x) zu. i. Erstellen Sie eine Tabelle für diese Zuordnung. (1 P) ii. Erstellen Sie ein Histogramm für diese Zuordnung. (1 P) (b) Zentralmaße der Liste der Mitarbeitergehälter i. Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Standardabweichung. (2 P) ii. Erklären Sie die Berechnung des arithmetischen Mittels in Worten. (1 P) iii. Ermitteln Sie Median und Quartile und erstellen Sie ein passendes Kastenschaubild (Boxplot). (2 P) (c) Der Mitarbeiter mit dem höchsten Gehalt wird zum Leiter befördert und sein Gehalt verdoppelt. i. Welche der folgenden statistischen Kennzahlen der Gehälterliste ändern sich durch die Gehaltserhöhung NICHT? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an. (1 P) Spannweite Minimum Modus Arithmetisches Mittel Standardabweichung ii. Begründen Sie, wieso sich die Quartile durch diese einzelne Gehaltserhöhung nicht ändern. (1 P) iii. Argumentieren Sie, weshalb bei dieser neuen Liste (nach der Gehaltserhöhung) der Median das Durchschnittsgehalt eines normalen Mitarbeiters besser beschreibt als das arithmetische Mittel. (1 P)

7 BRP Mathematik VHS Favoriten Seite 7 / 8 6. Trinkverhalten von Katzen (5 Punkte) Die Leckfrequenz von Katzen beim Trinken lässt sich durch folgende Formel beschreiben: L(m)=m 6 4,6 1 m. Masse der Katze in kg L(m) Leckfrequenz (Anzahl der Leckbewegungen pro Sekunde) (a) Stellen Sie die Formel mit positiver Hochzahl und mit einer Wurzel dar. (1 P) (b) Berechnen Sie die Leckfrequenz einer 5,5 kg schweren Katze. (1 P) (c) Geben Sie an, wie schwer eine Katze sein müsste, um eine Leckfrequenz von 3,3 Leckbewegungen pro Sekunde zu erreichen. (1 P) Die Formel wird durch folgenden Funktionsgrafen dargestellt: (d) Beschriften Sie die Koordinatenachsen passend zum Zusammenhang. (1 P) (e) Erklären Sie, warum der Funktionsgraf den oben genannten Zusammenhang richtig beschreibt. (1 P)

8 BRP Mathematik VHS Favoriten Seite 8 / 8 7. Im Kindergarten (6 Punkte) Im Kindergarten Kinderparadies weiß man aus Erfahrung, dass im Durchschnitt 8 % der Kinder wegen Krankheit oder aus anderen Gründen fehlen. Eine Gruppe besteht aus 25 Kindern. (a) Was kann man aus dieser Aussage schließen? Kreuzen Sie die beiden richtigen Antworten an. (1 P) In einer Gruppe mit 25 Kindern fehlen mit Sicherheit 2 Kinder. Jedes achte Kind fehlt. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiges Kind zu Hause bleibt, beträgt 8 %. Jedes Kind bleibt an 8 % aller Öffnungstage zu Hause. Es ist auch möglich, dass von 25 Kindern 5 fehlen. (b) i. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe mit 25 Kindern mehr als 3 Kinder fehlen. (1 P) ii. Begründen Sie, welche Verteilung Sie dabei verwenden. (1 P) iii. Interpretieren Sie, was in diesem Zusammenhang mit der folgenden Formel berechnet wird: (1 P) ( 25 5 ) 0,085 0,92 20 (c) In der Spielzeugkiste sind 10 rote und 10 gelbe Bälle. Drei Kinder nehmen ohne hinzusehen je einen Ball heraus. i. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Kind einen roten Ball bekommt. (1 P) ii. Argumentieren Sie, ob Sie hier mit Binomialverteilung rechnen dürfen. (1 P) Viel Erfolg!