6 Permutationen. Beispiele: a) f : R R, f(x) = x 2. b) f : R R, f(x) = e x. c) f : R 2 R, x (Projektion auf die x Achse) y

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1 6 Permutationen Seien und B Mengen. Eine bbildung von nach B ist eine Vorschrift f, die jedem Element x ein eindeutig bestimmtes Element y = f(x) B zuordnet. Schreibe f : B, x f(x) Beispiele: a) f : R R, f(x) = x 2 b) f : R R, f(x) = e x c) f : R 2 R, y-chse ( ) x x (Projektion auf die x chse) y. ( x y) x. ( x x = f y) x-chse Definition: Die bbildung f : B heißt injektiv, falls bei f verschiedene Elemente von auf verschiedene Elemente von B abgebildet werden, wenn also für x, y gilt: Beispiele: us x y folgt f(x) f(y). a) ist nicht injektiv, da f(1) = f( 1) = 1 1

2 b) ist injektiv: Ist e x = e y, so ist x = ln(e x ) = ln(e y ) = y ( ) ( ) 1 1 c) ist nicht injektiv: f = f = f heißt surjektiv, wenn jedes Element von B von f getroffen wird, wenn also zu jedem y B ein x existiert mit f(x) = y. Beispiel a) ist nicht surjektiv, da f(x) = x 2 0, also z.b. 1 von f nicht getroffen wird. b) ist aus dem gleichem Grund nicht surjektiv. ( ) x c) ist surjektiv, denn x = f für alle x R. 1 Eine bbildung, die sowohl injektiv als auch surjektiv ist, heißt bijektiv. Die bbildung id :, x x heißt die identische bbildung von. Komposition von bbildungen: Seien f : B und g : B C bbildungen. Dann wird durch die Vorschrift x g(f(x)) für alle x eine bbildung von nach C erklärt. Sie heißt die Komposition (Hintereinander- usführung) von f und g. Sie wird mit g f (spricht: g nach f ) bezeichnet. Symbolisch kann man g f durch das folgende Diagramm ausdrücken: g f C, x % f g B g(f(x)) Eine bbildung f : B heißt invertierbar, wenn es eine bbildung g : B gibt, so dass sich f und g gegenseitig aufheben, d.h. wenn g(f(x)) = x für alle x und f(g(y)) = y für alle y B: id % f g B und B B id B % g f 2

3 g heißt dann die zu f inverse bbildung. Schreibe für f 1. (6.1) Regel: a) Ist h : C D, so gilt h (g f) = (h g) f b) f id = f und id B f = f c) Genau dann ist eine bbildung invertierbar, wenn sie bijektiv ist. d) Ist f invertierbar, so ist auch f 1 invertierbar und (f 1 ) 1 = f. Beweis: a), b) und d) sind klar. c) Sei die bbildung f : B invertierbar und g : B ihre Umkehrung, d.h. g(f(x)) = x und f(g(y)) = y für x, y B. us f(x) = f(x ) folgt dann x = g(f(x)) = g(f (x )) = x, also x = x. lso ist f injektiv. Sei y B beliebig. Setze x := g(y). Dann ist f(x) = f(g(y)) = y, also ist f auch surjektiv. Sei umgekehrt f bijektiv. Dann gibt es zu jedem y B ein x mit f(x) = y (wegen f surjektiv). Da f auch injektiv ist, ist dieses y durch x eindeutig bestimmt. Setze daher g(y) := x, wenn x das eindeutig bestimmte Element von ist mit f(x) = y. Damit ist eine bbildung g : B bestimmt und es folgt f(g(y)) = f(x) = y für alle g(f(x)) = g(y) = x für alle y B und x (6.2) Korollar: a) Die Menge aller bbildungen von M nach M ist, zusammen mit der Komposition von bbildungen als Verknüpfung, eine Halbgruppe mit neutralem Element id M (6.1 a) und b)). b) Die Menge der bijektiven bbildungen von M nach M ist eine Gruppe (5.1 und 6.1 c)). 3

4 Bezeichnung: Die Gruppe der bijektiven Selbstabbildungen f : M M nennt man auch die symmetrische Gruppe von M, in Zeichen S(M). (6.3) Bemerkung: Ist M endlich und ϕ : M M, so gilt: ϕ invertierbar ϕ injektiv ϕ surjektiv. Beweis: M bestehe aus n Elementen x 1,...,x n. Dann gilt: ϕ ist surjektiv {f(x 1 ),..., f(x n )} besteht aus n Elementen f(x 1 ),..., f(x n ) sind paarweise verschieden f ist injektiv. Ferner gilt nach 6.1 generell: ϕ ist invertierbar f ist injektiv und surjektiv. Von nun an sind wir hauptsächlich interessiert an der Gruppe S n := S({1,..., n}). Sie wird auch als die symmetrische Gruppe oder Permutationsgruppe n ten Grades bezeichnet. Ihre Elemente heißen Permutationen. Notation: Wir beschreiben jede Permutation σ S n durch ihre Wertetabelle: [ [ n n σ = ; insbesondere id σ(1) σ(2) σ(3)... σ(n) {1,...,n} = n Bei der Verknüpfung lassen wir die Kringel weg. Beispiel: Die Permutationsgruppen S 3 besteht aus [ [ [ [ ,,, Sie ist nicht abelsch: [ [ [ = , [ [ = [ [ 1 2 3, (6.4) Bemerkung: S n besteht aus genau n! = n Elementen., [ Beweis: Wir zeigen allgemeiner: Hat N genau n Elemente, so hat man n! verschiedene bijektive bbildungen Beweis: durch Induktion nach n. ϕ : M = {1,..., n} N = {x 1,...,x n } n = 1. Es gibt genau eine bbildung ϕ : {1} N = {x 1 } und 1 = 1! 4.

5 Sei nun n 2 und 6.4 bereits bewiesen wir n 1. Setze T i := {ϕ : M N ϕ bijektiv und ϕ(n) = x i }, i = 1,...,n Dann ist T i T j = φ für i j und T = T 1... T n. T i hat genau so viele Elemente, wie es bijektive bbildung von M = {1,...,n 1} nach N i = {x 1,...,x i 1, x i+1,...,x n } gibt (denn für ϕ T i ist ϕ(n) = x i bereits festgelegt). Nach Induktionsvoraussetzung gibt es davon genau (n 1)! Stück, also ist auch T i (= nzahl der Elemente von T i ) = (n 1)! Wegen T = T 1... T n und T i T j = φ für i j folgt T = T T n = (n 1)! n = n! Definition: Eine Permutation heißt Transposition, wenn sie zwei Zahlen i j aus {1,..., n} vertauscht und die übrigen festläßt. Schreibe dafür (ij). Offenbar gilt: (ij)(ij) = id, also (ij) 1 = (ij), und (ij) = (ji) (6.5) Satz: Im Fall n 2 schreibt sich jede Permutation von S n als Produkt von endlich vielen Transpositionen. Beweis: id= (12)(21). Sei nun π S n, π id. Dann gibt [ es ein kleinstes Element k 0 = k 0 (π) aus {1,...,n} mit π(k 0 ) k 0, k0 1 k also π = k 0 1 π ( k 0 )... Es folgt π(k [ 0 ) > k 0 und mit τ 1 = (π(k 0 )k 0 ) gilt k0... τ 1 π = = π k 0..., wobei π = id oder π id und n k 0 (π ) > k 0. Durch Iteration dieses Prozesses gelangt man nach höchstens n Schritten zur Identität: τ s τ s 1... τ 1 π = id mit Transpositionen τ 1,...,τ s Wegen τ 1 i = τ i folgt π = (τ s τ s 1... τ 1 ) 1 = τ 1 τ 2... τ s. Gerade und ungerade Permutationen: Für π S n heißt sign(π) = 1 i<j n π(i) π(j) i j 5 Signatur von π

6 Offenbar ist sign(id) = 1 und sign ((ij)) = j i i j = 1 (6.6) Satz: sign (π) {±1} und die bbildung hat die Eigenschaft sign:s n {±1}, π sign (π) sign(πσ) = sign(π) sign(σ) für alle π, σ S n. Beweis: Da σ bijektiv ist haben die Produkte sign π = i<j π(i) π(j) i j und i<j π(σ(i)) π(σ(j)) σ(i) σ(j) die gleichen Faktoren, nur in anderer Reihenfolge; also ist sign π sign σ = π(σ(i)) π(σ(j)) σ(i) σ(j) σ(i) σ(j) i j i<j i<j = π(σ(i)) π(σ(j)) = sign (π σ) i j i<j (6.7) Korollar: Schreibe π als Produkt von s Transpositionen π = τ 1... τ s. Dann gilt sign π = sign τ 1... sign τ s = ( 1) s ; also ist { 1, falls s gerade und signπ = 1, falls s ungerade ist Insbesondere läßt sich kein π S n sowohl als Produkt einer geraden, als auch einer ungeraden nzahl von Transpositionen schreiben. Definition: Eine Permutation π heißt gerade, falls sign π = 1 und ungerade, falls sign π = 1. Die Menge n S n der geraden Permutationen ist offenbar eine Gruppe, die sogenannte alternierende Gruppe n ten Grades. (6.8) Bemerkung: n hat genau n 2! Elemente. Beweis: U n S n bezeichne die Menge der ungeraden Permutationen. Wähle eine feste Transposition τ n S n. Dann ist die bbildung ϕ : S n S n, π π τ wegen (π τ) τ = π(τ τ) = π invertierbar mit Umkehrabbildung ϕ. Insbesondere ist ϕ bijektiv. Ferner gilt ϕ( n ) = U n. Es folgt n = U n und wegen S n = n U n, n U n = φ schließlich n! = S n = n + U n = 2 n. 6

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