Diskrete Strukturen. Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt 6 5. Dezember 2007

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1 Techische Uiversität Müche Faultät für Iformati Lehrstuhl für Iformati 5 Computergraphi & Visualisierug Prof. Dr. Rüdiger Westerma Dr. Werer Meixer Witersemester 2007/08 Lösugsblatt 6 5. Dezember 2007 Disrete Struture Hausaufgabe (5 Pute Sei A {, 2,..., 6} mit A = 2 +. Zeige Sie, dass es eie Zahl x A gibt, die durch 2 oder durch teilbar ist. Wir bestimme die Mege X derjeige Zahle x [6], die weder durch 2 och durch teilbar sid. Es gilt X = {6 N } {6 5 N } ud X = 2. Wege A = 2 + a A X icht gelte. Also muß A midestes ei Elemet ethalte, das icht i X liegt, d. h. durch 2 oder teilbar ist. Hausaufgabe 2 (5 Pute Sei M = {, 2,..., m}. Wir betrachte die Mege aller Relatioe R M M.. Wie viele der Relatioe sid icht Futioe mit Defiitiosbereich M? 2. Wie viele der Relatioe sid bijetive Futioe über M?. Wie viele der Relatioe sid totale Orduge vo M? 4. Welcher Zusammehag besteht zwische bijetive Abbilduge, totale Orduge ud Permutatioe vo M? Es gilt m = M.. Da gilt M M = m 2. Die Azahl vo Teilmege R vo M M, d. h. Relatioe über M, ist demach 2 m2. Die Azahl der Abbilduge vo M i M ist m m. Demach sid (2 m2 m m Relatioe über M eie Futioe mit Defiitiosbereich M. 2. Es gibt m! bijetive Futioe vo M ach M.. Es gibt m! totale Orduge über M. 4. Der Begriff der bijetive Abbildug eier Mege M i M ist idetisch mit dem Begriff der Permutatio vo M. Permutatioe vo M ud totale Orduge vo M a ma eieideutig eiader zuorde. Das miimale Elemet eier totale Ordug defiiert das Bild vo ud allgemei defiiert das -leiste Elemet das Bild vo.

2 Hausaufgabe (5 Pute. Sei A eie -elemetige Mege ud es sei B eie m-elemetige Teilmege vo A. Wie viele Teilmege C vo A gibt es, die B ethalte, für de Fall = 5 ud m = 2? Gebe Sie eie Formel für de allgemeie Fall a ud begrüde Sie diese Formel. 2. Bestimme Sie de Koeffiziete vo t xy 4 z i (x + y + z + t 9. Bereche Sie das Ergebis durch suzessive Klammerug ud Bestimmug vo Biomialoeffiziete.. Sei B A. Seie A := A \ B ud [B, A] := {C A B C A} Da ist f : [B, A] P(A mit f(c = C \ B eie bijetive Abbildug vo [B, A] auf P(A. Es gilt wege A = m P(A = 2 m. Für = 5 ud m = 2 ergibt sich P(A = 2 = Ohe Beutzug des Multiomialoeffiziete (hier C(9;,, 4, bereche wir das Ergebis diret durch suzessive Klammerug ud Bestimmug vo Biomialoeffiziete. Es gilt ((x + y + z + t 9 = 9 i=0 ( 9 t i (x + y + z 9 i. i Nu betrachte wir de Summade, der geau de Fator t ethält, also ( 9 t (x + (y + z 6 = ( 9 t 6 i=0 ( 6 x i (y + z 6 i. i Wir betrachte u de Summade, der geau de Fator x ethält, also ( ( 9 6 t x (y + z 5 = ( 9 ( 6 x t 5 i=0 ( 5 y i z 5 i. i Schließlich betrachte wir de Summade, der geau de Fator y 4 ethält, also ( ( ( t x y 4 z. 4 Wir erhalte als Koeffiziete vo t xy 4 z ( ( ( =

3 Hausaufgabe 4 (5 Pute Die Biomische Formel gilt auch, we ma statt Poteze fallede Fatorielle verwedet. Beweise Sie die folgede Gleichug durch Idutio. ( (x + y = =0 x y. Für = 0 steht auf beide Seite der Gleichuge jeweils die Eis, dieser Fall ist also lar. Für alle 0 schließt ma auf + für die fallede Fatorielle wie folgt. (x + y + = (x + y (x + y = x y (x + y ( =0 = (x + y + x y + =0 ( = x + y 0 + x + y + =0 = = x + + x y + + = = ( = x = = + + x y +. =0 x y + + ( ( x y + + x y + + y + x 0 y + y + Hiweis: Die im Folgede als Vorbereitug bezeichete Aufgabe werde icht bewertet ud diee der häusliche Vorbereitug der Tutoraufgabe, die ebefalls icht bewertet werde. Die Abgabe eier Bearbeitug der Vorbereitugsaufgabe zusamme mit der Bearbeitug der Hausaufgabe wird empfohle. Tutoraufgabe werde i de Übugsgruppe bearbeitet. Vorbereitug Wieviele Stelluge gibt es bei dem Spiel TIC TAC TOE ach 4 Züge (d. h., we jeder Spieler zweimal gesetzt hat? Der erste Zug sei beliebig. (siehe auch Für de erste Zug gibt es 9 Möglicheite, für de zweite 8, usw.. Für die Edstellug ist es aber icht vo Bedeutug, ob der Spieler A bzw. B ei bestimmtes Feld mit seiem erste oder seiem zweite Zug belegt hat. Die Azahl der mögliche Stelluge ist also = 756.

4 Vorbereitug 2 Bestimme Sie die Azahl der Möglicheite, 2 + ( > uuterscheidbare Bälle i drei verschiedee Boxe (z. B. eie rote, eie grüe ud eie blaue Box zu verteile, we i eier Box maximal Bälle liege dürfe. Begrüde Sie Ihre Atwort. Auf Grud des beschräte Fassugsvermöges ( eier eizige Box sid gewisse Verteiluge icht möglich. Es geligt beispielsweise icht, alle Bälle auf ur 2 Boxe zu verteile, um imme eie der Boxe leer zu lasse. Für < 4 ist ebefalls eie Verteilug möglich. Die Azahl der mögliche Verteiluge ist also i diesem Fall 0. Wir trasformiere u das Zählmodell, idem wir us alle Boxe mit je Bälle gefüllt dee. Jede gültige Verteilug erhalte wir da, we wir isgesamt ( (2+ = 4 Bälle aus de Boxe etehme. Dabei ist die Etahme offebar ohe Eischräug aus de Boxe möglich. Für 4 zähle wir u die Möglicheite, 4 Bälle aus de volle Boxe zu ehme. Bei dieser Zählug muss die gleiche Zahl herausomme, wie we ma 4 Bälle auf leere Boxe verteilt. Letzteres Problem löse wir ohe Awedug vo Formel wie folgt. Wir reihe die 4 Bälle i eier Liie auf. Da gibt es Möglicheite, eie Box vor, zwische oder ach de Bälle zu stelle. Da gibt es 2 Möglicheite, eie zweite Box vor, zwische oder ach scho vorhadee Gegestäde zu stelle. Damit gibt es ( ( 2 Möglicheite zwei Boxe i die Bälle eizureihe, vo dee allerdigs die Hälfte der Möglicheite im Ergebis gleich sid. Für die Lösug L gilt also L = ( ( 2 2. Vorbereitug Wir betrachte die Stirlig-Zahle zweiter Art S, für, N 0, also die Azahl verschiedeer Partitioe eier -elemetige Mege i ichtleere, paarweise disjute Teilmege.. Begrüde Sie urz die folgede Spezialfälle. S 0,0 =, S, =. S, = 0, falls >. S,0 = 0, falls > Die Reursio S, = S, + S, für alle, N ist aus der Vorlesug beat. Studiere Sie die Darstellug der Reursio bis + = 8 ach Art des Pascalsche Dreiecs aus der Vorlesug.. Zeige Sie für alle : (a S,2 = 2 ud (b S, = ( 2.. S 0,0 : Für = 0 ist eie -elemetige Mege leer. Die leere Partitio, d. h. die leere Mege vo Klasse, ist eie, ud mithi die eizige, Partitio der leere Mege mit = 0. 4

5 2. S, : Eie Partitio, die ebesoviele Klasse besitzt, wie die zu partitioierede Mege, besteht aus eielemetige Klasse. Sie ist eideutig bestimmt. S, : Falls >, da ist also die Azahl der Klasse grösser als die zu partitioierede Mege. Da die Klasse disjut sid, muss midestes eie der Klasse da leer sei, was aber der Defiitio vo Klasse eier Partitio widerspricht. S,0 : Da die Vereiigug der Klasse die zu partitioierede, ichtleere Mege überdece muss, muss midestes eie ichtleere Klasse existiere. Daraus folgt aber > 0. S, = = (0 6 0 (90 ( (6 (0 ( ( (27 (966 (70 Die leere Felder der 9 5-Tabelle stelle die 0 dar. Nach de eigelammerte Zahle wurde icht gefragt.. (a Wir zeige die Behauptug durch Idutio ach. Fall = : S,2 = S,2 = 0 = 2 = 2. Sei u >. Für de Idutiosschritt beobachte wir zuächst, dass ach der allgemeie Reursiosformel S,2 = S, +2S,2 gilt. Es gilt S, = für 2. Da ach Idutiosvoraussetzug S,2 = 2 2 gilt, folgt umittelbar die Behauptug: S,2 = S, + 2S,2 = + 2 (2 2 = 2. (b Für = bestätigt ma S,0 = 0 = ( 2. S, ist die Azahl der Möglicheite, eie -elemetige Mege i Teilmege zu partitioiere. Solch eie Partitio besteht otwedig aus geau eier 2-elemetige Mege ud 2 eielemetige Mege. Dabei ist die Partitio durch Wahl der 2-elemetige Mege eideutig bestimmt, da alle adere Elemete die eielemetige Teilmege bilde. Umgeehrt iduziert jede Wahl eier 2-elemetige Mege solch eie Partitio. Ma hat also zu eier -elemetige Mege eie Bijetio zwische der Mege de Partitioe i -elemetige Teilmege ud der Mege der 2-elemetige Teilmege. Nu gibt es geau ( 2 2-elemetige Teilmege aus eier -elemetige Mege, woraus die Behauptug folgt. 5

6 Tutoraufgabe. Wieviele verschiedee Ergebisse ( Wurfostellatioe a es gebe, we ma mit 8 Würfel gleichzeitig würfelt? Uterscheide Sie dabei zwische folgede Szearie: (a Die Würfel sid alle verschiedefarbig ud damit uterscheidbar. (b Die Würfel sid alle gleichfarbig. (c Füf Würfel sid blau ud drei Würfel sid grü. 2. Wieviele verschiedee Buchstabefolge a ma aus de Buchstabe des Wortes ANTANANARIVO bilde, we jeder Buchstabe geauso oft wie im Ursprugswort voromme soll? (Z. B. muss das N geau dreimal voromme. Beutze Sie eie Tascherecher oder Maple für die Berechuge!. 5 Studete esse 0 Tafel Schoolade. Wieviele Möglicheite gibt es jeweils, stets gaze Tafel auf die 5 Studete aufzuteile. (a Sie esse 0 icht uterscheidbare Tafel. Die Studete sid aber voeiader uterscheidbar (es ist also icht egal, wer wieviele beommt. (b Sie esse 0 icht uterscheidbare Tafel. Die Studete sid icht uterscheidbar, ud jeder isst midestes eie Tafel. (c Sie esse 0 uterscheidbare Tafel ud es soll jeder Studet geau 2 Tafel beomme. 4. Die Quersumme der deadische Darstellug eier atürliche Zahl ist die Summe der Ziffer der Darstellug zur Basis 0, z. B. hat 5404 die Quersumme. Wieviele Zahle zwische 0 ud 9999 mit Quersumme gibt es?. Wirft ma die eizele Würfel hitereiader, so hadelt es sich hierbei um Ziehe mit Zurüclege, weil ja eie Zahl, z.b. die 6, sobald sie eimal gewürfelt wurde, trotzdem beim ächste Wurf wieder auftauche a. (a We alle Würfel verschiedefarbig sid, so hadelt es sich um de geordete Fall, ma a sich vorstelle, die Würfel ach ihre Farbe zu orde. Demach gibt es für de erste Würfel 6, für de zweite Würfel wieder 6, etc., isgesamt 6 8 = Möglicheite. (b We alle Würfel die gleiche Farbe habe, so sid wir im ugeordete Fall. Die Azahl der Möglicheite etspricht also der Azahl vo 8-elemetige Teilmege eier 6-elemetige Multimege. We wir die aschauliche Darstellug mit 8 Sterche ud 6 = 5 Striche wähle, so gibt es ( = 287 Möglicheite 5 Striche aus Zeiche auszuwähle. (c I diesem Fall betrachte wir die blaue ud grüe Würfel getret ud multipliziere die Möglicheite miteiader. Es gibt ( = 252 Möglicheite für die blaue Würfel ud ( +6 6 = 56 Möglicheite für die grüe Würfel, isgesamt also = 42 Möglicheite. 6

7 2. Wir zähle zuächst die Buchstabe im Wort ud es ergibt sich: A - 4, N -, T -, R -, I -, V -, O - Isgesamt besteht das Wort aus 2 Buchstabe. Um ei Wort aus diese Buchstabe zu bilde, öe wir zuächst aus 2 Positioe 4 auswähle, a dee ei A stehe a, da aus verbleibede 8 Positioe a dee ei N stehe a, da wiederum aus 5 Positioe für ei T, etc. Isgesamt ergebe sich ( ( ( ( ( ( 2 4 Möglicheite. I Maple: ( 8 = > biomial(2,4*biomial(8,*biomial(5,*biomial(4,* biomial(,*biomial(2,*biomial(,; (a Verteilug icht uterscheidbarer Bälle auf uterscheidbare Ure: ( ( = = Bemerug: We ma 5 Studete esse 0 Tafel so auffasst, dass jeder midestes eie Tafel isst, da muss ma folgedermaße reche: Geordete Zahlpartitioe bzw. icht uterscheidbare Bälle auf uterscheidbare Ure, wobei i jede Ure midestes ei Ball ommt, also surjetiv ( = ( 9 4 = 26 (b Ugeordete Zahlpartitioe bzw. icht uterscheidbare Bälle auf icht uterscheidbare Ure, wobei i jede Ure midestes ei Ball ommt, also surjetiv 5 P 0,5 = P 5,5 i = P 5,5 + P 5,4 + P 5, + P 5,2 + P 5, = = 7 i=0 Die 7 Möglicheite laute: (6,,,,, (5,2,,,, (4,2,2,,, (4,,,,, (,2,2,2,, (,,2,,, (2,2,2,2,2. (c ( ( ( ( = = Wir odiere die Ziffer 0,, 2,..., 9 etspreched durch, 2,..., 0 ud stelle jede Zahl zwische 0 ud 9999 durch eie Folge vo 4 Zahle aus, 2,..., 0 dar. Die Quersumme dieser Zahldarstelluge ist da 7. Beatlich gibt es ( 7 4 = ( 6 = 560 geordete Zahlpartitioe der Zahl 7, bestehed aus 4 positive atürliche Zahle x, x 2, x, x 4. 7

8 Wir müsse davo diejeige Zahlpartitioe abziehe, i dee ei x i grösser ist als 0, weil usere Zahldarstellug dieser Beschräug uterliegt. Allerdigs a ur höchstes ei x i grösser sei als 0. Es gibt 4 (6 = 4 0 Zahlpartitioe, die eie ethalte. Es gibt 4 (5 = 4 6 Zahlpartitioe, die eie 2 ethalte. Es gibt 4 (4 = 4 Zahlpartitioe, die eie ethalte. Es gibt 4 ( = 4 Zahlpartitioe, die eie 4 ethalte. Im Ergebis gibt es also folgede Azahl A vo Zahle mit Quersumme. A = 560 4( = 480. Tutoraufgabe 2 Tate Era macht Tee ud es omme Gäste. Es bilde sich wie immer Gruppe ud Grüppche, i dee die Gäste im Kreis stehe. Jede Gruppe besteht aus midestes eiem Gast ud es bilde sich Gruppe. We i eier Gruppe mehr als zwei Gäste stehe, da hat jeder Gast eie lie ud eie rechte Gesprächsparter. Zwei Gruppeverteiluge werde als gleich agesehe, we jeder Gast die gleiche Nachbar hat, wobei es aber ei Uterschied sei soll, ob eie bestimmte Perso ei lier oder rechter Nachbar eier adere Perso ist.. Wieviele Gruppeverteiluge gibt es, we Tate Era zuächst icht dabei ist? 2. Tate Era schließt sich u eier der Gruppe a. Wieviele Gruppeverteiluge gibt es jetzt?. Wir ehme u a, dass ei Pärche uter de Gäste ist, das auf jede Fall ebeeiader sitze bzw. stehe will. Wieviele Gruppeverteiluge gibt es jetzt bei Gruppe (Era sei icht dabei?. We die Gäste im Kreis stehe ud es darauf aommt, wer we rechts oder lis als Nachbar hat, da beommt ma die Azahl AGV (, der Möglicheite eier Gruppeverteilug mit Gruppe als Azahl der Permutatioe der Zahle bis mit Zyle. Die gesuchte Futio ist durch die Stirligzahle. Art gegebe. AGV (, = s,. 2. We sich Tate Era eier Gruppe aschliesst, da bleibt offebar die Azahl der Gruppe gleich, aber die Zahl der Gruppeteilehmer ist u + astatt. Wir gehe also zuächst vo s +, Gruppeverteiluge aus. Nu aber müsse wir berücsichtige, dass Tate Era eie eizele Gruppe bilde will. Wir habe also s, Gruppeverteiluge abzuziehe, i dee Tate Era allei eie Gruppe bildet. Wir beomme die gesuchte Azahl vo Möglicheite durch AGV 2 ( +, = s +, s, = (s, + s, s, = s,. 8

9 Dieses Ergebis erhält ma auch mit folgeder Überlegug. Ma a sich ämlich vorstelle, dass sich Tate Era eie der Persoe auswählt ud sich eifach rechts ebe diese Perso stellt. Dies ergibt für alle s, Gruppeverteiluge jeweils eie eue Gruppeverteilug.. Das Pärche a zuächst als eie Perso behadelt werde. Die Azahl der Gruppeverteiluge ist da s,. Allerdigs soll es ja ei Uterschied sei, wer vo beide de adere zum lie bzw. rechte Nachbar hat. Falls das Pärche alleie eie Gruppe bildet, da ist eie Vertauschug icht defiiert. We sich das Pärche aber zu eier adere Gruppe gestellt hat, da gibt es stets zwei Möglicheite, zu stehe. Wir erhalte die folgede Azahl AGV (, vo Gruppeverteiluge AGV (, = s 2, + 2 (s, s 2, = 2 s, s 2,. 9