Durch Simulation dynamische Systeme entdecken Labor 6

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1 Institut für Automatik D-ITET, 2. Sem. ETH Zürich Dr. F. J. Kraus 28. Mai 2004 Durch Simulation dynamische Systeme entdecken Labor 6 In diesem Labor wollen wir einen kleinen Einblick in die Chaostheorie bekommen. Für die folgenden Ausführungen wurden die Texte Chaos und Ordnung Chaos-Theorie in Kürze Vom Chaos zur Chaostheorie auf die auf der Internetseite verwiesen wird, verwendet. 6.1 Geschichtliches An einem Wintertag des Jahres 1961 sitzt der amerikanische Wissenschaftler Edward Lorenz vor seiner elektronischen Rechenmaschine. Er ist Metereologe und Mathematiker, eine Voraussetzung, ohne die er seine folgenschwere Entdeckung an diesem Tage niemals hätte machen können. Lorenz simuliert im Computer Wetterabläufe. An diesem Tage will er zur Kontrolle eine Zeit zurückgehen, und den Apparat eine bestimmte Sequenz noch einmal rechnen lassen, die er schon mal ausgespuckt hatte. Aber: Lorenz gibt als Rechenbasis nicht die im Gedächtnis des Computer gespeicherte Zahl mit sechs Dezimalstellen ( ) ein, sondern rundet nach alter Mathematikersitte und tippt nur Dann will er dem Lärm der Maschine entfliehen und geht eine Tasse Kaffee trinken. Als er wiederkommt und die beiden errechneten und graphisch ausgedruckten Kurven vergleicht, stellt er zu seinem höchsten Erstaunen fest, dass die aus seiner Sicht äusserst geringe Abweichung der Eingabedaten höchst unterschiedliche Ergebnisse gebracht hat. Von nahezu denselben Ausgangsdaten ausgehend, hat der Computer Kurven errechnet, die immer weiter und weiter von einander abweichen, bis sie zuletzt keine Gemeinsamkeit mehr zeigen. Lorenz, der zunächst an einen Defekt seines Gerätes glaubt, erkennt als erster die verhängnisvollen Folgen, die Rundungsfehler in Computer haben können: Kleinste Abweichungen können zu höchst unterschiedlichen Ergebnissen führen. Der klassische Mathematiker arbeitete ganz einfach, benutzte nur sein Gehirn. Langsam ging das, langsam... Im Grunde konnte ein Mensch ohne Computer gar 1

2 nicht viel rechnen. Deshalb wurden Berechnungen drastisch vereinfacht, kleine Abweichungen vernachlässigt. Schlichtweg ganz ausgeblendet wurden alle nichtlinearen Phänomene, obwohl man wusste: Die Wirklichkeit ist nichtlinear. Man befasste sich nur mit den linearen Phänomenen. Für die gab es immer eine Lösung. In der Theorie haben alle Zahlen unendliche Genauigkeit, erläutert Professor Rüdiger Seydel (50) von der Abteilung Numerik an der Universität Ulm. Im Rechner gibt es aber nur endlich viele Stellen. Deswegen sind Fehler zwangsläufig Rundungsfehler. Die aber, so die neue Erkenntnis, können sich eben ganz erheblich auswirken. Und das ist keinesfalls nur ein Problem des Computers, sagt Professor Seydel. überall in der Natur und in der Technik hat man kleine Abweichungen. Kleine Störungen sind immer da. Und bei Instabilität des Systems wirken die sich aus, können dramatische Folgen nach sich ziehen, Chaos. 6.2 Einleitung in die Chaostheorie Was ist Chaos? Zunächst ist Chaos: die Ordnung, die wir (noch) nicht durchschauen. Von Chaos redet man, wenn ein System regellos erscheint, wenn man keinerlei Erkenntnis hat über die Systematik eines Systems, wenn der jeweils nächste Messpunkt nicht prognostiziert werden kann. Inzwischen weiss man: Fast alle zunächst regelmässigen Entwicklungen können in diesem Sinne in Chaos umschlagen, wenn sich gewisse (sogar geringfügige) Einflussgrössen ändern. Die Chaostheorie besagt, dass der gesamten Schöpfung das Prinzip des Chaos zugrunde liegt. Aus den philosophischen Meinungen über das Chaos ragen die Worte der beiden französischen Mathematiker Laplace und Poincaré heraus. Pierre Simon de Laplace ( ) meinte, dass man die Zukunft aller Systeme dann voraussagen kann, wenn man alle Einzelheiten eines Systems kennt. Diese Theorie ging als der Laplacesche Dämon in die Geschichte ein. Dieser Dämon sollte eine Maschine sein, die alle Dinge der Welt weiss und daraus die Zukunft mechanisch vorhersagen könne. Henri Poincaré ( ) war anderer Meinung. Er hatte 1889 die langfristige Stabilität der Planetenbahnen untersucht. Er fand heraus, dass sich winzige gegenseitige Bahnstörungen aufschaukeln und zu drastischen Veränderungen führen könnten. Obwohl er diese Angelegenheit dann nicht weiterverfolgte, da er vor den Konsequenzen zurückschreckte, spricht man heute von Poincaré- Szenarien: Die Entwicklung eines Systems vom geordneten zum chaotischen Verhalten. Er meinte, dass kleine und unsichtbare Ursachen beachtliche Effekte bewirken können, die wir nicht mehr übersehen können. Poincaré lehrte, dass wir die Dinge dieser Welt niemals genau genug messen können um die Zukunft sicher vorhersagen zu können. Wir sprechen dann von zufälligen Entwicklungen, obwohl gar kein Zufall wirkt sondern nur eine unbekannte Zahl nicht genau messbarer Kräfte. Die Fakten geben Poincaré recht. Das Verhalten eines Systems ist nur dann vorhersagbar, wenn es einfach gebaut ist. Betrachen wir die Welt der kleinsten Teilchen. Wenn man radioaktives Jod-131 untersucht, so kann vorausgesagt werden, dass innerhalb von 8 Tagen die Hälfte aller Atome zerfallen wird. Der ge- 2

3 naue Zerfallszeitpunkt gesonderter Atome ist dagegen nicht vorhersagbar. Bei grösseren und komplizierteren Dingen, wie etwa Uhren, Computern, Motoren usw. sind grundsätzlich nur noch unscharfe Prognosen möglich. Ein minimaler Störfaktor genügt, und das Ding funktioniert nicht mehr richtig. Gänzlich unberechenbar, also mathematisch chaotisch, sind hochkomplizierte Dinge wie Weltmärkte, Börsenkurse, das Wetter oder die menschliche Gesellschaft. Man kann das Verhalten dieser Riesensysteme bestenfalls kurzfristig vorhersagen, aber nie so exakt, wie man es haben möchte. Genau das meint die Wissenschaft, wenn sie vom Chaos spricht. Chaos ist nicht Unordnung sondern die sichtbare Wirksamkeit kleinster und unbestimmbarer Faktoren. Chaos und Ordnung sind daher nicht nur Geschwister, es sind siamesische Zwillinge. Ein Charakteristikum chaotischer Systeme ist ihre Empfindlichkeit gegen Veränderung der Anfangs- oder Randbedingungen; oft schlägt regelmässiges Verhalten plötzlich in unregelmässiges um. E. Lorenz hatte dieses Verhalten am Beispiel mathematischer Klimamodelle gefunden: Der Flügelschlag eines Schmetterlings im Golf von Mexiko könnte das Wetter in Europa beeinflussen, meinte er, um diese Abhängigkeit einprägsam darzustellen ( Schmetterlings-Effekt ). Ein einfacheres Beispiel als das Wetter ist das Doppelpendel: Am Ende eines Pendels hängt ein zweites. Wird es nur leicht gestossen, schwingt es regelmässig. Mit stärkerer Anregung werden die Schwingungen unregelmässiger, es beginnt wild herumzuschwingen. Trotz einfacher Gesetze, die ja nach wie vor gelten, ist dieses Verhalten nicht mehr berechenbar. Man spricht vom deterministischen Chaos: Die Naturgesetze gelten, trotzdem ist die Entwicklung des Systems nicht mehr vorhersagbar. Minimalste Unterschiede in den Startbedingungen schaukeln sich nach wenigen Schwingungen auf. 6.3 Kausalität Gerade die Vorhersagbarkeit zeichnet die Naturwissenschaften aus, insbesondere die Physik. Ein Flugzeug fliegt, ein Auto fährt, eine gestossene Billardkugel trifft ihr Ziel (meistens). Wiederholt man einen Vorgang unter gleichen Bedingungen, so erhält man ein gleiches Ergebnis. Kausalitätsprinzip: Aus gleichen Ursachen entstehen gleiche Wirkungen. Genaugenommen kann man niemals exakt die gleichen Bedingungen wiederherstellen, aber ähnliche. Doch auch hier soll gelten: Ähnliche Ursachen ergeben ähnliche Wirkungen. Dies wird als starke Kausalität bezeichnet, von der die schwache einen idealen Spezialfall darstellt. Zum Beispiel schwingt ein normales Pendel, etwas stärker oder schwächer angestossen, im Prinzip ähnlich; die Bahn ist berechenbar. Ein Flugzeug wird zwar nicht immer ganz gleich landen, aber runter kommt es immer. Poincaré und Lorenz aber fanden Prozesse, die bei ähnlichen Ursachen völlig verschiedene Wirkungen haben können! Lange Zeit wurden diese als Kuriositäten angesehen, ignoriert oder verdrängt, passten sie doch gar nicht in das Konzept der Naturwissenschaften. Die Chaostheorie erkannte jedoch: Solche Fälle stellen den Normalfall dar, nur: oft tritt 3

4 erst nach sehr langer Zeit das chaotische Verhalten zutage! Zum Beispiel: Billard-Stösse werden oft mit bewundernswerter Exaktheit ausgeführt; auch nach mehreren Kollisionen trifft die Kugel ihr Ziel. Nehmen wir an, ein Zuschauer steht einen Meter vom Tisch entfernt. Dann bewirkt jedoch seine minimale Gravitationskraft auf die Kugeln, dass deren Stossverhalten mit der 9. Karambolage völlig unberechenbar wird! Die Kausalität gilt also nur für die ersten Stösse. 6.4 Attraktoren und Phasenräume Schon einfache Systeme werden zu bestimmten Zuständen hingezogen. Ein Pendel etwa schwingt genau in einer Frequenz, letztlich landet es gar am tiefsten Punkt. Jeden Morgen starrst Du in die wirbelnde Kaffeetasse und bemerkst, dass immer wieder ähnliche Zustände entstehen, bestimmte Muster werden angestrebt, andere treten selten oder niemals auf. Betrachten wir das System Jäger - Beute (am Beispiel Fuchs - Hase). Ist die Zahl der Füchse hoch, sinkt jene der Hasen; daraufhin sinkt jene der Füchse, die wenig Nahrung finden, die Zahl der Hasen kann wieder steigen. Tatsächlich beobachtet man ständige Schwankungen der Populationen, eine Art von dynamischem Gleichgewicht. Um solche dynamischen Systeme besser beschreiben zu können, führte H. Poincaré eine bestimmte Art von Diagrammen ein. Die sogenannten Phasenräume kann man als (abstrakte) Darstellung aller möglichen Zustände verstehen, als Räume der Möglichkeiten. Auf der x-achse eines Koordinatensystems tragen wir die Zahl der Hasen auf, auf der y-achse jene der Füchse. Jeder mögliche Zustand wird dann durch einen Punkt repräsentiert. Der Phasenraum zeigt uns also alle möglichen Zustände, auch solche, die in der Praxis gar nie eingenommen werden. Nun ist das System aber dynamisch, ein Zustand bleibt nie lange erhalten. Füchse A viele Füchse, wenige Hasen wenige Füchse, viele Hasen B Hasen Abbildung 6.1: Phasenraum eines Jäger-Beute-Systems In Abbildung 6.1 stellt Punkt A ein starkes Übergewicht an Jägern dar. Die Nahrung ist knapp, die Zahl der Füchse sinkt, worauf jene der Hasen zunimmt. 4

5 Das System könnte sich von A nach B entwickeln. Nun hätten wir aber einen Überschuss an Beute, die Zahl der Füchse kann wieder steigen, das System tendiert wieder in Richtung Punkt A. In der Praxis ergibt sich aber kein Hin- und Herpendeln zwischen diesen Extremen, das System nimmt vielmehr ein dynamisches Gleichgewicht mit nicht zu grossen Extremen ein. Im Phasenraum zeigt sich eine geschlossene Kurve, etwa ein Kreis oder eine Ellipse (Abbildung 6.2). Damit wird ein sanftes stetiges Pendeln zwischen Mehrheiten der Füchse bzw. der Hasen dargestellt. Füchse A B Hasen Abbildung 6.2: Dynamik des Jäger-Beute-Systems Diese Kurve stellt den Attraktor des Systems dar. Startet das Ganze an irgendeinem Punkt, zum Beispiel B, pendelt es sich doch früher oder später in den Attraktor ein, dessen genaue Form natürlich von verschiedenen äusseren Umständen abhängt. Chaotische Systeme zeigen wesentlich kompliziertere Attraktoren, was auch bedeutet, dass man ihr Verhalten nicht vorhersagen kann. Der in Abbildung 6.3 gezeigte Lorenz-Attraktor repräsentiert mögliche Zustände unseres Wetters, trotzdem ist dieses nur kurzfristig vorhersagbar. Würde man das Bild vergrössern, um die Umgebung eines Zustandes besser zu sehen, spalten sich die Linien immer mehr auf, wie genau wir auch hinsehen, ständig finden wir neue Strukturen. Solche Attraktoren nennt man auch seltsame Attraktoren. 5

6 Abbildung 6.3: Lorenz Attraktor 6