I. Grundlagen. I. Grundlagen 1. Entscheidungen unter Unsicherheit. 1. Entscheidungen unter Unsicherheit

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1 . Entscheidungen unter Unsicherheit I. Grundlagen. Entscheidungen unter Unsicherheit Elemente des Entscheidungsproblems eines Wirtschaftssubekts: Der Entscheidungsträger kann zwischen verschiedenen Aktionen wählen: Aktionenraum Die Umwelt kann verschiedene Zustände annehmen (states of nature): Zustandsraum Hinweis: Umwelt als nicht-strategischer Spieler Informationsökonomik/WS 2007/08

2 . Entscheidungen unter Unsicherheit Die Ergebnisfunktion X(a i,z ) ordnet eder Kombination von Aktion und Umweltzustand ein Ergebnis zu: Aktion Zustand z z 2 K a x x 2 K a 2 x 2 x 22 K M M M Informationsökonomik/WS 2007/08 2

3 . Entscheidungen unter Unsicherheit Unterscheidung von Entscheidungssituationen (Knight): Sicherheit Risiko Ungewissheit Informationsökonomik/WS 2007/08 3

4 . Entscheidungen unter Unsicherheit Das Bernoulli-Prinzip Wie soll ein Entscheidungsträger zwischen Aktionen bei Risiko auswählen? Beispiel einer Ergebnismatrix: Zustand z z2 Aktion π = 0,5 - π = 0,5 a a a a a a Informationsökonomik/WS 2007/08 4

5 . Entscheidungen unter Unsicherheit Anderes Beispiel: a: Brandversicherung zur Prämie P abschließen a2: keine Brandversicherung abschließen z: Brand mit Totalschaden (20 Mio. Euro) z2: kein Brand Ergebnismatrix: Zustand z z2 Aktion π - π a 20Mio.- P 20 Mio. -P a Mio. Annahme: π = 0-4 Informationsökonomik/WS 2007/08 5

6 . Entscheidungen unter Unsicherheit fair kalkulierte Prämie: (-0-4 ) = Annahme: Verwaltungskostenaufschlag: P = 2500 Zustand z z2 Aktion a a Informationsökonomik/WS 2007/08 6

7 . Entscheidungen unter Unsicherheit St. Petersburger Paradoxon (Daniel Bernoulli (738)) St. Petersburger Spiel: Eine Münze wird solange geworfen, bis zum erstenmal Zahl erscheint. Geschieht dies im n-ten Wurf, so erhält der Spieler von der Bank einen Gewinn von 2 n ausgezahlt. Welchen Preis würde ein Spieler für die Teilnahme an diesem Spiel bezahlen? Informationsökonomik/WS 2007/08 7

8 . Entscheidungen unter Unsicherheit Entscheidung unter Risiko (Bernoulli-Prinzip): Wähle die Entscheidung, die den Erwartungswert des Nutzens maximiert! ai f a, wenn E u(x a i ) > E u(x a ). einige Bemerkungen: nicht nur auf monetäre Auszahlungen beschränkt; von Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion ist eine kardinale Nutzenfunktion. Informationsökonomik/WS 2007/08 8

9 . Entscheidungen unter Unsicherheit Graphische Darstellung des Erwartungsnutzens u u(x 2 ) B u[e(x)] E[u(x)] u(x ) A E D C x s E(x) x 2 Abbildung I..: Risikoaversion x Informationsökonomik/WS 2007/08 9

10 . Entscheidungen unter Unsicherheit u u(x 2 ) B E[u(x)]= u[e(x)] C u(x ) A x E(x) x 2 Abbildung I..2: Risikoneutralität x Informationsökonomik/WS 2007/08 0

11 . Entscheidungen unter Unsicherheit u u(x 2 ) B E[u(x)] u[e(x)] u(x ) A C D E x E(x) s x 2 Abbildung I..3: Risikofreude x Informationsökonomik/WS 2007/08

12 . Entscheidungen unter Unsicherheit u(x) Abbildung I..4: Friedman-Savage-Nutzenfunktion x Informationsökonomik/WS 2007/08 2

13 . Entscheidungen unter Unsicherheit Risikoprämien und Riskoaversionsmaße Arrow-Pratt-Maß der absoluten Risikoaversion: r(x) = u' '(x) u' (x). faire Wette : Lotterie mit einem Erwartungswert von null. Das Wirtschaftssubekt erhält eine Auszahlung von z in Zustand, der mit einer Wahrscheinlichkeit von π eintritt. n π =, E(z) = π z = 0(faire Wette). = n = Informationsökonomik/WS 2007/08 3

14 . Entscheidungen unter Unsicherheit Ausgangsvermögen x: Auszahlung in Zustand : x = x + z Risikoprämie: E(x) n = n = π x = π (x + z ) = x π + π z = = n n = = x. u(x rp) = E[u(x)] = E[u(x + z)] Taylor-Reihenentwicklung zweiter Ordnung von u( ) um z = 0: u(x ) = u(x+ z ) u(x) + u (x)z + ½ u (x)z 2 () Taylor-Reihenentwicklung erster Ordnung von u(x rp) um rp=0: u(x rp) u(x) u (x)rp (2) Informationsökonomik/WS 2007/08 4

15 . Entscheidungen unter Unsicherheit n E[u(x)] = π = u (x u (x) n π = n ) π = + u' (x) n u(x) + π n π = 2 u(x) + u' '(x) σz, 2 = z + u' (x)z u' '(x) 2 + n 2 π = n π = z 2 u' '(x) z 2 n wegen π =, E(z) = π z = 0 = n = und n E (z) = π z = π (z E(z)) = σz. = 2 n = 2 2 Aus (2) (wegen u(x rp) = E[u(x)] = E[u(x + z)]): u(x) u (x)rp rp = 2 u' '(x) u' (x) 2 u(x) + u' '(x) σz, 2 σ 2 z Informationsökonomik/WS 2007/08 5

16 . Entscheidungen unter Unsicherheit Beispiel: Spezialfall Bernoulli-Nutzenfunktion u(x) = -e -αx (α > 0): u (x) = αe -αx, u (x) = - α 2 e -αx r(x) = u' '(x) u' (x) = α 2 αe e αx αx = α. u(x) Risikoeinstellung Sicherheitsäquivalent Risikoprämie Arrow-Pratt- Maß r(x) linear risikoneutral s = E(X) rp = 0 r(x) = 0 streng konkav risikoavers s < E(X) rp > 0 r(x) > 0 streng konvex risikofreudig s > E(X) rp > 0 r(x) > 0 Arrow-Pratt-Maß der relativen Risikoaversion: R(x) = u' '(x)x u' (x) Informationsökonomik/WS 2007/08 6

17 . Entscheidungen unter Unsicherheit Darstellung mit Indifferenzkurven Erwartungsnutzenfunktion: Indifferenzkurve: [ ] = πu(x ) + ( )u(x ) V = E u(x) π 2 0 V = πu(x ) + ( π)u(x 2 ) Krümmung der Indifferenzkurve: dv = πu' (x, )dx + ( π)u' (x 2 ) dx 2 mit dv = 0 dx dx 2 πu' (x) = <0 ( π)u' (x ) 2 Informationsökonomik/WS 2007/08 7

18 . Entscheidungen unter Unsicherheit x 2 x 2 A A x = x 2 E(x) s A C V 0 0 A x s A x Abb. I..5: Risikopräferenzen im Indifferenzkurvendiagramm Informationsökonomik/WS 2007/08 8

19 . Entscheidungen unter Unsicherheit x 2 x 2 A A x = x 2 E(X) M s A C V 0 0 x A rp s E(x) Abb. I..6: Sicherheitsäquivalent und Risikoprämie Informationsökonomik/WS 2007/08 9 x

20 . Entscheidungen unter Unsicherheit Schnittpunkt mit 45 -Linie: dx dx 2 = x= x2 π π Erwartungswert der Auszahlung x: E(x) = πx + ( π) x 2 de(x) = πdx + ( π)dx 2 = 0 0 = πdx + ( π) dx 2 dx dx 2 = π π (Steigung Iso-Erwartungswert-Gerade) Informationsökonomik/WS 2007/08 20

21 . Entscheidungen unter Unsicherheit x 2 x 2 A A x = x 2 x 2 D x 2 B C D B V 0 0 A D B x x x Abb. I..7: Vorteile der Diversifikation x Informationsökonomik/WS 2007/08 2

22 . Entscheidungen unter Unsicherheit Informationen Informationsstrukturen: Zerlegungen des Zustandsraums Signal: Informationsquelle, die anzeigt, welcher Umweltzustand eingetreten ist oder eintreten wird. Ein Signal erzeugt eine neue Informationsstruktur. -- perfektes Signal -- leeres Signal -- noisy signals Informationsökonomik/WS 2007/08 22

23 . Entscheidungen unter Unsicherheit odd /2 /2 even A 0 B A /3 2/3 B A B 4/6 2/6 odd even odd even 3/4 /4 0 Abb. I..8: Signale Informationsökonomik/WS 2007/08 23

24 . Entscheidungen unter Unsicherheit Bedingte Wahrscheinlichkeiten: Ereignis: z i, Signal: s Unterscheidung: Pr(z i s ) Pr (s z i ) Aktualisierung von Informationen (Bayes Regel) Pr( z i ) Pr(s z i ) = Pr(z i s ) = Pr(s ) Pr(z i s ) Pr(z i s ) = Pr(z i ) Pr(s Pr(s ) z i ) Informationsökonomik/WS 2007/08 24

25 . Entscheidungen unter Unsicherheit Präzision und Genauigkeit Präzision : Pr(s =z z i ) Genauigkeit : Pr(z i =s s ) Literatur: Birchler/Bütler (2007), Kap. 3. Gravelle, Hugh und Ray Rees (2004), Microeconomics, 4. A., Harlow: Prentice Hall, Kap. 7. Informationsökonomik/WS 2007/08 25

26 2. Der Wert der Information 2. Der Wert der Information Signale führen zur Anpassung, der dem Eintritt bestimmter Ereignisse/Umweltzustände zugeordneten Wahrscheinlichkeiten Informationen (Signale) haben einen nicht-negativen Wert: mögliche Probleme: Unterscheidung zwischen Besitz einer Information und dem Wissen anderer darum. Bei asymmetrischer Informationsverteilung können Informationen u.u. einen negativen Wert haben. Strategische Ignoranz. Eine Information kann einen negativen Wert haben, wenn sie direkt in die Nutzenfunktion eingeht. Informationsökonomik/WS 2007/08 26

27 2. Der Wert der Information Elementares Spiel Man gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit p X Geldeinheiten und mit Wahrscheinlichkeit - p verliert man eine Geldeinheit. Bevor man sich entscheiden muß, ob man spielen will, kann man ein Signal erhalten, das mit einer Wahrscheinlichkeit q den Wert g ( gut ) annimmt, wenn das Ereignis X ( Gewinn ) eingetreten ist und auch mit der Wahrscheinlichkeit q den Wert b ( schlecht ) annimmt, wenn das Ereignis ( Verlust ) eingetreten ist, d.h. Pr(g X) = Pr (b -) = q. Informationsökonomik/WS 2007/08 27

28 2. Der Wert der Information win p -p lose good q -q bad good -q q bad play reect play reect play reect play reect X 0 X Abb. I.2: Das elementare Spiel (Birchler/Bütler (2007), S. 38) Informationsökonomik/WS 2007/08 28

29 2. Der Wert der Information q -q g b p outcome: X b g -p outcome: - q -q Abb. I.2.2: Wahrscheinlichkeitsquadrat für das elementare Spiel (Birchler/Bütler (2007), S. 39) Informationsökonomik/WS 2007/08 29

30 2. Der Wert der Information Ermittlung des Werts eines Signals: zwei Möglichkeiten: (i) Nutzenbetrachtung: Um wie viel steigt der Erwartungsnutzen des Entscheiders durch das Signal im Vergleich zur Situation ohne ein Signal an, ohne daß er die Ausprägung des Signals schon kennt? (ii) Geldbetrachtung: Wie viel würde der Entscheider für das Signal bezahlen, ohne daß er dessen Ausprägung schon kennt. Informationsökonomik/WS 2007/08 30

31 2. Der Wert der Information Vorgehensweise:. Wir bestimmen die optimale Aktion für ede mögliche Ausprägung des Signals. 2. Wir ermitteln den Erwartungsnutzen dafür, daß der Entscheider die für ede Ausprägung des Signals optimale Aktion auswählt. Für Fall (ii) müssen wir den Erwartungsnutzen dann noch in sein Geldäquivalent umrechnen. 3. Wir berechnen den Erwartungsnutzen des Entscheiders, wenn er kein Signal erhält bzw. ermitteln das Geldäquivalent dafür. 4. Wir bestimmen die Differenz zwischen (2) und (3). Informationsökonomik/WS 2007/08 3

32 2. Der Wert der Information Beispiel: Wert eines perfekten Signals Elementares Spiel mit p = ½ und q =. Risikoneutralität: u = m, mit m = oder m = -. (X = ) Informationsökonomik/WS 2007/08 32

33 2. Der Wert der Information Beispiel: Wert eines unvollkommenen Signals Elementares Spiel mit p= ½ und q= 2/3. Risikoneutralität. X =. Informationsökonomik/WS 2007/08 33

34 2. Der Wert der Information win /2 /2 lose good bad good bad 2/3 /3 2/3 /3 play reect play reect play reect play reect Abb. I.2.3: Vereinfachtes elementares Spiel (Birchler/Bütler (2007), S. 4) Informationsökonomik/WS 2007/08 34

35 2. Der Wert der Information Elementares Spiel mit allgemeinem X und allgemeinen Wahrscheinlichkeiten p und q: Bayes-Regel: Pr(X) Pr(g X) Pr(X g) =, Pr(g) Pr( ) Pr( b) Pr( b) =, Pr(b) unbedingte Signalwahrscheinlichkeiten: Pr(g) = Pr(g X)Pr(X) + Pr(g -)Pr(-) = qp + (-q)(-p) = pq + (-p)(-q), Pr(b) = Pr(b X)Pr(X) + Pr(b -)Pr(-) = (-q)p + q(-p) = p(-q) + (-p)q. Informationsökonomik/WS 2007/08 35

36 2. Der Wert der Information D.h. Pr(X g) Pr(X) Pr(g X) pq = =, Pr(g) pq + ( p)( q) Pr( ) Pr( b) ( p)q Pr( b) = =. Pr(b) p( q) + ( p)q Informationsökonomik/WS 2007/08 36

37 2. Der Wert der Information optimale Aktionen: Spiel bei g, wenn X Pr(X g) Pr( g) 0 pq pq X pq + ( p)( q) pq + ( p)( q) pq ( p)( q) X 0 pq + ( p)( q) pq + ( p)( q) ( p)( q) X 0. pq 0 Informationsökonomik/WS 2007/08 37

38 2. Der Wert der Information Spiel auch bei b, wenn X Pr(X b) Pr( b) 0 ( p)q X p( q) + ( p( q) X pq + ( p)( q) ( p)q X 0. p( q) ( p)q p)q p( q) + ( p)q ( p)q 0 p( q) + ( p)q 0 Informationsökonomik/WS 2007/08 38

39 2. Der Wert der Information Spiel ohne Signal, wenn X Pr(X) Pr( ) 0 X p ( p X. p p) 0 Für q ½ gilt ( p)( q) ( p) ( p)q 0. pq p p( q) Informationsökonomik/WS 2007/08 39

40 2. Der Wert der Information vier relevante Bereiche für X: X ( p)( pq q) ( p)( q) ( p) X pq p ( p) p X ( p)q p( q) ( p)q p( q) X Informationsökonomik/WS 2007/08 40

41 2. Der Wert der Information,2 0,8 0,6 0,4 E s E n 0,2 0-0,2 value of signal 0 0,5,5 2 2,5 3 3,5-0,4 Abb. I.2.4: Wert eines Signals im elementaren Spiel bei Risikoneutralität (p= ½, q= ¾) (Birchler/Bütler (2007), S. 45) Informationsökonomik/WS 2007/08 4

42 2. Der Wert der Information Erwartungswert eines uninformierten Spielers: E[Auszahlung kein Signal] = max{ X Pr(X) Pr( ),0} = max{px ( p),0} Erwartungswert des Spiels nur bei g : E[Auszahlung g]pr(g) = max{ X Pr(X g) Pr( g),0} Pr(g) = max{ X Pr(X g) ( Pr(X g)),0} Pr(g) = max{ Pr(g)X Pr(X g) Pr(g)( Pr(X g)),0} = max{ Pr(g) Pr(X g)(x + ) Pr(g),0} = max{ Pr(X) Pr(g X)(X + ) Pr(g),0} = max{ pq(x + ) [pq + ( p)( q)],0} = max{ pqx ( p)( q),0} Informationsökonomik/WS 2007/08 42

43 2. Der Wert der Information Wert des Signals: max Bereiche: V I = 0 V I = { pqx ( p)( q),0} - max{ px ( p),0} V I > 0 und steigend: V I = max pqx ( p)( q), > 0 = pqx ( p)( q) - max{px ( p),0} 4243 < 0 V I > 0 und sinkend: V I = max pqx ( p)( q),0 - max{px ( p),0} > 0 > 0 = pqx ( p)( q) px + ( p) = p(q )X + ( p)q = ( p)q p( q) X Informationsökonomik/WS 2007/08 43

44 2. Der Wert der Information 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 E s E n value of signal (r.a.) 0, 0-0, value of signal (r.n.) 0 0,5,5 2 2,5 3 3,5-0,2-0,3-0,4 Abb I.2.5: Der Wert eines Signals im elementaren Spiel bei Risikoaversion (Birchler/Bütler (2007), S. 49) Informationsökonomik/WS 2007/08 44

45 2. Der Wert der Information Literatur: Birchler/Bütler (2007), Kap. 4. Informationsökonomik/WS 2007/08 45