Harmonisches Mittel. Streuungsmaße. Die mittlere Abweichung. Die Standardabweichung. Die Varianz. Statistik 3. Vorlesung, März 11, ,...

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Erich Kurzmann
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1 Statistik. Vorlesug, März, 9 Harmoisches Mittel xh = w wk x x k Wobei w, w,... w k sid die gewichte (w + w + w w k = Beispiel: wir habe km mit eier Geschwidigkeit vo km/h, ud eie adere km mit eier Geschwidigkeit vo km/h gefahre. User Durchschittgeschwidigkeit lautet Also x h = km/h = x h,, + Streuugsmaße Diese gebe die Abweichug der Eizelwerte vo ihrem Mittelwert Die Spaweite: die Differez zwische dem größte ud dem kleiste vorkommede Merkmalswert (bei klassifizierte Date die Differez zwische der Obergreze der größte Klasse ud der Utergreze der kleiste Klasse es ist ei Überschätzug! Beispiel (Statistik-Pukte Pukte - b.u. - b.u. - b.u. - b.u. Azahl Spaweite: -= Pukte. Für usere Schuhgrösse-Date: -= Die mittlere Abweichug Das arithmetische Mittel der absolute Betrage der Abweichuge aller Beobachtuge vom arithmetische Mittel. x + x + x x d = Für klassifizierte Date: x f+ x f xk fk d = (=f +f +...+f k, x i ist die Klassemitte. Beispiel (Statistik-Pukte Pukte - b.u. - b.u. - b.u. - b.u. Azahl 9 Arithm. Mittel: Pukte. Die mittlere Abweichug: ( /=, Pukte. Die Variaz Das arithmetische Mittel der Abweichugsquadrate aller Beobachtuge vom arithmetische Mittel. ( x + ( x + ( x ( x x ο = Für klassifizierte Date: ( x f + ( x f ( xk fk ο = Beispiel (Statistik-Pukte Pukte - b.u. - b.u. - b.u. - b.u. Azahl 9 Arithm. Mittel: Pukte. Die Variaz: ((- + +(- +(- +9(- /=9, Pukte. Die Stadardabweichug Quadratwurzel aus der Variaz Beispiel: für Statistik-Note i σ=9, Pukte (es gibt die Abweichug, die Variaz ist mathematisch iteressat. Variatioskoeffiziet (Relative Streuug: σ V = x Zeigt das Verhältis zwische Stadardabweichug ud Arithmetisches Mittel (i Prozet. Je grösser, desto höher ist die Streuug (uabhägig vo dem Eiheit. Für Statistik-Note V=9/=,%.

2 Symmetrie Histogramm vo Pukte Für symmetrische Verteiluge, Modus=Media=Arithm. Mittel P Histogramm vo Wartezeite Mi Für likssteile Verteiluge, Modus<Media<Arithm. Mittel Pearso-Schiefemaß Zur Utersuchug vo symmetrie Pe=(Arithm.Mittel-Modus/Std.Abw. Bedeutug: Pe<-,: starke assymmetrie (Rechtssteil -, Pe<-, schwache assymmetrie (Rechtssteil -, Pe,: (ahezu symmetrisch,<pe,: schwache assymmetrie (Likssteil, <Pe: starke assymmetrie (Likssteil Beispiele Histogramm vo Wartezeite Mehrdimesioales Datematerial Histogramm vo Pukte P Mi Beobachtuge, jeder hat Werte für m Merkmaler, also jeder besteht aus m Merkmalauspräguge. z.b. wir otiere die Grösse ud das Umsatz verschiedee Filiale (m=. Beobachtugswerte vo Merkmal X (Grösse: x, x, x, x Beobachtugswerte vo Merkmal Y (Umsatz: y, y, y, y Die Paare x i, y i häge zusamme (gehöre zu de selbe Filiale, also die Reihefolge ist wichtig! Modus=, Arithm. Mittel=,, Std.Abw=,, Pe=-, Modus=, Arithm. Mittel=,, Std.Abw=,, Pe=, Die Kotigeztabelle Radhäufigkeite Geeiget auch für omialskalierte Date (a, a, a k sid die Merkmalauspräguge für Merkmal, ud b, b, b m sid die Merkmalauspräguge für Merkmal b b b m a h, h, h,m a k h k, h k, h k,m wobei h i,j gibt die Häufigkeit diejeige Beobachtuge, die mit (a i,b j idetisch sid (gemeisame Häufigkeite. h,j = h,j + h,j + +h k,j die Azahl alle Beobachtuge, die bezüglich der zweite Merkmals die Ausprägug b j aufweise (auf der Kotigeztabelle ka ma diese i die letzte Zeile auftrage, sowie h l, = h l, + h l, + +h l,m ist die Azahl alle Beobachtuge, die bezüglich der erste Merkmals die Ausprägug a l aufweise (auf der Kotigeztabelle ka ma diese i die letzte Spalte auftrage.

3 Grü Beispiel Aufgabe: wir habe Studete die Augefarbe ud die Haarfarbe aufgeschriebe. Bereche wir die Kotigeztabelle ud die Radhäufigkeite. (Bl,Br, (Br,S, (G,Br,(G,S,(Bl,Bd,(Br,Br,(G,Br (Bl,Bd, (Br,Bd, (G,Br,(G,Br,(Bl,Bd,(Bl,Br,(Br,S (Bl,Br, (G,S, (G,Bd,(G,Br,(Bl,Bd,(Br,S Auge/Haar Radhfg für Haarfarbe 9 Radhfg für Augefarbe = Bedigte relative Häufigkeit Verteilug (Reihe alle Relative Häufigkeite: Häufigkeit/. (: Azahl alle Beobachtuge. Die Summe ist immer! Verteilug der Augefarbe: Radhfg/= h l, /. Verteilug der erste Merkmals bei gegebeer Ausprägug (z.b. b des zweite Merkmals. Beispiel: bereche wir die bedigte Verteilug für die Augefarbe bei gegebeer Haarfarbe (Bl: Haar/Auge / Grü / Es ist hier h i,j /h,j für i=,...,k (: Azahl alle Beobachtuge. / Auge/ Haar Bedigte relative Häufigkeit/ Verteilug der zweite Merkmals bei gegebeer Ausprägug (z.b. a der erste Merkmals. Bereche wir die bedigte Verteilug für die Haarfarbe bei gegebeer Augefarbe (Bl: / / Verteilug (Reihe alle Relative Häufigkeite: Häufigkeit/. (: Azahl alle Beobachtuge i die Zeile. Es ist hier h i,j /h i, für j=,...,k Uabhägigkeit Die bedigte Verteilug ist die selbe, als die ubedigte (Radverteilug: h i j /h i =h j / für alle Paare (i,j. Beispiel: Geschlecht vs. Note Haufigkeite Relative Haufigkeite Schlechte N Gute Note Schlechte N Gute Note Maelich Maelich,, Weiblich Weiblich,, Bedigte Vert. Schlechte N Gute Note Falls maelich / / Falls weiblich / / Radvert. (alle,, Also: die Merkmale sid uabhägig Abhägigkeit Beipiel aus usere Date User Beispiel, die Verteiluge: Auge/Haar /=, /9=, Grü /=, /9=, Die zwei Verteiluge: sid verschiede, also die Merkmale sid abhägig Höhe Geschl F M /=, /9=, -9 Radhfg für Augefarbe / 9/ (Bei Klassegreze die Date wurde zu de iedrigere Klasse zugeordet

4 Quatifizierug der Abhägigkeit Chi-Quadrat Statistik: ( h = ij E χ E ij i, j ij wo E ij ist die erwartete Häufigkeit der Ereigis (a i,b j uter der uabhägigkeit, also Eij = hi. h. j / Der Cramer-Zahl: χ mi{ ( k ;( m } Es ist für uabhägige Date. C. Je grösser, desto starker ist die Zusammehag zwische die Merkmale. Maximales Wert. Es ist gültig auch für Nomialskalierte Date! A/H Grü Summe Beispiel, Hilfstabelle Beobachtete 9 Sum Erwartete A/H Grü Summe / / / Chi-Sq= (-, /,+ (-, /,+ (-, /,+ (-, /,+ (-, /,+ (- /+ (-, /,+ (-, /,+ (-, /,=,, =, / / / 9 / / / Es zeigt ei mittelstarke Zusammehag zwische Haar- ud Augefarbe. Sum Für usere Date Gemischte Fall H G Beobachtuge F M Erwartuge G F -, -, -,9-9,9 M,,,, Wir habe ei Nomialskalierte ud ei Verhältisskalierte Merkmal. Beispiele: Arbeitstelle vs. Moatsgehalt Natioalität vs. ausgegebee Summe Geschlecht vs. Höhe usw. Darstellug: Pukte pro Klasse Daraus chi-sq=, ud die Cramér-Zahl lautet, =, Es zeigt eie starke Zusammeag Beispiel x-achse: Proportioal (Verhältisskaliert y-achse:pukte für Auspräguge der Nomialskaliert Die Date (i TFt Hilfskraft:,,,,, Admi.,,,,,,, Leiter:,,,,, Arbeitstyp Leiter Admi. Hilfskraft Moatsgehalt i der Firma XSY TFt.Ja. Messwert für die Bestimmtheit: H Arithm. Mittel für die Klasse i: ( i : Azahl der Beobachtuge i die Klasse i=,...,k Leiter:, TFt xi, + xi, xi, Admi.:, TFt x i i = Hilfskraft:, TFt i Für alle Beobachtuge (xbar: 9 TFt. Quadratsumme i die Klasse: Leiter: Admi.: 9 Sw, i = ( x + ( x ( x Hiilfskraft: 9 Quadratsumme zwische die Klasse: S b =9 H = S b /(S b + S w =, S H=, b = x + ( x k ( ( x k

5 Für usere Date: Bestimmtheit der Höhe durch die Geschlecht Arith. Mittel:,9 cm (F,, cm (M, für alle Beobachtuge (xbar=, cm. =, =. Daraus = ( x + ( x = *, + *9 =,9 S b S w =9, (Fraue, S w =, (Mäer H =,9/(,9+9,+,=, H=,, also der Höhe ist ziemlich stark bestimmt durch die Geschlecht.

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