Wie kann man die Normalform (bzgl. Affinen Transformationen) bestimmen, ohne die affine Abbildung bzw. Isometrie zu finden?

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1 Wie kann man die Normalform (bzgl. Affinen Transformationen) bestimmen, ohne die affine Abbildung bzw. Isometrie zu finden? Antwort in Dim 2: Sei Q eine Quadrik in R 2 gegeben durch a a 1n x 1 x 1 (x 1 x n)... + (a 1 a n). + a = 0. a n1... a nn x n x n Bezeichnung = det(erw Q ), δ = det(a), S = spur(a). Bemerkung Man kann für S immer S 0 annehmen, indem man die Gleichung der Quadrik mit 1 multipliziert. Satz 18 Angenommen S 0. Es gilt: * ist δ > 0 und < 0, dann ist die Quadrik eine Ellipse, * ist δ < 0 und 0, so ist die Quadrik eine Hyperbel. * ist δ = 0 und 0, so ist die Quadrik eine Parabel. * ist δ = 0 und = 0, so ist die Quadrik ein paralleles Geradenpaar. * ist = 0 und δ > 0, so ist die Quadrik gleich. * ist = 0 und δ < 0, so ist die Quadrik ein Geradenpaar mit Schnittpunkt. Bemerkung Nur die Vorzeichen von und δ werden benutzt

2 Frage Was passiert mit = det(erw Q ) und δ = det(a) nach einem affinen Isomorphismus F? Lemma 16: Sei F 1 = b + Bx. Q 1 := Bild F (Q). Dann ist Erw Q = a a 1n a 1 /2 b 1 B t B 0 B... B. b 1 b n 1 a n1... a nn a n/2 b n } {{ } a 1 /2 a n/2 a 0 t 1 B Erw t } {{ }} {{ } Erw Q B Erw Nach Lemma 16 ist Erw Q1 = B t Erw Erw QB Erw. Dann ist det(erw Q1 ) = det(berw t )det(erw Q)det(B Erw ) Weil det(c) = det(ct ) = det(b Erw ) 2. Also wird }{{} >0 das Vorzeichen von nicht geändert. Ähnlich: Weil A 1 = B t AB ist, ist det(a 1 ) = det(b) 2 }{{} >0 }{{} δ. Also wird das det(a) Vorzeichen von δ nicht geändert. Dann genügt es, Satz 18 nur für Gleichungen, die bereits in Normalform sind, zu beweisen

3 Quadrik Erw Q und δ Ellipse Hyperbel Parabel λ µ λ µ 1 ±1 λ paralleles Geradenpaar λ 0 Geradenpaar mit einem Schnittpunkt λ µ λ µ = λµ, δ = λµ = λµ, δ = λµ = λ, δ = 0 = 0, δ = 0 0 = λµ, δ = λµ 1 0 = 0, δ = λµ

4 Die Gleichung einer Quadrik durch 5 Punkte Satz 19 Seien X 1,...,X 5 5 verschiedene Punkte im R 2. Dann existiert eine Quadrik Q, die diese 5 Punkte enthält. Beweis. Die Gleichung der Quadrik sieht wie folgt aus: (x y) ( a 11 a 12 2 a 12 2 a 22 ) (x ) + a y 1 x + a 2 y + a = 0 a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + a 1 x + a 2 y + a = 0 Wenn die 5 Punkte ( ) ( ) x 1 y 1,..., x5 y 5 auf der Quadrik liegen, ist das folgende lineare Gleichungsystem erfüllt: x1 2 x 1 y 1 y 2 1 x 1 y 1 1 a 11 x 2 x 2 y 2 y 2 x 2 y 2 1 a x3 2 x 3 y 3 y x 3 y 3 1 a x4 2 x 4 y 4 y x 4 y 4 1 a 1 x5 2 x 5 y 5 y5 2 a 2 x 5 y 5 1 a 0 }{{} C dim(kern C ) = 6 dim(bild C ) }{{} 5 = 0. Nach der Dimensionsformel ist 1, also gibt es eine Lösung.

5 Warum sind Quadriken interessant 1. Vor 100 Jahren: Nach den Kepler schen Gesetzen sind die Bahnkurven von astronomischen Objekten Quadriken (z.b. sind Planetenorbits Ellipsen). Um Koordinaten seines Schiffs (auf See) auszurechnen, kann der Kapitän nur astronomische Objekte (+ präzise Uhr) benutzen. Die Geometrie von Quadriken spielte deswegen eine große Rolle in der Ausbildung von Kapitänen. 2. In der Analysis von Funktionen mehrerer Varänderlicher: Mehrdimensionale Taylor-Reihe (Ana II/III) Satz (Taylorentwicklung, Ana II) Sei f : R n R eine glatte Funktion (z.b. existieren die dritten partiellen Ableitungen }{{} mehrdimensionale Verallgemeinerung der Ableitung, wird in Ana II erklärt z 1 und sind stetig). Sei z =. ein Punkt. Dann gilt: z n n f n f(x) := f(z) + (z) (x i z i ) f (z)(x 2 i z i )(x j z j ) + Rest(x z) }{{} x i=1 i x i,j=1 i x j }{{} a 0 }{{}}{{} a t (x z) (x z) t mit Rest(x z) für x z A(x z) x z 2 0 Also, bis auf den Rest(x z) (welcher in der Nähe von z klein ist), ist jede Funktion eine quadratische Funktion von y := x z mit a 0 = f(z), a i = f (z) und A ij = 1 2 f.

6 Neuer (kurzer) Abschnitt: Transformationsgruppen (Einführung) Sei S M die Menge aller Bijektionen a von M auf sich (diese heißen oft Selbstabbildungen). S M ist eine Gruppe bzgl. Verkettungen, siehe Satz 3 Vorl. 4 LAAG I. Transformationsgruppe (informell) ist eine Untergruppe von S M, die irgendwelche Eigenschaften von Objekten aus M nicht verändert.

7 Affine Transformationen Zwei Definitionen: Ursprüngliche Def. (Vorl. 4) Eine affine Transformation, oder Affinität, (von M = R n ) ist eine Abbildung der Form f(x) = Ax +b, wobei A GL(n,R). Folgerung aus dem Fundamentalsatz der affinen Geometrie (Satz 12, Vorl. 6). Eine affine Transformation ist eine Bijektion f : R n R n, die Geraden auf Geraden abbildet.

8 Euklidische Transformationen Wiederholung. Euklidische Räume sind affine Räume über Vektorräumen mit Skalarprodukt. In dem Fall ist der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten erklärt durch: d(x,y) = in Rn xy = x y. Wie wir es in Vorl. 7 bewiesen haben, ist jeder Euklidischer Raum im Wesentlichen (R n,, standard ). a : R n R n heißt eine Isometrie, wenn für beliebige x,y R n gilt: d(x,y) = d(a(x),a(y)). Satz 14 Vorl. 7. Jede Isometrie von (R n,, standard ) hat die Form F O,b : V V, F O,b := Ox +b, wobei O eine orthogonale (n n) Matrix und b R n ist. ( )

9 Noch ein Bsp.: Ähnlichkeitstransformationen (in der Elementargeometrie) Schuldefinition: Ähnlichkeitsabbildungen sind Abbildungen, die die Gestalt von Figuren erhalten. Def. Wir betrachten R n mit dem Standard-Skalarprodukt,. Eine Bijektion a von R n heißt eine Ähnlichkeitstransformation, wenn es eine reelle Zahl k > 0 gibt, sodass für beliebige x,y R n gilt: d(a(x),a(y)) = k d(x,y). k heißt Ähnlichkeitsfaktor von a Ähnliche Dreiecke Bemerkung. Isometrien sind Ähnlichkeitstransformation mit k = 1. Folgerung. a(x) = Cx +c mit C = k O, wobei O O(n). Beweis. Die Abbildung ã mit ã(x) = 1 ka(x) ist eine Isometrie. Folgerung. (event. Hausaufgabe) Ähnlichkeitsabbildungen sind diejenigen Bijektionen, die gleichzeitig geradentreu (d.h. das Bild jeder Gerade ist eine Gerade) und winkeltreu (d.h. der Winkel zwichen den Geraden L 1 und L 2 ist gleich dem Winkel zwichen den Geraden Bild a (L 1 ) und Bild a (L 2 )) sind.

10 Alle oben genannten Transformationsgruppen kann man aus Untergruppen von Matrizengruppen darstellen Wir werden dies in dim 2 erklären und zuerst nur für Ähnlichkeitsabbildungen, obwohl die Dimension nicht wichtig ist: Wir betrachten die erweiterte Koordinaten ( x y ) Ersetzt x y 1. In diesen Koordinaten gilt: Da jede der oben genannte Transformationen (in dim 2) Verkettungen von den Abbildungen aus der Liste links ist, sind die oben genannten Gruppen von Transformationen (isomorph zu) Untergruppen von GL(n+1,R) }{{} =3

11 = Jede Transformation wird (in den erweiterten Koordinaten ) zu einer Matrizenmultiplikation mit einer Matrix der Form ko a 13 a , wobei O O(2). Wir haben diese Formel bereits vorher benutzt, siehe Hauptsätze der Theorie der Quadriken (Normalformen). Analog gilt: Matrizen der Form Ā = A a 13 a , wobei A GL(2,R) repräsentieren alle affinen Transformationen von R 2.

12 Der projektive Raum P(V) und projektive Transformationen (V,+, ) sei ein Vektorraum (über K). Def. Der zu V gehörige projektive Raum P(V) ist definiert als die Menge aller 1-dimensionalen Untervektorräume von V. Ist dim(v) <, so setzt man dim(p(v)) := dim(v) 1. (Nach Def. ist P({ 0}) = und P({ 0}) = 1 wir können damit leben.) Bemerkung. Man hat eine kanonische Abbildung ( Projektion )V \{ 0} P(V),v L v := {λv λ K}.

13 Homogene Koordinaten Def. Sei V = K n+1. Dann sind die homogenen Koordinaten von v = (x 0,x 1,...,x n ) V \{ 0} definiert durch (x 0 : x 1 :... : x n ) := L v := {λv λ K}. Es gilt: L v = L v λ K\0 mit v = λv λ K\0 mit (x 0,...,x n) = (λx 0,...,λx n ). Die homogenen Koordinaten sind also nur bis auf einen gemeinsamen Faktor λ 0 aus K festgelegt.

14 Affine Koordinate auf P(V) Wir betrachten eine Hyperebene H in V, H = {a 0 +u u V H }, dim(v U ) = dim(v) 1, die nicht den 0-Punkt erhält. Dann wählen wir ein affines Koordinatensystem auf der Hyperebene (d.h. n + 1 Punkte a 0,...,a n s.d. die Vektoren a 0 a 1,..., a 0 a 1 eine Basis in V H bilden). Als Koordinaten der Geraden L( 0,x) P(V) mit x H definieren wir die Koordinaten von x (auf der Hyperebene) als die Koordinaten von L( 0, x). Diese Koordinaten sind dann für alle Punkte in P(V) ( = Geraden in V) definiert, die nicht zur Hyperebene H parallel sind. Die Richtungsvektoren der Geraden ( = Punkte von P(V)), für die die affinen Koordinaten nicht definiert sind, sind dann die Vektoren von V H. Die Menge dieser Punkte von P(V) heißt unendliche Hyperebene (bzgl. dieses Koordinatensystems). Bsp. Als Hyperebene in R n+1 nehmen wir {(x 0,...,x n ) x 0 = 1}. Als affine Basis auf H nehmen wir die Punkte a 0 = (1,0,...,0) t, a 1 = (1,1,0,...,0) t,..., a n = (1,0,...,0,1) t. In diesem Koordinatensystem sind die Koordinaten von (1,x 1,...,x n ) H gleich (x 1,...,x n ). Dann sind die affinen ( Koordinaten des Punktes (x 0 :... : x n ) P(R n+1 x ) gleich 1 x 0,..., xn x 0 ). Die unendliche Hyperebene besteht dann aus den Punkten von P(R n+1 ) der Form (0 : x 1 :... : x n ).

15 Eine Funktion f : K n+1 K heißt homogen mit Grad k Z, falls f(λx 0,...,λx n ) = λ k f(x 0,...,x n ) für alle (x 0,...,x n ) K n+1 und λ K. Bsp. Eine lineare Funktion f (K n+1 ) ist 1-homogen. f 2 ist 2 homogen. Bemerkung. Sei f eine homogene Funktion. Liegt (x 0,...,x n ) in der Lösungsmenge der Gleichung f(x) = 0, so liegen alle Punkte der Gerade K(x 0,...,x n ) in der Lösungsmenge der Gleichung f(x) = 0. Die Gleichung f(x) = 0 kann man also als eine Gleichung auf P(K n+1 ) verstehen.

16 Homogenisierung : Wie macht man aus einer nichthomogenen Funktionen auf der Hyperebene K n eine homogene Funktion auf K n+1 : Beispiele Sei (a,b,c) K 3 und (b,c) (0,0). Man betrachte in der affinen Ebene K 2 die Gerade mit der Gleichung bx +cy +a = 0. Die Gleichung ist inhomogen, wenn a 0. Setze x = x1 x 0 und y = x2 x 0 mit x 0 0. Dann folgt b x1 x 0 +c x2 x 0 +a = 0 und daher durch Multiplikation mit x 0 ax 0 +bx 1 +cx 2 = 0 ( ). Nach Def. ist (x 0 : x 1 : x 2 ) = ( 1 x 0 x 0 : 1 x 0 x 1 : 1 x 0 x 2 ) = (1 : x : y). Es ist also (y 0 : y 1 : y 2 ) P(K 3 ) genau dann eine Lösung von ( ), wenn (y 0 : y 1 : y 2 ) = (1 : x : y) mit einer Lösung (x,y) von ( ) gilt oder wenn (y 0 : y 1 : y 2 ) = (0 : c : b) ist.

17 Einige Objekte in der projektive Geometrie tragen die selben Namen wie in der affinen oder der linearen Geometrie Nichformale Regel: Wir benutzen den gleichen Namen für zwei geometrische Objekte in der projektiven (Punktenmengen in P(K n+1 )) und in der affinen (Punktenmengen in P(K n )) Geometrie, wenn in jedem affinen Koordinatensystem das projektive Objekt das affine Objekt ist. Wie werden die folgende Beispiele betrachten: (projektive) Geraden und (projektive) Quadriken.

18 Projektive Geraden in P(K 3 ) Eine projektive Gerade G P(K 3 ) ist die Nullstellenmenge in P(K 3 ) einer Gleichung ax 0 +bx 1 +cx 2 = 0 mit (a,b,c) (0,0,0). Es ist also G = {(x 0 : x 1 : x 2 ) P(K 3 ) ax 0 +bx 1 +cx 2 = 0}. Ist b = c = 0, so ist G die unendlich ferne Gerade P 1 := {(x 0 : x 1 : x 2 ) P(K 3 ) x 0 = 0}. Die übrigen Geraden in P(K 3 ) erhält man, wie im Bsp. oben beschrieben, durch Homogenisierung und durch Hinzufügen des unendlich fernen Punktes (0 : c : b) P 1 (K). Ist c 0, so ist U = {(x 0,x 1,x 2 ) ( K 3 ax 0 +bx 1 +cx 2 = 0} ein Untervektorraum von K 3 mit Basis 1 0, 0 ) c und es ist G = P(U). a b

19 Beispiel. Wir betrachten im R 2 die parallelen Geraden x +y 2 = 0,x +y = 0,x +y +3 = 0. (Hier benutze ich noch eine historische Standard-Bezeichnung P(K 3 ) = P 2 (K).)

20 Projektive Geraden in beliebiger Dimension Sei V ein K- Vektorraum. Für jede 0 enthaltende Ebene E = {tv +su t,s K} (wobei u,v linear unabhängig sind) definiere ich die projektive Gerade als die Menge G = {x P(V) x E} = P(E). (Die Punkte von P(E) sind die 0 enthaltenden Geraden in E. Eine 0 enthaltende Gerade ist ein Punkt von G g.d.w. sie in H liegt.) Bemerkung. Wir betrachen ein affines Koordinatensystem, sodass die entsprechende Hyperebene H nicht zu G parallel ist. Dann können wir o.b.d.a. annehmen, dass u,v H sind. Die projektive Gerade G = {x P(V) x E} entspricht dann {tv +su t +s = 1}, also einer Geraden auf H. (Wenn H zu G parallel ist, liegen alle Punkte von G auf der unendlichen Hyperebene.)

21 Projektive Unterräume in P(V) Def. Eine Teilmenge X P(V) heißt projektiver Unterraum, falls X = P(U) mit einem Untervektorraum U von V gilt. Es ist dann X eine projektive Gerade in P(V), falls dim(x) = 1 eine projektive Hyperebene in P(V), falls dim(x) = dim(p(v)) 1 und dim(v) <. Beispiele. Man nennt den kleinsten projektiven Unterraum von P(V), der i I X i enthält, den Verbindungsraum i I X i (das ist ein Analogon der Hülle). Es ist

22 Weitere Beispiele zur Homogenisierung Analog konstruiert man zu einer Hyperebene X = {(x 1,...,x n ) K n a 1 x a n x n +b = 0} durch Homogenisierung ihrer definierenden Gleichung den Abschluss X = {(y 0 : y 1 :... : y n ) P(K n+1 ) by 0 +a 1 y a n y n = 0}. (in P(K n+1 ). Man setze x i = y i y 0 für alle i = 1,...,n.) Analog erhält man durch Homogenisierung den projektiven Abschluss von Quadriken, Kegelschnitten, etc.

23 Projektivitäten Def. Seien V, W zwei (n + 1)-dimensionale K-Vektorräume. Dann heißt eine bijektive Abbildung ϕ : P(V) P(W) eine Projektivität, falls es eine bijektive K lineare Abbildung Bemerkung. Wir haben oben die folgende Bezeichnung benutzt: ϕ(p) = Bild ϕ (KP).

24 Projektivitäten in homogenen Koordinaten Wir betrachten P(K n+1 ) und die homogenen Koordinaten (x 0 : x 1 :... : x n ) auf P(K n+1 ). Da man jede nichtausgeartete lineare Abbidung ϕ : K n+1 K n+1 mit einer nichtausgearteten (n+1) (n+1)-matrix beschreiben kann, kann man auch jede Projektivität ϕ : P(K n+1 ) P(K n+1 ) mit Hilfe einer Matrix beschreiben. In Koordinaten bedeutet das (wenn A die Matrix von φ ist): n n φ(x 0 :... : x n ) = a 0j x j :... : a nj x j j=0 (d.h. wir multiplizieren A mit dem Vektor (x 0,...,x n ) t und dann homogenisieren wir das Ergebnis). Bemerkung: Die Matrizen A und const A entsprechen der gleichen Projektivität. Es ist einfach zu sehen, dass wenn zwei Matrizen der gleichen Projektivität entsprechen, sie dann zueinander proportional sind. Also ist die Gruppe der Projektivitäten die Menge GL n (K)/, wobei die Äquivalenzrelation auf GL n (K) wie folgt gegeben ist: A B g.d.w. die Matrizen A und B zueinander proportional sind. Die Gruppenoperation in der Menge aller Projektivitäten von P(K n+1 ) ist die Verkettung. In der Sprache der Matrizen entspricht sie j=0

25 Projektivitäten in affinen Koordinaten Wir betrachten P(K n+1 ) und die affine Koordinaten aus dem Bsp. oben, mit der Hyperebe H = {(x 0,...,x n ) x 0 = 0} und dem affinen Koordianatensystem (1,0,...,0), (1,1,0,...,0), (1,0,...,1). Dann sind die affinen Koordinaten des Punktes (x 0 :... : x n ) gleich (x 1,...,x n ) t. Die nichtausgeartete lineare Abbidung ϕ : K n+1 K n+1 habe die (nichtausgeartete) (n+1) (n+1)-matrix A. In diesem affinen Koordinatensystem wird ϕ wie folgt beschrieben: ( a10 + n j=1 ϕ(x 1,...,x n ) = a 1jx j a 00 + n j=1 a,..., a n n0 + j=1 a ) njx j 0jx j a 00 + n j=1 a. 0jx j Diese Formel ist nur dür diejenigen (x 1,...,x n ) definiert, für welche ϕ(x) nicht auf der unendlichen Hyperebene liegt.

26 Bemerkung. Wir haben gesehen: Ist H = P(U) eine projektive Hyperebene in P(V), so kann man A := P(V)\H als einen affinen Raum mit zugehörigem Vektorraum U vestehen, und es ist A = H. Frage: Was geschieht dabei mit einer projektiven Quadrik in P(V)? Antwort. Da lineare nichtausgeartete Abbildungen Quadriken auf Quadriken abbilden und die Eigenschaft einer Funktion, homogen zu sein, erhalten, bilden Projektivitäten (projektiven) Quadriken auf (projektiven) Quadriken ab. (Man kann die selbe Antwort auch in affinen Koordinaten erhalten. In diesem Fall muss man die Formel ( a10 + n j=1 ϕ(x 1,...,x n ) = a 1jx j a 00 + n j=1 a,..., a n n0 + j=1 a ) njx j 0jx j a 00 + n j=1 a 0jx j in Definition der Quadrik stecken).

27 Beispiel. Sei Q = {(x 0 : x 1 : x 2 ) P(R 3 ) x 2 0 +x2 1 +x2 2 = 0}. (1) Sei H = {(x 0 : x 1 : x 2 ) P(R 3 ) x 0 = 0} und ψ : R 2 P(R 2 )\H, (x 1,x 2 ) (1 : x 1 : x 2 ). Dann ist Q H = und Urbild ψ (Q) = {(x 1,x 2 ) R 2 x1 2 +x2 2 1 = 0} ist ein Kreis. Ersetzt man R durch C, so besteht Q H aus zwei Punkten. (2) Sei H = {(x 0 : x 1 : x 2 ) P(R 3 ) x 1 = 0}. Dann besteht Q H aus zwei Punkten und für ψ : R 2 P(R 3 )\H, (x 0,x 2 ) (x 0 : 1 : x 2 ) ist Urbild ψ (Q) = {(x 0,x 2 ) R 2 x0 2 x2 2 1 = 0} eine Hyperbel. (3) Sei H = {(x 0 : x 1 : x 2 ) P(R 3 ) x 0 +x 1 = 0}. Dann ist Q H ein Punkt und für ψ : R 2 P(R 3 )\H, (x 1,x 2 ) ((1 x 1 ) : x 1 : x 2 ) ist Urbild ψ (Q) = {(x 1,x 2 ) R 2 x2 2 +2x 1 1 = 0} eine Parabel. (Die Substitution x 1 = z ergibt 1 2 x2 2 z 1 = 0.) (Je nachdem, was man als unendlich ferne Hyperebene auszeichnet, erhält man aus Q folgende drei affine Kurven: Kreis, Hyperbel, Parabel)

28 Noch einmal die selbe Behauptung. Kreis, Hyperbel und Parabel sind projektiv äquivalent, d.h. die zugehörigen projektiven Kurven gehen durch eine Projektivität ϕ : P(R 3 ) P(R 3 ) ineinander über. Beweis. Durch (x 0 : x 1 : x 2 ) (x 1 : x 0 : x 2 ) geht die projektive Quadrik mit der Gleichung (ii) in die projektive Quadrik mit der Gleichung (i) über. Durch (x 0 : x 1 : x 2 ) (x 0 +x 2 : x 1 : x 0 x 2 ) erhält man aus Gleichung (iii) die Gleichung (i).

29 Kollineationen Def. Eine bijektive Abbildung ϕ : P(V) P(W) heißt Kollineation, wenn das Bild einer projektive Geraden G durch die Punkte P,Q P(V) die projektive Gerade durch die Punkte ϕ(p),ϕ(q) P(W) ist. Satz 20. Es gilt: (i) Zu je zwei Punkten P,Q P(V) mit P Q gibt es genau eine projektive Gerade G, die P und Q enthält. (ii) Ist ϕ : P(V) P(W) eine Projektivität, so ist ϕ eine Kollineation. Beweis. (i) Es ist P = Kv 1 und Q = Kv 2 mit v 1, v 2 V \ 0. Da P Q ist, folgt, dass v 1 und v 2 linear unabhängig sind. Es ist also g = P(U) mit U = {tv 1 +sv 2 t,s K} := die gesuchte projektive Gerade. (ii) Es ist ϕ(g) = P( ϕ(u)). Daraus folgt die zweite Behauptung. Aus dem Haupsatz der affinen Geometrie folgt, dass jede Kollineation eine Projektivität ist. (Das kann man zeigen. Wir werden dies jetzt nicht tun. Event. Hausaufgabe.)