Vorlesung Abbildungen und Matrizen
|
|
- Susanne Schuler
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Vorlesung Abbildungen und Matrizen Ferienkurs Lineare Algebra 1 Wintersemester 2009/ In diesem Abschnitt befassen wir uns mit linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen und deren Darstellung als Matrizen. Dabei sollen alle betrachteten Vektorräume von endlicher Dimension sein. Zwar gelten einige der eingeführten Begriffe unverändert im Unendlichdimensionalen, aber in diesem Falle treten Probleme auf denen wir hier lieber aus dem Weg gehen wollen. Außerdem gelten, soweit nicht anders explizit angeben, alle Sätze und Definitionen sowohl für einen rellen, als auch einen komplexen Skalarkörper. Alle Sätze und Definitionen werden für Vektorräume formluiert, da dies der angemessene Rahmen für lineare Algebra ist, allerdings wird immer noch angeben, wie die entsprechende Formulierung für Gruppen aussehen müsste. 1 Abbildungen Zunächst legen wir einige allgemeine Begriffe fest, und beginnen mir der Definition von Abbildungen. Definition 1.1: Abbildungen: Seien X,Y zwei beliebige Mengen, dann dann ordnet eine Abbildung f : X Y jedem Element von X genau ein Element von Y zu. Die Menge aller Abbildungen von X nach Y bezeichnen wir mit Abb(X, Y ), speziell wenn X = Y schreibt man auch nur Abb(X). Man sagt auch, dass eine Abbildung f jedem x X eindeutig ein y Y zuordnet; man schreibt dann f(x) = y. Dies lässt sich auch als x = y f(x) = f(y) (1) symbolisch formulieren. Die lineare Abbildung ist der zentrale Typ von Abbildung mit dem sich die lineare Algebra beschäftigt, da diese die Struktur der Vektorräume respektiert. Definition 1.2: Linearität einer Abbildung: Seien X und Y Vektorräume über dem Körper R. Eine Abbildung f : X Y nennt man linear, falls λ R und x 1, x 2 X gilt: 1. f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 2 ) 2. f(λx 1 ) = λ f(x 1 ) Hinweise 1.3: 1. Eine alternative Bedingung, welche die Beiden aus Definition 1.2 vereinigt ist (für λ, µ R und x 1, x 2 X ) f(λx 1 + µx 2 ) = λ f(x 1 ) + µ f(x 2 ) 2. Eine lineare Abbildung über Vektorräumen nennt man auch einen Vektorraumhomomorphismus, oder kurz Homomorphismus, wenn die zugrunde liegende Struktur aus dem Kontext klar wird. 1
2 3. Bei der Schreibweise in Definition 1.2 muss man gegebenenfalls etwas vorsichtig sein. Die Verknüpfungen sind jeweils im richtigen Vektorraum zu bilden, d.h. für x 1 + x 2 die Addition in X, aber für f(x 1 ) + f(x 2 ) die Addition wie sie in Y definiert ist. 4. Wenn man nun zwei Gruppen (G, ) und (H, ) gegeben hat, dann nennt man Φ : (G, ) (H, ) einen Gruppenhomomorphismus, wenn gilt. Φ(g 1 g 2 ) = Φ(g 1 ) Φ(g 2 ) 5. Der Raum L(X, Y ) der linearen Abbildung zwischen den Vektorräumen X und Y ist ein Untervektorraum von Abb(X, Y ), falls man die Addition und sklare Multiplikation punktweise definiert, d.h. Beispiele 1.4: (f + g)(x) := f(x) + g(x) (λf)(x) := λf(x) 1. Sei X = R 3, Y = K und für x X sei f(x) = x 1 2x 3. x i ( i = 1, 2, 3 ) bezeichnen hier die Komponenten von x, bezüglich der Standardbasis in X. Dann ist f linear, was man durch folgende Rechnung erkennt: Also Beweis durch Einsetzen der Definition. f(x + y) = (x 1 + y 1 ) 2(x 3 + y 3 ) = (x 1 2x 3 ) + (y 1 2y 3 ) = f(x) + f(y) f(λx) = (λx 1 ) 2(λx 3 ) = λ(x 1 2x 3 ) 2. Sei X, Y = K + und f(x) := x, dann ist f ersichtlicherweise nicht linear. Man zeigt dies schnell durch ein Gegenbeispiel 4 = Satz 1.5 (Elementare Eigenschaften linearer Abbildungen): Sei f : X Y eine Abbildung zwischen Vektorräumen, dann gelten: 1. f(0) = 0 2. Ist die Familie von Vektoren (x i ) i I mit x i X linear-abhängig, so ist auch (f(x i )) i I linearabhängig in Y. 3. Ist X X ein Untervektorraum, so ist auch f(x ) Y ein Untervektorraum. 4. Ist Y Y ein Untervektorraum, so ist auch f 1 (Y ) X ein Untervektorraum. Beweis: Übung! Mit f(0) = 0 hat man ein einfaches Ausschlusskritrium, ob eine Abbildung linear ist oder nicht. Eine Abbildung mit f(0) 0 kann niemals linear sein. Für Gruppen (G, ) und (H, ) gilt entsprechend Φ(e G ) = e H, wenn Φ : (G, ) (H, ) einen Gruppenhomomorphismus und e i für i = G, H die neutralen Elemente der Gruppen bezeichnen. Beispiel 1.6: Sei g(x) := ax + b, dann ist g für b 0 nicht linear, da g(0) = b gilt. Die Folgerungen (3) und (4) in Satz 1.5 drücken eben die Tatsache, dass eine lineare Abbildung die Vektorraumstruktur nicht zerstört. Das Bild und Urbild von Vektorräumen einer linearen Abbildung sind wieder Vektorräume. Definition 1.7: Bild, Urbild und Kern einer Abbildung: Sei f eine lineare Abbildung f : X Y zwischen zwei Mengen X,Y und U X, V Y, dann nennt man: 2
3 1. f(u) = {f(x) Y ; x U} Y das Bild von U unter f. 2. f 1 (V ) = {x X; y V : f(x) = y} X das Urbild von U unter f. 3. Der Kern von f ist das Urbild der Menge {0} [ ker(f) := f 1 ({0}) ] Hinweise 1.8: 1. Falls U = X (X ist hier der Definitionsbereich), dann nennt man f(x) einfach das Bild von f und schreibt Bild(f) := f(x). 2. Es gilt immer ker(f) für eine lineare Abbildung f, da f(0) = 0 0 ker(f) gilt. Hierbei beachte man, dass wir eine lineare Abbildung immer nur zwischen Vektorräumen definert haben, also stets 0 X gilt. 3. Für den Fall von Gruppen ändern sich die Definitionen für Bild und Urbild im Wesentlichen nicht. Nur für die Definition des Kernes ist zu beachten, dass dieser als das Urbild, des neutralen Elementes definiert ist. 4. Aus Satz 1.5 folgt insbesondere, dass auch Bild(f) und ker(f) Untervektorräume sind. Ein entsprechender Satz gilt für Gruppen, nur dass man Untervektorraum durch Untergruppe ersetzten muss. Beispiele 1.9: 1. Sei h : R R, x sin(x), dann gilt: U = [0, 2π] f(u) = [ 1, 1] U = [0, 2π) f(u) = [ 1, 1] U = [0, 12.56] f(u) = [ 1, 1] U =]0, π[ f(u) =]0, 1] 2. Sei f : R R, x x 2 und V = [4, 9], dann ist f 1 (V ) = [2, 3] 3. Sei g : R R +, x e x, dann ist ker f =. Definition 1.10: Injektiv, Surjektiv: Eine Abbildung f : X Y zwischen zwei Mengen heißt 1. surjektiv, falls Bild(f) Y gilt. 2. injektiv, falls f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2 für x 1, x 2 X gilt. Hinweise 1.11: 1. Um zu zeigen, dass eine Menge surjektiv sei, ist ein probates Mittel damit zu beginnen, ein Element y Y zu betrachten und dann zu zeigen, dass es für dieses ein x X mit f(x) = y gibt. Da y beliebig war, gilt dies für jedes y Y. Das Gegenteil zu beweisen ist i.a. noch einfacher: Man finde nur ein y Y, welches nicht im Bild von der Abbildung liegt. 2. Man beachte, dass man die Definition für die Injektivität einer Funktion nicht mit der Definition einer Abbildung zu verwechseln darf. Für eine Abbildung gilt x 1 = x 2 f(x 1 ) = f(x 2 ) Dieses ist allerdings für alle Zuordnungen, die wir betrachten, erfüllt. 3. Eine äquivalente Bedingung für die Injektivität ist x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) welche man durch negieren der obigen Definition erhält. Satz 1.12 Eine lineare Abbildung f ist genau dann injektiv, wenn ker(f) = 0. Beweis: Angenommen f sei injektiv und ker(f) 0, dann gibt es ein x ker(f) mit x 0. Daher gilt x 0 f(x) = f(0) = 0 und die Funktion kann nicht injektiv sein. Widerspruch! Daher und weil 0 ker(f) gilt ker(f) = {0}. 3
4 Nun nehme man an ker(f) = 0, dann folgt Daher ist f injektiv. f(x 1 ) = f(x 2 ) f(x 1 x 2 ) = 0 x 1 = x 2 Beispiel 1.13: Wieder sei eine Funktion f : R [ 1, 1], x cos(x) gegeben. Die Funktion ist surjektiv. Dies zeigt man folgendermaßen: Es gilt f(0) = 1 und f(π) = 1, daher reicht es den Bereich [0, π] zu betrachten. Da f stetig und [0, π] kompakt ist, nimmt f [0,π] nach dem Zwischenwertsatz jeden Wert in [ 1, 1] mit f(x) [ 1, 1] für ein x [0, π] an. Da außerdem [0, π] R und cos(x) 1 gilt, ist auch die Funktion f : R [ 1, 1] sujektiv. Dass f nicht injektiv ist, sieht man an deren Periodizität. Ein Gegenbeispiel genügt: cos(0) = 1 = cos(2π). Die Funktion f [0,π] ist wegen der strengen Monotonie auf ]0, π[ auch injektiv, daher bijektiv. Definition 1.14: Endomorphismus, Isomorphismus Automorphismus: Sei f : X Y eine lineare Abbildung zwischen Vektorräumen, dann nennt man 1. f einen Endomorphismus, falls X = Y. 2. f einen Isomorphismus, falls f bijektiv, d.h. sowohl surjektiv, als auch injektiv ist. 3. f einen Automorphismus, falls f ein bijektiver Endomorphismus ist. Satz 1.15: Falls f : X Y ein Isomorphismus ist, dann ist f 1 : Y X linear, f 1 ist sogar wieder ein Isomorphismus. Beispiele 1.16: 1. Die identische Abbildung ist klarerweise ein Automorphismus. 2. Die Abbildung f : R R definiert durch f(x) = { x, falls x Q 0, sonst dann ist sie per Definition ein Endomorphismus. Aber sie ist weder injektiv (für alle irrationalen Zahlen hat f den Wert 0) noch surjektiv (im Bild von f liegt keine irrationale Zahl). Die Einschränkung von f auf Q ist dann natürlich ein Automorphismus. Definition 1.17: Rang einer linearen Abbildung Der Rang einer linearen Abbildung f ist definiert als Rang(f) := dim(bild(f)). Satz 1.18: (Dimensionssatz linearer Abbildungen): Seien X, Y Vektorräume, und f : x Y linear, dann gilt dim(x) = dim(ker(f)) = dim(bild(f)) = dim(ker(f)) + Rang(f) Diesen Satz wollen wir hier nicht beweisen. Der Beweis findet sich überall in der einschlägigen Literatur. Aber was sagt der Satz aus? Zunächst wissen wir, dass immer Rang(f) dim(x) gelten muss. Ist der Rang der linaren Abbildung nun maximal, also Rang(f) = dim(x), dann folgt aus dem Dimensionssatz, dass dim(ker(f)) = 0 und die Abbildung somit injektiv ist. Außerdem lässt sich folgendes Korollar damit leicht zeigen. Korollar 1.19: Sei dim(x) = dim(y ), dann sind folgende Bedingungen gleichwertig: 1. f ist injektiv 2. f ist surjektiv 3. f ist bijektiv 4
5 Für eine lineare Abbildung zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen braucht man also nur eine der Bedingungen nachzuprüfen. Zwei Räume X, Y zwischen denen ein Isomorphismus φ : X Y existiert nennt man zueinander isomorph, d.h. die Räume sind (algebraisch) strukturgleich, da man jedem Element aus X genau ein Element aus Y zuordnen kann. Man schreibt dann auch X Y. Folgender Satz soll hier zitiert werden, da er häufig ein gutes Kriterium für die Isomorphie zweier Vektorräume gibt. Satz 2.20 Seien X, Y Vektorräume, dann gilt dim(x) = dim(y ) X Y Eine häufig gestellte Aufgabe ist, dass man eine Familie aus Paaren von Vektoren aus zwei Vektorräumen vorgibt und dann überprüft, ob es eine lineare Abbildung gibt, welche jeweils die beiden Vektoren eines Paares verbindet. Folgender Satz gibt ein positives Ergebnis, wenn die Vektoren des Definitionsbereiches eine Basis bilden. Satz 2.21 Seien X, Y Vektorräume und {x i } i=1,,n eine Basis von X, sowie {y i } i=1,,n beliebige Vektoren aus Y, dann gibt es genau eine lineare Abbildung f, welche f(x i ) = y i i = 1,, n Für den Fall das {y i } i=1,,n eine Basis von Y ist, gilt, dass f sogar ein Isomorphismus ist. Beispiel 2.22: Gibt es eine lineare Abbildung f : R 2 R 2, welche ( ( ( ) ( f( ) =, f( = ) 3) 0) 1 6) erfüllt? ( ) ( ) 1 2 Die Antwort gibt uns geradewegs Satz Da eine Basis des R bildet, ist die Antwort Ja. Vorsicht! Es ist hier nicht danach gefragt einen Homomorphismus explizit zu konstruieren. Dies wäre zwar eine anderer, völlig legitimer Beweis, ist aber meist viel zeitaufwendiger. Wenn nun die Vektoren in X keine Basis bilden, kann man dann daraus direkt schließen, dass keine lineare Abbildung existiert, welche die Bedingungen erfüllt? Nein, im Allgemeinen ist dieser Schluss nicht richtig. Folgendes Beispiel soll die demonstrieren: Wieder ist eine lineare Abbildung f : R 2 R 2 gesucht, welche diesmal ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) =, f( = ) erfüllen soll. Dann existieren sogar unendlich viele lineare Abbildung, da die Bedingungen die Abbildung nur in einer Richtung festlegen. Ein Beispiel für eine dieser unendlich vielen Abbildungen, ( ) ( wäre die 1 2 identische Abbildung. Es existiert also eine lineare Abbildung, obwohl die Vektoren keine Basis 3 6) des R bilden. Eine sicheres Ausschlusskriterium für die Existenz einer linearen Abbildung ist natürlich immer die Verletzung der Linearität durch die vorgegeben Bedingungen. 2 Matrizen als Darstellungen linearer Abbildungen Mit Hilfe der Basis eines Vektorraumes, lassen sich seine Elemente, die Vektoren, in der bekannten Spaltenform darstellen. Wir betrachten hier zunächst den Spezialfall des K n. Der Vektor x K n lässt sich nach der Standard-Basis {e i } i=1,...,n entwickeln x = n a i e i i=1 5
6 wobei die Familie {a i } i=1,...n Elemante aus K sind. Dies lässt sich folgendermaßen darstellen : a 1 a 2. a n Etwas Ähnliches kann man nun auch mit linearen Abbildungen machen und diese, auf eine bestimmte Basis bezogene Repräsentation, lassen sich als die sogenannten Matrizen darstellen. Sei F : K n K m eine lineare Abbildung und {e i } i=1,...,n Standard-Basis für K n, sowie {f i } i=1,...,m Standard-Basis von K m. Wendet man nun die lineare Abbildung auf die Basis von K n an, d.h. man betrachtet F (e i ) i {1,, n}, so ist dies ein Familie von Vektoren in Y. Daher kann man nach obigem diese Vektoren wiederum nach der Basis in K m entwickeln. m F (e i ) = a ij f j Die Koeffizienten ergeben dann die Einträge einer Matrix. Diese notiert man folgendermaßen: a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A :=..... a n1 a n2 a nm j=1 Hierbei bezeichnet konventionell der erste Index die Zeilen, der zweite die Spalte. Man sortiert die Matrizen nach ihrer Größe und nennt diese Räume Mat(n m, K), wobei wieder die Faustregel gilt, erste Ziffer entspricht der Anzahl der Zeilen und die zweite der Anzahl der Spalten der Matrix. Einer linearen Abbildung F : K n K m lässt sich also genau eine Matrix A Mat(n m, K) zuordnen. Man schreibt dann F (x) = A x wobei x K n. Man kann einen Isomorphismus definieren, welcher erlaubt die obigen Konstruktion auf einen beliebigen Vektorraum X zu übertragen. Sei dim(x) = n dieser Isomorphismus mit mit Ψ : K n X, (x 1,, x n ) n i=1 x i b i, wobei {b i } i=1,,n eine Basis von X ist. Außerdem gilt Ψ(e i ) = b i i. Daher kann man nach einer Wahl von Basen für den Definitionsraum und den Bildraum einer linearen Abbildung, dieser eine eindeutig bestimmte Matrix zuweisen. Diese Matrizen nennt man auch Darstellungsmatrizen. Über die Verknüpfung von linearen Abbildungen definiert man nun die Multiplikation von Matrizen. Definition 2.2: (Matrixmultiplikation) Seien A Mat(n l, K), B Mat(l m, K), und C Mat(n m, K) dann definiert man die Verknüpfung als A B := C über l c ij = a ik b kj k=1 i = 1,, n; j = 1, m Zur Überprüfung der Wohldefiniertheit bedient man sich einfach des Spezialfalles K n und er Darstellung F (x) = A x. Damit ergibt sich für beliebiges x K m C x = F C (x) = (F A F B )(x) = F A (F B (x)) = F A (B x) = (A B) x 6
7 Die Gleichung für die Koeffizienten ergibt sich durch y k = (B x) k = m j=1 b kjx j und (Cx) i = ((A B)x) i = (Ay) i l = a ik y k = = k=1 l k=1 j=1 m a ik b kj x j m c ij x j j=1 Die Koeffizientengleichung gibt auch direkt eine praktische Regel zur Berechnung von Matrizen zur Hand. Zunächst betrachten wir den Fall A Mat(1 n, K) und B Mat(n 1, K), welcher dem Skalarprodukt äquivalent ist. ( ) a1 a n b 1. b n = n a i b i Genau auf diese Art und Weise Multipliziert man Matrizen, indem man aus den Zeilen der ersten Matrix und den Spalten der zweiten Matrix das Skalarprodukt bildet und daraus die neue Matrix bildet. Beispiel 2.3: Gegeben seien die Matrizen A = ( 3 1 ) i=1 7 1 B = dann ergibt sich nach der Regel von oben ( ) ( ) ( 2) ( 5) = = ( 1) ( 2) ( 1) ( 5) ( 17 ) Definition 2.4: (Transponierte einer Matrix): Sei A Mat(n m, K), dann definiert man die transponierte Matrix A T Mat(m n, K) von A durch (A T ) ij = (A) ji. Außerdem nennt man eine Matrix symmetrisch, wenn A = A T gilt. Satz 2.5: (Rechenregeln für die Transposition): Sei A, B Mat(n m, K) dann gilt: 1. (A B) T = B T A T 2. (A T ) T = A 3. (λa) T = λa T Beispiel 2.6: Sei dann ergibt sich A = ( 2 5 ) A T = Häufig will man wissen, ob eine Matrix A Mat(n m, K) invertierbar ist oder nicht, bzw. ob ein dazu assoziiertes Gleichungssystem lösbar ist. Damit wollen wir uns hier nicht beschäftigen, sondern zum 7
8 Schluss nur noch eine Definition anbringen, welche für die Untersuchung der Lösbarkeit eines LGS sehr nützlich ist. Hierzu sei im folgenden: ZR(A) := span({z 1,, z n }) der Zeilenraum, wobei {z 1,, z n } die Zeilenvektoren der Matrix A, also A = definiert man den Spaltenraum als mit den Spaltenvektoren {s 1,, s m }. SR(A) := span({s 1,, s m }) (z 1 ) T. (z n ) T, sind. Analog Definition 2.7: (Zeilenrang und Spaltenrang einer Matrix) Sei A Mat(n m, K), dann ist der Zeilenrang von A definiert als dim(zr(a)) und der Spaltenrang dementsprechend als dim(sr(a)). Diese etws technische Definition vereinfacht sich erheblich durch folgenden Satz. Satz und Definition 2.8: (Wohldefiniertheit des Ranges einer Matrix) Für eine Matrix A Mat(n m, K) gilt immer dim(zr(a)) = dim(sr(a)) also Spaltrang gleich Zeilenrang. Daher definiert man den Rang einer Matrix als Rang(A) := dim(zr(a)) = dim(sr(a)). Natürlich haben lineare Abbildung und zugehörige Darstellungsmatrix den gleichen Rang. Beispiel 2.8: Für die Matrix gilt Rang(A) = 2. Hinweise 2.9: 1. Es gilt Rang(A) = Rang(A T ) A = Natürlich haben lineare Abbildung und zugehörige Darstellungsmatrix den gleichen Rang. 8
Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen
KAPITEL 4 Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen 1. Lineare Abbildungen Definition 4.1 (Lineare Abbildungen). Seien V und W zwei Vektorräume über den selben Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt
Mehr1 Linearkombinationen
Matthias Tischler Karolina Stoiber Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker WS 14/15 A 1 Linearkombinationen Unter einer Linearkombination versteht man in der linearen Algebra einen Vektor, der sich durch
MehrAufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I
Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie I Es werden folgende Themen behandelt:. Formale und logische Grundlagen 2. Algebraische Grundlagen 3. Vektorräume und LGS 4. Homomorphismen und
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 18. April 2016 Übersicht über die Methoden Seien v 1,..., v r Vektoren in K n. 1. Um zu prüfen, ob die Vektoren v 1,...,
MehrMathematik I. Vorlesung 12. Lineare Abbildungen
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Mathematik I Vorlesung 12 Lineare Abbildungen Definition 12.1. Es sei K ein Körper und es seien V und W K-Vektorräume. Eine Abbildung heißt lineare Abbildung,
MehrMathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure
Mathematik für Physiker, Informatiker und Ingenieure Folien zu Kapitel V SS 2010 G. Dirr INSTITUT FÜR MATHEMATIK UNIVERSITÄT WÜRZBURG dirr@mathematik.uni-wuerzburg.de http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de
MehrLineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Lineare Algebra 7. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching November 9, 27 Erinnerung 2 Vektoräume Sei V ein Vektorraum, U V, U {}. U hiesst Untervektorraum, Unterraum,
MehrLineare Algebra I Zusammenfassung
Prof. Dr. Urs Hartl WiSe 10/11 Lineare Algebra I Zusammenfassung 1 Vektorräume 1.1 Mengen und Abbildungen injektive, surjektive, bijektive Abbildungen 1.2 Gruppen 1.3 Körper 1.4 Vektorräume Definition
Mehr3 Lineare Algebra (Teil 1): Lineare Unabhängigkeit
3 Lineare Algebra (Teil : Lineare Unabhängigkeit 3. Der Vektorraum R n Die Menge R n aller n-dimensionalen Spalten a reeller Zahlen a,..., a n R bildet bezüglich der Addition a b a + b a + b. +. :=. (53
MehrBild, Faser, Kern. Stefan Ruzika. 23. Mai Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 23. Mai 2016 Stefan Ruzika 7: Bild, Faser, Kern 23. Mai 2016 1 / 11 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis
Mehr1 Lineare Abbildungen
1 Lineare Abbildungen Definition 1 Sei K ein Körper und V und W K-Vektoräume. Eine Abbildung f : V W heisst linear oder Homomoprhismus, wenn gilt: fv 1 + v 2 = fv 1 + fv 2 v 1, v 2 V fλv = λfv λ K, v V
Mehr5 Lineare Abbildungen
5 Lineare Abbildungen Pink: Lineare Algebra HS 2014 Seite 56 5 Lineare Abbildungen 5.1 Definition Gegeben seien Vektorräume U, V, W über einem Körper K. Definition: Eine Abbildung f : V W heisst K-linear,
Mehr5 Lineare Abbildungen
5 Lineare Abbildungen Pink: Lineare Algebra 2014/15 Seite 59 5 Lineare Abbildungen 5.1 Definition Gegeben seien Vektorräume U, V, W über einem Körper K. Definition: Eine Abbildung f : V W heisst K-linear,
Mehr1 Eigenschaften von Abbildungen
Technische Universität München Christian Neumann Ferienkurs Lineare Algebra für Physiker Vorlesung Dienstag WS 2008/09 Thema des heutigen Tages sind zuerst Abbildungen, dann spezielle Eigenschaften linearer
Mehr35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen
35 Matrixschreibweise für lineare Abbildungen 35 Motivation Wir haben gesehen, dass lineare Abbildungen sich durch ihre Wirkung auf die Basisvektoren ausdrücken lassen Mithilfe von Matrizen können wir
MehrLineare Abbildungen und Matrizen
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 31. Mai 2016 Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai 2016 1 / 16 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume
MehrKapitel 3 Lineare Algebra
Kapitel 3 Lineare Algebra Inhaltsverzeichnis VEKTOREN... 3 VEKTORRÄUME... 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT UND BASEN... 4 MATRIZEN... 6 RECHNEN MIT MATRIZEN... 6 INVERTIERBARE MATRIZEN... 6 RANG EINER MATRIX UND
Mehr8 Lineare Abbildungen und Matrizen
8 Lineare Abbildungen und Matrizen 8.1 Lineare Abbildungen Wir beschäftigen uns nun mit Abbildungen zwischen linearen Räumen. Von besonderem Interesse sind Abbildungen, die die Struktur der linearen Räume
MehrMusterlösung. 1 Relationen. 2 Abbildungen. TUM Ferienkurs Lineare Algebra 1 WiSe 08/09 Dipl.-Math. Konrad Waldherr
TUM Ferienkurs Lineare Algebra WiSe 8/9 Dipl.-Math. Konrad Waldherr Musterlösung Relationen Aufgabe Auf R sei die Relation σ gegeben durch (a, b)σ(c, d) : a + b c + d. Ist σ reflexiv, symmetrisch, transitiv,
Mehr13 Partielle Ableitung und Richtungsableitung
3 PARTIELLE ABLEITUNG UND RICHTUNGSABLEITUNG 74 3 Partielle Ableitung und Richtungsableitung 3 Definition und Notiz Sei B R n offen, f : B R m, v R n, so heißt für γ x,v (t) = x + tv d dt f(x + tv) f(x)
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 15.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 12 Erinnerung Eine Abbildung f : V W zwischen reellen Vektorräumen ist linear, wenn
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 5 5. (Herbst 9, Thema 3, Aufgabe ) Betrachtet werde die Matrix A := 3 4 5 5 7 7 9 und die lineare Abbildung
MehrKapitel 7 Lineare Abbildungen und Matrizen II
Kapitel 7 Lineare Abbildungen und Matrizen II 7.1 Weitere Rechenregeln für Matrizen Aus den bisher gelernten Regeln entnehmen wir den als Übung zu beweisenden Satz 7.1. Es gelten die folgenden Regeln.
Mehr4 Lineare Abbildungen und Matrizen
4.1 Lineare Abbildungen Definition 4.1. Es seien V, W K-Vektorräume. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, wenn für alle u, v V und λ K gilt Beispiel 4.2. L1 f(u + v) = f(u) + f(v),
MehrLineare Abbildungen. i=0 c ix i n. K n K m
Kapitel 4 Lineare Abbildungen In diesem Abschnitt lernen Sie erstmals eine Klasse von strukturerhaltenden Abbildungen kennen. Diese Konzept ist von zentraler Bedeutung in der Algebra. Grob gesagt geht
MehrVektorräume und lineare Abbildungen
Kapitel 11. Vektorräume und lineare Abbildungen 1 11.1 Vektorräume Sei K ein Körper. Definition. Ein Vektorraum über K (K-Vektorraum) ist eine Menge V zusammen mit einer binären Operation + einem ausgezeichneten
Mehr$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $
Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit
MehrDefinitionen. b) Was bedeutet V ist die direkte Summe von U und W? V ist direkte Summe aus U und W, falls V = U + W und U W = {0}.
Technische Universität Berlin Wintersemester 7/8 Institut für Mathematik 9. April 8 Prof. Dr. Stefan Felsner Andrea Hoffkamp Lösungsskizzen zur Nachklausur zur Linearen Algebra I Aufgabe ++ Punkte Definieren
MehrLineare Algebra. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Lineare Algebra 6. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching November, 7 Vektoräume Eine Menge E zusammen mit zwei Verknüpfungen + : E E E, x, y x + y Addition : E E E,
Mehrβ 1 x :=., und b :=. K n β m
44 Lineare Gleichungssysteme, Notations Betrachte das lineare Gleichungssystem ( ) Sei A = (α ij ) i=,,m j=,n α x + α x + + α n x n = β α x + α x + + α n x n = β α m x + α m x + + α mn x n = β m die Koeffizientenmatrix
MehrLineare Algebra. 6. Übungsstunde. Steven Battilana.
Lineare Algebra 6. Übungsstunde Steven attilana stevenb@student.ethz.ch November, 6 Lineare Abbildungen Eine Abbildung f : X Y heisst injektiv, falls x, x X : x x fx fx. In Worten: erschiedene Elemente
MehrGegeben sei eine Menge V sowie die Verknüpfung der Addition und die skalare Multiplikation der Elemente von V mit reellen Zahlen.
1. Der Vektorraumbegriff...1 2. Unterräume...2. Lineare Abhängigkeit/ Unabhängigkeit... 4. Erzeugendensystem... 5. Dimension...4 6. Austauschlemma...5 7. Linearität von Abbildungen...6 8. Kern und Bild
Mehrauf C[; ] sind linear III Formale Dierentiation und Integration: Die Abbildungen und a + a t + + a n t n a + a t + + na n t n a + a t + + a n t n an a
x LINEARE ABBILDUNGEN Denition: Seien V; V Vektorraume Eine Abbildung f heit linear, falls (i) (ii) f(x + y) f(x) + f(y) (x; y V ) f(x) f(x) ( R; x V ) Bemerkungen: I (i) und (ii) oben sind aquivalent
MehrÜbersicht Kapitel 9. Vektorräume
Vektorräume Definition und Geometrie von Vektoren Übersicht Kapitel 9 Vektorräume 9.1 Definition und Geometrie von Vektoren 9.2 Teilräume 9.3 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme 9.4 Lineare Abhängigkeiten
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
Mehrtechnische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller
technische universität dortmund Dortmund, im Dezember 2011 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. H. M. Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 4.3 und 4.4
MehrLineare Algebra I. Lösung 9.2:
Universität Konstanz Wintersemester 2009/2010 Fachbereich Mathematik und Statistik Lösungsblatt 9 Prof. Dr. Markus Schweighofer 20.01.2010 Aaron Kunert / Sven Wagner Lineare Algebra I Lösung 9.1: Voraussetzung:
Mehr(1) In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt.
() In dieser Aufgabe kreuzen Sie bitte nur die Antworten an, die Sie für richtig halten. Eine Begründung wird nicht verlangt. a) Es seien A und B beliebige n n-matrizen mit Einträgen in einem Körper K.
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof Dr H Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 12 Wege entstehen dadurch, dass man sie geht Franz Kafka Invertierbare Matrizen Definition 121 Es sei K ein
Mehr10.2 Linearkombinationen
147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition
MehrÜbungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax
MehrKapitel III. Lineare Abbildungen
Kapitel III. Lineare Abbildungen Beispiele: 1 Lineare Abbildungen a) Seien c 1,..., c n K vorgegeben. Betrachte die Funktion F (x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n in den Variablen x 1,...,
Mehr5. Matrizen und Determinanten
technische universität dortmund Dortmund, im Januar 01 Fakultät für Mathematik Prof Dr H M Möller Lineare Algebra für Lehramt Gymnasien und Berufskolleg Zusammenfassung der Abschnitte 1 und Matrizen und
Mehr2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen
Algebra und Algebra 2. Dezember 2011 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung
MehrMathematik für Anwender I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 9 Lineare Abbildungen Definition 9.1. Es sei K ein Körper und es seien V und W Vektorräume über K. Eine Abbildung ϕ : V W
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen
Mehr2.4 Matrizen und Lineare Abbildungen
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 73 2.4 Matrizen und Lineare Abbildungen Zum Schluss von Abschnitt 2.2 hatten wir Matrizen eingeführt, und zwar im Zusammenhang mit der abgekürzten Schreibweise
MehrÜbungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie
Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Sommersemester 2010 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b
Mehr3.5 Duale Vektorräume und Abbildungen
3.5. DUALE VEKTORRÄUME UND ABBILDUNGEN 103 3.5 Duale Vektorräume und Abbildungen Wir wollen im Folgenden auch geometrische Zusammenhänge mathematisch beschreiben und beginnen deshalb jetzt mit der Einführung
Mehr3 Lineare Abbildungen und Matrizen
3 Lineare Abbildungen und Matrizen Definition 3.1. Es seien V und W zwei Vektorräume über demselben Zahlkörper k. Eine Abbildung heisst linear, falls gilt i) [ λ k ] [ v V ] [ f (λ v) = λ f ( v) ] ii)
MehrLösungsskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 2015
sskizzen der Klausur zur Linearen Algebra im Herbst 5 Aufgabe I. Es sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e und M {x G x x e}. Zeigen Sie: (a) Ist G kommutativ, so ist M eine Untergruppe von G. (b)
MehrÜbungen zur Linearen Algebra 1 Probeklausur Musterlösung: Aufgabe A
Musterlösung: Aufgabe A Wir betrachten die Matrix A = 1 4 1 1 3 1 4 5 2 M(3 3, Q) und die dazugehörige Abbildung f : Q 3 Q 3 ; v A v. Für j = 1, 2, 3 bezeichne v j Q 3 die j-te Spalte von A. Teilaufgabe
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 29.11.2013 Alexander Lytchak 1 / 13 Wiederholung Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich dem Spaltenrang der darstellenden
MehrLINEARE ALGEBRA FÜR ANALYSIS
LINEARE ALGEBRA FÜR ANALYSIS ALBERTO S. CATTANEO Zusammenfassung. Eine Zusammenfassung der wichtigsten in der Analysis gebrauchten Grundbegriffe aus der linearen Algebra (speziell für diejenigen, die lineare
Mehr17 Lineare Abbildungen
Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 1 17 Lineare Abbildungen Wir beginnen mit der Klärung des Abbildungsbegriffes. (17.1) DEF: M und N seien nichtleere Mengen. Eine Abbildung f von M nach N (in Zeichen:
MehrMathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 12
Dipl.Inf. Malte Isberner Dr. Oliver Rüthing Dipl.Inf. Melanie Schmidt Dr. Hubert Wagner Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 12 Die Lösungshinweise dienen
MehrBestimmung der Dimension
Bestimmung der Dimension Satz. Sei (v 1, v 2,..., v n ) ein minimales Erzeugendensystem von V, d.h. dieses System ist ein Erzeugendensystem von V, aber keines der nach Weglassen eines v i (1 i n) entstehenden
MehrDer Kern einer Matrix
Die elementaren Zeilenoperationen p. 1 Der Kern einer Matrix Multipliziert man eine Matrix mit den Spaltenvektoren s 1,..., s m von rechts mit einem Spaltenvektor v := (λ 1,..., λ m ) T, dann ist das Ergebnis
MehrLineare Algebra II Lösungen zu ausgewählten Aufgaben
Lineare Algebra II Lösungen zu ausgewählten Aufgaben Blatt 2, Aufgabe 3 a) Wir zeigen, daß das Ideal (2, X) kein Hauptideal in Z[X] ist. (Dieses Ideal besteht aus allen Elementen in Z[X], die von der Form
MehrRangsatz. d.) (2P) Formulieren Sie den
Probeklausur Lineare Algebra I am 14.11.09 Die Klausur ist in drei Teile unterteilt, die grob als Definitions-, Rechenund Beweisteil bezeichnet werden können (optisch durch Linien getrennt). In jedem Teil
Mehr4 Lineare Abbildungen und Matrizen
Mathematik I für inf/swt, Wintersemester /, Seite 8 4 Lineare Abbildungen und Matrizen 4 Kern und Injektivität 4 Definition: Sei : V W linear Kern : {v V : v } ist linearer eilraum von V Ü68 und heißt
MehrLINEARE ALGEBRA II. FÜR PHYSIKER
LINEARE ALGEBRA II FÜR PHYSIKER BÁLINT FARKAS 4 Rechnen mit Matrizen In diesem Kapitel werden wir zunächst die so genannten elementaren Umformungen studieren, die es ermöglichen eine Matrix auf besonders
MehrViele wichtige Operationen können als lineare Abbildungen interpretiert werden. Beispielsweise beschreibt die lineare Abbildung
Kapitel 3 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen sind eine natürliche Klasse von Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen, denn sie vertragen sich per definitionem mit der Struktur linearer Räume Viele
MehrMathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen
Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen
MehrLineare Algebra II 8. Übungsblatt
Lineare Algebra II 8. Übungsblatt Fachbereich Mathematik SS 11 Prof. Dr. Kollross 1./9. Juni 11 Susanne Kürsten Tristan Alex Gruppenübung Aufgabe G1 (Minitest) Sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum.
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Definition. Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n und b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2......
MehrMathematik für Anwender I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2011/2012 Mathematik für Anwender I Vorlesung 9 Lineare Abbildungen Definition 9.1. Es sei K ein Körper und es seien V und W Vektorräume über K. Eine Abbildung heißt lineare
MehrKLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I UND II 2. Oktober 2008 MUSTERLÖSUNG
KLAUSUR ZUR LINEAREN ALGEBRA I UND II 2. Oktober 2008 MUSTERLÖSUNG Aufgabe 1 Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, und seien v 1,..., v n V (n N). (a) Definieren Sie, wann die endliche Familie v 1,...,
MehrLineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November
Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 6 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 27. November http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzugen zur Vorlesung: Der Vollständigkeit
MehrBeispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger
Beispiellösungen zur Klausur Lineare Algebra bei Prof. Habegger Stefan Lell 2. Juli 2 Aufgabe. Sei t Q und A t = t 4t + 2 2t + 2 t t 2t 2t Mat 3Q a Bestimmen Sie die Eigenwerte von A t in Abhängigkeit
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)
Mehr5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt
5 Lineare Algebra (Teil 3): Skalarprodukt Der Begriff der linearen Abhängigkeit ermöglicht die Definition, wann zwei Vektoren parallel sind und wann drei Vektoren in einer Ebene liegen. Daß aber reale
MehrMusterlösung 7 Lineare Algebra für die Naturwissenschaften
Musterlösung 7 Lineare Algebra für die Naturwissenschaften Aufgabe Entscheiden Sie, ob folgende Abbildungen linear sind, und geben sie für die linearen Abbildungen eine Matrixdarstellung (in einer Basis
MehrLineare Abbildungen - I
Lineare Abbildungen - I Definition. Seien V und W K-Vektorräume (über demselben K). Eine Abbildung F : V W heißt K-linear, wenn L1) F (v + w) = F (v) + F (w) v, w V L2) F (λv) = λf (v) v V, λ K. Somit
MehrIV.3. RANG VON MATRIZEN 81
IV3 RANG VON MATRIZEN 8 Ist b,,b n eine Basis des reellen Vektorraums V, dann bildet b,,b n auch eine Basis des komplexen Vektorraums V C Mit V ist daher auch V C endlichdimensional und es gilt dim C V
Mehr5 Die Allgemeine Lineare Gruppe
5 Die Allgemeine Lineare Gruppe Gegeben sei eine nicht leere Menge G und eine Abbildung (Verknüpfung) : G G G, (a, b) a b( a mal b ) Das Bild a b von (a, b) heißt Produkt von a und b. Andere gebräuchliche
Mehr{ id, falls sgn(σ) = 1, τ, falls sgn(σ) = 1,
Aufgabe I1 (4 Punkte) Es seien (G, ) und (H, ) Gruppen a) Wann heißt eine Abbildung Φ : G H ein Gruppenhomomorphismus? b) Es seien Φ, Ψ : G H zwei Gruppenhomomorphismen Zeigen Sie, dass eine Untergruppe
Mehr37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme
37 Gauß-Algorithmus und lineare Gleichungssysteme 37 Motivation Lineare Gleichungssysteme treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf und müssen gelöst werden In Abschnitt 355 haben wir gesehen, dass
Mehr12 Lineare Algebra - Übersicht. Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen
12 Lineare Algebra - Übersicht Themen: Unterräume Lineare Abbbildungen Gauß-Algorithmus Eigenwerte und Normalformen Unterräume Sei X ein Vektorraum über Ã. Eine Teilmenge M X heißt Unterraum von X, wenn
MehrGrundlagen der Mathematik 1
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010, Blatt 14 Thomas Markwig Stefan Steidel Grundlagen der Mathematik 1 Die Lösungen müssen nicht eingereicht werden und werden auch nicht korrigiert. Die Aufgaben
Mehr1.4 Homomorphismen und Isomorphismen
Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 28 1.4 Homomorphismen und Isomorphismen Definition 1.4.1 Es seien (G, ) und (H, ) zwei Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G H heißt (Gruppen-)Homomorphismus,
MehrLineare Algebra I. Lösung 3.1:
Universität Konstanz Wintersemester 2009/2010 Fachbereich Mathematik und Statistik Lösungsblatt 3 Prof. Dr. Markus Schweighofer 18.11.2009 Aaron Kunert / Sven Wagner Lineare Algebra I Lösung 3.1: (a) Sei
Mehr, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.
154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =
MehrBrückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag
Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs
MehrAusgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5
Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Ausgewählte en zu den Übungsblättern -5 Aufgabe, Lineare Unabhängigkeit
Mehrx y f : R 2 R 3, Es gilt: Bild f = y : wobei x,y R Kern f = 0 (wird auf der nächsten Folie besprochen)
Def Wiederholung Sei f : V U eine lineare Abbildung Das Bild von f ist die folgende Teilmenge von U: Bild f = {u U so dass es gibt ein Element v V mit f(v) = u} (Andere Bezeichnung: f(v) wird in Analysis-Vorlesung
MehrAufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 2009
I. (4 Punkte) Gegeben sei die Menge Aufgaben und Lösungen zur Klausur Lineare Algebra im Frühjahr 9 G := { a c b a, b, c R }. (a) Zeigen Sie, dass G zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe
MehrTechnische Universität München. Mathematik für Physiker 1
Tutorübung - Lösungen T: Basiswechsel Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik für Physiker Wintersemester /2 Michael Kaplan Jan Wehrheim Christian Mendl Übungsblatt 9 Wir betrachten
MehrKapitel II. Vektoren und Matrizen
Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft
Mehr3 Systeme linearer Gleichungen
3 Systeme linearer Gleichungen Wir wenden uns nun dem Problem der Lösung linearer Gleichungssysteme zu. Beispiel 3.1: Wir betrachten etwa das folgende System linearer Gleichungen: y + 2z = 1 (1) x 2y +
MehrDefinitionen. Merkblatt lineare Algebra. affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht
Seite 1 Definitionen affiner Teilraum Menge, die durch Addition eines Vektors v 0 zu allen Vektoren eines Vektorraumes V entsteht ähnliche Matrizen Matrizen, die das gleiche charakteristische Polynom haben
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I Wintersemester 3/ Aufgabenblatt 6. Januar Präsenzaufgaben
MehrLösung zu Serie 9. Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink
Lineare Algebra D-MATH, HS 2014 Prof. Richard Pink Lösung zu Serie 9 1. [Aufgabe] Sei f : V W eine lineare Abbildung. Zeige: a) Die Abbildung f ist injektiv genau dann, wenn eine lineare Abbildung g :
Mehra) Sei [G : B] = n und [B : A] = m. Seien weiter X G,B = {g 1,..., g n } vollständiges Repräsentantensystem der Linksnebenklassen von A in G.
5. Übungszettel zur Vorlesung Geometrische Gruppentheorie Musterlösung WiSe 2015/16 WWU Münster Prof. Dr. Linus Kramer Nils Leder Cora Welsch Aufgabe 5.1 Sei G eine Gruppe und seien A, B G Untergruppen
MehrMatrizen - I. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = wobei a ij K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen aus K).
Matrizen - I Definition. Sei K ein Körper. Ein rechteckiges Schema A = a 11 a 12...... a 1n a 21 a 22...... a 2n............ a m1 a m2...... a mn wobei j K heißt Matrix bzw. eine m n Matrix (mit Elementen
MehrLineare Algebra I (WS 13/14)
Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 03.12.2013 Alexander Lytchak 1 / 16 Wiederholung und Beispiele Der Spaltenrang einer Matrix ist gleich ihrem Zeilenrang.
MehrLineare Algebra I. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar.
Lineare Algebra I Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 10 (WS 2010/2011) Abgabetermin: Donnerstag, 13. Januar http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/la1 Erinnerungen und Ergänzungen zur Vorlesung: Hinweis:
MehrKapitel 11. Dimension und Isomorphie
Kapitel 11. Dimension und Isomorphie Bestimmung der Dimension Satz. Sei (v 1, v 2,..., v n ) ein minimales Erzeugendensystem von V, d.h. dieses System ist ein Erzeugendensystem von V, aber keines der nach
MehrEigenwerte und Diagonalisierung
Eigenwerte und Diagonalisierung Wir wissen von früher: Seien V und W K-Vektorräume mit dim V = n, dim W = m und sei F : V W linear. Werden Basen A bzw. B in V bzw. W gewählt, dann hat F eine darstellende
MehrKapitel 7. Lineare Abbildungen. 7.1 Motivation
Kapitel 7 Lineare Abbildungen 71 Motivation Verschieben, Drehen und Scheren sind parallelentreu, dh sie lassen sich auch als Abbildung zwischen Vektorräumen fomulieren Die Verschiebung, beispielsweise,
Mehr