Kapitel 7 Differentialrechnung

Transkript

1 Kapitel 7 Differentialrechnung 245

2 Kapitel 7.1 Grundbegriffe 246

3 Der Differentialquotient und das Integral sind die Kernbegriffe der Analysis. Ableitung und Integralbegriff werden durch gewisse Grenzwerte definiert. Es sei I R stets ein reelles Intervall und wir betrachten Funktionen f : I R. Wir wollen das Verhalten der Funktion f in der Nähe eines Punktes x 0 I studieren. Konkret: Was ist der Wertzuwachs f := f (x) f (x 0 )=f(x 0 + x) f (x 0 ) als Funktion des von x 0 aus gemessenen der Variablen x? x := x x 0 Dabei soll man sich x betragsmässig klein vorstellen. (Ist x 0 ein Randpunkt von I, so muss man sich auf x 0 bzw. x 0 beschränken.) 247

4 Für vernünftige Funktionen ist es plausibel, dass der Wertzuwachs f ungefähr linear von x abhängt, d.h. mit einer Konstanten A R. Definition 7.1 (Ableitung) Die Zahl A kann als Grenzwert f A x für x 0 f A= lim x 0 x geschrieben werden und heisst Differentialquotient oder Ableitung der Funktion f an der Stelle x 0. Verschiedene Schreibweisen sind in Gebrauch: A= df dx (x 0)=Df (x 0 )=f (x 0 ). 248

5 Bemerkung 18 Geometrische Interpretation der Größen am Graphen von f : Der Differenzenquotient f x ist die Steigung der Sekante des Graphen durch die Punkte (x,f (x)) und (x 0,f (x 0 )). Die Steigung der Tangente df dx (x 0) ergibt sich durch den Grenzwert für x

6 Bemerkung 19 Der Differentialquotient misst also die Tangentensteigung bei x 0. Man beachte, dass der Differenzenquotient für x=0 nicht definiert ist (0/0 ist nicht definiert)! Historisch wurde der Differentialquotient als Quotient der Differentiale oder infinitesimalen Größen df und dx interpretiert. Dank der sauberen Grenzwertdefinition, über die wir heute verfügen, können wir auf solche diffusen Vorstellungen verzichten. D.h. die Symbole df und dx haben keine eigenständige Bedeutung! Die Leibnizsche Schreibweise df /dx wird heute trotzdem gerne verwendet, weil sich damit formal bequem operieren lässt. 250

7 Beispiel 7.2 Wir bestimmen die Ableitung der Potenzfunktion f (x)=x 3. Es gilt: f (x 0 ) = lim x 0 (x 0 + x) 3 x 3 0 x = lim x 0 3 x 2 0 x+3 x 0 ( x) 2 + ( x) 3 x = lim x 0 ( 3 x x 0 x+( x) 2) = 3x 2 0. Da dies in allen reellen Punkten x 0 R funktioniert, liefert die Ableitung selber eine Funktion f : R R, x f (x)=3 x

8 Definition 7.3 (Begriff der Ableitung) Eine Funktion f : I R heisst differenzierbar im Punkt x 0, falls der Grenzwert f (x 0 ) := df dx (x 0) := lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 existiert. Ist dies der Fall, so nennt man den Grenzwert die Ableitung oder den Differentialquotienten von f an der Stelle x 0. Die Funktion f heisst differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt x 0 I differenzierbar ist. In diesem Fall erhalten wir die Funktion f : I R, x f (x), welche man die Ableitung von f nennt. 252

9 Bemerkung 20 Manchmal ist es nützlich, zur Grenzwertberechnung die Variablensubstitution x=x 0 + h zu machen und zu schreiben f f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 )= lim. h 0 h (x x 0 ist gleichbedeutend mit h := x x 0 0.) Beispiel 7.4 Wir halten fest: Konstante Funktionen f (x) = a sind differenzierbar mit Ableitung 0. Die Ableitung von f (x)=a x+b existiert und f (x)=a. 253

10 Beispiel 7.5 f : R R, f (x)= x ist nicht differenzierbar im Punkt 0. aber f (x) f (0) lim x 0 x x>0 f (x) f (0) lim x 0 x x<0 x = lim x 0 x = 1 x>0 = lim x x 0 x = 1. x>0 254

11 Für das folgende ist die untenstehende Charakterisierung der Differenzierbarkeit sehr nützlich. Satz 7.6 Sei f : I R und x 0 I gegeben. Dann sind äquivalent: 1. f ist differenzierbar in x Es gibt eine Konstante A R und eine Funktion r : I R mit: und lim x x0 r(x)=0. f (x)=f(x 0 )+A(x x 0 )+r(x)(x x 0 ), 3. Es gibt eine in x 0 stetige Funktion m: I R mit f (x) f (x 0 )=m(x)(x x 0 ). Dabei gilt jeweils A=f (x 0 ) bzw. m(x 0 )=f (x 0 ). 255

12 Bemerkung 21 Sichtweise (2) besagt, dass man die Funktion f in der Nähe von x 0 durch eine lineare Funktion approximieren kann, mit einem Fehler der für x x 0 schneller als x x 0 gegen Null konvergiert. Aus der Charakterisierung (3) folgt unmittelbar: Folgerung 7.7 Ist f an der Stelle x 0 differenzierbar, so ist f dort stetig. Das Beispiel der Betragsfunktion zeigt, dass die Umkehrung dieses Schlusses falsch ist. Man kann sogar stetige Funktionen R R angeben, die nirgends differenzierbar sind! Solche Funktionen treten in natürlicher Weise als Pfade gewisser stochastischer Prozesse auf (Brownsche Bewegung), z.b. bei der Modellierung der zufälligen Entwicklung von Aktienkursen. 256

13 Kapitel 7.2 Differentiation der elementaren Funktionen 257

14 Satz 7.8 (Ableitungsregeln) Seien f, g : I R differenzierbar in x. Dann sind auch die Funktionen f + g, λ f für λ R, f g, f für g(x) 0 differenzierbar in g x. Für die Ableitungen gilt: 1. Linearität: 2. Produktregel: 3. Quotientenregel: (f + g) (x)=f (x)+g (x), (λf ) (x)= λf (x), (f g) (x)=f (x) g(x)+f (x) g (x), ( f g ) (x)= f (x) g(x) f (x) g (x) g(x)

15 Beispiel 7.9 Für q(x)= 1 x folgt mit Quotientenregel (f (x)= 1,g(x)=x) gerade q (x)= g (x) = 1. g(x) 2 x 2 Die Ableitung von p(x)= x 2 = x x mit Produktregel (f (x)=g(x)=x) ist p (x)= 1 x+x 1= 2x. Mit Induktion nach n können wir dies leicht verallgemeinern: p n (x)=nxn 1, n N, n 1. Dies ist sicherlich richtig für n=1. Aus p n (x)=p n 1 (x) x folgt mit der Produktregel p n (x) = p n 1 (x) x+p n 1(x) 1 = (n 1)x n 2 x+x n 1 = nx n 1, wobei wir die Induktionsvoraussetzung verwendet haben. 259

16 Bemerkung 22 Um nicht ständig neue Funktionssymbole einführen zu müssen, ist es nützlich, die Leibnitzsche Schreibweise zu verwenden. Das letzte Argument kann dann kompakt folgendermassen hingeschrieben werden (n 1): d dx xn = ( d d dx xn 1) x+xn 1 dx x = (n 1)x n 2 x+x n 1 1=nx n 1. Wir werden diese Schreibweise in Zukunft häufig anwenden. Die gefundene Ableitungsregel gilt offensichtlich auch für n=0. Mit der Quotientenregel lässt sie sich leicht auf negative Exponenten erweitern. Für n 1 gilt: d dx x n = d 1 nxn 1 = dx xn x 2n = ( n) x n 1 = n x (n+1). 260

17 Die Überlegungen auf der vorhergehenden Folie implizieren: Folgerung 7.10 (Ableitungsregel für Potenzen) d dx xn = nx n 1 für n Z, x 0. Aus der Linearität des Ableitens und der Ableitungsregel für Potenzen ergibt sich unmittelbar das folgende Ergebnis. Folgerung 7.11 (Ableitungsregel für Polynomfunktionen) Eine Polynomfunktion p: R R vom Grad d>0 p(x)=a 0 + a 1 x+a 2 x 2 + +a d x d ist differenzierbar und hat als Ableitungsfunktion die folgenden Polynomfunktion vom Grad d 1: p (x)=a 1 + 2a 2 x+ +da d x d

18 Die Kettenregel ist die wichtigste von allen Ableitungsregeln. Satz 7.12 (Kettenregel) Es seien f : I J differenzierbar in x I und g : J R differenzierbar in y= f (x). Dann ist die zusammengesetzte Funktion g f : I R differenzierbar in x und es gilt (g f ) (x)=g (f (x)) f (x). Bemerkung 23 Man kann sich die Kettenregel intuitiv so merken: z= g(y), y= f (x), dz dx = dz dy dy dx. 262

19 Beispiel 7.13 Wir leiten die Polynomfunktion h(x)= (x 3 1) 7 mittels der Kettenregel ab. Dafür setzen wir in suggestiver Schreibweise z=y 7 und y= x 3 1. Es folgt h (x)= dz dx = dz dy dy dx = 7y6 3x 2 = 7(x 3 1) 6 3x 2. Wir leiten mit der Kettenregel nochmals die Formel für die Ableitung der reziproken Funktion 1/g her. Indem wir y= g(x) und z=1/y setzen, folgt in der Tat dz dx = dz dy dy dx = 1 y 2 g (x)= g (x) g(x)

20 Auch für Umkehrfunktionen kann bezüglich Differenzierbarkeit eine allgemeine Aussage gemacht werden. Satz 7.14 (Ableitung der Umkehrfunktion) Es sei f : I R streng monoton wachsend und differenzierbar. Dann ist die Umkehrfunktion g = f 1 in allen Punkten y= f (x) mit f (x) 0 differenzierbar, und zwar gilt g (y)= 1 f (g(y)). Bemerkung 24 Intuitiv kann man sich diese Regel so merken: y= f (x), x= g(y), dx dy = 1 dy dx. 264

21 Beispiel 7.15 Die Quadratwurzelfunktion ]0, [ ]0, [, y y ist als Umkehrfunktion von x x 2 differenzierbar mit der Ableitung d dx y= dy dy = 1 dy dx = 1 2x = 1 2 y. Sie ist jedoch nicht differenzierbar im Randpunkt 0, weil y 0 lim y 0 y 0 = lim 1 =. y y 0 265

22 Kapitel 7.3 Extremstellen 266

23 In diesem Abschnitt geht es um die Bestimmung von Extremalstellen oder, wenn man es so will, um Optimierungsprobleme. Definition 7.16 Eine Funktion f : I R heisst im Punkt x 0 lokal maximal, wenn es eine Umgebung U von x 0 gibt mit f (x) f(x 0 ) für alle Punkte x I U. Entsprechend definiert man, was lokal minimal heisst. Man sagt, f sei im Punkt x 0 lokal extremal, wenn f dort lokal maximal oder lokal minimal ist. Man spricht von einem globalen Maximum in x 0, wenn f (x) f(x 0 ) für alle x 0 I gilt; analog für globale Minima. 267

24 Beispiel 7.17 Die Funktion f : [ 1, 3 2 ] R, f (x)=x3 x ist lokal maximal an den Punkten 3 2 und 3 sowie lokal minimal an den Punkten 1 und Am Punkt 3 2 ist die Funktion global maximal und bei 3 2 global minimal. Man sieht, dass die globalen Extremalstellen auch am Rand des Definitionsintervalls liegen können. 268

25 Satz 7.18 (Notwendige Bedingung für Extremstellen) Hat eine differenzierbare Funktion f : I R eine lokale Extremalstelle x 0 im Innern des Intervalls I, so gilt f (x 0 )=0. Die Abbildung der Vorfolie zeigt: Die Aussage ist falsch für Randpunkte! Definition 7.19 Man nennt innere Punkte x 0 I mit f (x 0 )=0 kritische oder stationäre Punkte von f. Der Satz besagt also, dass lokale Extremalstellen im Innern von I kritische Punkte sind. Schon das einfache Beispiel der Funktion f (x)=x 3 im Nullpunkt zeigt jedoch, dass kritische Punkte nicht extremal zu sein brauchen. D.h. die Bedingung f (x 0 )=0 ist notwendig, aber nicht hinreichend für Extremalstellen! Später lernen wir hinreichende Kriterien kennen. 269

26 Beispiel 7.20 (Ein Extremwertproblem) Aufgabe: Unter allen Rechtecken der Fläche 1 ist eines mit kleinstem Umfang zu suchen! Bezeichne die Länge einer Seite mit x. Dann ist die Länge der anderen Seite 1 x und der halbe Umfang ist u(x)=x+ 1 x. Wir suchen Minima von u: ]0, [ R, d.h. kritische Punkte von u in ]0, [ (das Intervall hat keine Randpunkte). Die Ableitung u (x)=1 1 hat die einzige positive Nullstelle x 2 x 0 = 1, d.h. x 0 = 1 ist der einzige kritische Punkt von u. Wir prüfen noch direkt nach, dass u(x) u(1)=2 für alle x> 0 gilt. Dies ist äquivalent zu x x, d.h. zu (x 1) 2 0, was in der Tat stimmt! 270

27 Bemerkung 25 Zum Abschluss halten wir noch folgende Regel zur Bestimmung der globalen Maxima und Minima einer differenzierbaren Funktion f : [a, b] R auf einem kompakten Intervall fest. Zuerst erinnern wir, dass ein globales Maximum (und ein globales Minimum) aufgrund des Satzes vom Maximum existiert. Wenn x 1,x 2,...,x r die kritischen Punkte von f in ]a,b[ sind, dann gilt offensichtlich max f (x)= max{f (a),f (b),f (x 1),...,f (x r )} x [a,b] und min f (x)= min{f (a),f (b),f (x 1),...,f (x r )}. x [a,b] 271

28 Kapitel 7.4 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung und Folgerungen 272

29 In diesem Abschnitt werden wir sehen, dass uns die Ableitung Aufschluss über das Monotonieverhalten von Funktionen gibt. Satz 7.21 (Satz von Rolle) Jede differenzierbare Funktion f : [a,b] R mit f (a)=f(b) hat einen kritischen Punkt, d.h. einen Punkt ξ ]a,b[ mit f (ξ)=0. Beispiel 7.22 Wir bemerken, dass die Differenzierbarkeit eine notwendige Voraussetzung ist, wie das Beispiel zeigt. [ 1,1] R, x x 273

30 Satz 7.23 (Mittelwertsatz) Ist f : [a, b] R eine differenzierbare Funktion, so existiert ein Punkt ξ ]a,b[ mit f (b) f (a)=f (ξ)(b a). f (b) f (a) Die Sekantensteigung ist gleich der Tangentensteigung bei b a einem geeigneten Zwischenpunkt ξ ]a, b[. 274

31 Für spätere Zwecke ist es nützlich, gleich eine allgemeinere Fassung zu behandeln. Satz 7.24 (Verallgemeinerter Mittelwertsatz) Sind f und g differenzierbare Funktionen [a,b] R mit g (x) 0 für alle x ]a, b[, so gibt es einen Punkt ξ ]a, b], so dass f (b) f (a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ). Wir wissen, dass die konstanten Funktionen die Ableitung Null haben. Sind dies die einzigen Funktionen mit dieser Eigenschaft? Folgerung 7.25 Ist f : I R differenzierbar mit f = 0, so ist die Funktion f konstant. 275

32 Satz 7.26 (Monotoniekriterium) Eine differenzierbare Funktion f : I R ist genau dann monoton wachsend, wenn f 0 auf I ist. Die Funktion f ist streng monoton wachsend, wenn zusätzlich f auf keinem Teilintervall positiver Länge identisch verschwindet. Es ist klar, dass es ein entsprechendes Kriterium für monoton fallende Funktionen gibt. Beispiel 7.27 Betrachte die Potenzfunktion ]0, [ ]0, [, x x n, n Z. Sie hat die Ableitung d dx xn = n x n 1. Folglich ist sie streng monoton wachsend für n>0 und streng monoton fallend für n<0 (und natürlich konstant im Fall n=0). 276

33 Satz 7.28 Es sei f : I R eine differenzierbare Funktion, so dass f M für eine Konstante M. Dann gilt für beliebige x 1,x 2 I f (x 2 ) f (x 1 ) M x 2 x 1. Satz 7.29 (Bernoulli de l Hôpital) Sind f und g differenzierbare Funktionen [a, b] R mit f (b)=g(b)=0 und g (x) 0 für alle x [a,b[, so gilt f (x) lim x b g(x) = lim f (x) x b g (x), falls der rechte Grenzwert (uneigentlich) existiert. 277

34 Beispiel 7.30 x lim α 1 x 1 x β 1 = lim αx α 1 = α x 1 βx β 1 β (α,β Z,β 0). Manchmal muss man den Satz wiederholt anwenden: x 3 2x 2 + x lim x 1 2x 3 3x = lim 3x 2 4x+1 x 1 6x 2 6x = lim x 1 6x 4 12x 6 = 2 6 = 1 3. Für die Begründung: Gleichungskette rückwärts zu lesen! Die Regel von Bernoulli de l Hôpital gilt unter allgemeineren Voraussetzungen als im Satz formuliert. Man benötigt nicht, dass f und g im Randpunkt b definiert sind. (Z.B. darf b auch sein.) Die Voraussetzung lautet dann lim x b f (x)= lim x b g(x)=0. Die Folgerung des Satzes stimmt auch, wenn man stattdessen lim x b f (x)=lim x b g(x)= hat. Wir verzichten auf den Beweis. 278

35 Kapitel 7.5 Konvexität und zweite Ableitung 279

36 Definition 7.31 (Zweite Ableitung) Unter der zweiten Ableitung f einer Funktion f versteht man die Ableitung der Ableitung f von f, d.h. f := (f ). Man schreibt dafür auch d2 f oder D 2 f. Die Funktion f heisst dx 2 zweimal differenzierbar, wenn die zweite Ableitung f existiert. Ist f ausserdem stetig, so sagt man, dass f zweimal stetig differenzierbar ist. Beispiel 7.32 Die zweite Ableitung einer Polynomfunktion gegeben durch d 2 d dx 2 l x l=0a l = d dx d d la l x l 1 = l(l 1)a l x l 2. l=1 l=2 280

37 Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass das Vorzeichen der (ersten) Ableitung f einer Funktion f etwas über ihr Monotonieverhalten aussagt. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung f beschreibt eine geometrische Eigenschaft des Graphen der Funktion f. Dazu holen wir etwas aus. Definition 7.33 Eine Funktion f : I R heisst konvex, wenn für jedes Teilintervall [x 1,x 2 ] I gilt: für alle x 1 < x<x 2. f (x) f (x) := x 2 x x 2 x 1 f (x 1 )+ x x 1 x 2 x 1 f (x 2 ) (3) Falls sogar f (x)<f (x) gilt, so nennt man die Funktion f streng konvex. Gilt (3) mit dem umgekehrten Ungleichheitszeichen, so heisst f konkav. 281

38 Diese Eigenschaft wird sofort verständlich, wenn man den Graphen von f betrachtet. Die Funktion f interpoliert f in den Punkten x 1 und x 2 linear: in der Tat ist f linear und f (x 1 )=f (x 1 ), f (x 2 )=f (x 2 ). Somit ist f konvex, wenn der Graph von f in jedem Teilintervall [x 1,x 2 ] unterhalb der betreffenden Sehne verläuft. 282

39 Satz 7.34 (Charakterisierung der Konvexität) Sei f : I R zweimal differenzierbar. Dann sind äquivalent: (i) f ist streng konvex. (ii) f ist streng monoton wachsend. (iii) f 0 und f verschwindet auf keinem Teilintervall positiver Länge identisch. In diesem Fall gilt für alle x x 0 im Intervall I: f (x)> f (x 0 )+f (x 0 )(x x 0 ). (4) (Dies bedeutet, dass der Graph von f oberhalb der Tangente an y= f (x) im Punkt x 0 liegt.) Folgerung 7.35 (Hinreichendes Kriterium für lokale Extremstellen) Sei f : ]a, b[ R eine zweimal differenzierbare Funktion. Im Punkt x ]a,b[ gelte f (x)=0 und f (x)>0 (bzw. f (x)<0). Dann ist f in x lokal minimal (bzw. maximal). 283

40 Definition 7.36 (Wendepunkte) Wechselt f an der Stelle x 0 das Vorzeichen, d.h. gilt f (x h)f (x+k)<0 für alle hinreichend kleinen h,k>0, so geht f an der Stelle x 0 vom konkaven ins konvexe Verhalten über oder umgekehrt. Man sagt, dass der Graph von f dort einen Wendepunkt hat. Bemerkung 26 Die zweite Ableitung verschwindet bei Wendepunkten: f (x 0 )=0. Beispiel 7.37 Wir betrachten die Funktion f (x)=x 3 x von vorher. Es gilt f (x)=3x 2 1 und f (x)=6x. Es liegt also im Nullpunkt ein Wendepunkt vor. Die Funktion f ist auf ],0] konkav und auf [0, [ konvex. 284

41 Kapitel 7.6 Anwendung: Kurvendiskussion 285

42 Es sei f (x)=(x 3) 3 (x+2) 2 vom Grad 5. Wir führen eine Kurvendiskussion (Diskussion des Graphen von f ) durch. Für die Ableitungen erhalten wir: f (x) f (x) = 3(x 3) 2 (x+2) 2 + (x 3) 3 2(x+2) = (x 3) 2 (x+2)(3(x+2)+(x 3) 2) = 5(x 3) 2 (x+2)x, = 5 2(x 3)(x+2)x+5(x 3) 2 x+5(x 3) 2 (x+2) = 5(x 3)(2(x+2)x+(x 3)x+(x 3)(x+2)) = 5(x 3)(4x 2 6), 286

43 Es gibt deshalb die drei kritischen Stellen 2,0,3. Wir legen folgende Tabelle an, in der wir auch noch die zwei weiteren Nullstellen ± 3/2 von f aufnehmen. x k f (x k ) f (x k ) f (x k ) Typ lokales Maximum lokales Minimum Wendepunkt ± 3/2 0 Wendepunkt Table: Typ der kritischen Stellen von f (x)=(x 3) 3 (x+2)

44 Die Tabelle zeigt, dass der Graph von f qualitativ so aussieht, wie in der folgenden Abbildung dargestellt. Graph der diskutierten Funktion y x