Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2011/12. Aufgabe 1
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- Dominik Sauer
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1 Lehrstuhl für Statistik und Ökonometrie der Otto-Friedrich-Universität Bamberg Prof. Dr. Susanne Rässler Klausur zu Methoden der Statistik I (mit Kurzlösung) Wintersemester 2011/12 Aufgabe 1 Im Hinblick auf die bevorstehende Fußball-Europameisterschaft führt ein lokaler Radiosender eine kleine Umfrage durch. Die Hörer wurden gebeten, in einem Online-Portal ihre Einschätzung abzugeben, welche Nationalmannschaft wohl den Titel holen wird. Nach einer Woche haben sich insgesamt 500 Personen beteiligt und es liegen folgende Daten für das Merkmal A Europameister vor: Europameister n i Spanien 182 Deutschland 238 Frankreich 32 Holland 48 a) Nennen Sie eine geeignete graphische Darstellung für die relativen Häufigkeiten des Merkmals A. b) Charakterisieren Sie die Verteilung des Merkmals Europameister A durch je ein geeignetes Lagemaß und Streuungsmaß. Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse kurz. c) Wie würde die Verteilung des Merkmals A aussehen, wenn Ihr Streuungsmaß aus b) seinen maximalen Wert annehmen würde? Aufgrund der positiven Prognose für die deutsche Nationalmannschaft plant ein ortsansässiger Reiseveranstalter, noch einige exklusive Gruppenreisen in sein Programm aufzunehmen und rechnet damit, bei Halbfinalspielen oder dem Finale am meisten verdienen zu können. Daher ruft er einige Hotels in den Austragungsstätten Kiew (K) und Warschau (W) an, um die Zimmerpreise pro Person für ein Doppelzimmer zu erfragen und ein Hotel mit moderaten Preisen zu finden. Er trägt folgende Informationen zusammen: ν Zimmerpreis Austragungsort K K W K W W K W K K W W (Zimmerpreise in Euro) d) Berechnen Sie jeweils die durchschnittlichen Zimmerpreise in den beiden Austragungsorten Kiew und Warschau und vergleichen Sie diese. e) Die Varianzen der Zimmerpreise betragen in Kiew 2066,84 e 2 und in Warschau 1245,58 e 2. Beurteilen Sie den Einfluß des Austragungsortes auf den Zimmerpreis mit Hilfe eines geeigneten Maßes.
2 Aufgabe 2 Die Elektromarktkette Geizkragen ist mit ihrem negativen Image in der Öffentlichkeit unzufrieden. Die Schlagzeilen in den Medien werfen den Mitarbeitern Unfreundlichkeit und mangelnde fachliche Kompetenz vor. Die Leitung befürchtet, dass die Kunden aus diesem Grund zur Konkurrenz abwandern könnten und beschließt, Gegenmaßnahmen zu ergreifen. Das Personal in einigen Filialen erhält eine entsprechende Schulung. Als Entscheidungsbasis dafür, ob solche Personalschulungen auch in Zukunft durchgeführt werden sollen, um das Unternehmensimage nachhaltig zu verbessern, wird eine Kundenbefragung durchgeführt. Bei der Befragung wird notiert, wie zufrieden der Kunde mit dem Einkaufserlebnis war und ob der Einkauf in einer Filiale mit geschultem Personal stattfand. Das Ergebnis der Befragung ist in folgender Tabelle zusammengefasst: A: Mitarbeiterschulung B: Kundenzufriedenheit b 1 : unzufrieden b 2 : zufrieden a 1 : ohne Schulung a 2 : mit Schulung a) Berechnen Sie den Anteil der befragten Kunden, die in einer Filiale mit geschulten Mitarbeitern eingekauft haben. b) Wieviel Prozent der Kunden, die zufrieden waren, haben in einer Filiale mit geschultem Personal eingekauft? c) Können Sie bereits aufgrund der Ergebnisse in a) und b) entscheiden, ob die beiden Merkmale A und B statistisch unabhängig sind? d) Welches Skalenniveau haben die beiden untersuchten Merkmale? e) Berechnen und interpretieren Sie Cramérs V für den Zusammenhang zwischen den Merkmalen Mitarbeiterschulung A und Kundenzufriedenheit B. Ein Praktikant bei Geizkragen erinnert sich noch an seine Statistik-Grundausbildung. Die dort erworbenen Kenntnisse will er bei der Auswertung der Umfrage anbringen und berechnet folgende relative Chance (= Odds Ratio): γ(b 2, b 1 a 2, a 1 ) = 100/50 70/130 = 3,7140. f) Interpretieren Sie das Ergebnis des Praktikanten. Desweiteren fällt ihm ein, dass es zwei Eigenschaften gibt, die ein Streuungsmaß besitzen muss. g) Welche zwei Eigenschaften sind dies?
3 Aufgabe 3 Ein Handyhersteller möchte seine Speicherverwaltungssoftware verbessern und hat ein Marktforschungsunternehmen im Jahre 2011 mit einer Untersuchung über die Nutzung von Anwendungsprogrammen (Apps) auf seinen Smartphones beauftragt, um Informationen über den tatsächlichen Speicherbedarf zu erhalten. Die Studie mit insgesamt 2000 Teilnehmern liefert folgende Informationen: Anzahl der Apps X Teilnehmer 0 bis bis bis bis über Summe 2000 Weiterhin ist bekannt, dass der Nutzer mit den meisten individuellen Anwendungen insgesamt 40 zusätzliche Apps auf seinem Handy installiert hat. a) Erstellen Sie eine Hilfstabelle mit den relativen Häufigkeiten und den Werten der empirischen Verteilungsfunktion für das Merkmal X. b) Zeichnen Sie die approximierende Verteilungsfunktion für das Merkmal X. c) Berechnen Sie den Wert der approximierenden Verteilungsfunktion an der Stelle x = 12 und interpretieren Sie das Ergebnis. Auf welcher Annahme beruht Ihre Berechnung? d) Berechnen Sie das arithmetische Mittel für die Anzahl der Apps, die die Teilnehmer auf ihren Mobiltelefonen installiert haben. e) Aus einer Vorstudie ist bekannt, dass in den letzten 12 Monaten die Nutzung von mobilen Applikationen durch Downloads aus dem Internet insgesamt um 45% gestiegen ist. Unterstellen Sie eine gleichmäßige Zunahme der Downloads über alle Monate hinweg und berechnen Sie die durchschnittliche monatliche Wachstumsrate der App-Downloads.
4 Aufgabe 4 Peter Heiter ist Faschingsliebhaber und Vorsitzender des Karnevalsclubs LOL. Für den alljährlichen Faschingsumzug übernimmt Peter den Einkauf der Süßigkeiten, die von der LOL-Truppe an die Menge verteilt werden. Beim Kassensturz fällt ihm auf, dass diese Ausgaben von Jahr zu Jahr steigen, und er beschließt die genaue Preissteigerung zu ermitteln. Hierzu stellt er die beiden Einkaufslisten aus den Jahren 2007 und 2012 gegenüber: Jahr 2007 Jahr 2012 Kamelle Menge Preis in e /St. Menge Preis in e /St. Crema Caramella , ,05 Schoko-Drops??? 0, ,06 Minz-Traum 950 0, ,02 Kräutergold 635 0, ,04 a) Berechnen Sie den Preisindex nach Paasche und interpretieren Sie das Ergebnis. Peter Heiter war fleißig und hat auch den Preisindex nach Laspeyres berechnet, der 1,3613 ergibt. Nun will er die Einkaufsmengen genauer betrachten und entdeckt, dass die Menge der Schoko-Drops aus dem Jahr 2007 durch einen großen Fleck auf dem Papier unleserlich geworden ist. b) Bestimmen Sie die fehlende Menge der Schoko-Drops. Bei den Faschingssitzungen des LOL-Clubs herrscht meist äußerst gelöste Stimmung. Es werden witzige Büttenreden gehalten und Wein ausgeschenkt. Peter Heiter vermutet, dass das Publikum umso öfter Helau! ruft, je mehr Wein konsumiert wurde. Er notiert an vier Sitzungsabenden die Anzahl der Helau! -Rufe Y und die verkaufte Weinmenge X pro Person [in Gläsern] und erhält folgende Werte: x = 2,75 x 2 = 8,3750 y = 38 y 2 = 1594 x y = 115,25 s 2 X = 0,8125 s 2 Y = 150 c) Berechnen Sie den Korrelationskoeffizienten zur Messung des Zusammenhangs zwischen dem Weinkonsum X und der Anzahl der Helau! -Rufe Y und interpretieren Sie das Ergebnis. d) Würde ein Korrelationskoeffizient von Null bedeuten, dass die beiden Merkmale X und Y statistisch unabhängig sind? Begründen Sie Ihre Antwort kurz. e) Berechnen Sie die Parameter â 0 und â 1 des linearen Regressionsmodells y ν = a 0 + a 1 x ν + u ν, ν = 1, 2,..., n und interpretieren Sie Ihr Ergebnis am Sachverhalt.
5 Lösung zu Aufgabe 1 a) Balkendiagramm, Tortendiagramm, Pareto-Chart b) Lagemaß: mod(a i ) = Deutschland auf Deutschland entfallen die meisten Stimmen Streuungsmaß: H A = 1, 6190 relativ große Streuung c) Gleichverteilung d) x Kiew = 155, 8333 x W arschau = 187, 5000 Die durchschnittlichen Zimmerpreise sind in Warschau deutlich höher als in Kiew. e) η 2 = 0, 1315 schwacher Zusammenhang zwischen Zimmerpreisen und Austragungsort
6 Lösung zu Aufgabe 2 a) f(a 2 ) = 0, 4286 b) f(a 2 b 2 ) = 0, ,82% der zufriedenen Kunden kauften bei geschultem Personal c) Statistische Unabhängigkeit wenn f(a 2 ) = f(a 2 b 2 ) aus a) und b) folgt statistische Abhängigkeit d) A nominal-, B ordinalskaliert e) V AB = 0, 3135 f) Eine relative Chance von 3,7140 bedeutet, dass eine Filiale mit geschultem Personal eine 3,714-mal so hohe Chance auf zufriedene Kunden hat als eine Filiale mit nicht geschultem Personal. g) Wert 0 bei minimaler Streuung sonst positive Werte, die umso größer sind, je mehr die Merkmalswerte streuen
7 Lösung zu Aufgabe 3 a) Arbeitstabelle: ( x i 1 ; x i ] i f i F i x i 1 x i x i (0 ; 4] (4 ; 9] (9 ; 14] (14 ; 20] (20 ; 40] ,0000 b) Approximierende Verteilungsfunktion: Approx.Verteilungsfunktion von X F *x Anzahl der Apps c) F (12) = 0, ,93% aller Befragten haben höchstens 12 Apps auf ihrem Handy installiert. Annahme: Gleichverteilung in den Klassen d) x = 15, 4568 e) w Dez10,Dez11 = 0, 0314
8 Lösung zu Aufgabe 4 a) P P (2012) = 1, 2929 Die Kamellenpreise sind von 2007 auf 2012 um 29,29% gestiegen. b) q 3 (2007) = 748, 1481 c) r XY = 0, 9738 sehr starker positiver Zusammenhang zwischen der konsumierten Alkoholmenge und der Anzahl der Helau! -Rufe d) Ein Korrelationskoeffizient von Null lässt lediglich auf eine lineare Unabhängigkeit von X und Y schließen. e) â 1 = 13, 2308 Steigt der Weinkonsum um 1 Glas, so steigt die Anzahl der Helau! -Rufe im Durchschnitt um 13,2308. â 0 = 1, 6153 Bei einem Weinkonsum von 0 Gläsern pro Person gibt es im Durchschnitt 1,6153 Helau! -Rufe bei einer Sitzung.
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