Graphentheorie. Folie 1

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1 Prof. Thomas Richtr 11. Mai 2017 Institut für Analysis und Numrik Otto-von-Gurick-Univrsität Magdburg Matrial zur Vorlsung Algorithmisch Mathmatik II am Graphnthori 1 Grundlagn Foli 1 Dfinition 1 (Graph). Ein Graph (V, E) ist in Paar, wobi V und E V V Mngn sind. Di Elmnt aus V hißn di Knotn, di Elmnt aus E di Kantn. Ein Graph hißt ungrichttr Graph, falls für x, y V und (x, y) E auch (y, x) E folgt. Ansonstn hißt r grichttr Graph. Ein Graph hißt vollständigr Graph, falls r für all x, y V in Kant (x, y) E bsitzt. Dis Dfinition ist in Vrinfachung. Zwischn zwi Knotn x, y V kann s nur in Kant = (x, y) E gbn. Dr Bgriff ds Graphn kann so rwitrt wrdn, dass auch paralll Kantn zwischn zwi Knotn möglich sind (man spricht dann von inm Multigraphn). Wir wrdn uns hir im wsntlichn mit ungrichttn Graphn bfassn. Falls s in Kant (x, y) E gibt, so ist di Kant (y, x) auch Elmnt von E. Es sin nun x, y V zwi Knotn, = (x, y) E in Kant. Zur Sprchwis: x und y sind di Endknotn von, Di Knotn x und y sind mit dr Kant inzidnt und di Knotn x und y sind bnachbart odr auch adjaznt. 1

2 Foli 2 Dfinition 2 (Nachbarschaft). Si (V, E) in ungrichttr Graph. Für inn Knotn x V ist durch N(x) = {y V \ {x} (x, y) E} und δ(x) = {(x, y) E} E di Nachbarschaft dfinirt. Zwi Knotn x, y V hißn bnachbart, wnn s in Kant = (x, y) E gibt. Zwi kantn 1, 2 E hißn bnachbart, wnn s inn Knotn x V gibt, dr Til bidr Kantn ist. Dfinition (Grad). Dr Grad ins Knotns x ist di Anzahl dr mit x inzidntn Kantn δ(x). Di Nachbarschaft von x bstht also aus alln Knotn y V, di durch in Kant (x, y) mit x vrbundn sind. Dr Bgriff kann rwitrt wrdn zur Nachbarschaft inr Tilmng von Knotn X V: δ(x) = { = (x, y) E x X, y V \ X}, N(X) = N(x) \ X. x X 2

3 Foli Dfinition 4 (Kantnzüg). Si (V, E) in Graph. Ein Kantnzug von x V nach y V ist in Folg von Knotn x i V für i = 0,..., k und Kantn i = (x i 1, x i ) E für i = 1,..., k mit x = x x1 x2 k xk 1 xk = y. Im Fall x = y handlt s sich um inn gschlossnn Kantnzug x = x x1 x2 k xk 1 xk = x. Dfinition 5 (Wg und Kris). Es si x x1 x2 k xk 1 xk in Kantnzug mit paarwis vrschidnn Knotn {x 0,..., x k }. Dr Tilgraph P := (V, E ) = ({x 0,..., x k }, { 1,..., k }) (V, E) wird Wg gnannt. Wird in Wg P um in Kant k+1 = (x k, x 0 ) rwitrt, so dass x x1 x2 k k+1 xk 1 xk x0 in gschlossnr Kantnzug mit k paarwis vrschidnn Knotn ist, so hißt r Kris C := (V, E) = ({x 0,..., x k }, { 1,..., k, k+1 }). Di Läng ins Wgs odr Kriss ist di Anzahl sinr Kantn. Man sagt dr Wg P vrbindt di Knotn x 0 und x k. Di Such von vrbindndn Wgn mit spzilln Eignschaftn (z.b. möglichst kurz) ist in dr großn Aufgabn dr Graphnthori. In allgminn Graphn muss s zwischn zwi Knotn x, y V nicht unbdingt inn Wg P gbn.

4 Foli 4 Dfinition 6 (Zusammnhängnd). Ein Knotn y V hißt von x V aus rrichbar, falls s inn Wg gibt dr x und y vrbindt. Ein Graph (V, E) hißt zusammnhängnd, falls s zu j zwi Knotn x, y V inn Wg gibt, dr x und y vrbindt. Ansonstn hißt dr Graph unzusammnhängnd. Satz 1. Ein ungrichttr Graph G = (V, E) ist gnau dann zusammnhängnd, falls δ(x) für all Knotntilmngn X V mit X gilt. 2 Graphnthortisch Problm 4

5 Foli 5 Das Färbproblm Wivil vrschidn Farbn sind notwndig um in Landkart so inzufärbn, dass zwi Ländr mit gminsamr Grnz (von positivr Läng, also kin Punkt-Grnzn) stts in untrschidlich Farb habn? Di Lösung diss Problms hißt dr Vir-Farbn-Satz. Es gnügn also stts vir Farbn. 5

6 Foli 6 Di Kartnfärbung kann mit Hilf ins Graphn bschribn wrdn. Di Knotn ds Graphn sind di Bundsländr V = {x 1,..., x 16 }, in Kant = {x a, x b } E V V xistirt zwischn Bundsländrn x a, x b mit gminsamr Läng. Gsucht ist in Färbung dr Knotn f : V {1,..., M} mit M N möglichst klin, so dass f(x a ) f(x b ) für all = {x a, x b } E. 6

7 Foli 7 Dfinition 7 (Kantngwicht). Es si G = (V, E) in Graph. Ein Abbildung f : E R wird Gwichtsfunktion gnannt. Für E wird durch c = f() das Kantngwicht bzichnt. Im Allgminn (für inig Algorithmn wird dis wsntlich sin) btrachtn wir nur positiv Kantngwicht, also f : E R 0. Foli 8 Routnplanung Gsucht ist di kürzst (odr schnllst odr schönst) Rout zwischn zwi Städtn. Ggbn ist in gwichttr Graph G = (V, E, f) sowi zwi Knotn x, y V. Gsucht ist in Wg P = ({x = x 0,..., x k = y}, { 1,..., k }) dr x und y vrbindt und das klinst summirt Kantngwicht hat Von Frmantlboy untr CC BT 2.5 Liznz auf k c k min. i=1 7

8 Foli 9 Travling Salsman - Problm ds Handlungsrisndn Gsucht ist di kürzst (odr schnllst odr schönst) Rout, auf wlchr in ggbn Mng von Städtn jwils gnau inmal bsucht. Ggbn ist in vollständigr gwichttr Graph (V, E, f). Jd Gsucht ist dr Kris C = ({x 1,..., x k }, { 1,..., k }), Von Frmantlboy untr CC BT 2.5 Liznz auf wlch all Knotn ds Graphn vrbindt und dssn summirts Gwicht k c k min minimal ist. i=1 8

9 Foli 10 Dfinition 8 (Eulr-Tour). Es si G = (V, E) in Graph. Ein Kantnzug x 1 0 x1 k x k, dr jd Kant E gnau inmal vrwndt hißt Eulr-Tour. Ist Fall ins gschlossnn Kantnzugs x 0 = x k nnnn wir di Tour inn Eulr-Kris. Ein Eulr-Kris ist dfinirt kinn Kris, da jd Kant zwar nur gnau inmal vorkommn darf, di Knotn jdoch mhrfach auftauchn dürfn. Foli 11 Das Problm wurd als Königsbrgr Brücknproblm bkannt: ist s möglich, übr jd dr sibn Brückn gnau inmal zu ghn und dann widr am Ausgangspunkt anzukommn? Bildr untr dr Crativ Commons Attribution-Shar Alik.0 Liznz auf Es gilt: Foli 12 Satz 2. Es si G = (V, E) in zusammnhängndr Graph. Es xistirt gnau dann in Eulr-Kris in G, wnn all Knotn x G inn gradn Grad habn. 9

10 Darstllung und Umstzung Zum Bschribn ins Graphn (V, E) mit n V N Knotn V = {x 1,..., x nv } und n E N Kantn E = { 1,..., ne } ignt sich z.b. di Adjaznzmatrix A R n V n V mit dr Eignschaft { A = (a ij ) n V i,j=1, a 1 (x i, x j ) E ij =. 0 sonst Foli Es ist in ungrichttr Graph mit 6 Knotn und 8 Kantn A = Zur Spichrung ds Graphn in inr Adjaznzmatrix sind 6 Matrixinträg notwndig. In praktischn Anwndungn und grad bi dr Implmntirung von Vrfahrn auf dm Computr ist di Adjaznzmatrix nicht ffizint. Btrachtt man z.b. das Straßnsystm zwischn dn twa Städtn in Dutschland (dn Knotn ins Graph) so stllt man fst, dass jd Stadt nur mir inign wnign Städtn dirkt (also mit inr Kant) vrbundn ist. Di Spichrung dr Adjaznzmatrix würd = Einträg bnötign. Ein altrnativ Spichrung ins Graphn ist di Inzidnzmatrix à Rn V N E mit dr Eignschaft à = (ã ij ) n V,n E i,j=1, ã ij = { 1 (x i, x i ) = j E 0 sonst Ein Matrixintrag ã ij ist somit 1, falls s in Kant j gibt, wlch dn Knotn x i als Endpunkt hat. Dis Art dr Darstllung hat mist inn noch größrn Spichrbdarf, da in dn mistn Graphn jdr Knotn mindstns zu inr Kant ghört.. 10

11 Foli 14 Wir gbn di Inzidnzmatrix (Knotn-Kantn-Matrix) an. Hirzu bnnnn wir zunächst di 8 Kantn. Dabi stzn wir im ungrichttn Graphn in Kant (x 1, x 2 ) mit dr Kant (x 2, x 1 ) glich. Di Inzidnzmatrix rgibt sich als 1 = (, 4) 2 = (1, ) = (1, 4) 4 = (2, 4), 5 = (2, 5) 6 = (1, 2) 7 = (1, 6) 8 = (2, 6) A = Di Inzidnzmatrix bnötigt mit n V n E Einträgn im Allgminn noch wit mhr Spichr als di Adjaznzmatrix. Ein ffizint Spichrung ins Graphn rfolgt mit dr Adjaznzlist. Hir wird für jdn Knotn di Mng dr Knotn (odr altrnativ Kantn) gspichrt, di mit dism Knotn vrbundn sind. Di Adjaznzlist ist in dünn Struktur (im ngl. spars) zur Spichrung ds Graphn. Foli 15 Wir gbn schlißlich di Adjaznzlist ds Graphn an 1 2,, 4, 6 2 1, 4, 5, 6 1, 4 4 1, 2, , 2 Gspichrt wrdn müssn schlißlich 6 Listn mit insgsamt 16 Einträgn. 11

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