Zweitklausur. b p b. q a. c 1. p a

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Zweitklausur. b p b. q a. c 1. p a"

Kirsten Kramer
vor 6 Jahren
Abrufe

1 Elementare Stochastik SoSe 27 Zweitklausur Lösungen. Berechnen Sie für die angegebenen Übergangswahrscheinlichkeiten (mit p a,p b >, q a := p a, q b := p b ) die erwartete Anzahl von Schritten bis zum erstmaligen Treffen des Zustands c, wenn man in a startet. b p b q b q a c a p a Lösung: e(x) sei die erwartete Anzahl von Schritten bis zum Treffen von c, startend in x. Jedenfalls gilt: e(c) =, e(a) <, e(b) <. Zerlegung nach dem ersten Schritt ergibt: e(a) = + q a e(b) e(b) = + q b e(a) Die zweite Gleichung in die erste eingesetzt ergibt:. e(a) = + q a q a q b

2 2. Es sei π = (π(),...,π(n)) eine Permutation von,...,n. Für i < i 2 < i 3 n sagen wir: π hat ein aufsteigendes Tripel bei i,i 2,i 3, wenn π(i ) < π(i 2 ) < π(i 3 ). Es sei nun X eine rein zufällige Permutation von,...,8. a) Wie wahrscheinlich ist es, dass X bei 2, 5, 6 ein aufsteigendes Tripel hat? b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Anzahl aller aufsteigenden Tripel von X. Lösung: a) X(2),X(5),X(8) sind rein zufällig (ohne Zurücklegen) aus {,...,8} gezogen. Damit ist auch die Reihenfolge ihrer Größen rein zufällig. Es gibt 3! = 6 Möglichkeiten, 3 vesrchiedene Zahlen der Größe nach anzuordnen. Also ist P{X(2) < X(5) < X(8)} = /6. b) Es gibt ( 8 3) = 56 dreielementige Teilmengen von {,...,8}. Für jede solche Teilmenge {i,i 2,i 3 } mit i < i 2 < i 3 ist die Wahrscheinlichkeit, dass X dort ein aufsteigendes Tripel hat, gleich P{X(i ) < X(i 2 ) < X(i 3 )} = /6 (siehe a)). Mit der Linearität des Erwartungswerts ergibt sich die Antwort: E[ i <i 2 <i 3 n I {Xi <X i2 <X i3 } = 56 6 =

3 3. G und G 2 seien unabhängige, geometrisch verteilte Zufallsvariable zum Parameter p. Finden Sie für m = 2,3,... die bedingte Verteilung von G, gegeben {G + G 2 = m}. (Hinweis: Sie erreichen das Ziel entweder durch eine kleine Rechnung oder durch eine begriffliche Argumentation im Münzwurfmodell. Beides ist hübsch.) Lösung: Hier ist die begriffliche Argumentation: G und G 2 kann man auffassen als Zeitpunkte des ersten und zweiten Erfolgs beim p-münzwurf. Gegeben, der zweite Erfolg kommt beim Zeitpunkt m, ist der Zeitpunkt des ersten Erfolgs uniform auf {,...,m }. Und hier die Rechnung: Für k m ist P{G = k G + G 2 = m} = P{G = k,g + G 2 = m} P(G + G 2 = m) = P{G = k,g 2 = m k) P{G + G 2 = m} = qk pq (m k) p P{G + G 2 = m} = q m 2 p 2 P{G + G 2 = m} Dieses Gewicht hängt nicht von k ab. Also ist die bedingte Verteilung uniform auf {,...,m }. 3

4 4. Berta und Anton kommen am 5. Oktober 27 zu unabhängigen, zufälligen Zeitpunkten an die Bockenheimer Warte. Antons Ankunft ist uniform verteilt zwischen 2 und 3 Uhr, Bertas Ankunft ist uniform verteilt zwischen 2 und 4 Uhr. Im Fall, dass der Partner nicht da ist, wartet Anton Minuten, Berta jedoch wartet keinen Augenblick. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich verpassen? Lösung: Der zufällige Punkt mit den Koordinaten (B, A) der die Ankunftszeitpunkte von Berta und Anton beschreibt, ist uniform verteilt auf dem Rechteck [2,4] [2,3]; die Menge der Punkte, die zu einem Treffen führen, ist in der Skizze schattiert. Diese Menge hat Flächeninhalt /6. Das gesamte Rechteck hat Flächeninhalt 2. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich die beiden treffen, ist /2, die Wahrschenlichkeit, dass sie sich verpassen, ist /2. 6 4

5 5. a) X sei die Summe von zwei unabhängigen, Exp()-verteilten Zufallsvariablen. (i) Geben Sie die Dichte von X an. (ii) Berechnen Sie E[X k ] für k N. Hinweis: Die folgende Formel kann nützlich sein: Γ(n) := x n e x dx = (n )!, n =,2,3,.... b) Was ergibt sich für E[Z k ], wenn Z die Summe von zwei unabhängigen, Exp(λ)-verteilten Zufallsvariablen ist? Hinweis: Da muss man dann fast nichts mehr rechnen. Lösung: a) (i) Wir hatten in der Vorlesung berechnet: Die Dichte von X ist xe x dx, x. Hier ist die Rechnung nochmal: f X (x)dx = = = ( x ( x (e x x ) f Y (s) f Y2 (x s)ds dx ) e s e x+s ds dx ) ds dx = xe x dx ii) E[X k ] = x k xe x dx = x k+ e x dx = Γ(k + 2) = (n + )! b) E[Z k ] = E[(Y /λ + Y 2 /λ) k ] = λ k E[(Y + Y 2 ) k ] = λ k (n + )! 5

6 6. Die Zufallsvariable N sei Poisson(λ)-verteilt, und H,H 2,... seien normalverteilt mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2. Außerdem seien N,H,H 2,... unabhängig. Wir setzen Y := N i= H i. Berechnen Sie a) die bedingte Erwartung E N [Y ] b) die bedingte Varianz Var N [Y ] c) Var[E N [Y ]] d) E[Var N [Y ]] e) Var[Y ]. Lösung: a) E N [Y ] = E N [H + + H N ] = NE[H ] = Nµ. b) Var N [Y ] = Var N [H + + H N ] = NVar[H ] = Nσ 2. c) Wegen a) ist Var[E N [Y ]] = Var[Nµ] = µ 2 Var[N] = µ 2 λ. d) Wegen b) ist E[Var N [Y ]] = E[Nσ 2 ] = σ 2 E[N] = σ 2 λ. e) Nach dem Satz über die Zerlegung der Varianz ist Var[Y ] = E[Var N [Y ]] + Var[E N [Y ]] = µ 2 λ + σ 2 λ = (µ 2 + σ 2 )λ. 6

7 7. a) Für k =,2,... sei Z k eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert k und Standardabweichung k. Die Zufallsvariablen Z,Z 2,... seien unabhängig. Wir setzen S := 2Z +3Z 3 +Z 5. Bestimmen Sie c > so, dass P{6 c S 6 + c}.95. b) Finden Sie eine Zahl a so, dass der Korrelationskoeffizient von S und X := S + az 4 gleich.4 ist. Lösung: a) 2Z hat Verteilung N(2,2 2 ) = N(2,4), 3Z 3 hat Verteilung N(3 3,3 2 3) = N(9,27), Z 5 hat Verteilung N(5,5). Wir wissen aus der Vorlesung: Die Summe von unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen ist wieder normalverteilt, wobei sich Erwartungswerte und Varianzen addieren. Die Zufallsvariable S ist also N(µ S,σS 2 )-verteilt mit µ S = = 6, σs 2 = = 36. Das gesuchte c ist 2σ S = 2. b) κ[s,x] = Cov[S,X] σ S σ X. Wegen der Bilinearität der Covarianz und der Unabhängigkeit von S und Z 4 ist Cov[S,X] = Cov[S,S+aZ 4 ] = Cov[S,S]+Cov[S,aZ 4 ] = Var[S]+ = 36. Weiter ist Var[X] = Var[S] + Var[aZ 4 ] = 36 + a 2 4, also σ X = a 2. Damit ergibt sich für a die Gleichung Cov[S, X] σ S σ X = mit der Lösung a = a 2 =.4, 7

8 8. a) n und r seien natürliche Zahlen. X,...,X n seien unabhängig und uniform verteilt auf {,...,r}. Für j =,...,r setzen wir Y j := #{i X i = j}. Geben Sie eine Formel für die Verteilungsgewichte P{Y = k,...,y r = k r } an. b) Man würfelt siebenmal. Wie wahrscheinlich ist es, dabei alle 6 Augenzahlen zu bekommen? Lösung: Die Antwort ist gegeben durch die Gewichte der Multinomialverteilung mit Parametern n und p = = p r = r, nämlich: ( n P{Y = k,,y r = k r } = k,...,k r )( ) n = r n! k!k 2! k r! ( ) n. r b) Das n-malige Würfeln passt in den Rahmen von a) mit r = 6. Mit n = 7 ergibt sich aus Symmetriegründen P{Y,,Y 6 } = 6P{Y = 2,Y 2 = = Y 6 = } = 6 7! ( ) 7. 2! 6 8

9 9. Die Menge S = {z,a,...,a 6 } trage die in der Skizze angegebene Nachbarschaftsstruktur. Ein Wanderer gehe von jedem Punkt aus, unabhängig von seiner Vorgeschichte, im nächsten Schritt zu einem rein zufällig ausgewählten Nachbarpunkt. Berechnen Sie a) die erwartete Anzahl von Schritten bis zum Erreichen von z, wenn der Wanderer in a startet, b) die Wahrscheinlichkeit, bei Start in a den Punkt z vor dem Punkt a 4 zu erreichen, a c) die Gleichgewichtsverteilung. a 6 a 2 a 5 z a 3 a 4 Lösung: a) e(x) sei die erwartete Anzahl von Schritten bis zum Treffen von z, startend in x. Aufgrund der Symmetrie gilt e(a ) = = e(a 6 ). Zerlegung nach dem ersten Schrit ergibt e(a ) = e(a ), also e(a ) = 3. (Andere Begründung: Die zufällige Anzahl der Schritte ist geometrisch verteilt mit Parameter /3.) b) w(x) sei die Wahrscheinlichkeit z vor a 4 zu treffen, startend in x. Zerlegung nach dem ersten Schritt ergibt unter Beachtung der Symmetrie: w(a ) = w(a 2) + 3 w(a 6) = w(a 2) w(a 2 ) = w(a ) + 3 w(a 3) w(a 3 ) = w(a 2) Daraus folgt w(a 2 ) = w(a ) und w(a ) = 8 9. c) Der nächste Schritt ist immer zu einem uniform gewählten Nachbarn auf dem Graphen. Also ist (vgl. Übungsaufgabe 59) das Gewicht π(x) der Gleichgewichtsverteilung proprtional zu der Anzahl der Nachbarn von x. Mit π(z) = 6c, π(a i ) = 3c folgt c = 24, also π(z) = 4,π(a i) = 8. Man kann auch sofort nachprüfen, dass π eine reversible Gleichgewichtsverteilung ist: π(a i ) 3 = π(z) 6, π(a i) = π(a i+ ). So kann man π auch am leichtesten finden, wenn man die Botschaft der Übungsaufgabe nicht mehr im Kopf hat. 9

Ähnliche Dokumente

Vorlesung 8b. Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten

Vorlesung 8b. Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten Vorlesung 8b Bedingte Erwartung, bedingte Varianz, bedingte Verteilung, bedingte Wahrscheinlichkeiten 1 Wie gehabt, denken wir uns ein zufälliges Paar X = (X 1,X 2 ) auf zweistufige Weise zustande gekommen: