reibungsgedämpfte Schwingung

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Stefanie Kranz
vor 6 Jahren
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1 HTL-LiTec reibunggedäpfe Schwingung Seie 1 von 7 Dipl.-Ing. Paul MOHR E-Brief: p.ohr@eduhi.a reibunggedäpfe Schwingung Maheaiche / Fachliche Inhale in Sichworen: reibunggedäpfe Schwingung; nueriche Löung einer Differenialgleichung iel prograierer Funkionen Kurzzuaenfaung Anhand einer reibunggedäpfen Schwingung wird gezeig, wie Differenialgleichungen, die i Rahen der HTL-Maheaik nich gelö werden können und bei denen auch die Näherungfunionen von Mahcad cheiern, durch chriweie Berechnung iel prograierer Funkionen zu ehr anchaulichen Ergebnien führen. Lehrplanbezug (bzw. Gegenand / Abeilung / Jahrgang): Mechanik, Schwingungen, 5. Jg. HTL-Machinenbau; Maheaik, allgeeiner nuericher Löunganaz für "unlöbare" Differenialgleichungen Mahcad-Verion: Mahcad 11 (Weil ier noch die abile Verion i.)

2 HTL-LiTec reibunggedäpfe Schwingung Seie von 7 Angaben Die Mae S wird durch eine Feder i der Federrae c F zu Schwingen gebrach und durch die Reibung zwichen der Mae und de Unergrund i de Reibungkoeffizienen μ gedäpf. Die Augangiuain i durch die Aulenkung x 0 und die Anfanggechwindigkei v 0 gegeben. S := kg c F := 1.4 N μ := 0.1 x 0 := 1 v 0 := 0 Differenialgleichung Au de Anaz l. Newon... F F + F R = S a i F F F R = = ( c F x) Die Federkraf wirk gegen die po. Aulenkung. ( μ S g ign( v) ) Die Reibkraf wirk gegen die Gechwindigkei.... ergib ich die Differenialgl. F F + F R a S = 0 bzw. d c F d x + x + μ g ign x = 0 S Diee Differenialgleichung i weder analyich noch näherungweie i der Mahcad- Funkion "Gdglöen" löbar!

3 HTL-LiTec reibunggedäpfe Schwingung Seie 3 von 7 chriweie Berechnung der kineaichen Paraerer Ein Anaz zur nuerichen Löung von Differenialgleichungen, der ier funkionier, i die chriweie Berechnung in ehr kleinen Inkreenen. Zeiinkreen der Berechnung := 4 bei die Genauigkei und die Rechenzei Progra zur Berechnung von x, v und a nach einer Zei von D. ( ) := 0 f_xva x 0, v 0, D x x 0 v v 0 c F x a S + + while < D g μ x x+ v v v + a c F x a S x reurn v ign( v) g μ a ign( v) Anfangwere für die Aulenkung, Gechwindigkei und Zei Schleife zur chriweien Abarbeiung der Schwingungdauer neue Were für die Bechleunigung, die Aulenkung, die Gechwindigkei und Zei berechnen Schwingungparaeer a Ende der Schwingungdauer; Die Were ind ohne Einheien, weil verchiedene Einheien in eine Vekor nich erlaub ind. Zahlenbeipiel Schwingungdauer D := 0. Schwingungparaeer nach D ( ) T xva := f_xva x 0, v 0, D x D := xva 0 x D =.909 Da Ergebni wird ranponier, u die Einzelwere i eine Index auleen zu können. v D := xva 1 a D := xva v D = a D = Die Were der Schwingungparaeer nach einer beien Schwingungdauer agen eigenlich nich viel au. Er der zeiliche Verlauf lä geziele Auagen zu.

4 HTL-LiTec reibunggedäpfe Schwingung Seie 4 von 7 Verlauf der Schwingungparaeer über der Zei Schwingzei al Laufvariable D D := 0.6 Schrie := 300 := 0,.. Schrie D einfache Löung einfache aber langae Löung hier a Beipiel de Schwingungauchlage Die einfache Möglichkei, die Were al Funkion der Zei darzuellen, i der Aufruf der Funkion f_xva für die Were einer Zei-Laufvariablen ( ) T f_xva x 0, v 0, Der Funkionplo funkionier einwandfrei. Allerding dauer die Berechnung ehr lange, weil die Funkion f_xva für jeden Wer von von vorne (x 0 und v 0 ) zu rechnen beginn. Für da v-- und a--diagra i den Indize 1 und (a der Null) läuf die ganze Rechnerei erneu ab!

5 HTL-LiTec reibunggedäpfe Schwingung Seie 5 von 7 einfache Löung geune Löung geune aber kopliziere Löung Die Were für den nächen Daenpunk laen ich au den Weren de vorherigen al Sarwere und der Dauer eine Zeichrie al Schwingungdauer berechnen. Zu diee Zweck baeln wir eine weiere Funkion, die eine Tabelle augib, die pro Zeichri eine Zeile enhäl, in der die Forchrizei, die Aulenkung x, die Gechwindigkei v und die Bechleunigung a fegehalen werden. Die Were werden ohne Einheien augegeben, weil Mahcad in einer Marix keine unerchiedlichen Einheien zulä. Die iplizien Einheien werden i kg---sye berechne. Funkion zur Berechnung der Tabelle der Diagra-Were ge ( ) := ep f_xvafill x 0, v 0, ge, ep Zeichri berechnen ep xva erweiern 0, f_xva x 0, v 0, 0 for reurn i 0.. ep 1 x xva i, 1 v xva i, ( i + 1) ep ( ( )) xva apeln xva erweiern,, f_xva ( x, v, ep) xva Tabelle für ge = 0 iniialiieren. Schleife über alle Zeichrie Sarwere für nächen Zeichri au den Weren de vorherigen Zeichrie auleen. Forchrizei berechnen neue Were zu Tab. hinzufügen Tabelle für eine beie Anzahl von Schrien berechnen Tabelle i allen Weren ( ) xva := f_xvafill x 0, v 0, D, Schrie Forchr.- Zei in Aulenk. x in Gechw. v in / Bechl. a in /² xva = pro Zeichri eine Zeile uw. Tabellen der einzelnen Paraeer 0 := xva x xva 1 := Hier werden die Einheien wieder hinzugefüg. v := xva a := xva 3

6 HTL-LiTec reibunggedäpfe Schwingung Seie 6 von 7 grafiche Darellung de Schwingungauchlage x Da Ergebni i gleich wie bei der einfachen Löung, e wird aber in eine Brucheil der Zei berechne! Außerde werden gleichzeiig die Gechwindigkei- und Bechleunigungwere berechne. Abnahe der Apliude Apliude a Anfang... nach erer Halbchwingung... nach zweier Halbchwingung x 0 = 1 x 1 := x := l. Angabe au Diagra geeen au Diagra geeen Abnahen der Apl. Δx 01 := x 0 x 1 Δx 1 := x 1 x Δx 01 =.80 Δx 1 =.805 (fa genau) gleiche Abnahe der Apliude pro Halbchwingung Die Abnahe der Apliude pro Halbchwingung lä ich ehr chön i Hilfe de Energieerhalunaze beweien. Nachde die Gechwindigkei a Ende jeder Halbchwingung Null i, u die Federenergie a Anfang inu der Reibungarbei gleich der Federenergie a Ende der Halbchwingung ein. x 0 x 1 c F F R ( x 0 + x 1 ) = c F i x 1 = x 0 Δx und F R := μ S g Nach einer hier nich augeführen Uforerei erhäl an al Löung: Δx := F R c F Δx =.80 Da nueriche Ergebni i genau i de analyichen überein!

7 HTL-LiTec reibunggedäpfe Schwingung Seie 7 von 7 grafiche Darellung de Gechwindigkei- und Bechleunigungverlaufe (weil' o chön i :-)) v a Die Sprünge nach jeder Halbchwingung rühren daher, da der Bechleunigunganeil von F R / S durch den Richungwechel chlagarig da Vorzeichen wechel. Da Gezucke nachde nach ca. 0.47, die Schwingung zu Erliegen gekoen i, eneh dadurch, da die Gechwindigkei rechnerich auf Grund der Rechen(un)genauigkeien nie ganz Null wird. I v--diagra ach ich da durch einen Knick nach jede Nulldurchgang beerkbar. Da bedeue aber auch, da die x--funkion - wer häe da gedach - nich eig i!. geune Löung

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