( ) = ( ) y Kosten in 800

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1 R. Brinkmnn tt://brinkmnn-du.de Seite Lge zweier Gerden zueinnder Ein Gleicungssstem us zwei lineren Gleicungen t beknntlic entweder eine, keine oder unendlic viele Lösungen. Ws ber t ds mit der Lge zweier Gerden zueinnder zu tun? Ein Fllbeisiel soll zur Klärung dienen. Ein Ökokülscrnk () kostet 400 und t montlice Energiekosten von 0. Ein Billigkülscrnk () kostet 00 und t montlice Energiekosten von 40. Nc welcer Zeit t sic der in der Anscffung teuere Ökokülscrnk bezlt gemct (sic mortisiert)? Die Funktionsgleicungen für die Kostenentwicklung luten: Für den Ökokülscrnk: () K = ( = Zeit in Monten, K( ) in ). Für den Billigkülscrnk: () K = ( = Zeit in Monten, K( ) in ). Der in der Anscffung teuere Ökokülscrnk t sic dnn mortisiert, wenn die Gesmtkosten (Anscffungskosten und Energiekosten) gleic, bzw. geringer sind ls die des Billigkülscrnkes. Kostengleiceit errsct, flls K = K. = K K = = = 00 : 0 = 0 eingesetzt in K K 0 = = 600 eingesetzt in K K 0 = = 600 Kosten in 800 = K = K S S S ( ) S Monte S S S K K Ergebnis: Ds Gleicungssstem K = und K = wurde durc ds Gleicsetzungsverfren gelöst. Der Wert = 0 bedeutet, nc 0 Monten t sic der Ökokülscrnk mortisiert. Der Wert = 600 bedeutet, für beide Külscränke sind nc 0 Monten die gleicen Kosten entstnden ( 600 ). Ab jetzt sind die Gesmtkosten für den Ökokülscrnk geringer. Um den Scnittunkt zweier Gerden zu bestimmen ist stets ein lineres Gleicungssstem mit zwei Vriblen zu lösen. Erstellt von R. Brinkmnn _lin_fkt_0.doc :06 Seite: von 7

2 R. Brinkmnn tt://brinkmnn-du.de Seite f() = + g() = f() = g() + = = Widersruc Die Lösung fürt uf einen Widersruc. Ds bedeutet, ds Gleicungssstem t keine Lösung. f() = 0,5 + g() = 0,5 f g 0 Die Funktionsgleicung g() entstet us f() durc Versciebung um drei Eineiten nc unten. Ds bedeutet, der Gr von g() ist rllel zu dem von f(). Zwei rllele Gerde ben offensictlic keinen gemeinsmen Scnittunkt. f = + ;g = ( + ) + Scnittunkt: f = g + = ( + ) + + = = + + = + ist eine wre Aussge für lle Beide Gerden ben unendlic viele gemeinsme Punkte, sie liegen ufeinnder, sind identisc. Fssen wir die biserigen Ergebnisse zusmmen. Um den Scnittunkt zweier Gerden zu bestimmen, sind deren Funktionsgleicungen, die ein lineres Gleicungssstem mit zwei Vriblen bilden, zu lösen. Ds knn mit dem Gleicsetzungsverfren gesceen. Ht f() = g() genu eine Lösung, dnn scneiden sic die Gren von f und g in einem Punkt. Die Gerden ben untersciedlice Steigungen. Ht f() = g() keine Lösung, dnn ben beide Gerden keinen gemeinsmen Punkt. Sie verlufen rllel zueinnder. Ht f() = g() unendlic viele Lösungen, dnn sind beide Gerden identisc. Erstellt von R. Brinkmnn _lin_fkt_0.doc :06 Seite: von 7

3 R. Brinkmnn tt://brinkmnn-du.de Seite Genu eine Lösung Keine Lösung Unendlic viele Lösungen f g g f f g Rectwinklig zueinnder verlufende Gerden Ermittelt mn die Steigung von zwei sic rectwinklig scneidenden Gerden, so ist zu vermuten, dss es zwiscen den Steigungen beider Gerden einen Zusmmenng gibt. Vorübung: Zeicnen Sie den Gren der Funktion f = in ein Koordintensstem. Zeicnen Sie zu diesem Gren mit dem Geodreieck eine senkrecte Gerde durc den Koordintenursrung und lesen Sie deren Steigung b. Steigung der Gerden g: g = Vermutung: Steigung der Gerden : = stellt den negtiven Kerwert von dr. Mn srict ier vom einem negtiv- reziroken Steigungsverältnis. Ds bedeutet: = bzw. g = oder g = g g Stz Für die Steigung zweier senkrect ufeinnder steender Gerden g und gilt: g = bzw. g = oder = Die Gerden sind zueinnder ortogonl. g Erstellt von R. Brinkmnn _lin_fkt_0.doc :06 Seite: von 7

4 R. Brinkmnn tt://brinkmnn-du.de Seite Beweis: Die Steigungen von g und lssen sic blesen zu: g = und = g = ( ) = Nc dem Höenstz ist = einsetzen in g () g = = = = () A g C = (Höenstz) B Gegeben ist der Scnittunkt S( ) zweier rectwinklig zueinnder verlufender Gerden g und, wobei die Steigung von g g = ist. Gesuct: Die Funktionsgleicung g() der Gerden g. Die Funktionsgleicung () der Gerden. Die Gren von g und für D = 5 4 { } g = wegen g ( ) folgt = g = + 0g und = + 0 S( ) g = + 0g = 0g = S = + = = 7 g = + und = g Erstellt von R. Brinkmnn _lin_fkt_0.doc :06 Seite: 4 von 7

5 R. Brinkmnn tt://brinkmnn-du.de Seite Trining :LINFKT_0 Gegeben sind die Funktionsgleicungen zweier Gerden g () und g (). Berecnen Sie den Scnittunkt beider Gerden und zeicnen Sie die Gerden in ein Koordintensstem..) g = + g = + 4.) g = g = +.) g = 4 g = 4.) g = + g = + 4 g g g = + g = + 5.) = + = + 6.) 4 Gegeben ist die Funktionsgleicung einer Gerden g (). Bestimmen Sie die Funktionsgleicung der zu g () senkrect verlufenden Gerden, wenn diese durc den Punkt P verläuft. Berecnen Sie den Scnittunkt beider Gerden und zeicnen Sie beide Gerden in ein Koordintensstem. 7.) 9.) g = + gesuct wird: g g durc P ( ) 4 g = + gesuct wird: 5 g g durc P 4 ( ) Anwendungen us der Kostenrecnung 8.) 0.) = ( ) g gesuct wird: g g durc P 5 = + ( ) g gesuct wird: g g durc P Für einen Unternemer ist es wictig, diejenige Produktionsmenge einer Wre zu kennen, bei der die im bei der Produktion entstndenen Kosten K durc die Erlöse E us dem Verkuf (Abstz) gedeckt sind. Anders usgedrückt, er interessiert sic dfür, b welcer roduzierten Menge er Gewinn G mct. Definition Für die Kostenfunktion K() bei konstnten Stück- und Fikosten gilt: Gesmtkosten K ( ) = Stückkosten k Pr oduktionsmenge + fie Kosten K f K = k + K flls Stückkosten und Fikosten konstnt. f Gesmtkosten, bescrieben durc die ertrglice Kostenfunktion K() sind die in einem Betrieb bei der Produktion von Mengeneineiten (ME) eines Produktes entsteenden Kosten. Stückkosten k sind die Gesmtkosten ro Stück (uc vrible Stückkosten gennnt). Fie Kosten K f sind die Kosten, die uc dnn entsteen, wenn nicts roduziert wird. (Zinsen, Mieten, Versicerungen, Geälter usw.) Definition Für die Erlösfunktion E() bei konstntem Preis gilt: Erlös E = Preis Menge lso E = Die zu dem Preis verkufte Menge nennt mn uc Ausbringungsmenge. Definition Für die Gewinnfunktion G() gilt: Gewinn G = E K Erstellt von R. Brinkmnn _lin_fkt_0.doc :06 Seite: 5 von 7

6 R. Brinkmnn tt://brinkmnn-du.de Seite Ist ds Ergebnis von G() negtiv, mct der Betrieb Verlust, ist G() ositiv, dnn mct er Gewinn. Flls G() = 0 ist, sind die Kosten K() genuso oc wie der Erlös E(). Dieser Punkt wird Gewinnscwelle gennnt. Ein Betrieb roduziert Hnds zu 0 ro Stück. Die fien Betriebskosten belufen sic uf ro Tg. Der Verkufsreis ro Hnd beträgt 40. Miml knn der Betrieb täglic 4000 Hnds erstellen (Kzitätsgrenze). ) Ab welcer Ausbringungsmenge mct der Betrieb Gewinn? b) Bei welcer Ausbringungsmenge erzielt der Betrieb den mimlen Gewinn? c) Stellen Sie den Scverlt grisc in einem geeigneten Koordintensstem dr. Lösung ) Funktionsgleicungen ufstellen: Kostenfunktion: K = Erlösfunktion: E = 40 Gewinnfunktion: G = E K = = Anstz: G > > > : 0 > 000 Ab einer Ausbringungsmenge von = 000 "Hnds" ro Tg mct der Betrieb Gewinn. Bei = 000 sind die Kosten K genuso oc wie der Erlös E. K 000 = = 0000 E 000 = = 0000 c) Kosten (in 000 ) Kostenfunktion K() Erlösfunktion E() 4 (in 000) Gewinnfunktion G() -60 b) Gewinnermittlung bei mimler Ausbringungsmenge M = G( 4000) = = 0000 Bei einer Ausbringungsmenge von 4000 Hnds ro Tg ist der Gewinn miml, er beträgt dnn Die Gewinnscwelle knn sttt über die Gewinnfunktion uc über den Scnittunkt des Gren der Kostenfunktion mit dem Gren der Erlösfunktion ermittelt werden. Die - Koordinte des Scnittunktes ist die Gewinnscwelle, die - Koordinte gibt die Kosten n dieser Stelle n. Erstellt von R. Brinkmnn _lin_fkt_0.doc :06 Seite: 6 von 7

7 R. Brinkmnn tt://brinkmnn-du.de Seite Mengen- und Geldeineiten Die in einem Betrieb roduzierte Menge eines Produktes beläuft sic oft uf große Stückzlen, z.b Cd- Rolinge ro Tg. Auc Kosten für Produktionsrozesse fllen äufig in Millionenöe n. Solc große Zlen sind bei Recnungen nict immer leict zu ndben. Deslb fürt mn für die roduzierte Stückzl Mengeneineiten und für Kosten Geldeineiten ein. Dbei knn mn z. B CD- Rolinge zu 0 Mengeneineiten (0 ME) zusmmenfssen, wobei eine Mengeneineit für Stück stet. Ebenso fsst mn Kosten zu Geldeineiten zusmmen, z. B. können zu 9 Geldeineiten (9 GE) zu je zusmmengefsst werden. Außerdem ist mn bei der Kostenbetrctung n keine bestimmte Wärung gebunden. Mn betrctet lediglic Geldeineiten. Die Kostenfunktion für die Herstellung eines bestimmten Produktes sei K() = 0, + 4 und die Erlösfunktion E() =,. Wie oc sind die Gesmtkosten n der Gewinnscwelle?. Lösung G = E K =, 0, 4 = 0,8 4 Gewinnscwelle: G > 0 0,8 4 > ,8 > 4 : 0,8 = 5 Gesmtkosten: K ( 5) = 0, =,5 + 4 = 5,5 Die Gewinnscwelle liegt bei 5 ME, n dieser betrgen die Kosten 5,5 GE. Erstellt von R. Brinkmnn _lin_fkt_0.doc :06 Seite: 7 von 7

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