Adverse Selection & Moral Hazard

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1 Lösungsblatt 4 Interdisziplinäre Institutionenanalyse Fachbereich Finanzwissenschaft Universität Heidelberg Christian F. Pfeil Frage 1 - Begriffe Adverse Selection & Moral Hazard auf neoklassischem Markt herrscht u.a. vollständige Information, Anbieter und Nachfrager haben alle für den Tausch notwendigen Informationen über die zu handelnden Güter Realität: viele Märkte mit unvollständiger Information, Qualität des zu handelnden Gutes ist Anbietern und Nachfragern nicht gleichermaßen bekannt Annahme unproblematisch, wenn Informationen leicht zu beschaffen sind wenn Beschaffung sehr aufwendig und teuer Marktversagen, auch im Bereich Gesundheit Bsp. Krankenversicherung: auf einem Versicherungsmarkt kann Versicherungsschutz in beliebiger Höhe gekauft werden es gibt Personen, mit hohem und niedrigem Risiko, krank zu werden Individuen kennen ihr individuelles Risiko, die Versicherung kennt die einzelnen Risiken nicht Versicherung muss daher alle Versicherungsnachfrager gleich behandeln, Preis einer Einheit Versicherung richtet sich nach einem gewichteten Mittel der Krankheitswahrscheinlichkeiten der Individuen die Gewichte entsprechen dabei dem Anteil der Versicherungssumme, die von einem bestimmten Risikotyp gekauft wurde für hohe Risiken ist die Prämie günstig, sie fragen hohen Versicherungsschutz nach das verteuert den Versicherungsschutz für niedrige Risiken, sie senken ihre Nachfrage Folge: damit werden die niedrigen Risiken aus dem Markt verdrängt, sie fragen keinen Versicherungsschutz mehr nach, obwohl sie grundsätzlich Versicherungsschutz nachfragen würden niedrige Risiken könnten auch von anderem Versicherer durch eine Prämie abgeworben werden, die auf sie zugeschnitten ist im Markt verbleiben zunehmend hohe Risiken bzw. fehlen dem ersten Versicherer zunehmend die niedrigen Risiken passt er die Prämie an (Verlustvermeidung), verstärkt er damit den Anreiz zur Abwanderung der niedrigen Risiken Adverse Selection: Informationsasymmetrie zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses, auch hidden information genannt betrifft die Qualität des zu handelnden Gutes 1

2 Informationsasymmetrie kann auch nach Vertragsabschluss auftreten ist der Fall, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schaden eintritt und / oder die Höhe und Dauer des Schadens vom Verhalten des Versicherten abhängen weil der Versicherer das Verhalten des Versicherten nicht beobachten kann, steht es Letzterem frei, seine Anstrengung zur Vermeidung des Schadens oder zur Eindämmung der Konsequenzen des Schadens zurückzunehmen Moral Hazard: Informationsasymmetrie nach Vertragsabschluss, auch hidden action genannt (nicht beobachtbare) Anpassung der Verhaltens, die durch das Bestehen des Vertrages zustande kommt hat wenig mit Moral zu tun, sondern mehr mit Verhalten (franz. les moeurs: Brauchtum, Sitten) Bsp. Ende Probezeit: während der Probezeit strengt sich der Arbeiter sehr an, ist immer pünktlich, arbeitet auch mal länger ist die Probezeit abgelaufen, verringert der Arbeiter seine Anstrengungen, weil Kündigungsschutz jetzt strenger Unterscheidung in Ex-ante Moral hazard und Ex-post Moral hazard Ex-ante Moral hazard: tritt nach Vertragsabschluss aber vor Schadenseintritt auf, erhöht die Eintrittswahrscheinlichkeit oder Höhe des Schadens Bsp.: Versicherter ist in einer Sportart unvorsichtiger oder wählt riskantere Sportart (Eintrittswahrscheinlichkeit) aber nur bis zu bestimmter Grenze (nicht-finanzielle Folgen) Bsp.: Versicherter installiert weniger Feuerlöscher (Schadenshöhe) Ex-post Moral hazard: tritt nach Vertragsabschluss und nach Schadenseintritt auf (Schadenshöhe) Bsp.: Versicherter entscheidet sich für neues (kostspieliges) Behandlungsverfahren bei Krankheit, konsumiert Medikamente übermäßig, geht oft zum Arzt Frage 2a - vollständige Information einperiodische Betrachtung repräsentatives gutes Risiko hat Erwartungsnutzen (erwarteter Nutzen) EU g = π g υ(w 0 P g L + I g ) + (1 π g ) υ(w 0 P g ) mit υ (.): Risikonutzenfunktion, mit Vermögen als alleinigem Argument, W 0 : Ausgangsvermögen (exogen, risikotypunabhängig), P g : Prämie eines Vertrages für gutes Risiko, L: Schadenshöhe (risikotypunabhängig), I g : Versicherungsleistung, gewährt durch Vertrag für gutes Risiko 2

3 Werte des Endvermögens beider Zustände: W g 1 = W 0 P g L + I g W g 2 = W 0 P g EU g = π g υ(w g 1 ) + (1 π g ) υ(w g 2 ) Steigung der Indifferenzkurve (gutes Risiko) durch totales Differential Indifferenzkurve ist definiert durch konstanten Erwartungsnutzen, d.h. die Veränderung des Erwartungsnutzens, ausgelöst durch Veränderungen der beiden Endvermögen, muss Null sein: deu g = π g δυ dw g 1 + (1 π g δυ ) dw g 2 = 0 π g dw g 1 dw g 2 δυ δw g 1 δw g 1 dw g 1 = (1 π g ) = 1 πg π g δυ/δw g 2 δυ/δw g 1 δw g 2 δυ δw g 2 dw g 2 = 1 πg υ [2] π g υ [1] die Steigung der Indifferenzkurve eines schlechten Risikos ergibt sich analog dw s 1 dw s 2 = 1 πs π s δυ/δw s 2 δυ/δw s 1 = 1 πs π s υ [2] υ [1] weil die Schadenswahrscheinlichkeit des schlechten Risikos relativ groß ist (π s > π g ), muss die Indifferenzkurve des schlechten Risikos flacher verlaufen als die IK eines guten Risikos Entscheidungssituation des Versicherungsunternehmens: Maximierung des Erwartungsgewinns wegen vollständiger Information kennt der Versicherer die Schadenswahrscheinlichkeiten beider Risiken es wird jedem Risikotyp einen eignen Vertrag mit individueller Prämie und individuellem Versicherungsumfang anbieten erwarteter Gewinn des Versicherungsunternehmens gutes Risiko: EG = π g (P g I g ) + (1 π g )(P g C) schlechtes Risiko: EG = π s (P s I s ) + (1 π s )(P s C) Bestimmung der Versicherungslinie bzw. deren Steigung Untersuchung einer Vetragsvariation (höhere Versicherungsleistung I und höhere Prämie P ), die den Erwartungsgewinn unverändert lässt die Verwaltungskosten sollen davon nicht berührt werden (dc = 0) totales Differential für gutes Risiko: deg = π g (dp g di g ) + (1 π g ) dp g = 0 kann mit dp g di g = dw g 1 und dp g = dw g 2 in (W 1, W 2 )-Raum des Versicherten überführt werden deg = π g ( dw g 1 ) + (1 π g )( dw 2 ) = 0 π g dw g 1 = (1 π g )dw 2 3

4 Steigung der Versicherungslinie für gutes Risiko: dw g 1 dw g 2 = 1 πg π g Steigung der Versicherungslinie für schlechtes Risiko (analog): dw s 1 dw s 2 = 1 πs π s Grafik 1 (Zweifel/Eisen, S. 322) Sicherheitslinie: Linie mit Kombinationen voller Deckung, so dass W 1 = W 2 wenn vollständige Information vorliegt, tarifiert das Versicherungsunternehmen risikogerecht das niedrige Risiko wählt die volle Deckung bei G, das hohe Risiko erhält die volle Deckung bei S weil die konkurrierenden Unternehmen mit den gleichen π-werten kalkulieren, stellt die Lösung ein Gleichgewicht dar das Gleichgewicht ist pareto-optimal, weil jedes Risiko sein Optimum erreicht Frage 2b - unvollständige Information Versicherer maximiert weiterhin erwarteten Nutzen, kennt aber die Schadenswahrscheinlichkeiten beider Risiken nicht kennt bestenfalls den Durchschnittswert aufgrund der Anteile der guten (g) und schlechten (1 g) Risiken durchschnittliche Schadenswahrscheinlichkeit: π = g π g + (1 g) π s Versicherer kann nur Verträge mit einer generellen Prämie und gemeinsamen Versicherungsumfang I anbieten (Pooling-Vertrag / Mischvertrag) erwarteter Gewinn: EG = π(p I) + (1 π)(p C) Vertragsvariation, die Erwartungsgewinn wieder unverändert lässt Verwaltungskosten davon wieder unberührt (dc = 0) wieder Überführung in (W 1, W 2 )-Raum Steigung der Versicherungslinie: dw 1 = 1 π dw 2 π weil π s > π > π g gilt, liegt die Steigung der Versicherungslinie bei Mischvertrag zwischen den Steigungen für π s und π g : 1 π s π s < 1 π π < 1 πg π g 4

5 Versicherer bietet Verträge auf Grundlage von π an (kennt nur durchschnittliche Schadenswahrscheinlichkeit) Versicherungslinie QM bietet für schlechte Risiken zu günstige Versicherungsbedingungen, schlechte Risiken kaufen Überversicherung, Optimum in S für gute Risiken sind die Bedingungen schlecht, sie reduzieren ihren Versicherungsumfang, Optimum in V Grafik 2 (Zweifel/Eisen, S. 322) weil beide Verträge die Nullgewinn-Bedingung im Erwartungswert erfüllen, könnte der Versicherer die Überversicherung des schlechten Risikos auf sich beruhen lassen allerdings profitieren die schlechten Risiken vom Eintritt des Schadens, weil ihre Versicherungsbedingungen so günstig sind schlechten Risiken haben Anreiz, den Schadenseintritt herbeizuführen (moral hazard) deshalb muss die Versicherungsnachfrage rationiert werden, z.b. auf V (Umfang, den gute Risiken von sich aus wählen) Punkt V : vereinendes Gleichgewicht (pooled eqilibrium) mit Pooling-Kontrakt Grafik 2 Frage 2b - Stabilität Mischvertrag hat dieser Mischvertrag Bestand? Mischvertrag in V kann von konkurrierendem Versicherer mit Vertrag K angegriffen werden Vertrag K bietet den guten Risiken geringere Deckung zu günstigerer Prämie als Vertrag V Grafik 2 gute Risiken präferieren K, die schlechten Risiken präferieren weiterhin V Konkurrent kann gute Risiken anziehen und somit Gewinn erzielen, während schlechte Risiken bei erstem Versicherer bleiben bei ihm gibt es adverse Selektion Zusammensetzung des Versichertenbestandes verschiebt sich bei erstem Versicherer in Richtung schlechte Risiken, Mischverträge entlang QM machen im Erwartungswert Verlust bei einperiodiger Betrachtung kann vereinendes Gleichgewicht von konkurrierendem Versicherer angegriffen werden und hat daher keinen Bestand 5

6 Frage 2c - Trennender Vertrag Versicherer sucht Mechanismus, um Abwanderung der guten Risiken zum Konkurrent zu verhindern Mechanismus, der sicherstellt, dass beide Risikotypen selbständig die Verträge wählen, die für sie angemessen sind Jagd nach guten Risiken zwingt Versicherer, deren Interessen wahrzunehmen muss Optimierung lösen: max EU g = π g υ[w 0 L P g + I g ] + (1 π g )υ[w 0 P g ] Zielfunktion besagt, dass die Prämien und Versicherungsleistungen für beide Risikotypen so gestaltet werden müssen, dass der Erwartungsnutzen eines (repräsentativen) guten Risikos maximiert wird Nebenbedingung 1: π s υ[w 0 L P s +I s ]+(1 π s )υ[w 0 P s ] π s υ[w 0 L P g +I g ]+(1 π s )υ[w 0 P g ] linke Seite: Erwartungsnutzen eines schlechten Risikos, das zu den ihm angemessenen Bedingungen (P s, I s ) versichert wird rechte Seite: Erwartungsnutzen des schlechten Risikos, das aber in den Genuss der Versicherungsbedingungen (P g, I g ) für gute Risiken kommt nur wenn es sich für das schlechte Risiko lohnt, den schlechten Versicherungsvertrag zu akzeptieren, kann eine Wanderung zu den guten Risiken verhindert werden Nebenbedingung 2: π s υ[w 0 L P s + I s ] + (1 π s ) υ[w 0 P s ] υ[w 0 π s L] NB verlangt, dass die schlechten Risiken von sich aus Versicherungsdeckung kaufen Erwartungsnutzen (linke Seite) muss daher mindestens so groß sein, wie der sichere Nutzen, der sich ergibt, wenn das Individuum den Schaden mit Erwartungswert (π s L) selbst trägt werden die Prämien als fair angenommen, wird mit dieser NB auch die volle Deckung gewährleistet Nebenbedingung 3: P i = π i L mit i = s, g stellt sicher, dass Prämien fair sind, wobei sich jeder der beiden Verträge im Erwartungswert selbst tragen muss Lösung des Problems: ein Paar trennender Verträge (separating contracts) Punktepaar S, T Grafik 3 (Zweifel/Eisen, S. 327) die schlechten Risiken erhalten volle Deckung zu der für sie angemessenen (hohen) Prämie 6

7 damit sind NB 2 und 3 erfüllt Vertrag T stellt sie nicht besser als S, so dass sie gerade noch bei S bleiben (NB 1 ist erfüllt) die guten Risiken werden rationiert, erhalten weniger Deckung als sie zu der für sie angemessenen niedrigen Prämie eigentlich wünschen zusätzliche Deckung entlang der Versicherungslinie QG über den Vertrag T hinaus ist aber nicht möglich, weil ein solches Vertragsangebot die schlechten Risiken anlocken würde Wie sieht der Suchprozess des Versicherers aus? bei zwei Risikogruppen bietet er einen Vertrag mit voller Deckung an, erhöht aber die Prämie dafür solange, bis die Nachfrager abzuspringen drohen ist der Punkt S erreicht, kennt der Versicherer die Schadenswahrscheinlichkeit π s der schlechten Risiken aus dem Durchschnittswert π kann es auf π g schließen jetzt entwickelt der Versicherer einen zweiten Vertrag für die guten Risiken, der eine günstigere Prämie, aber auch niedrigere Deckung enthält wer diesen Vertrag wählt, ist mit Sicherheit ein gutes Risiko jetzt kann der Deckungsumfang bis zu dem Punkt angehoben werden, bei dem die Käufer des Vertrages mit voller Deckung umsteigen wollen das Vertragspaar S, T kommt als trennendes Gleichgewicht in Frage Frage 2c - Stabilität trennender Vertrag hat dieser Separating-Kontrakt Bestand? auch dieser Vertrag kann von Konkurrent angegriffen werden ein anderer trennender Vertrag kommt nicht in Frage, weil jede Besserstellung der guten Risiken (die angezogen werden sollen) über T hinaus auch die schlechten Risiken anziehen würde allerdings könnte ein Mischvertrag das Gleichgewicht aufbrechen ist der Anteil der guten Risiken in der Population ausreichend groß, verläuft die Budgetgerade QM so steil, dass sie die durch T verlaufende Indifferenzkurve der guten Risiken schneidet dann zieht ein Vertrag wie H auch die guten Risiken vom trennenden Vertrag T ab Grafik 3 Ergebnis: bei zwei Risikotypen besteht ein trennendes Gleichgewicht aus einem Vertrag mit voller Deckung und hoher Prämie für die schlechten Risiken und einem Vertrag mit teilweiser Deckung und niedriger Prämie für die guten Risiken allerdings kann der trennende Vertrag mit einem Mischvertrag angegriffen werden, wenn der Anteil der guten Risiken in der Versicherungspopulation hoch ist 7

8 Frage 3a - Medikamentenkonsum keine Versicherung: Versicherter konsumiert bis Grenzvorteil gleich Grenzkosten GV = MC / x = 4 / 1 2 x = 6 / x opt = 12 Hinweis: fallende GVK bei Bagatellerkrankung realistisch vollständige Versicherung: Versicherter konsumiert bis Grenzvorteil = 0 GV = MC / x = 0 / 1 2 x = 10 / x ist = 20 Grafik 4 (Wellisch, S. 233) Frage 3b - Ex-post Moral Hazard wenn Versicherung Behandlungskosten vollständig übernimmt, besteht Anreiz, die Leistung der Versicherung extensiv zu nutzen: x ist > x opt Ex-post Moral Hazard Versicherter verändert sein Verhalten (erhöht Medikamentenkonsum) nach Vertragsabschluss es entsteht ein (gesamtgesellschaftlicher) Wohlfahrtsverlust Rechnung: 1 2 (x ist x opt ) c = = 16 Grafik 4 Frage 3c - Selbstbeteiligung 40 / 60 Euro Selbstanteil: Versicherter muss für zu den gesamten Kosten der von ihm konsumierten Menge des Medikamentes 40 Euro dazu bezahlen, Rest trägt Versicherung bei c = 4 muss er 10 Medikamente selbst bezahlen Grafik 5 Versicherter hätte 10 Medikamente auch ohne Selbstbeteiligung bezahlt, weil im Punkt D: GV > GK ab der elften Einheit übernimmt die Versicherung die Kosten Versicherer konsumiert wieder bis zur 20. Einheit, weil dort sein Grenzvorteil gleich Null ist Ergebnis: die Selbstbeteiligung ändert am Ex-post Moral Hazard nichts, weil an der Grenze GV > GK auch eine Selbstbeteiligung von 48 Euro (12 Medikamente) ändert nichts, weil an der Grenze GV = GK wird die Selbstbeteiligung weiter erhöht (z.b. auf 60 Euro [15 Medikamente]) ändert sich auch nichts Grafik 5 bei 15 Medikamenten ist GV < GK (I), aber dem steht der größere Nutzen aus dem Versicherungsschutz (II) gegenüber der Versicherte wird weiterhin 20 Medikamente konsumieren 8

9 um den Ex-Post Moral Hazard zu eliminieren, muss die Selbstbeteiligung mehr als 64 Euro betragen (16 Medikamente) Grafik 6 aufgrund asymmetrischer Information bzgl. GVK ist es schwierig, Ex-post Moral Hazard durch Selbstbeteiligung vollständig zu beseitigen Frage 3d - Versicherungsobergrenze 60 Euro bei c = 4 bezahlt die Versicherung 15 Medikamente, will der Versicherte darüber hinaus Medikamente konsumieren, muss er sie selbst bezahlen Grafik 7 Versicherter konsumiert 15 Medikamente, die bezahlt die Versicherung darüber hinaus wird er keine weiteren Medikamente konsumieren, weil rechts von Punkt E: GV < GK der Wohlfahrtsverlust wird nicht beseitigt, aber verringert optimal wäre Obergrenze von 48 Euro, dann wäre für Versicherten GV = GK, er würde 12 Medikamente konsumieren aufgrund asymmetrischer Information bzgl. GVK ist es schwierig, Ex-post Moral Hazard durch Versicherungsobergrenze vollständig zu beseitigen Versicherung müsste individuellen Grenzvorteilskurven kennen 9