Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko

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1 Verscherungstechnscher Umgang mt Rsko. Denstlestung Verscherung: Schadensdeckung von für de enzelne Person ncht tragbaren Schäden durch den fnanzellen Ausglech n der Zet und m Kollektv. Des st möglch über das Gesetz der grossen Zahlen, das hesst de Schwankungen der Zufallsvarable Schaden (var[) werden für de Verscherung klener be zunehmender Zahl der engegangenen Rsko-Verträgen (Verscherungspolcen), sofern de enzelnen verscherten Eregnsse unabhängg snd, so dass das Portefeulle dversfzert st. Je grösser de Varanz enes enzelnen Eregnsses (oder: je unberechenbarer de Wahrschenlchket) desto höher wrd de zu zahlende Präme der Verscherung).. Enfluss auf Umwelt Motvaton zur Umgehung von Rskotechnologen deren Rskopotental nur schwer berechenbar st. Verscherungen setzen be der Verscherung von Kernkraftwerken en Schadensmaxmum von 0 Mo. SFr., um das Rsko zumndest auf der Sete des Schadens ncht ns grenzenlose wachsen zu lassen. Motverung zu Schutzmassnahmen zur Schadensredukton über de Prämenpoltk gegenüber dem Kunden, d.h. der Kunde erhält als Gegenlestung für ene Scherhetserhöhung durch Schutzmassnahmen ene Prämenredukton offerert. De Wrkung st jedoch ncht zu überschätzen, da Schutzmassnahmen über Prämenredukton ncht vollständg deckbar snd. Negatves Bespel: Sandoz wechselte zur Verscherung von Schwezerhalle von der Zürch- Verscherung zur Gerlng-Verscherung (für ene höhere Präme), um de von der Zürch geforderte Schutzmassnahmen (en Rückhaltebecken für Löschwasser) zu umgehen. Später fehlte jenes Rückhaltebecken und Gerlng zahlte 0 Mo. SFr. Schadenersatz für de Folgen der Chemeunfalls. Starke Konkurrenz und freer Markt arbetet gegen de Enflussstärke der Verscherung: Postves Bespel: Nach Tschernobyl wollte kene Verscherung aufgrund der Produktehaftung de von der EU an de Ukrane offererten Reparaturmassnahmen anderer Reaktoren übernehmen. Verscherung kann auch ene Motvaton zu grösserer Rskofreudgket sen. Der möglche Schaden muss m Falle ener Verscherung ncht mehr vom Verursacher getragen werden, de gezahlte Präme berechtgt den Verscherten egentlch zur Schadensverursachung. 3. Berechenbarket des Verscherungsrskos Rsko = Schaden * Wahrschenlchket Das Gesetz der grossen Zahlen ermöglcht be wachsender Zahl der enzelnen Rskos de zunehmende Berechenbarket des Gesamtrskos durch de Stablserung der Gesamtwahrschenlchket des Schadens (unabhängge Eregnsse!). Der Schaden st ken Enzeleregns mehr, sondern wrd als jährlche Summe von Eregnssen kalkulerbar.

2 #/a sd[ S S S3 S4 S5 S6 S7 Fg. : Dskreter Fall ener möglchen Schadensvertelung. Schaden [Fr.] Erwartungswert des Enzelschadens S = mt der Wahrschenlchket p : E [ S ] = p * S + ( p )*0 = p * S Erwartungswert des Gesamtschadens S für de Verscherung: = E [ p * S Varanz des Gesamtschadens: Selbstbehalt var[ (S- ) ] =p *( S ) 4. Verscherungshandel nach dem Nullnutzenprnzp In der Ökonome geht man n der Regel von konvexen Nutzensfunktonen aus. u u'(w=y) y x Fg. : Konvexe Nutzensfunkton mt >0, u (>0 und u (<0 w

3 Im Fall der konvexen Nutzensfunkton glt de Jensen sche Glechung. Dabe kann X ene Zufallsvarable sen, we des n den nachfolgenden Bespelen der Schaden enes zufällgen Eregnsses st, und u st der Nutzen, der aus dem Entreffen deses Eregnsses erwächst: X )] X ]) Aus der Scht der Verscherung Der gerechte Pres st gegeben durch de Logk des Nullnutzensprnzps, das hesst der Nutzen an enem Geschäft st glech gross we der Nutzen, wenn das Geschäft ncht abgeschlossen worden wäre. Für de Verscherung hesst des nun, dass der Nutzen den se aus hren Egenkaptal w allen gewnnen würde glech gross sen soll, we der Gewnn, den se aus ener Polce zeht. Durch Umformung gemäss der Jensen schen Glechung erhalten wr: w + p S)] w + p ) Daraus folgt de Mndestpräme p, de de Verscherung für ene Polce verlangen müsste: w w + p p Aus der Scht des Verscherten Auch für den Verscherten soll das Nullnutzenprnzp gelten, sonst würde er kene Verscherungspolce abschlessen. Dabe st b sen Gesamtbudget entsprechend dem Kaptal ener Verscherung. b p) b S)] b ) Daraus folgt de Maxmalpräme p, de er zu bezahlen beret st: b p b p Daraus st zu ersehen, dass auch für den Verscherten de Präme über dem Erwartungswert des verscherten Schadens legen darf. 5. Prämenberechnung We berechnet nun aber ene deale Verscherung hre Prämen? Das enfachste Prnzp, ncht aber en sehr scheres, ergbt sch aus den vorangehenden Überlegungen: Nettorskoprnzp: p(s) Runtheore besagt, dass mt Wahrschenlchket Ψ( en Schaden entrtt, der das Kaptal der Verscherung überstegt, was zum Run führt. Zur Verscherungspräme wrd also noch en Scherhets- bzw. Schwankungszuschlag addert, der sch nach der Runwahrschenlchket rchtet, de ene Verscherung beret st enzugehen. 3

4 Wll also ene Verscherung den Zetpunk des Runs möglchst wet hnausscheben, setzt se de technsche Präme höher als den Erwartungswert des Schadens an, das hesst se rechnet neu Schadenslast plus Loadng. Es gbt nun verschedene Methoden, we deser Scherhetszuschlag gewählt werden kann: Erwartungsprnzp: p(s) = ( + δ) Enfach berechenbar, da nur der Erwartungswert des Schadens bekannt sen muss. Varanzprnzp: p(s) + δvar[ und var[ haben verschedene Enheten. var[s +S ] = var [S ] + var[s ] für unabhängge und unkorrelerte Eregnsse Standardabwechungsprnzp: p(s) + δsd[ sd[s +S ] sd [S ] + sd[s ] 5.. Egenschaft des Scherhetszuschlags Nun stellt sch de Frage, we gross δ m Idealfall sen sollte. Wr wollen das m Falle des Varatonsprnzp genauer betrachten. Ausgangspunkt der Überlegungen bldet weder das Nullnutzenprnzp. w + p S)] Dese Glechung kann nun über Taylorrehen, Erwartungswertbldung und de postve Lösung der resulterenden Quadratschen Glechung n folgende Glechung umgeformt werden, woraus dann δ resultert: p[ * u''( δ ( = * u'( u''( * var[ u'( Das hesst, der Scherhetszuschlag verhält sch gemäss der Pratt-Arrow schen Rskoaverson n Abhänggket vom Egenkaptal der Verscherung. 5.. Top Down-Prämenbestmmung Bem Top down wrd das Problem der Prämenhöhe durch Betrachtungen von der Fragestellung des Gesamtrskos der Verscherung bestmmt, das hesst aufgrund Argumenten allgemeneren (höheren) Nveaus gerechnet:. Aufgrund von Rskoanalysen und ener bestmmten Runberetschaft Ψ 0 der Verscherung wrd das Nveau des akzepterten Gesamtschadens bestmmt.. Aus dem Gesamtschaden ergbt sch de Gesamtpräme, de zur Deckung des Gesamtschadens notwendg st. 3. Aufgrund der Gesamtpräme können de enzelnen Polce-Prämen berechnet werden. We ergbt sch jedoch nun der Zusammenhang zwschen der Runberetschaft ener Verscherung und der gesamtpräme, de ene Verscherung gedeckt haben sollte? Um dese Frage zu beantworten anerbetet sch de Cramér-Lundberg-Unglechung, de nach r aufgelöst wrd: 4

5 Ψ = f( e ln r = w Ψ o -rw Wobe: Ψ := Runwahrschenlchket, wrd von Verscherung festgelegt Ψ 0 w := Kaptal der Verscherung Dese Unglechung hat jedoch nur dann ene postve (also snnvolle) Lösung, falls für r ebenfalls folgende Glechung glt: e rs ] = e rp ln e p = r rs ] Wr können dese Glechung gemäss der Kumulantenentwcklung (ene Art Taylor-Rehe) umformen und erhalten neu: p + r * var[ setzen wr r aus der Cramér-Lundberg-Glechung n dese Glechung en, erhalten wr: p ln Ψ0 w * var[ Daraus wrd erschtlch, dass für das Varanzprnzp glt: δ ( Ψ ) 0 δ st gross: ln Ψ = 0 w. Für klenes Kaptal w. Für Ψ Realtät In Realtät läuft natürlch ncht alles so vernünftg und far. Auf der enen Sete snd de Verscherungen ncht auf en Nullnutzen-Geschäft aus, auf der andern Sete snd se aber aus Krteren der Konkurrenzfähgket auch oft dazu gezwungen, hre Prämen unterhalb der snnvollen technschen Präme anzusetzen. En solcher Prozess konnte so aussehen: Gute Fnanzelle Lage be den Verscherungen. Marktwrtschaftlche Konkurrenz führt zu Prämendumpng. Irgendwann trtt en grösserer marktübergrefender (damt snd de Eregnsse ncht mehr unabhängg) Schaden en. Klenere Verscherungen bewegen sch n Rchtung Konkurs, grössere können den Schaden besser verkraften. Grosse Verscherungen akqureren klenere. Prämen gehen be den zurückblebenden Verscherungen weder rauf, um den entstandenen fnanzellen Schaden zu repareren (Recoverng Perod). 5

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