Angewandte Versicherungsmathematik und Risikomanagement

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Angewandte Versicherungsmathematik und Risikomanagement"

Transkript

1 Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Vorlesung am Insiu für Mahemaik der Universiä Wien Winersemeser 6/7 Skripum Version. Dr. Huber Schickeanz

2 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie (64) Inhalsverzeichnis VORWOR 3. VERSICHERUNGSMAHEMAIK 4. Das Versicherungsprinzip und die Beschreibung der Risiken 4.. Risikoransfer und Kalkulaionsgrundlagen 5.. Risikopräferenzen und Nuzenfunkion..3 Der Versicherungsverrag als Zufallsprozess. Personenversicherungsmahemaik 3.. Versicherungsprämien und Deckungsrücksellung 3.. Prämienzerlegung bei einem Versicherungsverrag Gewinn- und Verlusrechnung eines Lebensversicherungsverrags Renenversicherung und Veranlagung am Kapialmark 56.3 Seuerung der Risiken Risikoselekion Risikodiversifikaion und Porfolioheorie Insiuionelle Rahmenbedingungen 79. GRUNDLAGEN DER FINANZÖKONOMIE 87. heorie der Finanzmärke für diskree Modelle 88.. Arbirage und Wahrscheinlichkeismaß: ein illusraives Beispiel 88.. Arbirage und Zusandspreise 9..3 Opimierung und Nuzenfunkion Gleichgewichspreise und vollsändige Märke Mehrperiodische Modelle. Koninuierliche Modelle in der Finanzökonomie 6.. Brownsche Bewegung 6.. Das klassische Akienmodell von Black-Scholes..3 Zinsmodellierung 5..4 Parameerschäzung und Erweierung der Zusandsvariablen.3 Derivaive Finanzinsrumene 9.3. Das Preismodell für einen Forward-Konrak 9.3. Das Binomialmodell für die Opionspreisbewerung Derivae Finanzinsrumene in einem koninuierlichen Modell Die Black-Scholes-Formel und die Berechnung von Opionspreisen ANWENDUNGEN UND COMPUERMODELLE 5 3. Sochasische Formulierung eines Lebensversicherungsverrages 5 3. Kapialgaranie bei einem Spar- und Annuiäenkonrak Lebensversicherungsverräge mi eingebeeen Opionen 6 LIERAURVERZEICHNIS 64

3 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 3 (64) Vorwor Als ich im Frühjahr 6 von der Leiung des Sudienprogramms der Fakulä für Mahemaik an der Universiä Wien gefrag wurde, ob ich eine Vorlesung über mahemaische Mehoden aus meinem beruflichen Umfeld halen wolle, fühle ich mich naürlich geehr, an dem Insiu, an dem ich vor nahezu zwanzig Jahren die Ausbildung zum Mahemaiker genossen hae, nun über meine Erfahrungen als Prakiker berichen zu dürfen. Es war mir bewuss, dass ich im Rahmen einer zweisündigen Vorlesung nur auf einige eilaspeke meiner beruflichen äigkei als Versicherungsmahemaiker eingehen können würde. Dennoch wolle ich nich verabsäumen, den grundlegenden Bezug zwischen den allgemeinen mahemaischen Konzepen und den konkreen Fragesellungen der Finanz- und Versicherungsindusrie aufzuzeigen, welcher in den lezen Jahren sowohl für die Grundlagenforschung als auch für die Anwendungen im wirschaflichen Umfeld einen zenralen Sellenwer erlang ha. Bei der inhallichen Gliederung der Vorlesung habe ich versuch, sowohl der hisorischen Enwicklung der Versicherungsmahemaik als auch meiner persönlichen Erfahrung aus der Praxis in angemessener Weise Rechnung zu ragen. Während im ersen eil jene Aspeke behandel werden, die man heue of als klassisch bzw. radiionell bezeichne und welche die Grundlage der mahemaischen Beschreibung von Versicherungsverrägen darsellen, werden im zweie eil der Vorlesung die Grundsäze der vergleichsweise jungen Finanzökonomie behandel. Es zeig sich jedoch, dass beide Ansäze im Wesenlichen auf die gleichen mahemaischen Grundmodelle zurückgeführ werden können. Im konkreen Anwendungsfall wird man daher aufgrund der gegebenen Rahmenbedingungen auf die ensprechende Ausprägung der Mahemaik zurückgreifen, allerdings enseh ers durch die Verbindung von Versicherungsmahemaik und Finanzökonomie jener konzepuelle Rahmen, in dem sich die Anforderungen des modernen Risikomanagemens umfassend formulieren lassen. Das vorliegende Skripum ensand begleiend zu der Lehrveransalung, die ich von Okober bis Dezember 6 am Insiu für Mahemaik gehalen habe und wird durch Rechenbeispiele ergänz, welche über die Adresse hp://www.ma.univie.ac.a/~schickeanz/ zu beziehen sind. Ich hoffe, dass meine Vorlesung und diese Unerlagen für die Sudeninnen und Sudenen bei der Orienierung hin zu angewanden Fragesellungen hilfreich sind, und sie im Verrauen auf ihre bereis erlangen Fähigkeien bei ihrem weieren, erfolgreichen beruflichen Werdegang als Mahemaiker besärken können. Wien, im Dezember 6 Dr. Huber Schickeanz

4 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 4 (64). Versicherungsmahemaik Eine einführende Vorlesung über die Anwendungen der Mahemaik in der Finanz- und Versicherungswirschaf zu halen, die sich an Diplomsudenen der Mahemaik im zweien Sudienabschni riche, is grundsäzlich einfach: Man zeig den Hörerinnen und Hörern, dass sie die Begrifflichkeien der Analysis und Wahrscheinlichkeisheorie lediglich mi konkreen Fragesellungen verbinden müssen, um die Sprache der Ökonomen in ihrem Sinne zu versehen. Anderseis soll nich der Eindruck vermiel werden, dass der wirschafliche Hinergrund, der für das Versändnis der Zusammenhänge maßgeblich is, in einem einzigen Semeser im Rahmen einer zweisündigen Vorlesung an einem Insiu für Mahemaik abgehandel werden kann. Der Aufbau der Vorlesung is daher in dem Sinne als radiionell zu sehen, als die Anwendung mahemaischer Prinzipien in der Ökonomie zuers an der erproben Beschreibung für das Beispiel eines Versicherungsverrags erfolg. Vom wahrscheinlichkeisheoreischen Modell ausgehend behandeln wir die grundlegenden Begriffe wie Risiko und ökonomischen Nuzen- und Prämienberechnung und wenden diese im Speziellen für die mahemaische Formulierung in der Personenversicherung an. In der Folge berachen wir aber auch das Zusammenwirken des eigenlichen Versicherungsgeschäfs mi dem Risiko der Veranlagung am Kapialmark, wobei wir auf die klassischen Ergebnisse der Porfolio- und Preisheorie zurückgreifen. Wir runden unsere Darsellung mi einem kurzen Abriss der insiuionellen Rahmenbedingungen für die Versicherungswirschaf ab, zeigen aber gleichzeiig auf, dass die vorgesellen Ansäze allein nich ausreichen, um ein ökonomisch konsisenes Risikomodell zu enwickeln. Als begleiende Lieraur und für veriefende Auseinandersezung mi der Maerie empfehle ich insbesondere die Bücher von [Gerber], [Koller] und [Daykin], die nach meiner eigenen Erfahrung auch für Berufseinseiger im Rahmen des Selbssudiums besens geeigne sind.. Das Versicherungsprinzip und die Beschreibung der Risiken Für das Managemen von Risiken is zuers deren Idenifikaion und Messung erforderlich. Dies gil insbesondere für das Versicherungsrisiko, welches wir im Folgenden durch ein mahemaisches Modell beschreiben. Wir definieren den Risikoransfer als Verrag zwischen zwei Pareien und sellen die Frage nach dessen moneären Wer im Zusammenhang mi dem Begriff der Risikoaversion und der ökonomischen Nuzenheorie. Der Versicherungsverrag und sein wirschaflicher Gehal lassen sich demnach mahemaisch durch Zufallsprozesse auf einem ensprechend allgemeinen Wahrscheinlichkeisraum formulieren.

5 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 5 (64).. Risikoransfer und Kalkulaionsgrundlagen Grundsäzlich enseh ein Bedarf an Versicherung, wenn sich ein Individuum gegen finanzielle Nacheile, die aus einem unvorhergesehenem Ereignis erwachsen können, absichern möche. Dieses Ereignis kann mi einer reellen Person im unmielbaren Zusammenhang sehen (od, Krankhei, ec.) oder es kann durch verschiedense Umsände herbeigeführ werden, die einen Schaden an einer Sache zum Nacheil dieser Person verursachen (Hafpflich, Surmschaden, ec.). Dem ensprechend unerscheide man grundsäzlich zwischen Personen- und Sachversicherung. Die zu erbringende Versicherungsleisung kann im Verrag der Höhe nach fesgeleg werden (z.b. Ablebensversicherung mi einmaliger Leisung im odesfall) oder sie kann von der Höhe des asächlich eingereenen Schadens (z.b. Kfz-Hafpflichversicherung) abhängen. Gib es keine wie auch immer gearee Informaion über die Wahrscheinlichkei, dass ein solches unvorhergesehenes Ereignis einri, sprich man von Unsicherhei. Man kann dann zwar zu allen möglichen Ausgängen die ensprechenden Leisungen besimmen (man sprich in diesem Zusammenhang auch von Szenarien), jedoch wird es für die bereffende Person in diesem Fall nich leich sein einen Verragsparner zu finden, der zu akzepablen Bedingungen diese Leisungen erbringen wird. Is hingegen eine Einschäzung über die Wahrscheinlichkei des Ereignisses vorhanden - für den Fall, dass die Leisung beragsmäßig nich bereis fesgeleg wurde, auch bezüglich ihrer Höhe dann sprich man von Risiko. Dieses Risiko is insbesondere dann wohldefinier, wenn bezüglich der angesezen Wahrscheinlichkeien kein Zweifel beseh. In diesem Fall ha das Individuum bessere Chancen einen Verragsparner zu finden, der die Verpflichung zu Erbringung der Leisungen bei Einri des unvorhergesehenen Ereignisses übernimm. Komm dieser Verrag zusande, dann sprich man von einem Risikoransfer. Ein Versicherungskonrak is daher ein Verrag zwischen zwei Pareien, bei dem ein Verragsparner (der Versicherungsnehmer) das finanzielle Risiko aus einem unvorhersehbaren Ereignis an den anderen Verragsparner (dem Versicherungsgeber oder kurz Versicherer genann) überräg. Der Konrak wird im Regelfall aber nur dann zusande kommen, wenn der Versicherer durch die Übernahme der Verpflichung eine ensprechende Gegenleisung erhäl. Diese Gegenleisung im moneären Sinne bezeichne man radiionell mi Versicherungsprämie.

6 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 6 (64) Die Prämie ensprich somi dem Preis, für den die Verragspareien der Überragung des Risikos zusimmen. Die Begriffe Preis und Wer verwenden wir im Folgenden wie Synonyme, da wir uner Preis immer den moneären Wer eines Wirschafsgues versehen. Dieser sehr nahe liegende und sich aus dem wirschaflichen Umfeld ergebende Vorgang des Risikoransfers läss sich mahemaisch präzisieren. Für einen Sudenen der Mahemaik solle das zugrunde liegende Modell auch besens bekann sein, wenn er eine Grundvorlesung aus Maßund Wahrscheinlichkeisheorie besuch ha. Definiion Für einen Wahrscheinlichkeisraum ( Ω, A, P) bezeichne die σ-algebra A von Ω die Menge der beobachbaren Ereignisse, denen durch wird. Ein Versicherungsverrag is eine Zufallsvariable P( a) [,], a A eine Wahrscheinlichkei zugeordne X : Ω IR, d.h. eine messbare Funkion, die jedem Elemenarereignis ω Ω eine Versicherungsleisung X (ω ) IR zuordne. Ein Prämienprinzip π für einen Versicherungsverrag is eine Regel die jeder messbaren Funkion X eine Zahl π (X ) IR {, + } zuordne. Es handel sich hierbei um eine sehr allgemeine Definiion für den Versicherungsverrag und den Preis des Risikoransfers. Folgende Beispiele seien angeführ: ) odesfallversicherung für ein Jahr mi Versicherungsleisung vom Berag. In diesem Fall gib es nur zwei mögliche Elemenarereignisse Ω = {, + }, die Person sirb (-) oder sie überleb (+), und ein Wahrscheinlichkeismaß P auf der σ-algebra aller eilmengen von Ω is gegeben durch P({ }) q. Aus den axiomaischen Eigenschafen von P folg, dass P({ + }) q und man nenn q auch die Serblichkeiswahrscheinlichkei für die versichere Person. Der Versicherungsverrag is auf das Ableben der Person abgeschlossen, es gil daher X ( + ) = und X ( ) =, somi is X offenbar eine messbare Funkion. In diesem sehr einfachen diskreen Beispiel sind die messbaren Funkionen X : Ω IR durch zwei Zahlen λ, µ mi X (+) = λ und X ( ) = µ eindeuig beschrieben. Daher is auch die Menge alle Prämienprinzipien einfach zu beschreiben, denn jede Regel π is eine allgemeine Abbildung IR IR IR {, + } gegeben durch X π ( λ, µ ). z.b. bezüglich der σ-algebra der Borelschen Mengen von IR

7 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 7 (64) Im Fall der reinen Ablebensversicherung häng die Zufallsvariable nur von einer Variablen ab und die Prämienregel reduzier sich auf eine Funkion in einer Variablen. Es is a priori jedoch nich klar, welche Eigenschafen diese Abbildung haben solle und wir werden allgemeine Prämienregeln aus axiomaischer Sich im Zusammenhang mi der Risikoheorie in 3. eil der Vorlesung behandeln. Um dieses Beispiel zu einem Ende zu bringen, beziehen wir uns auf den nahe liegenden Ansaz, dass für die Prämienregel der reinen Ablebensversicherung π ( X ) = α + βqx ( ) α, β > gelen soll. Wir unersellen somi einen sehr einfachen Zusammenhang die Prämie mi der Wahrscheinlichkei zu serben P ({ }) = q und der Höhe der Versicherungsleisung im odesfall X ( ). Für α = und β = erhalen wir die sogenanne faire oder akuarielle Prämie. In diesem Fall ensprich die Prämie genau dem Erwarungswer der Zufallsvariablen X auf dem Wahrscheinlichkeisraum ( Ω, A, P), und man schreib π ( X ) = E[ X ]. ) Versicherung für ein Eigenheim im Gesamwer vom Berag Wir wollen ein weieres Beispiel für einen diskreen Wahrscheinlichkeisraum als Modell für einen Versicherungskonrak behandeln, dem eine Sachversicherung zugrunde lieg. Angenommen man kenn die Schadensvereilung, die man z.b. aus den empirischen Häufigkeien von Schäden an vergleichbaren Objeken abgeleie ha: Schadenhöhe Schadenshäufigkei p 5% % 4 % % % Der Raum Ω is gegeben durch die Menge der Elemenarereignisse der Form ω a der Schaden beräg a, wobei a eine der oben angeführe Schadenshöhen sein kann. Die Definiion der Zufallsvariablen X is dann offensichlich gegeben durch X (ω a ) a. Das Wahrscheinlichkeismaß auf der von den Elemenarereignissen ω a erzeugen σ-algebra is ebenfalls aus der obigen abelle gegeben und wir schreiben kurz P({ω }) p. a a

8 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 8 (64) Für die Regeln zur Ermilung einer Prämie für den Versicherungskonrak X kann man analoge Überlegungen wie bei der odesfallversicherung ansellen, insbesondere ergib sich als mögliche Prämie π der Erwarungswer der Zufallsvariablen X, konkre in diesem Beispiel π X ) = p a X ( ω ) = 4 ( a wobei der Index a die Menge der möglichen Schadenshöhen durchläuf. Die hier gegebene Definiion eines Versicherungsverrages is sehr allgemein und umfass auch wahrscheinlichkeisheoreische Modelle für viele andere Formen des Risikoransfers. Sie können Beispiel ) z.b. auch als eine Wee darauf inerpreieren, dass ein Ereignis einri oder auch nich (bie dies im formal mahemaischen Sinn berachen!) und in Beispiel ) die Wahrscheinlichkeisvereilung für die Auszahlung einer Dividende einer gehalenen Akie erkennen (ob diese Were realisisch sind, is in jedem Fall fraglich!). Die Abgrenzung zwischen den einzelnen Risiken is of nich eindeuig. Mi dem Problem der Legaldefiniion eines Versicherungsverrags wollen wir uns hier im Deail nich beschäfigen. Zudem werden wir im zweien eil dieser Vorlesung Finanzrisiken in den Vordergrund sellen, das wahrscheinlichkeisheoreische Modell wird jedoch grundsäzlich gleich bleiben, es is nur mi anderen Inhalen zu versehen. Anmerkungen: ) Das obige Beispiel zur Schadensversicherung läss sich unmielbar auf koninuierliche Vereilungen für die Zufallsvariable X ausdehnen. Da im Unerschied zum obigen Beispiel aus der Lebensversicherung der Versicherungsfall innerhalb der Verragsdauer mehrmals aufreen kann, is es erforderlich, sowohl die Anzahl der Schadensfälle als auch die Vereilung der einzelnen Schäden zu beschreiben. Für die Zahl der Schäden innerhalb einer Periode sez man im Regelfall eine Poisson- Vereilung an, während für das Ausmaß der Schäden die empirischen Daen of durch eine Gamma- oder Lognormal-Vereilung beschrieben werden. Die Schäzung der Parameer erfolg aufgrund der verfügbaren Sichproben. Im Rahmen dieser Vorlesung wird die sogenanne Schadensversicherungsmahemaik nur punkuell behandel, jedoch haben viele der im Folgenden behandelen Konzepe ihr ensprechendes Analogon in diesem hemenbereich der Versicherungsmahemaik.

9 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 9 (64) ) Im Gegenzug is das angeführe Beispiel aus der Lebensversicherungsmahemaik rein diskreer Naur. Der mahemaische Raum der Zusände Sein oder Nich Sein - ha hier nur zwei Elemene, die hier auch die genannen Elemenarereignisse innerhalb einer Zeiperiode beschreiben. Dieses Modell läss sich in nahe liegender Weise auf größere Zusandsräume erweiern. Berache man z.b. die Möglichkei invalide zu werden, dann ergib sich ein erweierer Wahrscheinlichkeisraum Ω = {, ~, + }, wobei wir die ensprechende Wahrscheinlichkei mi P({~}) i bezeichnen. Durch die Bedingung P ( Ω) = is weiers die Wahrscheinlichkei weder zu serben noch invalid zu werden durch die Formel P({ + }) p = q i gegeben. Aufgrund dieses erweieren Ereignisraumes lassen sich dann Versicherungsverräge für diese Risiken definieren und miels der biomerischen Kalkulaionsgrundlagen beschreiben. i, q, p in unserem wahrscheinlichkeisheoreischen Modell Wenn der Versicherungsverrag z.b. über zwei Perioden (z.b. Jahre) abgeschlossen wird und nach Ablauf jeder Periode die Ereignisse beobache werden, d.h. es wird fesgesell, ob der Versicherungsfall eingereen is oder nich, dann is der Zusandsraum wiederum ensprechend zu erweiern: Die Elemenarereignisse können dann z.b. in der Form (+, ~) beschrieben werden: die versichere Person überleb die erse Periode ohne Probleme und wird in der zweien Periode invalide. Die Wahrscheinlichkei dieses Ereignisses is dann gegeben durch P({( +, ~)}) = p i Aber auch Ereignisse der Ar (~, ) sind möglich, und wir benöigen eine neue Wahrscheinlichkei, die üblicherweise mi P({(~, )}) q bezeichne wird. Auf diese Weise läss sich der Wahrscheinlichkeisraum für derarige Verräge vervollsändigen und nahlos in unser allgemeines Modell einfügen. i Der Versicherungskonrak kann somi auch durch die Übergangswahrscheinlichkeien der Ar p, i, q, i q ec. zwischen den Zusänden = {, ~, + } Ω im Zeiablauf formuliere werden. Das mahemaische Modell ensprich demnach einer diskreen Markov-Kee und wird auch in der Praxis für die Abbildung und Bewerung von Versicherungsverrägen verwende, siehe dazu beispielsweise [Koller]. 3) Sobald ein Versicherungsverrag für mehrere Perioden, insbesondere über längere Zeiräume abgeschlossen wird, darf naürlich der Fakor des Zeiweres einer Geldeinhei nich vernachlässig werden. Das bedeue, dass eine Geldeinhei, über die man z.b. ers in einem Jahr verfügen kann, zum gegenwärigen Zeipunk weniger an Wer ha.

10 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie (64) Dieser Umsand muss naürlich auch in die Berechnung der Prämie einfließen, die man im Regelfall zu Beginn eines Verrages zu enrichen ha, dessen Leisungen aber ers zu einem späeren Zeipunk anfallen. Unersellen wir der Einfachhei halber, dass sich der heuige Wer einer Geldeinhei, verfügbar zu Zeipunk aus der Formel P r (, ) = e wobei > und r ermiel, dann wäre die faire Prämie im Beispiel ) wie folg zu modifizieren: ( ) = r π X e qx ( ) wobei wir unersellen, dass die Versicherungsleisung wenn überhaup am Ende der Periode fällig wird. Die Muliplikaion mi dem Fakor r e nenn man auch Diskonierung, und der oben genanne Grundsaz heiß auch Äquivalenzprinzip, d.h. Geldzahlungen sind nur dann vergleichbar, wenn sie sich auf den gleichen Zeipunk beziehen. In der radiionellen Versicherungsmahemaik, wird unersell, dass der Zinssaz r eine konsane Größe is. In diesem Fall änder sich das Modell für den Wahrscheinlichkeisraum ( Ω, A, P) nich wesenlich, denn wir müssen lediglich die Zahlungen mi dem frisgerechen, deerminisischen Diskonierungsfakor muliplizieren. Für den Fall, dass r eine veränderliche Größe is oder im Allgemeinen durch eine Zufallsvariable beschreiben wird, is eine wesenliche Modifikaion unseres Wahrscheinlichkeisraumes erforderlich. Wir werden uns im zweien eil der Vorlesung mi diesen Fragen beschäfigen, aber vorers nehmen wir an, dass der Zinssaz r eine deerminisische Größe is, und aus Vereinfachungsgründen sezen wir r sogar konsan. 4) Wir haben bei der Berachung des Risikoransfers lediglich die Frage der Prämienberechnung erörer. Das is aus der Sich des Versicherungsnehmers vorers auch die enscheidende Frage, denn nach Abschluss des Verrages und Bezahlung der Prämie ha dieses Risiko per Definiion für ihn keine finanziell negaiven Auswirkungen mehr. Naurgemäß anders is die Siuaion beim Versicherungsgeber. Wir werden uns im Abschni.3 mi der Auswirkung aggregierer Risiken beim Versicherungsunernehmen beschäfigen um dies im Folgenden schriweise für die Erfordernisse des Risikomanagemens erweiern.

11 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie (64) Übungsaufgaben a) Geben Sie die Formel der fairen Prämie für einen Lebensversicherungsverrag gemäß dem Beispiel ), jedoch für den Fall des Erlebens und uner Berücksichigung der Diskonierung an. Für ein konkrees Zahlenbeispiel verwenden Sie folgende Angaben: Versicherungssumme. Laufzei des Verrages Jahr Serblichkei q,% Zinssaz r 3,% Wie hoch wäre für den Versicheren die Rendie im Falle des Erlebens? b) Varianz und Sandardabweichung eine Zufallsvariable X sind bekannlich definier durch var( X ) E[( X E[ X ]) ] Sabw( X ) var( X ) Berechnen Sie die Sandardabweichung aus dem Versicherungsverrag gemäß Beispiel ). c) Geben Sie für das in Anmerkung ) diskuiere zweiperiodische Versicherungsmodell die Wahrscheinlichkeien für alle beobachbaren Ereignisse an. Welche der Übergangswahrscheinlichkeien im Sinne der zugrunde liegenden Markov-Kee müsse man auf jeden Fall noch definieren?

12 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie (64).. Risikopräferenzen und Nuzenfunkion Nachdem wir gesehen haben, dass sich die Prämie für einen Versicherungskonrak grundsäzlich an der Höhe des erwareen Schadens bemiss, sell sich die Frage, ob man nun für das zugrunde liegende Risiko eine Versicherung abschließen soll oder nich. In der wirklichen Wel wird man auch gu beraen sein, verschiedene Angeboe von Versicherungsunernehmen einzuholen und diese zu vergleichen. Aus Erfahrung weiß man, dass diese Produke auch für grundsäzlich gleiche Risiken im Deail unerschiedliche Ausprägungen haben können. Um die Dinge nich noch weier zu verkomplizieren, nehmen wir an, dass Versicherungsnehmer und Versicherer sich über die Höhe der jeweiligen Schadensvereilung einig sind, d.h. die Markeilnehmer haben symmerische Informaion über das zu versichernde Risiko. In diesem Fall seh man vor der Enscheidung, ein Produk von vielen auszuwählen, wobei jedes dieser Produke eine andere Charakerisik bezüglich der zukünfig ungewissen Leisungen aufweis. Da die Schadensvereilungen aber annahmengemäß bekann sind, kann die Auswahl uner Beachung der Risikopräferenz des Versicherungsnehmers erfolgen. Lezlich könne man auch zu dem Schluss kommen, keine Versicherung abzuschließen und das Risiko selbs zu ragen. Definiionen Eine Präferenzordnung auf eine Menge M is eine binäre Relaion f mi den folgenden Eigenschafen: Asymmerie: wenn x f y, dann gil nich y f x Negaive ransiiviä: wenn oder beides riff zu x f y und z M, dann is enweder x f z oder z f y Ein numerische Darsellung einer Präferenzordnung f is ein Funkion U : M IR für die gil: y f x U ( y) > U ( x) Die definierenden Eigenschafen einer Präferenzordnung besagen, dass eine klare Präferenz zwischen zwei Auswahlmöglichkeien beseh, und wenn eine drie Möglichkei hinzukomm, dann gib es immer noch eine geringse Präferenz ( y wenn z f y ) oder eine größe Präferenz ( x wenn x f z ). Bevor wie diese Definiionen für Versicherungskonrake anwenden, wollen wir Präferenzen an einem Beispiel illusrieren, das in gewissem Sinne dem Gegeneil des Versicherungsgedankens Z.B. der Selbsbehal in der Kfz-Kaskoversicherung oder die Höhe der Zinsgaranie in der Lebensversicherung

13 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 3 (64) ensprich. Ein riskanes Spiel biee die Möglichkei, durch Einsaz von Geld einen höheren Berag zurück zu erhalen, aber bei Misserfolg alles zu verlieren. Angenommen es sehen 4 Möglichkeien für ein riskanes Spiel zur Auswahl, von denen jeweils die Ausgänge mi ihren Wahrscheinlichkeien bekann sind: A = 5% 5% B = 5% 5% C = 4% 6% D = 6% 4% Welches Spiel würden Sie auswählen bzw. welche Präferenzordnung würden Sie zwischen den Spielen { A B, C, D}, feslegen? Ein nahe liegender Ansaz wäre, für eine numerische Darsellung der Präferenzordnung den Erwarungswer E [.] eines Spiels anzusezen. Eine einfache Rechnung zeig, dass E [ A] = E[ B] =, E [ C] =, E [ D] = 8 und man gelang somi zu einer Präferenzordnung C f (A oder B) f D Es zeig sich, dass bei der Befragung von Personen die Relaion C f D fas immer angesez wird, was nich überrasch und auch durch den Erwarungswer deulich gemach is. Aber wie wird eine drie Möglichkei eingereih? In manchen Fällen wird sogar das Spiel A dem Spiel C vorgezogen: dies überrasch, den der Erwarungswer würde eine andere Ordnung suggerieren. Genau berache is A gar kein Spiel mi Risiko, denn die Zahlung vom Berag erfolg ja mi Sicherhei. Eine Person, die A f C angib, will somi ausdrücken, dass sie gar nich spielen will und den Berag lieber mi Sicherhei behäl als die 6%-Chance auf einen Gewinn vom Berag durch C aufs Spiel zu sezen und somi in 4% der Fälle den Einsaz gänzlich zu verlieren. Schließlich ergib der Erwarungswer keine Präferenz zwischen den Spielen A und B, wobei manche Personen A f B ( risikoaverse Spieler). B f A angeben (Spieler mi Appei auf Risiko) und andere wiederum Die unerschiedlichen Ergebnisse lassen sich darauf zurückführen, dass jede der befragen Personen andere Neigungen bezüglich des Risikos aus den einzelnen Spielen ha. Das bedeue zwar nich, dass das Krierium des Erwarungsweres bei der Feslegung der Präferenzordnung irraional is, sondern lediglich, dass diese Regel die empirisch fesgesellen Präferenzordnungen nich erklären kann.

14 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 4 (64) Ein wesenlich drasischeres Beispiel für den Zusammenbruch der Erwarungswer-Regel wird durch folgendes Spiel deulich, das von Nicholas Bernoulli im Jahr 73 mahemaisch formulier wurde und uner dem Namen S. Peersburg-Paradoxon in der Lieraur eingegangen is: Eine faire 3 Münze wird geworfen. Wenn der Wurf Zahl ergib, dann bezahl der erse Spieler dem zweien Spieler den Berag ( oder eine andere Geldeinhei), und das Spiel ende. Ergib der Wurf Kopf, wird das Spiel forgesez und erneu die Münze geworfen. Is das Ergebnis dann Zahl, wird der Berag verdoppel: der zweie Spieler erhäl den Berag, und das Spiel ende hier. Anderenfalls wird das Spiel solange forgesez, bis Zahl geworfen wird, und der zweie Spieler erhäl dann den Berag von Zahl im n -en Wurf aufri. n, wenn Das Problem laue: Wie hoch is der Berag, den der zweie Spieler berei is zu zahlen, um in das Spiel einzureen? Dazu kann man wiederum Personen befragen. Empirische Unersuchungen zeigen, dass beispielsweise nur wenige Personen einen Berag vom mehr als 5 einsezen würden. Andererseis könne man nochmals versuch sein, eine Anwor aus der Berechnung des erwareen Gewinns für den anderen Spieler zu erhalen. Der Erwarungswer aus diesem Spiel berechne sich allerdings wie folg: i i p ib i = ( ) = i = + + i= i= i= i + = Wie is also möglich, dass man roz der Erwarung eines unbegrenzen Gewinns aus diesem Spiel nich mehr als 5 Geldeinheien einsezen möche? Der Grund für diese Halung häng - wie bereis im vorangegangenen Beispiel gezeig - mi der Risikobereischaf des Spielers zusammen. Der Erwarungswer als Enscheidungskrierium versag hier vollkommen, und es sell sich die Frage, wie man zu einer Enscheidungsregel gelang, die auch die Sreuung der Ergebnisse und somi das Risiko berücksichig. Für das zulez genanne Beispiel wurde von Daniel Bernoulli im Jahr 738 eine Erklärung gefunden, indem er die Präferenzordnung darauf zurückführe, einzelne Realisierungen des Spiels unerschiedlich zu gewichen. Diese Regel bezeichne man heue als Prinzip des erwareen Nuzens, und es geh in seinem Ursprung auf Gabriel Cramer und Daniel Bernoulli zurück. 3 das bedeue, dass die Wahrscheinlichkei für einen Wurf mi Kopf oder Zahl jeweils genau 5% beräg

15 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 5 (64) Definiion Eine Funkion u : IR IR heiß Nuzenfunkion (engl. uiliy funcion), wenn sie seig, srik konkav und srik monoon is. Man sag, dass U der erwaree Nuzen einer Zufallsvariable X is, wenn eine Nuzenfunkion exisier, für die U ( X ) = E[ u( X )] gil. Mi Hilfe einer Nuzenfunkion lassen sich die folgenden ökonomischen Grundhalungen von Markeilnehmern durch moneäre Größen quanifizieren: mehr Vermögen is besser als weniger : der Nuzen seig mi dem Vermögen dies ensprich der Eigenschaf der Monoonie von u der relaive Nuzenzuwachs durch weieres Vermögen fäll mi seigendem Grundvermögen : d.h. wenn man arm is, dann ha eine verfügbare Geldeinhei mehr Nuzen, als wenn man reich is dies ensprich der konkaven Eigenschaf von u Die Seigkei der Nuzenfunkion is aus naheliegenden ökonomischen Gründen ebenfalls begründbar und wir wollen im Folgenden vereinfach auch annehmen, dass u differenzierbar is und seige Ableiungen ha. Durch eine Nuzenfunkion läss sich aber auch die Risikoneigung eines Markeilnehmers beschreiben. Berachen wir das vorangegangene Beispiel der Auswahl eines Spiels mi den vier Wahlmöglichkeien { A B, C, D}, und unersellen wir für den Spieler eine Nuzenfunkion gegeben durch u ( x) = x. Wir berachen die Spiele A und B : Spiel A: Wie wir gesehen haben, is die Wahl von A die Vermeidung des Spiels und das Vermögen vom Berag bleib durch das Spiel A unveränder. Der erwaree Nuzen aus dem Spiel A beräg daher u ( ) = = 3, 63. Spiel B: Nach diesem Spiel is das Vermögen enweder von auf angewachsen (Erfolg) oder das Vermögens zur Gänze Null (Misserfolg). Daher beräg der Nuzen nach Ende des Spiels enweder u ( ) = = 4, 47 oder u ( ) = =. Im Vergleich zum Nichspielen ergib Spiel B im Fall des Erfolgs zwar eine Zunahme des Nuzens vom u ( ) u() =, 398, im Fall des Misserfolgs beräg jedoch der Nuzenverlus u ( ) u() = = 3.63 und is somi beragsmäßig größer als der mögliche Nuzengewinn.

16 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 6 (64) Wenn wir als Enscheidungsregel für das Spielen oder Nichspielen von B das Krierium des erwareen Nuzens (Numerische Darsellung der Risikopräferenz) heranziehen, dann ergib E [ u( A)] = 5% u() + 5% u() = u() = 3,63 E [ u( B)] = 5% u() + 5% u() = 5% u() =,36 Ein raional handelnder Spieler wird daher auf der Grundlage dieser Nuzenfunkion und einem Einsaz seines gesamen Vermögens vom Wer das Risiko des Spiel B nich eingehen und für seine Präferenzordnung A f B feslegen. Die folgende Grafik verdeulich diese Überlegungen: u() 5 Nuzenfunkion u(x) 4 u() E[u(A)] 3 E[u(B)] u() c(b) 5 5 Vermögen Aus der Grafik lies man weier ab, dass die Gerade, die man zwischen den Punken (, u ()) und (, u ()) ziehen kann, genau bei Vermögen den Wer des erwareen Nuzens für das Spiel B annimm. Dies is keine zufällige Übereinsimmung, sondern folg daraus, dass die Wahrscheinlichkeisgewichung für die Berechnung des Erwarungswers und des erwareen Nuzens iden sind. Welche Möglichkeien besehen nun, eine Person zum Spiel B zu bewegen? Folgende Ansäze sind hier denkbar:

17 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 7 (64) ) Änderung der Wahrscheinlichkeien für die möglichen Ausgänge: Spiel ) Änderung der Zahlungen für die möglichen Ausgänge: Spiel 3) Änderung des Preises für den Spieleinsaz auf c (B) B B Man kann zeigen (Beweis als Übung), dass für ) und ) die folgenden Spiele im Ergebnis zu E [ u(.)] = u() führen: B =,89% 7,7% B = 4 5% 5% Für 3) muss derjenige Preis c (B) gefunden werden, für den gil u ( c( B)) = E[ u( B)], d.h. c( B) = u E[ u( B)], wobei u die Umkehrfunkion von u bezeichne. Im vorliegenden Beispiel is c ( B) = E[ u( B)] =,36 = 5, wie auch die obige Grafik zeig. Den Preis c (B) nenn man Sicherheisäquivalen des Spiels B und es is jener Preis, für den eine risikoaverse Person - charakerisier durch die Nuzenfunkion u - geneig is, das Risiko des Spiels einzugehen. In diesem Fall definier man ρ ( B) E[ B] c( B) und man nenn ρ (B) die Risikoprämie des Spiels B. Wir berachen im Folgenden wieder einen Versicherungskonrak, für welchen die obigen Begriffe übernommen werden können, jedoch inhallich anders zu inerpreieren sind. Wir illusrieren dies am fikiven Zahlenbeispiel aus Abschni.. Versicherung für ein Eigenheim. Wir nehmen an, dass die Versicherungssumme für sämliche Schäden an einem Eigenheim sam Invenar berage und die im Beispiel gegebene Schadensvereilung wird von den (prospekiven) Verragsparnern als zureffend empfunden. Die ensprechende Versicherungsprämie ohne Zusazkosen wurde in Höhe des erwareen Schadens berechne und beräg 4. Wir nehmen an, dass der Eigenümer ein Gesamvermögen von 6 besiz, demnach verfüg er zusäzlich zum Eigenheim noch über Barvermögen vom Berag 6. Der Versicherungsnehmer möche vor Verragsabschluss folgende Fragen beanwore wissen: a) Gib es eine eindeuige Präferenz für einen Verragsabschluss? b) Das Versicherungsunernehmen verrechne zusäzlich zur fairen Prämie Sicherheiskosen in Höhe von 5%. Änder sich dadurch die Präferenz des Versicherungsnehmers? c) Das Versicherungsunernehmen biee auch eine günsigere Verragsvariane mi einem Selbsbehal von an. Is dieser Verrag für den Versicherungsnehmer zu präferieren?

18 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 8 (64) Für die Beanworung dieser Fragen gehen wir ganz analog zu den vorangegangen Beispielen vor und wir unersellen eine Nuzenfunkion gegeben durch u ( x) = x. Frage a) Der Versicherungsnehmer berechne den erwareen Nuzen für die Opion, keinen Verrag abzuschließen. Somi fallen keine Ausgaben an und sein Gesamvermögen wird nur dann und in dem Ausmaß reduzier, wenn ein Schaden einri. Der erwaree Nuzen berechne sich dann wie folg: 5 E [ u( X )] = p S wobei keinenverrag i= i i 5% % ( p i ) = %, % % ( S i ) = 6 4 = und man erhäl E [ u( )] = 4,67. X keinenverrag Analog berechne er den erwareen Nuzen aus dem Abschluss des Versicherungsverrag, mi voller Deckung, wobei seine Aufwendungen (vorers) nur die faire Prämie beinhalen. E [ u( X Verrag _ ohnekosen)] = pi = 4,83. 5 i= Der Versicherungsabschluss is daher zu präferieren. Frage b) Durch die Einrechnung von 5 % Kosen seig die Versicherungsprämie auf 46 und der erwaree Nuzen sink ensprechend der obigen Formel auf 4, 69. Der raional enscheidende Versicherungsnehmer wird daher geneig sein, zu diesen Kondiionen den Verrag einzugehen. Frage c) Durch die Änderung der Versicherungsleisungen muss die Prämie neu kalkulier werden und man erhäl nach Abzug des Selbsbehals von die neue Prämie (inkl. 5 % Kosen) in Höhe von 34, 5.

19 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 9 (64) Die Berechnung des erwareen Nuzens ergib einen Berag von 4,676. Ergebnis: Der Versicherungsnehmer erhäl folgende Präferenzordnung: Verrag mi Selbsbehal f Verrag ohne Selbsbehal f keinen Verrag Anmerkungen: ) Das beispielhaf dargeselle Konzep von Präferenzordnungen und Nuzenfunkionen kann als axiomaische heorie für allgemeine Wahrscheinlichkeisräume formulier werden und geh auf John von Neumann und O. Morgensern (947) zurück. Anwendungen im Bereich der Versicherungsmahemaik wurden ersmals von K. Borch (96) vorgeschlagen. Für Ineressiere verweise ich diesbezüglich auf das Buch von [Föllmer]. ) Ein Nacheil dieser heorie lieg darin begründe, dass man in der Praxis Enscheidungen eines Individuums für oder gegen ein riskanes Engagemen (seien es Versicherungen, Spiele oder Invesiionen am Kapialmark) nich mahemaisch präzise durch Nuzenfunkion erklären können wird. Dennoch ermöglich diese heorie wichige Erkennnisse für das Verhalen von Markeilnehmern in einem riskanen Umfeld und bilde einen Meilensein der modernen Finanzökonomie. 3) Durch Nuzenfunkionen, die abweichend von der hier gegeben Definiion auch konvexe eilbereiche aufweisen, kann auch der Risikoappei von Individuen erklär werden, d.h.: die Hoffnung oder der Wunsch eines Menschen auf einen hohen Errag überlager in gewissen Vermögensbereichen seine grundsäzliche Risikoaversion. In diesem Sinn sind Loerien im Zusammenhang mi der oben genannen axiomaischen heorie nich nur in der mahemaischen Modellierung sondern auch im realen Leben als wichiger ökonomischer Fakor zu berachen. Übungsaufgaben a) Berechnen Sie das Sicherheisäquivalen für das Spiel gemäß dem S. Peersburg- Paradoxon.

20 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie (64) b) Berechnen Sie den erwareen Nuzen für die Spiele C und D des obigen Beispiels und sellen Sie eine vollsändige Präferenzordnung auf. Berechnen Sie auch die Sicherheisäquivalene für diese Spiele. c) Zeigen Sie, dass für die Spiele B und B im obigen Beispiel gil [ u( B )] = E[ u( B )] = E. d) Unersellen Sie für die Besimmung der Präferenzordnung bezüglich der Spiele { A, B, C, D} alernaiv auch die folgende Nuzenfunkion ax u( x) = ( e ) (Nuzenfunkion nach dem Exponenialprinzip) a Welchen Einfluss ha der Parameer a auf die Form der Nuzenfunkion und wie werden dadurch die Ergebnisse bez. der Präferenzordnung und der Risikoprämien veränder? e) Ergänzen Sie die Berechnungen für das Beispiel Versicherung für ein Eigenheim um die Verragsvarianen einer maximalen Deckung der Schadenshöhe von und vervollsändigen Sie die Präferenzordnung.

21 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie (64)..3 Der Versicherungsverrag als Zufallsprozess Versicherungsverräge werden in der Regel für längere Zeiräume abgeschlossen. Dies gil insbesondere bei der Lebensversicherung, also einem Verrag, bei dem der Versicherungsnehmer gegen das Risiko des vorzeiigen Ablebens oder für die Versorgung im Aler finanzielle Vorsorge reffen will. Der Risikoransfer beseh somi in der Übernahme der finanziellen Leisung beding durch den Einri des Schadenfalles : der Versichere sirb im Jahr der Laufzei: Ablebensleisung oder der Versichere erleb das Jahr + : Erlebensleisung Wir werden uns im nächsen Kapiel eingehender mi der Gesalung derariger Verräge beschäfigen. An dieser Selle wollen wir den biomerischen Risikofakor isolier berachen und eine einfache Beschreibung des zugrundeliegenden versicherungsmahemaischen Modells geben. Wir unersellen, dass wir ausreichend saisisches Maerial zu Verfügung haben, um über die odesfallwahrscheinlichkei einer gewissen Personengruppe signifikane Aussagen reffen zu können. Dies könne ewa durch eine amliche Verlaubarung wie ewa die Veröffenlichung einer Serbeafel gegeben sein. Das akuellse Daenmaerial dazu is beispielsweise in der Öserreichischen Volksserbeafel / zusammengefass. Aufgrund von durchgeführen Volkszählungen kann man die Serbewahrscheinlichkeien für sog. Kohoren besimmen. Grob vereinfach berache man die Anzahl der Personen eines besimmen Alers zu Beginn und am Ende des Beobachungszeiraums und ermiel uner Berücksichigung der Zu- und Abwanderung die odesfälle. Man berechne die relaiven odeshäufigkeien und ermiel so für eine Person mi Aler x die Wahrscheinlichkei q x, innerhalb des nächsen Lebensjahres zu serben. Das dazu komplemenäre Ereignis wird durch die einjährige Überlebenswahrscheinlichkei Überlebenswahrscheinlichkei p p x, ( q ) gegeben. x, x p p p x, x mi x x = q beschrieben. Die -jährige p x, berechne sich rekursiv und is durch die Formel Ausgehend von einer gegebenen Serbeafel berechne man leich die Wahrscheinlichkei dafür, dass beispielsweise ein Mann oder eine Frau mi Aler 5 das Aler 6 erleb im darauf folgenden Lebensjahr sirb: Wahrscheinlichkei eines/r 5jährigen im 6. Lebensjahr zu serben = p 5,q6

22 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie (64) Wenn wir nun alle zukünfigen Jahre berachen und die Summe der ensprechenden Wahrscheinlichkeien bilden, dann erhäl man folgendes Ergebnis: = p x, qx+ = Dies is unmielbar einsichig: man weiß zwar nich, wann eine Person, die heue x Jahre al is, serben wird, aber dass es passieren wird, is sicher. Wir schöpfen aus dieser Einsich die mahemaische Erkennnis, dass wir es hier mi einer Zufallsvariable zu un haben. Definiion Für eine Person mi Aler x bezeichnen wir die Zufallsvariable der zukünfigen Lebensdauer mi bzw. genauer (x), wobei x + das Aler im odesfall dieser Person is. Die ensprechende Wahrscheinlichkeisvereilung is gegeben durch G( ) = Pr( ),, wobei wir mi Pr() die Wahrscheinlichkei bezeichnen, dass dieses Ereignis einri. Für den Fall einer koninuierlichen Vereilung is die Diche g aus der Ableiung der Vereilungsfunkion G definier und wir schreiben dies informell als: g ( ) d = Pr( < < + d). Wir bezeichnen mi µ x+ die Serbeinensiä (engl. force of moraliy) gegeben durch g( ) d µ x+ = ln( G( )). G( ) d Is die Vereilung der Zufallsvariablen bekann, dann berechne sich die Lebenserwarung einer Person aus dem Erwarungswer der Zufallsvariablen bekannlich durch E [ ] g( ) d = ( G( )) d nach dem Haupsaz der Inegral- und Differenzialrechnung und der Eigenschaf, dass G ( ) für. Im Fall unserer Volksserbeafel haben wir zwar nur eine diskree Vereilung gegeben, da die veröffenlichen Were sich nur auf ganzzahlige Aler und Beobachungsjahre beziehen, jedoch können wir hier die Vereilungsfunkion G() explizi berechnen, denn es gil offensichlich: p = G( ) mi x, =,,, p x, qx+ g( ) mi x, =,,, x, =

23 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 3 (64) Die folgende Grafik zeig die Lebensdauer der Neugeborenen, also für die Zufallsvariable (x) mi x = die Diche und Vereilung nach der Öserreichischen Volksserbeafel /: Diche,4,35,3,5,,5,,5 Diche und Vereilung der Lebensdauer Diche Vereilung % 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% % % Vereilung, Aler % Die Grafik erklär sich zum Großeil wohl selbs: die Diche zum Aler ensprich der bedingen Serblichkeiswahrscheinlichkei x + der Zufallsvariablen g ( ) = Pr( < + ) = Pr( ) q = x+ px, qx+ und man erkenn deulich die Auswirkung der Säuglingsserblichkei und den sog. Unfallsbuckel im Alersbereich zwischen 9 und 3 Jahren: in diesem Beispiel wurden absichlich die saisischen Were der männlichen Bevölkerung ausgewähl. Anders als bei den Serblichkeien q + selbs fäll die Diche der Lebenserwarung ca. ab dem Aler 83 x (wahrscheinlichser Wer) rasch gegen Null, da ja bis zu diesem Aler nur mehr vergleichsweise wenige Personen überleb haben werden. Die Grafik zeig keine Were für ein erreichbares Aler größer als, weil die bereffende Serbeafel mi diesem Aler ende, das man üblicherweise mi ω bezeichne. Die Einführung der Serbinensiä µ x ergib keine wirklich neue Variable: man sieh leich, dass diese im diskreen Modell mi der Serblichkei q x übereinsimm. Weiers läss sich im diskreen Modell auch die Lebenserwarung konkre berechnen, denn es gil:

24 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 4 (64) ω E [ ] = ( + ) p q p (Beweis als Übung) = x, ω x+ = = x, und man erhäl für die Lebenserwarung eines männlichen Neugeborenen die Zahl 76 - für Frauen ergib diese Saisik einen Wer von 8 (jeweils gerunde). Diese und ähnliche Zahlen werden auch häufig in den Medien genann und sind auch ohne mahemaisch-saisische Vorkennnisse versändlich. Die Zufallsvariablen (x) enhalen jedoch wesenlich mehr an Informaionen. Beispielsweise können wir sämliche Charakerisika der ensprechenden Vereilung direk berechnen, wie den Median und die einzelnen Quanile, aber auch die Varianz und die höheren Momene. Von Ineresse könne auch sein, mi welchem Aler die Wahrscheinlichkei zu serben am höchsen is. Aus der Grafik ennehmen wir, dass dies bei Männern mi Aler 83 der Fall is, bei den Frauen errechne sich hierbei ein Aler von 87. Weiers können wir bei gegebener Serbeafel die Vereilung von (x) mi x =,,, berechnen und erhalen so zu jedem erreichen Aler x eine vollsändige Beschreibung der zukünfigen Lebenserwarung für diese Person. Die folgende Grafik zeig die Veränderung der Dichefunkion für (x) mi x =,4, 6:,45 Abhängigkei der zukünfigen Lebensdauer vom erreichen Aler,4,35,3 Diche,5,,5,,5, Diche mi Aler Diche mi Aler 4 Diche mi Aler zukünfige Jahre und rechnerisch erhalen wir Erwarungswer und wahrscheinlichsen Wer für das odesaler bei akuellem Aler Erwarungswer wahrscheinlichser Wer Wahrscheinlichkei ,75% ,83% ,6%

25 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 5 (64) Auffallend is, dass der Erwarungswer deulich seig, je äler die (noch lebende!) Person is. Bei wesenlich höheren Alern is jedoch zu berücksichigen, dass durch das Ende der Serbeafel (hier mi ω = ) dieser rend per Konsrukion gebrochen wird. Im Fall einer konkreen Anwendung is daher bei hohen Alern eine geeignee Exrapolaion auf der Grundlage des verfügbaren saisischen Maerials durchzuführen. Man sieh hingegen, dass der wahrscheinlichse Wer für das odesaler (gerunde) robus is und die Wahrscheinlichkei für den odesfall zu diesem Zeipunk leich zunimm, je näher man an diesem Aler is. Eine Zufallsvariable, die sich mi der Zei - hier paramerisier durch das Lebensaler änder, nenn man auch einen sochasischen Prozess. Wir werden im Laufe dieser Vorlesung diesen Begriff noch formaler fassen, aber an dieser Selle wollen wir hervorheben, dass der zeilichen Enwicklung eines (Lebens-)Versicherungskonraks immer ein sochasischer Prozess zugrunde lieg. In diesem Sinn is jeder Lebensversicherungskonrak eine Funkion der Zufallsvariablen (x), die jedem möglichen Zusand zu jedem zukünfigen Zeipunk (hier: die versichere Person leb noch oder leb nich mehr ) die Zahlung einer Versicherungsleisung zuordne. Um den ökonomischen Wer des Versicherungsverrags ermieln zu können, müssen wir die Leisungen einzelner Jahre uner Ansaz einer Diskonierungsfunkion v ( x, ) vergleichen. Is diese bekann, dann ergib sich beispielsweise der versicherungsmahemaische Wer eines lebenslangen Renenkonraks zu Aler x mi jährlich konsaner Zahlung vom Berag R durch x = v( x, ) R Dieser Ausdruck is als Funkion einer zeilich veränderlichen Zufallsvariable wiederum ein sochasischer Prozess. Im Allgemeinen wird jedoch weder die Diskonierung v ( x, ) noch die Versicherungsleisung R eine deerminisische Funkion sein, so dass wir für deren mahemaische Beschreibung wiederum auf sochasische Modelle zurückgreifen müssen. Wir werden im Rahmen dieser Vorlesung schriweise die sochasischen Aspeke des Versicherungskonraks unersuchen.

26 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 6 (64) In diesem Abschni beschränken wir uns allerdings auf das Änderungsrisiko bezogen auf die Serbeafel selbs, d.h. wir unersellen, dass die Serblichkeiswahrscheinlichkeien bei gegebenem Aler im Zeiablauf variieren können. Wir zeigen dies wieder beispielhaf an der Volksserbeafel, die in Öserreich im Regelfall alle Jahre akualisier wird. Konkre berachen wir die Änderung der Serblichkei q x zwischen den veröffenlichen Weren der afeln 99/9 und / und nehmen an, dass die Veränderung durch einen vom Aler und Geschlech abhängigen Fakor der Serblichkeisverbesserung λˆ beschrieben wird, den wir aus der Beobachung erhalen: ( ˆ λ ) x q q / x 99 / 9 x Die folgende Grafik zeig diese Serblichkeisverbesserung bei Männern und Frauen: Jährliche Serblichkeisverbesserung % 8% Männer Frauen Änderung in % p.a. 6% 4% % % -% Aler Demnach is λˆ x weigehend posiiv, und somi is der Ausdruck Serblichkeisverbesserung in diesem Zusammenhang gerechferig. Allerdings variier λˆ x deulich und is im Bereich der - 5jährigen Frauen sogar negaiv. Um aus diesem Daenmaerial einen rend für die zukünfige Enwicklung ableien zu können, bedarf es einer Klärung, ob es sich hierbei ausschließlich um zufällige Veränderungen handel oder ob sich aus weieren Beobachungen auch ein saisisch signifikaner rend ableien läss.

27 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 7 (64) Die Behandlung derariger Fragen is ein zenraler Besandeil der radiionellen Versicherungsmahemaik. Läss sich ein begründbarer rend ableien, dann kann beispielsweise die Serblichkeisverbesserung durch Polynome höherer Ordnung angenäher werden und man erhäl eine doppel abgesufe Serbeafel - auch Generaionenafel genann. Zur Illusraion zeigen wir hier das Ergebnis eines abgeleieen rends λ x für die Serblichkeisverbesserung bei den Frauen anhand einer Grafik: rendannahme bei der Serblichkeisverbesserung (Männer) 5% 4% 4% beobachee Were abgeleieer rend Änderung in % p.a. 3% 3% % % % % % -% Aler und man definier die Serblichkei für das Aler x einer Person der Generaion G (Gebursjahrgang) ausgehend von einer Grundafel ( q x ) aus dem Jahr J wie folg: G q x q ( λ ) x max( G+ x J,) x Mi diesen projizieren Serblichkeiswahrscheinlichkeien erfolg die Beschreibung der Zufallsvariable (x) vollkommen analog. Wir erkennen einen deulichen Unerschied in der Ausprägung der Vereilung gegenüber der einfachen afel aus der Beobachung des Jahres J. Die folgende Grafik zeig die Diche der Zufallsvariable (x) Lebensdauer für einen Mann, der zum Zeipunk der Güligkei der Grundafel (Volksserbeafel /) genau 6 Jahre al is, verglichen mi der abgeleieen Generaionenafel nach der oben beschriebenen Vorgehensweise :

28 Dr. Huber Schickeanz Angewande Versicherungsmahemaik und Risikomanagemen Seie 8 (64) Abhängigkei der zukünfigen Lebensdauer von der Serbeafel (Aler 6),45,4,35,3 Diche,5,,5,,5, Diche mi Serbafel / Diche mi Generaionen-Serbeafel erzeug aus / zukünfige Jahre Die Berechnung nach der Generaionenafel zeig nunmehr eine deulich höhere Lebenserwarung von 83 gegenüber 8 Jahren, und auch das wahrscheinlichse odesaler erhöh sich auf 86 gegenüber dem Aler 83 bei der akuellen, einfach abgesufen Serbeafel. Welche Ar der Serblichkeisprognose sinnvoller Weise unersell werden soll, häng vom zugrunde liegenden Risikoprofil des Versicherungskonrakes und der Risikopräferenz der Versicherungsnehmer ab. Mi diesen und ähnlichen Fragen werden wir uns den folgenden Abschnien beschäfigen. Anmerkungen: () Die obige Darsellung is auch verkürz in dem Sinne, dass wir die Zufallsvariable aus dem koninuierlichen Modell direk auf das diskree Modell überragen haben. Mahemaisch präziser müsse man für das Modell in Jahresschrien das ensprechende Analogon für die Lebenserwarung in ganzen Jahren K [ ], also die Zahl der vollendeen zukünfigen Lebensjahre berachen. Um die Beschreibung auf unerjähriger Serblichkeien z.b. auf Monasbasis auszudehnen, benöig man für die Zufallsvariable S = K eine ensprechende Vereilungsfunkion. Man kann z.b. unersellen, dass K und S unabhängig sind und man erhäl als definierende Gleichungen q x+ k, u Pr( S h K = k) = und q x+ k, u = H ( u) qx+ k qx+ k

Motivation. Finanzmathematik in diskreter Zeit

Motivation. Finanzmathematik in diskreter Zeit Moivaion Finanzmahemaik in diskreer Zei Eine Hinführung zu akuellen Forschungsergebnissen Alber-Ludwigs-Universiä Freiburg Prof. Dr. Thorsen Schmid Abeilung für Mahemaische Sochasik Freiburg, 22. April

Mehr

1. Mathematische Grundlagen und Grundkenntnisse

1. Mathematische Grundlagen und Grundkenntnisse 8 1. Mahemaische Grundlagen und Grundkennnisse Aufgabe 7: Gegeben sind: K = 1; = 18; p = 1 (p.a.). Berechnen Sie die Zinsen z. 18 1 Lösung: z = 1 = 5 36 Man beache, dass die kaufmännische Zinsformel als

Mehr

Seminar Bewertungsmethoden in der Personenversicherungsmathematik

Seminar Bewertungsmethoden in der Personenversicherungsmathematik Seminar Bewerungsmehoden in der Personenversicherungsmahemaik Technische Reserven und Markwere I Sefanie Schüz Mahemaisches Insiu der Universiä zu Köln Sommersemeser 2010 Bereuung: Prof. Hanspeer Schmidli,

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2007 über Finanzmathematik und Investmentmanagement

Bericht zur Prüfung im Oktober 2007 über Finanzmathematik und Investmentmanagement Berich zur Prüfung im Okober 7 über Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen (Grundwissen) Peer Albrech (Mannheim) Am 5 Okober 7 wurde zum zweien Mal eine Prüfung im Fach Finanzmahemaik und Invesmenmanagemen

Mehr

Kosten der Verzögerung einer Reform der Sozialen Pflegeversicherung. Forschungszentrum Generationenverträge Albert-Ludwigs-Universität Freiburg

Kosten der Verzögerung einer Reform der Sozialen Pflegeversicherung. Forschungszentrum Generationenverträge Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Kosen der Verzögerung einer Reform der Sozialen Pflegeversicherung Forschungszenrum Generaionenverräge Alber-Ludwigs-Universiä Freiburg 1. Berechnungsmehode Die Berechnung der Kosen, die durch das Verschieben

Mehr

Thema : Rendite und Renditemessung

Thema : Rendite und Renditemessung Thema : Rendie und Rendiemessung Lernziele Es is wichig, die Zeigewichung der Rendie als ennzahl zu versehen, den Unerschied zwischen einer koninuierlichen und einer diskreen erzinsung zu begreifen und

Mehr

Lehrstuhl für Finanzierung

Lehrstuhl für Finanzierung Lehrsuhl für Finanzierung Klausur im Fach Finanzmanagemen im Winersemeser 1998/99 1. Aufgabe Skizzieren Sie allgemein die von Kassenhalungsproblemen miels (sochasischer) dynamischer Programmierung! Man

Mehr

Kapitel 11 Produktion, Sparen und der Aufbau von Kapital

Kapitel 11 Produktion, Sparen und der Aufbau von Kapital apiel 11 Produkion, Sparen und der Aufbau von apial Vorbereie durch: Florian Barholomae / Sebasian Jauch / Angelika Sachs Die Wechselwirkung zwischen Produkion und apial Gesamwirschafliche Produkionsfunkion:

Mehr

Thema 6: Kapitalwert bei nicht-flacher Zinsstruktur:

Thema 6: Kapitalwert bei nicht-flacher Zinsstruktur: Thema 6: Kapialwer bei nich-flacher Zinssrukur: Markzinsmehode Bislang unersell: i i kons. (, K, T) (flache Zinskurve) Verallgemeinerung der KW-Formel auf den Fall beliebiger Zinskurven jedoch ohne weieres

Mehr

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit SS 2008 Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) 151 Einleiung Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 In der beracheen Periode war in den USA eine niedrige Arbeislosigkei ypischerweise von hoher

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2009 über Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik (Grundwissen)

Bericht zur Prüfung im Oktober 2009 über Grundprinzipien der Versicherungs- und Finanzmathematik (Grundwissen) Berich zur Prüfung i Okober 9 über Grundrinziien der Versicherungs- und Finanzaheaik (Grundwissen Peer lbrech (Mannhei 6 Okober 9 wurde zu vieren Mal eine Prüfung i Fach Grundrinziien der Versicherungs-

Mehr

Machen Sie Ihre Kanzlei fi für die Zukunf! Grundvoraussezung für erfolgreiches Markeing is die Formulierung einer Kanzleisraegie. Naürlich, was am meisen zähl is immer noch Ihre fachliche Kompeenz. Aber

Mehr

3.2 Festlegung der relevanten Brandszenarien

3.2 Festlegung der relevanten Brandszenarien B Anwendungsbeispiel Berechnungen Seie 70.2 Feslegung der relevanen Brandszenarien Eine der wichigsen Aufgaben beim Nachweis miels der Ingenieurmehoden im Brandschuz is die Auswahl und Definiion der relevanen

Mehr

P. v. d. Lippe Häufige Fehler bei Klausuren in "Einführung in die ökonometrische Datenanalyse" Duisburg

P. v. d. Lippe Häufige Fehler bei Klausuren in Einführung in die ökonometrische Datenanalyse Duisburg P. v. d. Lippe Häufige Fehler bei Klausuren in "Einführung in die ökonomerische Daenanalyse" Duisburg a) Klausur SS 0 Klausuren SS 0 bis SS 03 akualisier 9. Augus 03. Sehr viele Teilnehmer rechnen einfach

Mehr

So prüfen Sie die Verjährung von Ansprüchen nach altem Recht

So prüfen Sie die Verjährung von Ansprüchen nach altem Recht Akademische Arbeisgemeinschaf Verlag So prüfen Sie die von Ansprüchen nach alem Rech Was passier mi Ansprüchen, deren vor dem bzw. 15. 12. 2004 begonnen ha? Zum (Sichag) wurde das srech grundlegend reformier.

Mehr

Warum ist die Frage, wem ein Leasingobjekt zugerechnet wird, wichtig? Welche Vorteile kann ein Leasinggeber (eine Leasinggesellschaft) ggf. erzielen?

Warum ist die Frage, wem ein Leasingobjekt zugerechnet wird, wichtig? Welche Vorteile kann ein Leasinggeber (eine Leasinggesellschaft) ggf. erzielen? 1) Boschafen von Kapiel 7 Welche Eigenschafen ha ein Finanzierungs-Leasing-Verrag? Warum is die Frage, wem ein Leasingobjek zugerechne wird, wichig? FLV, vollkommener Kapialmark und Gewinnseuer Welche

Mehr

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis

Kondensator und Spule im Gleichstromkreis E2 Kondensaor und Spule im Gleichsromkreis Es sollen experimenelle nersuchungen zu Ein- und Ausschalvorgängen bei Kapaziäen und ndukiviäen im Gleichsromkreis durchgeführ werden. Als Messgerä wird dabei

Mehr

Der Zeitwert des Geldes - Vom Umgang mit Zinsstrukturkurven -

Der Zeitwert des Geldes - Vom Umgang mit Zinsstrukturkurven - - /8 - Der Zeiwer des Geldes - Vom Umgang mi Zinssrukurkurven - Dr. rer. pol. Helmu Sieger PROBLEMSELLUNG Zinsänderungen beeinflussen den Wer der Zahlungssröme, die Krediinsiue, Versicherungen und sonsige

Mehr

Die Sensitivität ist eine spezielle Form der Zinselastizität: Aufgabe 1

Die Sensitivität ist eine spezielle Form der Zinselastizität: Aufgabe 1 Neben anderen Risiken unerlieg die Invesiion in ein fesverzinsliches Werpapier dem Zinsänderungsrisiko. Dieses Risiko läss sich am einfachsen verdeulichen, indem man die Veränderung des Markweres der Anleihe

Mehr

SR MVP die Sharpe Ratio des varianzminimalen

SR MVP die Sharpe Ratio des varianzminimalen Prüfung inanzmahemaik und Invesmenmanagemen 4 Aufgabe : (4 Minuen) a) Gegeben seien zwei Akien mi zugehörigen Einperiodenrendien R und R. Es gele < ρ(r,r )

Mehr

Faktor 4x Short Zertifikate (SVSP-Produktcode: 1300)

Faktor 4x Short Zertifikate (SVSP-Produktcode: 1300) Fakor 4x Shor Zerifikae (SVSP-Produkcode: 1300) Index Valor / Symbol / ISIN / WKN / Common Code Fakor 4x Shor DAXF Index 11617870 / CBSDX DE000CZ33BA7 / CZ33BA Bezugswer üblicherweise der an der Maßgeblichen

Mehr

9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION

9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION Eponenialfunkion, Logarihmusfunkion 9. EXPONENTIALFUNKTION, LOGARITHMUSFUNKTION 9.. Eponenialfunkion (a) Definiion Im Abschni Zinseszinsrechnung konne die Berechnung eines Kapials K n nach n Perioden der

Mehr

Aufgabenblatt 1. Lösungen. A1: Was sollte ein Arbitrageur tun?

Aufgabenblatt 1. Lösungen. A1: Was sollte ein Arbitrageur tun? Aufgabenbla 1 Lösungen 1 A1: Was solle ein Arbirageur un? Spo-Goldpreis: $ 5 / Unze Forward-Goldpreis (1 Jahr): $ 7 / Unze Risikoloser Zins: 1% p.a. Lagerkosen: Es gib zwei Handelssraegien, um in einem

Mehr

Value Based Management

Value Based Management Value Based Managemen Vorlesung 5 Werorieniere Kennzahlen und Konzepe PD. Dr. Louis Velhuis 25.11.25 Wirschafswissenschafen PD. Dr. Louis Velhuis Seie 1 4 CVA Einführung CVA: Cash Value Added Spezifischer

Mehr

1 Abtastung, Quantisierung und Codierung analoger Signale

1 Abtastung, Quantisierung und Codierung analoger Signale Abasung, Quanisierung und Codierung analoger Signale Analoge Signale werden in den meisen nachrichenechnischen Geräen heuzuage digial verarbeie. Um diese digiale Verarbeiung zu ermöglichen, wird das analoge

Mehr

Bewertung von Versicherungsrisiken mittels des Äquivalenznutzenprinzips

Bewertung von Versicherungsrisiken mittels des Äquivalenznutzenprinzips Bewerung von Versicherungsrisiken miels des Äquivalenznuzenprinzips Diplomarbei zur Erlangung des akademischen Grades Diplom-Wirschafsmahemaiker der Fakulä für Mahemaik und Wirschafswissenschafen der Universiä

Mehr

Unternehmensbewertung

Unternehmensbewertung Unernehmensbewerung Brush-up Kurs Winersemeser 2015 Unernehmensbewerung 1. Einführung 2. Free Cash Flow 3. Discouned-Cash-Flow-Bewerung (DCF) 4. Weighed average cos of capial (wacc) 5. Relaive Bewerung/

Mehr

Hilfestellung zur inflationsneutralen Berechnung der Erwartungswertrückstellung in der Krankenversicherung nach Art der Lebensversicherung

Hilfestellung zur inflationsneutralen Berechnung der Erwartungswertrückstellung in der Krankenversicherung nach Art der Lebensversicherung Viere Unersuchung zu den quaniaiven Auswirkungen von Solvabiliä II (Quaniaive Impac Sudy 4 QIS 4) Hilfesellung zur inflaionsneuralen Berechnung der Erwarungswerrücksellung in der Krankenversicherung nach

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2008 über Finanzmathematik und Investmentmanagement

Bericht zur Prüfung im Oktober 2008 über Finanzmathematik und Investmentmanagement Beric zur rüfung im Okober 008 über Finanzmaemaik und Invesmenmanagemen (Grundwissen) eer Albrec (Manneim) Am 7 Okober 008 wurde zum drien Mal eine rüfung im Fac Finanzmaemaik und Invesmenmanagemen nac

Mehr

Zahlungsverkehr und Kontoinformationen

Zahlungsverkehr und Kontoinformationen Zahlungsverkehr und Konoinformaionen Mulibankfähiger Zahlungsverkehr für mehr Flexibilä und Mobiliä Das Zahlungsverkehrsmodul biee Ihnen für Ihre Zahlungsverkehrs- und Konenseuerung eine Vielzahl mulibankenfähiger

Mehr

I. Vorbemerkungen und wichtige Konzepte

I. Vorbemerkungen und wichtige Konzepte - 1 - I. Vorbemerkungen und wichige Konzee A.Warum und zu welchem Zweck bereiben wir Wirschafsheorie? 1. Zur Beanworung der ökonomischen Grundfragen Fragen der Allokaion (Ziel is die effiziene Allokaion

Mehr

5')6FKHPDXQG'XEOLQ&RUH

5')6FKHPDXQG'XEOLQ&RUH RDF in wissenschaflichen Biblioheken 5')6FKHPDXQG'XEOLQ&RUH RDF [RDFM&S] ermöglich die gleichzeiige Nuzung unerschiedlicher Vokabulare für die Beschreibung von Meadaen.

Mehr

Seminararbeitspräsentation Risiko und Steuern. On the Effects of Redistribution on Growth and Entrepreneurial Risk-taking

Seminararbeitspräsentation Risiko und Steuern. On the Effects of Redistribution on Growth and Entrepreneurial Risk-taking Seminararbeispräsenaion Risiko und Seuern On he Effecs of Redisribuion on Growh and Enrepreneurial Risk-aking aus der Vorlesung bekann: Posiionswahlmodell Selbssändigkei vs. abhängige Beschäfigung nun

Mehr

LEIBRENTENVERSICHERUNG VERSUS FONDSENTNAHMEPLAN CHANCEN UND RISIKEN

LEIBRENTENVERSICHERUNG VERSUS FONDSENTNAHMEPLAN CHANCEN UND RISIKEN LEIBRENTENVERSICHERUNG VERSUS FONDSENTNAHMEPLAN CHANCEN UND RISIKEN AUS DER PERSPEKTIVE POTENZIELLER ERBEN Von D r. H a o S c h m e i s e r, Berlin* und Diplomkaufmann T h o m a s P o s, Berlin** JANUAR

Mehr

Bericht zur Prüfung im Oktober 2006 über Finanzmathematik und Investmentmanagement

Bericht zur Prüfung im Oktober 2006 über Finanzmathematik und Investmentmanagement Berich zur Prüfung im Okober 006 über Finnzmhemik und Invesmenmngemen Grundwissen Peer Albrech Mnnheim Am 07. Okober 006 wurde zum ersen Ml eine Prüfung im Fch Finnzmhemik und Invesmenmngemen nch PO III

Mehr

Arbitragefreie Preise

Arbitragefreie Preise Arbiragefreie Preise Maren Schmeck 24. Okober 2006 1 Einleiung P i () Preis von Anleihe i zur Zei, i = 1,..., n x i Anzahl an Einheien der Anleihe i V () = n i=1 x ip i () Wer eines Porfolios mi x i Einheien

Mehr

Faktor 4x Long Zertifikate (SVSP-Produktcode: 1300)

Faktor 4x Long Zertifikate (SVSP-Produktcode: 1300) Fakor 4x Long Zerifikae (SVSP-Produkcode: 1300) Index Valor / Symbol / ISIN / WKN Bezugswer Fakor 4x Long Copper Index CBLKU4 / 12306935 / CZ33RK / DE000CZ33RK2 üblicherweise der an der Maßgeblichen erminbörse

Mehr

MEA DISCUSSION PAPERS

MEA DISCUSSION PAPERS Ale und neue Wege zur Berechnung der Renenabschläge Marin Gasche 01-2012 MEA DISCUSSION PAPERS mea Amaliensr. 33_D-80799 Munich_Phone+49 89 38602-355_Fax +49 89 38602-390_www.mea.mpisoc.mpg.de Ale Nummerierung:

Mehr

Faktor 4x Long Zertifikate (SVSP-Produktcode: 1300)

Faktor 4x Long Zertifikate (SVSP-Produktcode: 1300) Fakor 4x Long Zerifikae (SVSP-Produkcode: 1300) Index Valor / Symbol / ISIN / WKN Bezugswer Fakor 4x Long Naural Gas Index 18377042 CBLNG4 DE000CZ33US9 CZ33US üblicherweise der an der Massgeblichen erminbörse

Mehr

Zinsstruktur und Barwertberechnung

Zinsstruktur und Barwertberechnung 5A-0 Kapiel Zinssrukur und Barwerberechnung 5A-1 Kapielübersich 5A.1 Zinssrukur (Einführung) 5A.2 Zinssrukur und Rendie 5A.3 Spo- und Terminzinssäze 5A.4 Formen und graphische Darsellung 5A.5 Zusammenfassung

Mehr

Mathematik III DGL der Technik

Mathematik III DGL der Technik Mahemaik III DGL der Technik Grundbegriffe: Differenialgleichung: Bedingung in der Form einer Gleichung in der Ableiungen der zu suchenden Funkion bis zu einer endlichen Ordnung aufreen. Funkions- und

Mehr

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h)

Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h) Aufgabe 6 (Enwicklung einer Populaion): (Anforderungen: Inerpreaion von Schaubildern; Inegralfunkion in der Praxis) Von einer Populaion wird - jeweils in Abhängigkei von der Zei - die Geburenrae (in Individuen

Mehr

Investment under Uncertainty Princeton University Press, New Jersey, 1994

Investment under Uncertainty Princeton University Press, New Jersey, 1994 Technische Universiä Dresden Fakulä Wirschafswissenschafen Lehrsuhl für Energiewirschaf (EE 2 ) Prof. Dr. C. v. Hirschhausen / Dipl.-Vw. A. Neumann Lesebeweis: Avinash K. Dixi und Rober S. Pindyck Invesmen

Mehr

2.1 Produktion und Wirtschaftswachstum - Das BIP

2.1 Produktion und Wirtschaftswachstum - Das BIP 2.1 Produkion und Wirschafswachsum - Das BIP DieVolkswirschafliche Gesamrechnung(VGR)is das Buchführungssysem des Saaes. Sie wurde enwickel, um die aggregiere Wirschafsakiviä zu messen. Die VGR liefer

Mehr

Analog-Elektronik Protokoll - Transitorgrundschaltungen. Janko Lötzsch Versuch: 07. Januar 2002 Protokoll: 25. Januar 2002

Analog-Elektronik Protokoll - Transitorgrundschaltungen. Janko Lötzsch Versuch: 07. Januar 2002 Protokoll: 25. Januar 2002 Analog-Elekronik Prookoll - Transiorgrundschalungen André Grüneberg Janko Lözsch Versuch: 07. Januar 2002 Prookoll: 25. Januar 2002 1 Vorberachungen Bei Verwendung verschiedene Transisor-Grundschalungen

Mehr

Provided in Cooperation with: Christian-Albrechts-University of Kiel, Institute of Business Administration

Provided in Cooperation with: Christian-Albrechts-University of Kiel, Institute of Business Administration econsor www.econsor.eu Der Open-Access-Publikaionsserver der ZBW Leibniz-Informaionszenrum Wirschaf The Open Access Publicaion Server of he ZBW Leibniz Informaion Cenre for Economics Hopp, Janina; Nippel,

Mehr

Grundlagen der Informatik III Wintersemester 2010/2011

Grundlagen der Informatik III Wintersemester 2010/2011 Grundlagen der Informaik III Winersemeser 21/211 Wolfgang Heenes, Parik Schmia 11. Aufgabenbla 31.1.211 Hinweis: Der Schnelles und die Aufgaben sollen in den Übungsgruppen bearbeie werden. Die Hausaufgaben

Mehr

Die tatsächliche Entwicklung des Versicherungsvertrages wird jedoch zumindest aus zwei Gründen von den rechnungsmäßigen Größen abweichen:

Die tatsächliche Entwicklung des Versicherungsvertrages wird jedoch zumindest aus zwei Gründen von den rechnungsmäßigen Größen abweichen: Wiederholung: Für einen Lebensversicherungsverrag X gegeben durch b, c ) und Prämien π ) is der Gewinn (Verlus) am Ende eines Jahres eine Zufallsvariable GV v p, π p, + b p, q c und folgenden Eigenschafen

Mehr

Faktor 4x Short Natural Gas II Zertifikat (SVSP-Produktcode: 2300)

Faktor 4x Short Natural Gas II Zertifikat (SVSP-Produktcode: 2300) Fakor 4x Shor Naural Gas II Zerifika (SVSP-Produkcode: 2300) KAG Hinweis Emienin: Raing: Zerifikaear: SVSP-Code Verbriefung: Die Werpapiere sind keine Kollekivanlage im Sinne des schweizerischen Bundesgesezes

Mehr

Nachtrag Nr. 93 a. gemäß 10 Verkaufsprospektgesetz (in der vor dem 1. Juli 2005 geltenden Fassung) Unvollständiger Verkaufsprospekt

Nachtrag Nr. 93 a. gemäß 10 Verkaufsprospektgesetz (in der vor dem 1. Juli 2005 geltenden Fassung) Unvollständiger Verkaufsprospekt Nachrag Nr. 93 a gemäß 10 Verkaufsprospekgesez (in der vor dem 1. Juli 2005 gelenden Fassung) vom 27. Okoer 2006 zum Unvollsändiger Verkaufsprospek vom 31. März 2005 üer Zerifikae auf * ezogen auf opzins

Mehr

Masse, Kraft und Beschleunigung Masse:

Masse, Kraft und Beschleunigung Masse: Masse, Kraf und Beschleunigung Masse: Sei 1889 is die Einhei der Masse wie folg fesgeleg: Das Kilogramm is die Einhei der Masse; es is gleich der Masse des Inernaionalen Kilogrammprooyps. Einzige Einhei

Mehr

Finanzmathematik. Wolfgang Müller. Institut für Statistik Technische Universität Graz

Finanzmathematik. Wolfgang Müller. Institut für Statistik Technische Universität Graz Finanzmahemaik Wolfgang Müller 213 Insiu für Saisik Technische Universiä Graz Inhalsverzeichnis 1. Markmodelle in diskreer Zei 1 1.1. Das Binomialmodell................................ 1 1.2. Das allgemeine

Mehr

Der Einfluss von Sozialkapital in der Asset Allocation von Privatanlegern

Der Einfluss von Sozialkapital in der Asset Allocation von Privatanlegern Universiä Augsburg Prof. Dr. Hans Ulrich Buhl Kernkompeenzzenrum Finanz- & Informaionsmanagemen Lehrsuhl für BWL, Wirschafsinformaik, Informaions- & Finanzmanagemen Diskussionspapier WI-236 Der Einfluss

Mehr

REX und REXP. - Kurzinformation -

REX und REXP. - Kurzinformation - und P - Kurzinformaion - July 2004 2 Beschreibung von Konzep Anzahl der Were Auswahlkrierien Grundgesamhei Subindizes Gewichung Berechnung Basis Berechnungszeien Gewicheer Durchschniskurs aus synheischen

Mehr

15. Netzgeräte. 1. Transformator 2. Gleichrichter 3. Spannungsglättung 4. Spannungsstabilisierung. Blockschaltbild:

15. Netzgeräte. 1. Transformator 2. Gleichrichter 3. Spannungsglättung 4. Spannungsstabilisierung. Blockschaltbild: Ein Nezgerä, auch Nezeil genann, is eine elekronische Schalungen die die Wechselspannung aus dem Sromnez (230V~) in eine Gleichspannung umwandeln kann. Ein Nezgerä sez sich meisens aus folgenden Komponenen

Mehr

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2

Hamburg Kernfach Mathematik Zentralabitur 2013 Erhöhtes Anforderungsniveau Analysis 2 Hmburg Kernfch Mhemik Zenrlbiur 2013 Erhöhes Anforderungsniveu Anlysis 2 Smrphones Die Mrkeinführung eines neuen Smrphones vom Elekronikherseller PEAR wird ses ufgereg erwre. Zur Modellierung der Enwicklung

Mehr

Aufbau von faserbasierten Interferometern für die Quantenkryptografie

Aufbau von faserbasierten Interferometern für die Quantenkryptografie Aufbau von faserbasieren nerferomeern für die uanenkrypografie - Gehäuse, Phasensabilisierung, Fasereinbau - Maserarbei im Sudiengang Elekroechnik und nformaionsechnik Veriefungsrichung Phoonik an der

Mehr

Fallstudie zu Projektbezogenes Controlling :

Fallstudie zu Projektbezogenes Controlling : Projekbezogenes Conrolling SS 2009 Fallsudie zu Projekbezogenes Conrolling : Thema: Erfolgspoenzialrechnung Lehrsuhl für Beriebswirschafslehre, insb. Conrolling Projekbezogenes Conrolling SS 2009 LITERATUR

Mehr

Ein Modell zur dynamischen Investitionsrechnung von IT-Sicherheitsmaßnahmen

Ein Modell zur dynamischen Investitionsrechnung von IT-Sicherheitsmaßnahmen Universiä Augsburg Prof. Dr. Hans Ulrich Buhl Kernkompeenzzenrum Finanz- & Informaionsmanagemen Lehrsuhl für BWL, Wirschafsinformaik, Informaions- & Finanzmanagemen Diskussionspapier WI-176 Ein Modell

Mehr

Untersuchung von Gleitentladungen und deren Modellierung durch Funkengesetze im Vergleich zu Gasentladungen

Untersuchung von Gleitentladungen und deren Modellierung durch Funkengesetze im Vergleich zu Gasentladungen Unersuchung von Gleienladungen und deren Modellierung durch Funkengeseze im Vergleich zu Gasenladungen Dipl.-Ing. Luz Müller, Prof. Dr.-Ing. Kur Feser Insiu für Energieüberragung und Hochspannungsechnik,

Mehr

A. Multiple Choice Teil der Klausur (22 Punkte) Lösungen jeweils in blauer Schrift

A. Multiple Choice Teil der Klausur (22 Punkte) Lösungen jeweils in blauer Schrift A. Muliple Choice eil der Klausur ( Punke) Lösungen jeweils in blauer chrif Punk Lösung: B Homoskedasiziä bedeue dass a) Annahme B gil, d.h. dass die geschäzen örgrößen û über alle Zeipunke gerechne eine

Mehr

Lösungen zu Kontrollfragen

Lösungen zu Kontrollfragen Lehrsuhl für Finanzwirschaf Lösungen zu Konrollfragen Finanzwirschaf Prof. Dr. Thorsen Poddig Fachbereich 7: Wirschafswissenschaf Einführung (Kapiel ) Sichweisen in der Finanzwirschaf. bilanzorieniere

Mehr

4. Kippschaltungen mit Komparatoren

4. Kippschaltungen mit Komparatoren 4. Kippschalungen mi Komparaoren 4. Komparaoren Wird der Operaionsversärker ohne Gegenkopplung berieben, so erhäl man einen Komparaor ohne Hserese. Seine Ausgangsspannung beräg: a max für > = a min für

Mehr

Preisniveau und Staatsverschuldung

Preisniveau und Staatsverschuldung Annahme: Preisniveau und Saasverschuldung Privae Wirschafssubjeke berücksichigen bei ihren Enscheidungen die Budgeresrikion des Saaes. Wenn sich der Saa in der Gegenwar sark verschulde, dann muss der zusäzliche

Mehr

Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten. Industriemeister Metall / Neu

Berücksichtigung naturwissenschaftlicher und technischer Gesetzmäßigkeiten. Industriemeister Metall / Neu Fragen / Themen zur Vorbereiung auf die mündliche Prüfung in dem Fach Berücksichigung naurwissenschaflicher und echnischer Gesezmäßigkeien Indusriemeiser Meall / Neu Die hier zusammengesellen Fragen sollen

Mehr

Vorlesung - Prozessleittechnik 2 (PLT 2)

Vorlesung - Prozessleittechnik 2 (PLT 2) Fakulä Elekro- & Informaionsechnik, Insiu für Auomaisierungsechnik, rofessur für rozessleiechnik Vorlesung - rozessleiechnik LT Sicherhei und Zuverlässigkei von rozessanlagen - Sicherheislebenszyklus Teil

Mehr

Garantiekosten in der Altersvorsorge Entwicklung eines Garantiekostenindexes

Garantiekosten in der Altersvorsorge Entwicklung eines Garantiekostenindexes Garaniekosen in der Alersvorsorge Enwicklung eines Garaniekosenindexes Auoren der Sudie Maximilian Renz Prof. Dr. Olaf Soz Professur für Asse Managemen Frankfur School of Finance & Managemen Sonnemannsr.

Mehr

Finanz- und Risikomanagement. Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring

Finanz- und Risikomanagement. Finanz- und Risikomanagement, Prof. Dr. Gabriele Gühring Finanz- und Risikomanagemen 1 Vorlesungsinhale 1. Basisgüer und Grundbegriffe - Eineilung nach Ar der Basisgüer - Eineilung nach Börsen- oder OTC-Handel - Eineilung in Spo-Geschäfe oder Termingeschäfe

Mehr

Schriftliche Abiturprüfung Technik/Datenverarbeitungstechnik - Leistungskurs - Hauptprüfung. Pflichtteil

Schriftliche Abiturprüfung Technik/Datenverarbeitungstechnik - Leistungskurs - Hauptprüfung. Pflichtteil Sächsisches Saasminiserium Gelungsbereich: Berufliches Gymnasium für Kulus und Spor Fachrichung: Technikwissenschaf Schuljahr 20/202 Schwerpunk: Daenverarbeiungsechnik Schrifliche Abiurprüfung Technik/Daenverarbeiungsechnik

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 11 LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN Mahemaik Mag. Schmid Wolfgang Arbeisbla. Semeser ARBEITSBLATT LAGEBEZIEHUNG DREIER EBENEN Nachdem wir die Lage weier Ebenen unersuch haben, wollen wir uns nun mi der Lage von drei Ebenen beschäfigen. Anders

Mehr

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen

Mathematische Methoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differentialgleichungen Dr. G. Lechner Mahemaische Mehoden der klassischen Physik Zusammenfassung Differenialgleichungen In der Vorlesung wurden drei unerschiedliche Typen von Differenialgleichungen (DGL) besprochen, die jeweils

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL)

Gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) Gewöhnliche Differenialgleichungen (DGL) Einführende Beispiele und Definiion einer DGL Beispiel 1: 1. Die lineare Pendelbewegung eines Federschwingers führ uner Zuhilfenahme des Newonschen Krafgesezes

Mehr

26 31 7 60 64 10. 16 6 12 32 33 9

26 31 7 60 64 10. 16 6 12 32 33 9 Lineare Algebra / Analyische Geomerie Grundkurs Zenrale schrifliche Abiurprüfungen im Fach Mahemaik Aufgabe 4 Fruchsäfe in Berieb der Geränkeindusrie produzier in zwei Werken an verschiedenen Sandoren

Mehr

Aufgaben zur Zeitreihenanalyse (Kap. 5)

Aufgaben zur Zeitreihenanalyse (Kap. 5) Prof. Dr. Reinhold Kosfeld Fachbereich Wirschafswissenschafen Aufgaben zur Zeireihenanalyse (Kap. 5) Aufgabe 5.1 Welches Phänomen läss sich mi ARCH-Prozessen modellieren und welche prognosische Relevanz

Mehr

WORKING PAPERS Arbeitspapiere der Betrieblichen Finanzwirtschaft

WORKING PAPERS Arbeitspapiere der Betrieblichen Finanzwirtschaft WORKING PAPERS Arbeispapiere der Berieblichen Finanzwirschaf Lehrsuhl für Beriebswirschafslehre, insbes. Beriebliche Finanzwirschaf Bfw29V/03 Zusandsabhängige Bewerung mi dem sochasischen Diskonierungsfakor

Mehr

Zwei Rechenbeispiele für die einfache lineare Regression

Zwei Rechenbeispiele für die einfache lineare Regression Einfache Regression mi Ecel Prof. Dr. Peer von der Lippe Zwei Rechenbeispiele für die einfache lineare Regression 1.1. Daen 1. Mindeslöhne Beispiel 1 Ennommen aus Rolf Ackermann, pielball des Lobbyisen,

Mehr

Prof. Dr. Arnd Wiedemann Investitionstheorie

Prof. Dr. Arnd Wiedemann Investitionstheorie Prof. Dr. Arnd Wiedemann Invesiionsheorie Winersemeser 2013/2014 Gliederung 1. Einführung in die Bewerung risikobehafeer Invesiionen: vom Kapialwermodell für Einzelinvesiionen zum Unernehmenswermodell

Mehr

Masterplan Mobilität Osnabrück Ergebnisse der Verkehrsmodellrechnung

Masterplan Mobilität Osnabrück Ergebnisse der Verkehrsmodellrechnung Maserplan Mobiliä Osnabrück Ergebnisse der Verkehrsmodellrechnung Grundlagen Im Zuge des bisherigen Planungsprozesses wurden eszenarien in Abhängigkei von der Einwohnerenwicklung und der kommunalen verkehrlichen

Mehr

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986

Abiturprüfung Baden-Württemberg 1986 001 - hp://www.emah.de 1 Abirprüfng Baden-Würemberg 1986 Leisngskrs Mahemaik - Analysis Z jedem > 0 is eine Fnkion f gegeben drch f x x x e x ; x IR Ihr Schabild sei K. a Unersche K af Asympoen, Schnipnke

Mehr

Brush-up Kurs Wintersemester 2015. Optionen. Was ist eine Option? Terminologie. Put-Call-Parität. Binomialbäume. Black-Scholes Formel

Brush-up Kurs Wintersemester 2015. Optionen. Was ist eine Option? Terminologie. Put-Call-Parität. Binomialbäume. Black-Scholes Formel Opionen Opionen Was is eine Opion? Terminologie Pu-Call-Pariä Binomialbäume Black-Scholes Formel 2 Reche und Pflichen bei einer Opion 1. Für den Käufer der Opion (long posiion): Rech (keine Pflich!) einen

Mehr

Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik Versuch 5. Matrikelnummer:... ...

Praktikum Grundlagen der Elektrotechnik Versuch 5. Matrikelnummer:... ... FH D FB 3 Fachhochschule Düsseldorf Universiy of Applied Sciences Fachbereich Elekroechnik Deparmen of Elecrical Engineering Prakikum Grundlagen der Elekroechnik Versuch 5 Name Marikelnummer:... Anesa

Mehr

Übungsaufgaben zu Kapitel 1: Offene Güter- und Finanzmärkte

Übungsaufgaben zu Kapitel 1: Offene Güter- und Finanzmärkte Kapiel 1 Übungsaufgaben zu Kapiel 1: Offene Güer- und Finanzmärke Übungsaufgabe 1-1 1-1 Berachen Sie zwei Werpapiere, das eine wird in Deuschland in Euro emiier, das andere in den USA in Dollar! Nehmen

Mehr

4.7. Prüfungsaufgaben zum beschränkten Wachstum

4.7. Prüfungsaufgaben zum beschränkten Wachstum .7. Prüfungsaufgaben zum beschränken Wachsum Aufgabe : Exponenielle Abnahme und beschränkes Wachsum In einem Raum befinden sich eine Million Radonaome. Duch radioakiven Zerfall verminder sich die Zahl

Mehr

Zwischenwerteigenschaft

Zwischenwerteigenschaft Zwischenwereigenschaf Markus Berberich Ausarbeiung zum Vorrag im Proseminar Überraschungen und Gegenbeispiele in der Analysis (Sommersemeser 2009, Leiung PD Dr. Gudrun Thäer) Zusammenfassung: In dieser

Mehr

IMPLIZITE BESTEUERUNG IM DEUTSCHEN SOZIALVERSICHERUNGSSYSTEM. Martin Gasche 190-2009

IMPLIZITE BESTEUERUNG IM DEUTSCHEN SOZIALVERSICHERUNGSSYSTEM. Martin Gasche 190-2009 IMPLIZITE BESTEUERUNG IM DEUTSCHEN SOZIALVERSICHERUNGSSYSTEM Marin Gasche 90-2009 Implizie Beseuerung im deuschen Sozialversicherungssysem Marin Gasche Mannheim Research Insiue for he Economics of Aging

Mehr

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit WS 2007/08

Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) JKU Linz Riese, Kurs Einkommen, Inflation und Arbeitslosigkeit WS 2007/08 Phillips Kurve (Blanchard Ch.8) 310 Einleiung Inflaion und Arbeislosigkei in den Vereinigen Saaen, 1900-1960 In der beracheen Periode war in den USA eine niedrige Arbeislosigkei ypischerweise von hoher

Mehr

SERVICE NEWSLETTER. Einführung in die Mechanik Teil 2: Kinematik (2)

SERVICE NEWSLETTER. Einführung in die Mechanik Teil 2: Kinematik (2) Einührung in ie Mechanik Teil : Kinemaik Ausgabe: 9 / 4 In iesem Teil er Reihe wollen wir anhan eines Zahlenbeispiels en Deomaionsgraienen als zenrale Größe zur Beschreibung er Deormaion in er Kinemaik

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2009 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 www.mahe-aufgaben.com Abiurprüfung Mahemaik 009 (Baden-Würemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (7 Punke) Das Schaubild P einer Polynomfunkion drien Grades ha den Wendepunk W(-/-) und

Mehr

Simultane Optimierung von Managementregeln im Asset-Liability-Management deutscher Lebensversicherer

Simultane Optimierung von Managementregeln im Asset-Liability-Management deutscher Lebensversicherer Simulane Opimierung von Managemenregeln im Asse-Liabiliy-Managemen deuscher Lebensversicherer Oliver Horn und Hans-Joachim Zwiesler Preprin Series: 2006-04 Fakulä für Mahemaik und Wirschafswissenschafen

Mehr

Customer Lifetime Value

Customer Lifetime Value Cusomer Lifeime Value Monia Seyerle Fachhochschule Nüringen 72603 Nüringen monia.seyerle@web.de Zusammenfassung Der Cusomer Lifeime Value (CLV) is der ganzheiliche Wer eines Kunden für ein besimmes Unernehmen

Mehr

Kurs 9.3: Forschungsmethoden II

Kurs 9.3: Forschungsmethoden II MSc Banking & Finance Kurs 9.3: Forschungsmehoden II Zeireihenanalyse Lernsequenz 03: Einführung in die sochasische Modellierung November 014 Prof. Dr. Jürg Schwarz Folie Inhal Ziele 6 Saische vs. dynamische

Mehr

Die Put-Call Symmetrie und deren Anwendung bei der Bewertung von Barriereoptionen

Die Put-Call Symmetrie und deren Anwendung bei der Bewertung von Barriereoptionen Die Pu-Call Symmerie und deren Anwendung bei der Bewerung von Barriereopionen Maserarbei von Sefanie Tiemann 06. 08. 013 Bereuer: Privadozen Dr. Volker Paulsen Insiu für mahemaische Saisik Fachbereich

Mehr

Leitfaden zum. ISF FondsControl Index Schweiz

Leitfaden zum. ISF FondsControl Index Schweiz Leifaden zum ISF FondsConrol Index Schweiz Version 1.0 vom 09.01.2014 1 Inhal Einführung 1 Parameer des Index 1.1 Kürzel und ISIN 1.2 Sarwer 1.3 Vereilung 1.4 NAVs und Berechnungsfrequenz 1.5 Gewichung

Mehr

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen

7.3. Partielle Ableitungen und Richtungsableitungen 7.3. Parielle Ableiungen und Richungsableiungen Generell vorgegeben sei eine Funkion f von einer Teilmenge A der Ebene R oder allgemeiner des n-dimensionalen Raumes R n nach R. Für x [x 1,..., x n ] aus

Mehr

stochastischer Prozesse

stochastischer Prozesse Marin Nell, Philipp Pohl Werorieniere Seuerung von Lebensversicherungsunernehmen miels sochasischer Prozesse Working Papers on Risk and Insurance Hamburg Universiy No 5 November 5 Tor zur Wel der Wissenschaf

Mehr

Latente Wärme und Wärmeleitfähigkeit

Latente Wärme und Wärmeleitfähigkeit Versuch 5 Laene Wärme und Wärmeleifähigkei Aufgabe: Nehmen Sie für die Subsanz,6-Hexandiol Ersarrungskurven auf und ermieln Sie daraus die laene Wärme beim Phasenübergang flüssig-fes sowie den Wärmedurchgangskoeffizienen

Mehr

Unterschied 2: kurzfristige vs langfristige Zinssätze. Arbitrage impliziert: r = i e i = r + e (1) (2)

Unterschied 2: kurzfristige vs langfristige Zinssätze. Arbitrage impliziert: r = i e i = r + e (1) (2) Unerschied : kurzfrisige vs langfrisige Zinssäze Inermediae Macro - Uni Basel 10 Arbirage implizier: (1) () Es gib eine klare Beziehung zwischen langfrisigen Zinsen und erwareen künfigen Kurzfriszinsen

Mehr

Fachbereich II Mathematik - Physik - Chemie

Fachbereich II Mathematik - Physik - Chemie R Fachbereich II Mahemaik - Physik - Chemie 03/200 Karl Michael Ormann as Modell von Neuburger in der Krankenversicherungsmahemaik The Neuburger model in healh insurance mahemaics (in German) Repors in

Mehr

Seminararbeit. zum Thema: Hyperbolisches Diskontieren als Grundlage des Verbraucherschutzes? Im Rahmen des Seminars

Seminararbeit. zum Thema: Hyperbolisches Diskontieren als Grundlage des Verbraucherschutzes? Im Rahmen des Seminars Seminararbei zum Thema: Hyperbolisches Diskonieren als Grundlage des Verbraucherschuzes? Im Rahmen des Seminars Verbraucherpoliik: Informaionsökonomische Grundlagen und neue Herausforderungen auf IuK-Märken

Mehr

Dipl. Marketingleiter/in SGBS

Dipl. Marketingleiter/in SGBS S. Ga lle r B u s i n e s s S c h o o l DIPLOMAUSBILDUNGEN FÜR MANAGER/INNEN 2012 13 Dipl. Markeingleier/in SGBS g: ls Einsie sa v i a n r eb Ale nd Verri Gallen u g n i e Mark ika S. f i r e Z en managem

Mehr