Mathematische und statistische Methoden II

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1 Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung Wallstr. 3, 6. Stock, Raum Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike lordsofthebortz.de lordsofthebortz.de/g+ facebook.com/methodenlehre twitter.com/methodenlehre youtube.com/methodenlehre Folie 1 SoSe 2012 Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Inhalte dieser Sitzung Theoretische Wahrscheinlichkeiten und empirische Häufigkeiten Binomial- und Poisson-Verteilung Folie 2

3 Diskrete Zufallsvariablen Recap Notation Eine Zufallsvariable, die abzählbar viele Werte annehmen kann (in endlich oder unendlich vielen Ausprägungen), wird als diskrete Zufallsvariable bezeichnet Das Ereignis, dass die diskrete Zufallsvariable X eine bestimmte (die i-te) Ausprägung annimmt, wird bezeichnet als X = x i Die Wk für X = x i wird als p(x = x i ) oder kürzer p(x i ) oder ganz kurz p i bezeichnet p(x = x i ) ist eine Punktwahrscheinlichkeit Folie 3

4 Diskrete Zufallsvariablen Recap Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Verteilung der p(x = x i ) auf alle möglichen Ausprägungen von X wird als diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet. Sie beschreibt theoretische Punktwahrscheinlichkeiten und wird definiert als px ( x) : falls x xx px ( ) 0 sonst i i 1 k Wert von X x 1 x 2 x i x k p(x = x i ) p(x 1 ) p(x 2 ) p(x i ) p(x k ) Folie 4

5 Diskrete Zufallsvariablen Recap Verteilungsfunktion Die Verteilung der p(x x m ) wird als Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X oder kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet. Sie beschreibt theoretische Intervallwahrscheinlichkeiten und wird definiert als P( x) p( X x ) p p p p m 1 2 m i i1 m Wert von X x 1 x 2 x m p(x x i ) p(x 1 ) p(x 1 ) + p(x 2 ) p(x 1 ) + p(x 2 ) + + p(x m ) Folie 5

6 Diskrete Zufallsvariablen Recap Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Folie 6

7 Absolute Häufigkeit eines Wertes x: Diskrete Zufallsvariablen Recap Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Empirisch h x Theoretisch Relative Häufigkeit eines Wertes x: (n = Anzahl aller Werte) f x h x n (Häufigkeitsverteilung) p x (Wk.-Verteilung) Kumulierte absolute Häufigkeit bis zu einer Schranke u: i H x h x x u i i Relative kumulierte Häufigkeit bis zu einer Schranke u: i Folie 7 F x f x x u i i (Emp. Verteilungsfunktion) p x P x i i (Verteilungsfunktion)

8 Diskrete Zufallsvariablen Recap Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Folie 8 Die empirische Häufigkeitsverteilung f(x) und die Wahrscheinlichkeitsverteilung p(x) einer Zufallsvariablen sind konzeptuell strikt zu trennen Die empirische und theoretische Verteilungsfunktion sind ebenfalls strikt zu trennen Die theoretischen Verteilungen bedürfen keiner Daten, denn sie sind gegeben Die theoretische Verteilung bestimmt, was für die empirische Verteilung zu erwarten ist Aber: In der Notation wird oft einfach f(x) bzw. F(x) geschrieben, gleichgültig, ob es um Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten geht.

9 Folgen unabhängiger Ereignisse Kann ein Zufallsexperiment mehrfach unter demselben Komplex Ξ durchgeführt werden und sind die einzelnen Versuche stochastisch unabhängig, so spricht man von einem Experiment. Das Experiment ist ein Art Meta- Experiment, dessen Trials aus der mehrfachen Durchführung des zugrunde liegenden s bestehen. Folie 9 Der typische Stichprobenraum eines s ergibt sich erst nach der sinnvollen einer Zufallsvariablen.

10 Folgen unabhängiger Ereignisse Beispiel: Das Experiment Ξ sei der einmalige Wurf einer fairen Münze, wobei die Münze nicht auf der Kante liegen bleiben kann. Der Stichprobenraum ist Kopf Als Zufallsvariable könnte man definieren, Zahl Y y1: 0, wenn Kopf y2: 1, wenn Zahl mit p y py py y y 1 2 : 0.5 : 0.5 Folie 10

11 Folgen unabhängiger Ereignisse Beispiel: Das Experiment bestehe nun in der 20maligen Durchführung des Zufallsexperimentes Ξ Sein Stichprobenraum umfasst alle möglichen 20elementigen Folgen von Kopf und Zahl, also Folie 11 K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, K, Z, ', K, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z, Z Ein Elementarereignis

12 Folgen unabhängiger Ereignisse Folie 12 Auf dem Stichprobenraum eines solchen s können viele verschiedene Zufallsvariablen definiert werden. Beispiel: Jedem möglichen der insgesamt k Elemente des Stichprobenraumes wird eine eindeutige Zahl zugewiesen: X X x1 : 1, wenn K, K,, K X x2 : 2, wenn K, K,, Z X xk : , wenn Z, Z,, Z

13 Folgen unabhängiger Ereignisse Folie 13 Auf dem Stichprobenraum eines solchen s können viele verschiedene Zufallsvariablen definiert werden. Beispiel: Jedem möglichen der insgesamt k Elemente des Stichprobenraumes wird eine eindeutige Zahl zugewiesen: X X x1: 1, wenn y1, y1,, y1 X x2 : 2, wenn y1, y1,, y2 X xk : , wenn y, y,, y 2 2 2

14 Folgen unabhängiger Ereignisse Zur der Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Zufallsvariablen kann der Multiplikationssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse herangezogen werden p x 1 : : p X x p y p y p y p X x2 p y1 p y1 p y2 p X xk p y p y p y : Folie 14

15 Folgen unabhängiger Ereignisse Folie 15 Aber: Zu Zeiten s wurde Wahrscheinlichkeitsrechnung vor allem zum besseren Verständnis des Glücksspieles betrieben Deshalb spielte die Ordnung der Ergebnisse aus den Trials eines s eher keine Rolle Die Zufallsvariable eines s ist per definitionem einfach die Summe der Realisationen aus den n durchgeführten Trials, also n 1 2 n i1 X y y y y mit n=20 in unserem Beispiel i

16 Folgen unabhängiger Ereignisse Folie 16 Im Beispiel mit n=20 ist dies aber gleichbedeutend mit der X X x1 : 0, wenn 0 Zahl X x2 : 1, wenn 1 Zahl X x21 : 1, wenn 20 Zahl Wenn in der zugrunde liegenden Zufallsvariable Y ein Treffer (hier: Zahl) die 1 erhalten hat, liefert X also einfach die Anzahl der Treffer in den n Trials Achtung: Diese Übertragung ist nicht mehr gültig, sobald die Zufallsvariable Y anders definiert wird (z.b. mit umgekehrter Zuweisung von 0/1 zu Kopf/Zahl)

17 Folgen unabhängiger Ereignisse Frage: Angenommen, die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X aus dem zugrunde liegenden Experiment ist bekannt kann dann die Wahrscheinlichkeitsfunktion von Y ermittelt werden? Am Beispiel: Gibt es die mathematische Beziehung p y py py y y 1 2 : 0.5 : 0.5? p x p X p X px x x x Folie 17

18 Diskrete Wk-Verteilungen Binomialverteilung Y Der einfachste Fall eines s beruht auf einem Experiment mit nur zwei möglichen disjunkten Ergebnissen Man definiere für dieses Experiment die folgende Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeitsfunktion: Y Y y y 1 2 : 0 : 1 p y mit q = 1 p pyy1 : q pyy2 : p Folie 18 Beispiel: Beim Münzwurf wäre z.b. p = q = 0.5 (p ist die so genannte Treffer- oder Erfolgswahrscheinlichkeit )

19 Diskrete Wk-Verteilungen Binomialverteilung Man hat Y Y Y y y 1 2 :0 :1 und kennt p Y y1 : 1 p py ( ) p Y y2 : p ist gesucht px ( ) p X p X px x x 1 2 : xn 1 :?? :? Bei n Trials X X x1 :0 X x2 :1 X xn 1 : n Folie 19

20 Diskrete Wk-Verteilungen Binomialverteilung Wird ein dichotomes Experiment n mal durchgeführt, kann die Wahrscheinlichkeitsfunktion der möglichen Realisationen für das resultierende Experiment mathematisch hergeleitet werden: n f ( xnp,, ) pq x nx x Dies ist die Binomialverteilung Folie 20 mit n = Anzahl aller Trials x = Anzahl günstiger Ergebnisse in den n Trials p = Wk für jedes x q = Wk der übrigen n-x Ergebnisse, also, q = 1 p

21 Folie 21 Diskrete Wk-Verteilungen Binomialverteilung Man hat Y Y Y px ( ) y y ist gesucht 1 2 p X p X px :0 :1 x x 1 2 : xn 1 :?? :? und kennt p Y y1 : 1 p py ( ) p Y y2 : p n f( x, n, p) pxqnx x Bei n Trials X X x1 :0 X x2 :1 X xn 1 : n

22 Diskrete Wk-Verteilungen Exkurs: Fakultät und der Binomialkoeffizient Der Binomialkoeffizient ist definiert als n n! x x! ( n x)! lies: n über x Dabei ist n! 123n per definitionem mit 0! = 1 lies: n Fakultät Folie 22

23 Diskrete Wk-Verteilungen Binomialverteilung Die Binomialverteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, da sie nur endlich viele verschiedene Werte annehmen kann Die mathematische Funktion kann nur dann angewandt werden, wenn die Zufallsvariable des zugrunde liegenden s 0/1-kodiert ist Die Funktion f(x,n,p) gibt dann die Wahrscheinlichkeit für jede mögliche Häufigkeit von 1en in den n Versuchen an Anzahl der Treffer Folie 23 Die Binomialverteilung ist die Mutter aller Verteilungen, da aus ihr praktisch alle wichtigen weiteren Verteilungen abgeleitet werden können

24 Diskrete Wk-Verteilungen Binomialverteilung Die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x,n,p) liefert die Punktwahrscheinlichkeiten für ein genau x- maliges Auftreten der Realisation 1 einer 0/1 kodierten Zufallsvariablen. Zusätzlich existiert auch die Verteilungsfunktion der Intervallwahrscheinlichkeiten für ein maximal x-maliges Auftreten der Realisation 1 Diese ist einfach die Summe aller Punktwahrscheinlichkeiten bis zur Realisation x i Folie 24 k F xnp,, f xi, n, p i1

25 Diskrete Wk-Verteilungen Binomialverteilung Am Beispiel mit p=0.5 und n=20 ergäbe sich Folie 25 x f(x) F(x) x x

26 Absolute Häufigkeit eines Wertes x: Diskrete Zufallsvariablen Recap Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Empirisch h x Theoretisch Relative Häufigkeit eines Wertes x: (n = Anzahl aller Werte) f x h x n (Häufigkeitsverteilung) p x (Wk.-Verteilung) Kumulierte absolute Häufigkeit bis zu einer Schranke u: i H x h x x u i i Relative kumulierte Häufigkeit bis zu einer Schranke u: i Folie 26 F x f x x u i i (Emp. Verteilungsfunktion) p x P x i i (Verteilungsfunktion)

27 Diskrete Wk-Verteilungen Poisson Verteilung Für ein Experiment mit 2 disjunkten Ergebnissen gelte die Häufigkeit, mit dem ein Ereignis in einem bestimmten Zeitintervall typischerweise auftritt, sei. die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von m Ereignissen in einem Zeitintervall ist nur von der Länge des Intervalls abhängig, nicht von seiner Lage auf der Zeitachse die Ereignisse sind stochastisch unabhängig Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von m Ereignissen in einem Zeitintervall ist dann f( x, ) e x x! Poisson Verteilung (e = Eulersche Zahl; 2.718) Folie 27

28 Diskrete Wk-Verteilungen Poisson Verteilung f( x, ) e x x! wird auch als Intensitätsparameter der Poisson- Verteilung bezeichnet Anders als die Binomialverteilung ist die Poisson- Verteilung unendlich abzählbar. Folie 28

29 Diskrete Wk-Verteilungen Poisson Verteilung als Approximation der Wenn n groß ist und p klein, ist die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten aus der Binomialverteilung mathematisch aufwändig Die Poisson-Verteilung approximiert die Binomialverteilung für seltene Ereignisse sehr gut, wenn n 100 und np 10 Dabei wird angenommen, dass λ = np np x e ( n p) n x nx f( x, n p) p (1 p) f( x, n, p) x! x Poisson Binomial Folie 29

30 Diskrete Wk-Verteilungen Poisson Verteilung als Approximation der Die Poisson Verteilung geht mathematisch unmittelbar aus der Binomialverteilung hervor Die Poisson Verteilung wird häufig als Verteilung für seltene Ereignisse bezeichnet. Hier ist streng zu unterscheiden zwischen einer kleinen Wahrscheinlichkeit p und einer theoretisch recht großen Anzahl n p der unwahrscheinlichen Ereignisse. Die Güte der Approximation bezieht sich auf den relativen Approximationsfehler, d.h. den Quotienten aus der Binomial-Wk und der Poisson-Wk Folie 30

31 Relevante Excel Funktionen Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen BINOM.VERT() POISSON.VERT() oder EXP() und POTENZ() bzw. ^ ( hoch ) FAKULTÄT(), KOMBINATIONEN() Folie 31