Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

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1 Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II 6. Ableitungsregeln H. Rodner, G. Neumann Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik Sommersemester 2010/11 Internetseite zur Vorlesung: neumann/

2 Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Differentialrechnung Hausaufgabe Die Kettenregel

3 Hausaufgabe Skizzieren Sie eine Einführungsstunde zum Thema Ableitung der Exponentialfunktion mit dem Ziel der Einführung der Exponentialfunktion zur Basis e.

4 Die Kettenregel Wie kann die Kettenregel eingeführt werden?

5 Die Kettenregel Ermitteln Sie die Ableitung von f (x) = (x 2 ) 3 über bekannte Ableitungsregeln über die Ableitungen der verketteten Funktionen

6 Die Kettenregel Stellen Sie möglichst viele Zusammenhänge zwischen den Funktionstermen her.

7 Die Kettenregel: Beweis Wir betrachten den Differenzenquotienten für f (x) = u(v(x)) mit den differenzierbaren Funktionen u, v : Zu zeigen ist f (x) = u (v(x)) v (x) f (x) f (x 0 ) x x 0 = u(v(x)) u(v(x 0)) x x 0

8 Die Kettenregel: Beweis Multiplikation des Differenzenquotienten mit v(x) v(x 0) v(x) v(x 0 ) Voraussetzung??? v(x) v(x 0 ) 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von x 0

9 Die Kettenregel: Beweis Multiplikation des Differenzenquotienten mit v(x) v(x 0) v(x) v(x 0 ) Voraussetzung??? v(x) v(x 0 ) 0 in einer hinreichend kleinen Umgebung von x 0

10 Die Kettenregel: Beweis f (x) f (x 0 ) = u(v(x)) u(v(x 0)) v(x) v(x 0) x x 0 v(x) v(x 0 ) x x 0 Da die innere Funktion v differenzierbar ist, ist sie auch stetig, daher geht für x x 0 auch v(x) gegen v(x 0 ) und - mit den Grenzwertsätzen für den Grenzwert von Produkten - gilt: f (x) = u (v(x)) v (x)

11 Die Kettenregel: Aufgaben f(x)=u(v(x)) v(x) u(v) v (x) u (v) u (v(x)) f (x) (5x 1) 3 5x 1 v 3 5 3v 2 3(5x 1) 2 15(5x 1) 2 2x + 3 v 2 2 (2x+1) 2 cos(2x + 1) 5 x 2 2v 2

12 Die Kettenregel: Aufgaben Für den Grundkurs: Binnendifferenzierung! Für schwache Schüler: Reaktivierung der Potenzschreibweise für Wurzeln und Brüche in Form von Vorübungen!

13 Die Kettenregel: Aufgaben Ableitung mit Kettenregel- Vergleich mit dem CAS Funktionen mit Parameter Kombination mit Produktregel Funktionen mit mehr als einer Verkettung, z.b. f (x) = ( x x) 2

14 Die Kettenregel: Anwendungsaufgabe In einen kegelförmigen Behälter mit dem Radius R = 10 cm und der Höhe H = 30 cm werden pro Sekunde 20 cm 3 Wasser gefüllt. Die Höhe des Wasserspiegels und das Volumen des Wassers hängen also von der Zeit ab. a) Ermitteln Sie die Zuordnung h(t) V(t). b) Während des Füllvorgangs steigt der Wasserspiegel unterschiedlich schnell. Wie schnell steigt dieser in dem Augenblick, in dem das Wasser im Behälter 5 cm hoch steht?

15 Die Kettenregel: Lösung der Anwendungsaufgabe a) Für das Volumen in Abhängigkeit der Zeit in Sekunden sowie für r Radius der Wasseroberfläche im Kegel und h Höhe des Wasserstands - ebenfalls abhängig von der Zeit - in cm gilt: V(h(t)) = 1 3 πr2 h Außerdem gilt R H = nach Voraussetzung für den Kegel mit Höhe H und Radius R. Mit dem Strahlensatz und R H = r h folgt: r = h 3 Dann ist V(h(t)) = π 27 (h(t))3