Prädikatenlogiken. Mathematische Logik. Vorlesung 9. Alexander Bors. 11. & 18. Mai A. Bors Logik

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1 Mathematische Logik Vorlesung 9 Alexander Bors 11. & 18. Mai

2 Überblick 1 Formale Prädikatenlogiken erster Stufe (Un-)sresultate (Quellen heute: teaching/cs3518/abdn.only/monadicfopl.pdf und http: //kilby.stanford.edu/~rvg/154/handouts/fol.html) 2

3 Erinnerung Wir haben, zu jeder Signatur σ, ein formales System zur Formalisierung von Prädikatenlogik erster Stufe über σ, den σ-hilbertkalkül, definiert und untersucht. Zunächst haben wir den Korrektheitssatz gezeigt, der besagt, dass alle in diesem Kalkül ableitbaren Formeln so genannte σ-tautologien sind, d.h., in allen σ-strukturen unter allen Belegungen gelten. Im letzten Abschnitt haben wir dann auch die Umkehrung gezeigt und damit den Gödelschen Vollständigkeitssatz bewiesen: Die im σ-hilbertkalkül ableitbaren σ-formeln sind gerade die σ-tautologien. Das gibt uns also eine semantische Charakterisierung von Ableitbarkeit in solchen Kalkülen. 3

4 Ausblick auf diesen Abschnitt Wir verstehen nun also den Ableitbarkeitsbegriff in σ-hilbertkalkülen etwas besser. Für die Frage, ob eine konkrete gegebene σ-formel ϕ ableitbar ist, scheint uns dies aber nicht viel zu nützen, denn die Frage, ob ϕ eine Tautologie ist, ist ja nicht auf offensichtliche Weise einfacher als die Frage, ob ϕ ableitbar ist. In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der der σ-hilbertkalküle und verwandter formaler Systeme, d.h., mit der Frage, ob es einen (nur vom Kalkül abhängigen) Algorithmus gibt, der zu einer gegebenen σ-formel ϕ stets nach endlicher Arbeitszeit entscheidet, ob ϕ ableitbar ist oder nicht. 4

5 Der (σ, T )-Hilbertkalkül Zuerst führen wir noch ein paar neue formale Systeme ein. Definition Es sei σ eine Signatur, T eine σ-theorie. Der (σ, T )-Hilbertkalkül ist das formale System, dessen Axiome alle Axiome des σ-hilbertkalküls sowie die σ-sätze aus T sind, und dessen Schlussregeln gerade die Schlussregeln des σ-hilbertkalküls sind. Im letzten Abschnitt hatten wir den Ableitbarkeitsbegriff aus einer Theorie definiert (T ϕ), und zwar über den Ableitbarkeitsbegriff im entsprechenden σ-hilbertkalkül. Man kann aber auch zeigen, dass er mit dem Ableitbarkeitsbegriff im (σ, T )-Hilbertkalkül zusammenfällt. 5

6 Ableitbarkeit im (σ, T )-Hilbertkalkül Satz Es sei σ eine Signatur, T eine σ-theorie, ϕ eine σ-formel. Folgende Aussagen sind äquivalent: 1 T ϕ. 2 ϕ ist im (σ, T )-Hilbertkalkül ableitbar. Um Satz zu beweisen, erinnern wir zuerst an die Notation T = ϕ aus Korollar , welche bedeutet, dass ϕ in allen Modellen von T unter allen Belegungen gilt. Wir sagen dann ϕ folgt semantisch aus T oder ϕ ist eine (σ, T )-Tautologie. Man kann leicht verifizieren (sh. die Übungen): 6

7 Ableitbarkeit im (σ, T )-Hilbertkalkül Satz (Korrektheitssatz für den (σ, T )-Hilbertkalkül Es sei σ eine Signatur, T eine σ-theorie. Dann gilt: Alle im (σ, T )-Hilbertkalkül ableitbaren σ-formeln sind (σ, T )-Tautologien. Beweis von Satz Zu (1) (2) : Angenommen also, T ϕ. D.h., es gibt ψ 1,..., ψ n T mit ψ 1 ψ n ϕ. Mit Aussagenlogik erhält man daraus auch ψ 1 (ψ 2 ( (ψ n 1 (ψ n ϕ)) )). Da alle Axiome resp. Schlussregeln des σ-hilbertkalküls auch Axiome resp. Schlussregeln des (σ, T )-Hilbertkalküls sind, ist diese letzte Formel auch im (σ, T )-Hilbertkalkül ableitbar. 7

8 Ableitbarkeit im (σ, T )-Hilbertkalkül cont. Beweis von Satz cont. Da aber im (σ, T )-Hilbertkalkül auch jedes ψ i ein Axiom ist, erhält man somit durch wiederholte Anwendung des Modus Ponens, dass ϕ im (σ, T )-Hilbertkalkül ableitbar ist, wie gewünscht. Zu (2) (1) : Indirekt. Angenommen, ϕ ist zwar im (σ, T )-Hilbertkalkül ableitbar, aber T ϕ. Nach Satz gilt dann T = ϕ, aber zugleich folgt aus T ϕ mittels Korollar , dass T = ϕ, ein Widerspruch. 8

9 sresultate: Überblick Grundsätzlich: Es gibt entscheidbare σ-hilbertkalküle (für geeignete Signaturen σ), ebenso wie es passieren kann, dass für eine bestimmte Signatur σ zwar der σ-hilbertkalkül unentscheidbar ist, aber manche der (σ, T )-Hilbertkalküle entscheidbar sind (man spricht auch von entscheidbaren Theorien). Beispiele für entscheidbare Kalküle und Theorien: der Hilbertkalkül über der leeren Signatur (Löwenheim, 1915), jeder σ-hilbertkalkül, wenn σ nur aus genau einem einstelligen Operationssymbol besteht (Ehrenfeucht, 1959), jeder σ-hilbertkalkül, wenn σ monadisch ist, d.h., nur aus einstelligen Relationssymbolen besteht, die Presburger-Arithmetik, welche aus PA durch Entfernen des Operationssymbols in der Signatur sowie aller Axiome, die enthalten, entsteht. 9

10 sresultate: Überblick cont. Beispiele für unentscheidbare Kalküle und Theorien: jeder σ-hilbertkalkül, wenn σ irgendein Symbol von Stelligkeit größer als 1 enthält (egal, ob Operations- oder Relationssymbol) oder wenn σ mindestens zwei einstellige Operationssymbole enthält (Trakhtenbrot, 1953) PA, bzw. allgemeiner jede widerspruchsfreie Erweiterung der so genannten Robinson-Arithmetik (Robinson, 1950), womit auch Hilberts Traum von einem widerspruchsfreien und entscheidbaren Kalkül für die Mathematik platzt, die σ group -Theorie bestehend aus den drei formalisierten Gruppenaxiomen (Tarski, 1953). Wir werden in diesem Abschnitt exemplarisch Folgendes zeigen: σ-hilbertkalküle für monadische σ sind entscheidbar. Es gibt Signaturen σ, sodass der σ-hilbertkalkül unentscheidbar ist (angelehnt an Turings ursprünglichen Beweis aus 1936). 10

11 monadischer σ-hilbertkalküle Quelle: teaching/cs3518/abdn.only/monadicfopl.pdf (welche sich wiederum auf das Buch Computability and Logic von Boolos et al. bezieht). Der wichtigste Schritt ist der Beweis folgenden Satzes (einer Variante des Löwenheim-Skolem-Theorems speziell für monadische Signaturen): Satz Es sei σ eine monadische Signatur, τ ein σ-satz, der r verschiedene Variablen und k verschiedene (einstellige) Relationssymbole enthält. Dann gilt: Ist τ erfüllbar, d.h., gibt es ein Modell von {τ}, so gibt es auch ein Modell von {τ}, dessen Trägermenge höchstens r 2 k Elemente hat. 11

12 monadischer σ-hilbertkalküle cont. Bevor wir Satz beweisen, zeigen wir, wie man aus ihm relativ leicht folgern kann, dass monadische Hilbertkalküle entscheidbar sind. Definition Es sei σ eine Signatur. Wir betrachten folgende algorithmische Entscheidungsprobleme betreffend den σ-hilbertkalkül: 1 Das Beweisbarkeitsproblem: Entscheide zu einer gegebenen σ-formel ϕ algorithmisch, ob σ ϕ gilt. 2 Das Erfüllbarkeitsproblem: Entscheide zu einer gegebenen σ-formel ϕ algorithmisch, ob es eine σ-struktur M sowie eine Belegung β in M gibt mit M = ϕ[β]. 12

13 monadischer σ-hilbertkalküle cont. Nach Definition ist ein σ-hilbertkalkül genau dann entscheidbar, wenn sein Beweisbarkeitsproblem entscheidbar ist. Wir zeigen nun: Lemma Es sei σ eine Signatur. Dann gilt: Das Erfüllbarkeitsproblem zum σ-hilbertkalkül ist genau dann entscheidbar, wenn das Beweisbarkeitsproblem zu diesem Kalkül entscheidbar ist. Beweis Das folgt sofort aus der Beobachtung (aus dem Vollständigkeitssatz folgend), dass eine σ-formel ϕ genau dann erfüllbar (resp. beweisbar) ist, wenn ϕ nicht beweisbar (resp. nicht erfüllbar) ist. 13

14 monadischer σ-hilbertkalküle cont. Wir brauchen nun auch noch einige elementare Fakten zu isomorphen Strukturen: Lemma Es sei σ eine Signatur, M 1 und M 2 seien σ-strukturen, F : M 1 M 2 sei ein Isomorphismus zwischen M 1 und M 2. Dann gilt für alle σ-formeln ϕ und alle Belegungen β 1 in M 1 : M 1 = ϕ[β 1 ] genau dann, wenn M 2 = ϕ[β 1 F ] Beweis Einfache Induktion über den Aufbau von ϕ. Das nächste Lemma kann man auch durch einfaches Nachrechnen beweisen: 14

15 monadischer σ-hilbertkalküle cont. Lemma (induzierte σ-struktur unter Bijektion) Es sei σ eine Signatur, M eine σ-struktur mit Trägermenge M. Weiter sei N eine Menge und F : M N eine Bijektion. Dann kann man wie folgt auf N als Trägermenge Konstanten, Operationen und Relationen definieren, sodass die entsprechende σ-struktur N zu M isomorph ist via dem Isomorphismus F : 1 Für c σ const definiere c N := F (c M ). 2 Für f σ op, k-stellig, definiere f N (b 1,..., b k ) := F (f M (F 1 (b 1 ),..., F 1 (b k ))). 3 Für R σ rel, k-stellig, definiere (b 1,..., b k ) R N : (F 1 (b 1 ),..., F 1 (b k )) R M. 15

16 monadischer σ-hilbertkalküle cont. Korollar Es sei σ eine monadische Signatur. Dann ist das Erfüllbarkeitsproblem, und damit nach Lemma auch das Beweisbarkeitsproblem, zum σ-hilbertkalkül entscheidbar. Beweis Wir beschreiben einen Algorithmus, um zu einer gegebenen σ-formel ϕ zu entscheiden, ob sie in einer geeigneten σ-struktur unter einer geeigneten Belegung gilt. Beachte, dass dies genau dann der Fall ist, wenn der existentielle Abschluss von ϕ (definiert wie der universelle Abschluss, aber mit Bindung der freien Variablen durch Existenzquantoren, nicht durch Allquantoren) in einer geeigneten σ-struktur wahr ist. 16

17 monadischer σ-hilbertkalküle cont. Beweis von Korollar cont. Es sei also τ der existentielle Abschluss von ϕ. τ enthalte genau r verschiedene Variablen und k verschiedene Relationssymbole. Dann ist τ nach Satz genau dann erfüllbar, wenn τ in einer σ-struktur von Kardinalität höchstens r 2 k gilt. Beachte auch (ähnlich wie bei der Situation in Lemma aus Vorlesung 6), dass die Symbole aus σ, welche in τ gar nicht vorkommen, für die Erfüllbarkeit von τ irrelevant sind. Genauer: Bezeichnet σ jene Teilsignatur von σ, die nur aus jenen k Relationssymbolen besteht, welche auch in τ vorkommen, dann ist τ genau dann erfüllbar, wenn τ in einer σ -Struktur von Kardinalität höchstens r 2 k gilt. 17

18 monadischer σ-hilbertkalküle cont. Beweis von Korollar cont. Nach Lemma ist das genau dann der Fall, wenn τ in einer σ -Struktur mit Trägermenge von der Form {1,..., N} mit 1 N r 2 k gilt. Von diesen σ -Strukturen gibt es aber nur endlich viele, welche ein Algorithmus systematisch durchgehen und in jedem einzelnen Fall überprüfen kann, ob τ gilt oder nicht (beachte, dass hierfür auch die Endlichkeit der Trägermenge in jedem einzelnen Fall wichtig ist; selbst für eine konkrete gegebene Struktur mit unendlicher Trägermenge ist es z.b. nichttrivial, eine Allaussage algorithmisch zu überprüfen). Es bleibt noch die Aufgabe, Satz zu beweisen, welche wir nun angehen wollen. 18

19 Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen Wir führen dazu zuerst ein paar Konzepte ein und zeigen ein Lemma. Definition Es sei σ eine endliche monadische Signatur, bestehend aus k verschiedenen Relationssymbolen R 1,..., R k. Weiter sei M eine σ -Struktur und a M. Der Typ von a, notiert type(a), ist definiert { als das k-tupel (δ i (a)) k i=1, wobei 1, wenn a Ri M, δ i (a) = 0, wenn a / Ri M. Elemente a 1, a 2 M heißen ähnlich, notiert a 1 a 2, falls type(a 1 ) = type(a 2 ). 19

20 Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont. Definition Es sei σ eine endliche monadische Signatur, bestehend aus k verschiedenen Relationssymbolen R 1,..., R k. Weiter sei M eine σ -Struktur. Zwei endliche Folgen (a 1,..., a n ) und (b 1,..., b n ) in M, beide von der gleichen Länge n, heißen kompatibel, falls gilt: 1 a i b i für i = 1,..., n und 2 a i a j b i b j für 1 i, j n. Definition Es sei σ eine endliche monadische Signatur, M eine σ -Struktur, r N +. Eine r-teilstruktur von M ist eine σ -Struktur N, deren Trägermenge N eine disjunkte Vereinigung der Form C M/ X C mit X C C von Kardinalität min{r, C } für C M/ ist und sodass für R σ rel gilt: R N = R M N. 20

21 Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont. Lemma (Hauptlemma zu r-teilstrukturen) Es sei σ eine endliche monadische Signatur, bestehend aus k verschiedenen Relationssymbolen R 1,..., R k. Weiter sei M eine σ -Struktur und r N +. Dann gilt: 1 M besitzt mindestens eine r-teilstruktur. 2 Die Trägermenge jeder r-teilstruktur von M hat Kardinalität höchstens r 2 k. 3 Ist n r, (a 1,..., a n ) eine Folge in M und (b 1,..., b k ) mit k n eine zu (a 1,..., a k ) kompatible Folge in der Trägermenge N einer r-teilstruktur N von M, so gibt es b k+1,..., b n N, sodass (a 1,..., a n ) und (b 1,..., b n ) kompatibel sind. 21

22 Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont. Lemma cont. 4 Ist n r, (b 1,..., b n ) eine Folge in der Trägermenge N einer r-teilstruktur N von M, und (a 1,..., a k ) mit k n eine zu (b 1,..., b k ) kompatible Folge in M, so gibt es a k+1,..., a n M, sodass (a 1,..., a n ) und (b 1,..., b n ) kompatibel sind. 5 Ist N eine r-teilstruktur von M mit Trägermenge N, ϕ = ϕ(y 1,..., y n ) eine σ -Formel mit Free(ϕ) = {y 1,..., y n }, welche höchstens r verschiedene Variablen (egal, ob frei oder nicht) enthält, und ist (a 1,..., a n ) eine Folge der Länge n in M sowie (b 1,..., b n ) eine mit (a 1,..., a n ) kompatible Folge der Länge n in N, so gilt M = ϕ[a 1,..., a n ] N = ϕ[b 1,..., b n ]. 22

23 Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont. Beweis von Lemma Zu Punkt (1): trivial (wähle einfach irgendwelche Teilmengen X C C von passender Kardinalität). Zu Punkt (2): klar nach der Forderung bezüglich der Kardinalität von X C und der Tatsache, dass höchstens 2 k (nichtleere) Äquivalenzklassen auf M hat. Zu Punkt (3): Es genügt natürlich, den Fall k = n 1 zu behandeln. Wie in Definition sei für C M/ mit X C der Durchschnitt N C bezeichnet. Wir unterscheiden zwei Fälle: 23

24 Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont. Beweis von Lemma cont. Zu Punkt (3), Fallunterscheidung: Wenn a k+1 = a i für ein i {1,..., k}, setze einfach b k+1 := b i ; dann sind auch (a 1,..., a k+1 ) und (b 1,..., b k+1 ) kompatibel. Wenn a k+1 / {a 1,..., a k }, dann hat [a k+1 ] mindestens [a k+1 ] {b 1,..., b k } + 1 = [a k+1 ] {a 1,..., a k } + 1 n r viele Elemente, also hat auch X [ak+1 ] mindestens so viele Elemente, sodass wir b k+1 X [ak+1 ] \ {b 1,..., b k } wählen können und wiederum (a 1,..., a k+1 ) und (b 1,..., b k+1 ) kompatibel sind. Zu Punkt (4): Ähnlich wie Punkt (3). Zu Punkt (5): Wir zeigen die Behauptung mit Induktion über den Aufbau von ϕ. 24

25 Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont. Beweis von Lemma cont. Wenn ϕ atomar ist: Wenn ϕ von der Gestalt t 1 = t 2 ist: Beachte: Da σ weder Konstanten- noch Operationssymbole enthält, sind die σ -Terme gerade die Variablen. ϕ ist dann also von der Gestalt y i = y j, i, j {1,..., n}, und die zu zeigende Äquivalenz gilt genau dann, wenn a i = a j stets (material) äquivalent ist zu b i = b j. Das gilt aber nach Annahme, da die beiden Folgen kompatibel sind. Wenn ϕ von der Gestalt R i t ist: Wiederum ist t y j für ein j {1,..., n}, und die Äquivalenz gilt genau dann, wenn a i R j material äquivalent ist zu b i R j, was wiederum nach der Kompatibilitätsannahme der Fall ist. 25

26 Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont. Beweis von Lemma cont. Wenn ϕ zusammengesetzt ist: Wenn ϕ von einer der Gestalten ψ oder ψ 1 ψ 2 ist: trivial nach Induktionsvoraussetzung. Wenn ϕ von der Gestalt xψ ist: Wir dürfen o.b.d.a. annehmen, dass x in ψ frei vorkommt (sonst ist die Aussage trivial nach Induktionsvoraussetzung). Dann ist ψ = ψ(y 1,..., y n, x), und ψ enthält ebenfalls höchstens r verschiedene Variable. Nach den Punkten (3) und (4) des Lemmas gibt es zu jedem a M ein b(a) N, sodass (a 1,..., a n, a) und (b 1,..., b n, b(a)) kompatibel sind, und es gibt zu jedem b N ein a(b) M, sodass (a 1,..., a n, a(b)) und (b 1,..., b n, b) kompatibel sind. Es folgt nach Induktionsvoraussetzung: M = ϕ[a 1,..., a n ] Es gibt a M mit M = ψ[a 1,..., a n, a] Es gibt b N mit N = ψ[b 1,..., b n, b] N = ϕ[b 1,..., b n ]. 26

27 Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont. Wir sind nun endlich fertig für den Beweis von Satz Es sei σ die Teilsignatur von σ, welche nur die Relationssymbole enthält, die auch in τ vorkommen. Weiter sei M ein σ-modell von {τ}, und M sein Redukt auf σ. Dann ist M noch immer ein Modell von {τ}, mit einer Argumentation wie im Beweis von Lemma Es sei N eine r-teilstruktur von M, wobei r die Zahl der verschiedenen, in τ vorkommenden Variablen bezeichnet. Nach Lemma (2) hat die Trägermenge von N Kardinalität höchstens r 2 k. 27

28 Löwenheim-Skolem für monadische Signaturen cont. Beweis von Satz cont. Zudem gilt nach Lemma (5), angewendet auf die σ -Formel τ (mit n := 0): Da M ein σ -Modell von {τ} ist, ist auch N ein σ -Modell von {τ}. Nun expandiere noch N auf σ, um ein σ-modell N von {τ} zu erhalten. 28

29 Das Halteproblem zu einer Turing-Maschine Erinnerung: Noch in Kapitel 1 hatten wir gezeigt: Satz Das Halteproblem ist (Turing-)unentscheidbar. D.h., es gibt keine Turing-Maschine, welche eine Entscheidungsmaschine ist (d.h., auf jedem Input, d.h., Wort über dem fixierten Alphabet A {0, 1}, mit Output 0 oder 1 hält, 0 heißt ablehnen, 1 heißt akzeptieren ) und gerade jene Inputs akzeptiert, welche von der Form M, w sind, M eine Turing-Maschine, w ein Input für M, auf dem M hält. 29

30 Das Halteproblem zu einer Turing-Maschine cont. Betrachte nun folgende Variante davon: Definition Es sei M eine Turing-Maschine über dem Alphabet A. Das Halteproblem zu M besteht gerade aus jenen Wörtern über A, auf denen M hält. Das ist eine eingeschränktere Situation als beim ursprünglich beschriebenen Halteproblem, und es ist a priori denkbar, dass trotz Satz jedes einzelne Halteproblem zu einer festen Turing-Maschine M entscheidbar ist. Tatsächlich ist dies aber nicht der Fall, wie wir gleich sehen werden. 30

31 Universelle Turing-Maschinen Erinnerung: Eine universelle Turing-Maschine ist eine Turing-Maschine, welche in der Lage ist, beliebige Turing-Maschinen auf beliebigen Inputs zu emulieren. Wir halten folgendes Lemma (ohne Beweis) fest: Lemma (Existenz universeller Turing-Maschinen) Es gibt eine Turing-Maschine U, sodass Folgendes für jeden Input w für U gilt: Ist w nicht von der Form M, v, wobei M eine Turing-Maschine und v ein Wort über A ist, so hält U mit Output 0. Wenn aber w von dieser Form ist, dann gilt: Wenn M auf v nicht hält, dann hält auch U auf w nicht. Wenn M auf v mit Output o hält, dann hält U auf w mit Output 1o. 31

32 Das Halteproblem zu einer universellen Turing-Maschine Lemma Es sei U eine Turing-Maschine wie in Lemma Dann ist das Halteproblem zu U unentscheidbar. Beweis Indirekt. Angenommen, das Halteproblem zu U wäre entscheidbar. Dann könnte man auch einen Entscheidungsalgorithmus für das allgemeine Halteproblem konstruieren (im Widerspruch zu Satz 1.7.9), und zwar wie folgt: Gegeben ein Input w, entscheide zuerst, ob w überhaupt von der Form M, w ist für eine Turing-Maschine M und ein Wort w über A. Wenn nicht, ist w auch kein Element des Halteproblems, wir können 0 ausgeben und halten. 32

33 Das Halteproblem zu einer universellen Turing-Maschine cont. Beweis von Lemma cont. Ansonsten entscheide, ob U auf dem Input w hält. Das ist genau dann der Fall, wenn M auf w hält, und wir können auch entsprechend antworten und halten. Damit wissen wir, dass es Turing-Maschinen gibt, deren individuelles Halteproblem unentscheidbar ist. Wir können dies nun verwenden, um auch endliche Signaturen zu konstruieren, deren Hilbertkalküle unentscheidbar sind. Der Rest dieses Abschnittes ist inspiriert durch 33

34 Signaturen und Sätze zu Turing-Maschinen Definition Es sei M eine Turing-Maschine über dem Alphabet A, w A, A + := A { } (wir nehmen o.b.d.a. an, dass / A gilt). 1 Wir definieren eine endliche Signatur σ M, nur von M abhängig, wie folgt: σ M besteht gerade aus einem Konstantensymbol λ, einem einstelligen Operationssymbol a für jedes Zeichen a A + sowie einem binären Relationssymbol R s für jeden Zustand s von M. 2 Wir definieren einen σ M -Satz τ M,w, von M und w abhängig, wie folgt: Es bezeichne s 0 den Anfangs- und s 1 den Haltezustand von M. Betrachte folgende endliche Kollektion von σ M -Sätzen: 1 den einzelnen Satz R s0 (λ, w ), wobei für w = a 1 a l die Notation w := a 1 (a 2 ( (a l (λ)) )) definiert ist, 34

35 Signaturen und Sätze zu Turing-Maschinen cont. Definition cont. 2 Satz-Liste von Punkt (2) cont.: 2 den einzelnen Satz λ = (λ), 3 für jede Quellcode-Zeile von M der Gestalt (q, a, b,, r) (mit a, b A + ): x 0 x 1 : (R q (x 0, a(x 1 )) R r (b(x 0 ), x 1 ), 4 für jede Quellcode-Zeile von M der Gestalt (q, a, b,, r) (mit a, b A + ) und alle c A + : x 0 x 1 : (R q (c(x 0 ), a(x 1 )) R r (x 0, c(b(x 1 )))), 5 für jede Quellcode-Zeile von M der Gestalt (q, a, b,, r) (mit a, b A + ): x 0 x 1 : ((R q (x 0, a(x 1 )) R r (x 0, b(x 1 ))). Es bezeichne χ M,w die Konjunktion all dieser endlich vielen Sätze. Der Satz τ M,w ist dann definiert als χ M,w x 0 x 1 : R s1 (x 0, x 1 ). 35

36 Existenz unentscheidbarer Hilbertkalküle Der in Definition (2) definierte σ M -Satz τ M,w hat folgende bemerkenswerte Eigenschaft: Lemma Es sei M eine Turing-Maschine über dem Alphabet A, w A. Dann gilt: σm τ M,w M hält auf dem Input w. Bevor wir den Beweis von Lemma skizzieren, beweisen wir damit: Satz Es gibt eine endliche Signatur σ, sodass der σ-hilbertkalkül unentscheidbar ist. 36

37 Existenz unentscheidbarer Hilbertkalküle cont. Beweis von Satz Es sei U eine universelle Turing-Maschine, wie in Lemma Nach Lemma ist das individuelle Halteproblem zu U unentscheidbar. Damit kann der σ U -Hilbertkalkül nicht entscheidbar sein, denn könnte man für jede σ U -Formel ϕ entscheiden, ob ϕ gilt oder nicht, so könnte man nach Lemma insbesondere das individuelle Halteproblem zu U entscheiden. 37

38 Nochmals Signaturen und Sätze zu Maschinen Beweisskizze zu Lemma Zu : Betrachte folgende σ M -Struktur X M,w : Die Trägermenge von X M,w ist X := (A + ) /, wobei w 1, w 2 (A + ) genau dann als äquivalent gelten, wenn w 2 aus w 1 durch eine Folge von Einfügungen und Streichungen des uneigentlichen Symbols am (rechten) Ende von w 1 entsteht. λ X M,w ist als die Äquivalenzklasse des leeren Wortes definiert. Für a A + ist a X M,w die Funktion X X, [w] [aw]. Für einen Zustand q von M ist R X M,w q (wohl)definiert als jene Teilmenge von X 2, deren Elemente gerade die Paare ([x], [y] ) sind, sodass bei der Operation von M auf dem Input w mindestens einmal die Situation eintritt, dass sich die Maschine im Zustand q befindet, dabei das Arbeitsband bedruckt ist mit x 1 y (x 1 bedeutet hier x, von hinten gelesen ) und der Kopf der Maschine über dem Feld mit dem ersten Symbol von y ruht. 38

39 Nochmals Signaturen und Sätze zu Maschinen cont. Beweisskizze zu Lemma cont. Man verifiziert leicht, dass X M,w ein Modell des in Definition eingeführten Satzes χ M,w ist, und dass X M,w = x 0 x 1 : R s1 (x 0, x 1 ) gerade bedeutet, dass M auf dem Input w hält. Daraus folgt: X M,w = τ M,w genau dann, wenn M auf dem Input w hält. Da wir aber für diese Implikationsrichtung annehmen, dass τ M,w gilt, folgt nach dem Korrektheitssatz, dass τ M,w tatsächlich in X M,w (sogar in jeder σ M -Struktur) gilt. Damit sind wir mit dieser Richtung fertig. 39

40 Nochmals Signaturen und Sätze zu Maschinen cont. Beweisskizze zu Lemma cont. Zu : Wir nehmen nun also an, dass M auf dem Input w hält (d.h., nach endlich vielen Arbeitsschritten den Haltezustand s 1 erreicht) und müssen daraus folgern, dass τ M,w im σ M -Hilbertkalkül ableitbar ist. Das ist an sich nicht schwer (in dem Sinne, dass man dafür keine genialen neuen Einfälle benötigt), erfordert aber einigen technischen Aufwand. Man müsste zuerst Notation entwickeln, um über die verschiedenen Arbeitsschritte von M auf w Buch führen zu können. Ein geeignetes Konzept ist das einer Konfiguration von M, welche aus der gesamten relevanten Information zu Beginn eines Arbeitsschrittes besteht (Zustand von M, was auf dem Band steht, Position des Kopfes von M). 40

41 Nochmals Signaturen und Sätze zu Maschinen cont. Beweisskizze zu Lemma cont. Die gesamte Operation von M auf w kann dann als eine endliche Folge von Konfigurationen aufgefasst werden, mit gewissen Regeln (durch den Quellcode von M vorgegeben), wie man von einer Konfiguration zur nächsten kommt. Der σ M -Satz χ M,w R s0 (λ, w ) (welcher eine aussagenlogische σ M -Tautologie ist) entspricht dabei offenbar der Anfangskonfiguration, und man muss sich überlegen, dass es einem die Axiome und Schlussregeln des Kalküls erlauben, sukzessive entsprechende Sätze auch für die anderen Konfigurationen abzuleiten, bis man schließlich zu einem Satz der Form χ M,w R s1 (t 1, t 2 ) für geeignete σ M -Terme t 1 und t 2 gelangt, welcher der Endkonfiguration entspricht, und aus dessen Ableitbarkeit auch die Ableitbarkeit von τ M,w folgt. 41

42 Ausblick auf nächstes Mal In der nächsten Vorlesungseinheit werden wir uns mit den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen beschäftigen. Wir werden die exakten Formulierungen der Sätze besprechen und die Beweise in den nächsten beiden Einheiten skizzieren. Damit werden wir dann auch das Kapitel 2, Prädikatenlogiken erster Stufe, beim übernächsten Mal abschließen. 42