Aufgaben und Lösungen zur Abschlußklausur zur Mathematik 1 (Wiederholer und Nachzügler) vom

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1 Aufgaben und Lösungen zur Abschlußklausur zur Mathematik (Wiederholer und Nachzügler) vom In der Menge M n n aller quadratischen Matrizen vom Format n n mit Einträgen aus R werden die folgenden Relationen betrachtet: (a) ARB B = A T (b) AR B det(a) = det(b) () Zeigen Sie, dass die Relation R symmetrisch ist. Warum ist R keine Äquivalenzrelation? () Die Relation R ist Äquivalenzrelation. Weisen Sie die Transitivität nach! Geben Sie die Äquivalenzklassen an und bestimmen Sie eine vollständige Repräsentantenmenge der Äquivalenzklassen! Lösung () A,B M n n : ARB BRA ist richtig, da ARB B = A T B T = (A T ) T = A A = B T BRA gilt, also ist R symmetrisch. R ist keine Äquivalenzrelation, da nicht reflexiv: ARA A = A T gilt nur für symmetrische Matrizen. () A,B,C M n n : ARB BRC ARC gilt, da ARB BRC det(a) = det(b) det(b) = det(c) det(a) = det(c) ARC damit ist die Relation transitiv. Äquivalenzklassen: [A] R = {X M n n det(a) = det(x)}: Eine vollständige Repräsentantenmenge der Äquivalenzklassen ist z.b.: k n n k R

2 . Zeigen Sie durch vollständige Induktion: Das Quadrat jeder ungeraden natürlichen Zahl größer ergibt bei Teilung durch 8 den Rest, d.h. für alle n N gilt: (n + ) mod 8 Läßt sich die Aussage auch direkt beweisen? I. A. Die Formel gilt für n = : 3 = 9 mod 8 ist richtig. I. V. Die Formel gilt für n = k : (k + ) mod 8. I. Beh. Dann gilt die Formel auch für n = k + : ((k + ) + ) = (k + 3) mod 8. I. Beweis: (k + 3) mod 8 4k + k + 9 mod 8 4k + 4k + + 8k + 8 mod 8 mit I. V.: 4k + 4k + mod 8 muß 8k + 8 mod 8 gelten. Dies ist erfüllt, da 8(k + ) durch 8 teilbar. Es geht auch direkt: (k + ) = 4k + 4k + mod 8 4(k + k) + mod 8 mod 8 ist gültig, da k +k sowohl für gerade als auch für ungerade k eine gerade Zahl ist und damit 4(k + k) durch 8 teilbar ist. Umkehrschlüsse sind richtig.

3 3. Gegeben sind die Matrizen A,B und C mit Einträgen aus R: [ ] [ A =, B = 3, C = 3 (a) Man bestimme C. (b) Man berechne die Matrix X M, die die Matrizengleichung C X = A B C erfüllt. (c) Welche Matrizenprodukte mit Faktoren aus {A, B, C} sind nicht definiert? (d) Man berechne det(4c C ). [ ] [ ] (a) C = A A C = 3 A A [ ] (b) X = C (A B C), mit A B = gilt 7 3 [ ] [ ] [ ] A B C = =, woraus [ ] X = C 5 (AB C) = folgt. 9 (c) Da nur Matrizen des Formats m n mit Matrizen des Formats n r multiplizierbar sind, sind A A, B B, C B und A C nicht definiert. ] (d) det(c) =. Damit gilt: det(4c C ) = det(4e) det(c) det(e) = det(4e) = 6 3

4 4. Gegeben ist die Matrix A = (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A. M 3 3 mit Einträgen aus R: (b) Geben Sie zwei zueinander orthogonale Eigenvektoren an. (c) Benutzen Sie das Ergebnis aus (b), um eine Orthonormalbasis des R 3 zu konstruieren. (a) Eigenwertproblem: A x = λx (A λe)x = A λe = λ λ 3 λ = ( λ)(( λ) 9) = damit folgt: λ = und λ 4λ = λ 4λ 5 = λ,3 = ± = ± 3 Damit hat A den doppelten Eigenwert λ = λ = und den einfachen Eigenwert λ 3 = 5. (b) λ = λ = 5 x x x 3 b (-) x +3x +6x 3 = 9x 3 = x 3 =,x = t,x = t Eigenvektor: = e x x x 3 b () () -6 3x +3x +6x 3 = 3x 3 = x 3 =,x = t,x = t Eigenvektor: = e mit t =. Es gilt: e e =, d. h. e ist orthogonal zu e. (c) Klar: e 3 = ist orthogonal zu e,e, oder berechne: i j k = i + j k orthogonal zu e,e. e Orthonormalbasis: e = e, e = e, 3 e 3 = 4

5 5. Gegeben ist folgendes Gleichungssystem im Restklassenkörper modulo 3. Dabei wird abkürzend k für [k] 3 verwendet: x + x + x 3 + x 4 = x + x + x 3 + x 4 = x + x + x 4 = α (a) Für welche α ist das Gleichungssystem unlösbar? (b) Man setze α = und bestimme die Lösungsmenge L(A,b) des Gleichungssystems. (c) Man gebe alle Lösungen an, die x = erfüllen. x x x 3 x 4 b () () α () α α + x +x +x 3 +x 4 = x 3 = x 4 = α + (a) Rang(A) = 3 =Rang(A b) für α +, d. h. für α = und α = hat das Gleichungssystem keine Lösungen. (b) Mit α = : Rang(A) = =Rang(A b), d.h. Gleichungssystem ist lösbar. Da n r = 4 =, sind Variable frei zu wählen: x 4 = t,x = t. Es folgt: x 3 = und x = x + x 3 + x 4 = t + + t = + t + t. Allgemeine Lösung des Gleichungssystems: L(A,b) = x x x 3 x 4 = + t + t t,t Z 3 (c) x = wird nur im Falle t beliebig, t = angenommen, also entstehen die 3 Lösungen: t = t = t =,, 5

6 6. Wahr oder falsch? Begründen Sie sorgfältig Ihre Entscheidung! () Die komplexe Zahl z = i ist eine Lösung der Gleichung z 6 = i. () Die Vektoren a und a 3 bilden eine Basis der linearen Hülle der Vektoren a,a,a 3,a 4 R 3 : a = 3, a =, a 3 =, 3 a 4 =. 4 (3) Gegeben ist die Matrix A mit Einträgen aus R: A = a 6 6 b (a) Für alle a, b R ist A regulär. (b) Für f : R 3 R 3 mit der Abbildungsmatrix A gilt: Es gibt genau ein Wertepaar (a,b), so dass Bild (f) die Dimension hat. (c) Für f : R 3 R 3 mit der Abbildungsmatrix A gilt: Es gibt genau ein Wertepaar (a,b), so dass Kern(f) die Dimension hat. Lösung () z = = cos 5 4 π + isin 5 4 π (z ) 6 = cos π + isin 4 π = cos 5 π + isin 5 π = cos 3 π + isin 3 π = i, d. h. Aussage ist richtig. () Da 3 = a 4 a 3 a = 6 gilt, ist die Dimension der linearen Hülle aller vier Vektoren gleich 3, also können die Vektoren a,a 3 keine Basis sein. Aussage ist falsch! 6

7 (3) Anwendung des Gaussalgorithmus auf A liefert: A = a 6 6 b ( ) (3) Damit folgt: Rang (A) = 3 (a b 3) Rang (A) = (a = b 3) (a b = 3) Rang (A) = (a = b = 3) Aussage (a) ist falsch, da es die 3 Fälle gibt! a b 3 Aussage (b) ist richtig, da dim(bild(f)) = Rang(A) = nur für a = b = 3 gilt Aussage (c) ist falsch: aus dim(kern(f)) = folgt dim(bild(f)) =. Für dim(bild(f)) = Rang(A) = gibt es aber mehr als eine Lösung, z. B. a = = b, a = 3 = b. 7

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