Aufgaben und Lösungen zur Abschlußklausur zur Mathematik 1 (Wiederholer und Nachzügler) vom
|
|
- Alwin Raske
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Aufgaben und Lösungen zur Abschlußklausur zur Mathematik (Wiederholer und Nachzügler) vom In der Menge M n n aller quadratischen Matrizen vom Format n n mit Einträgen aus R werden die folgenden Relationen betrachtet: (a) ARB B = A T (b) AR B det(a) = det(b) () Zeigen Sie, dass die Relation R symmetrisch ist. Warum ist R keine Äquivalenzrelation? () Die Relation R ist Äquivalenzrelation. Weisen Sie die Transitivität nach! Geben Sie die Äquivalenzklassen an und bestimmen Sie eine vollständige Repräsentantenmenge der Äquivalenzklassen! Lösung () A,B M n n : ARB BRA ist richtig, da ARB B = A T B T = (A T ) T = A A = B T BRA gilt, also ist R symmetrisch. R ist keine Äquivalenzrelation, da nicht reflexiv: ARA A = A T gilt nur für symmetrische Matrizen. () A,B,C M n n : ARB BRC ARC gilt, da ARB BRC det(a) = det(b) det(b) = det(c) det(a) = det(c) ARC damit ist die Relation transitiv. Äquivalenzklassen: [A] R = {X M n n det(a) = det(x)}: Eine vollständige Repräsentantenmenge der Äquivalenzklassen ist z.b.: k n n k R
2 . Zeigen Sie durch vollständige Induktion: Das Quadrat jeder ungeraden natürlichen Zahl größer ergibt bei Teilung durch 8 den Rest, d.h. für alle n N gilt: (n + ) mod 8 Läßt sich die Aussage auch direkt beweisen? I. A. Die Formel gilt für n = : 3 = 9 mod 8 ist richtig. I. V. Die Formel gilt für n = k : (k + ) mod 8. I. Beh. Dann gilt die Formel auch für n = k + : ((k + ) + ) = (k + 3) mod 8. I. Beweis: (k + 3) mod 8 4k + k + 9 mod 8 4k + 4k + + 8k + 8 mod 8 mit I. V.: 4k + 4k + mod 8 muß 8k + 8 mod 8 gelten. Dies ist erfüllt, da 8(k + ) durch 8 teilbar. Es geht auch direkt: (k + ) = 4k + 4k + mod 8 4(k + k) + mod 8 mod 8 ist gültig, da k +k sowohl für gerade als auch für ungerade k eine gerade Zahl ist und damit 4(k + k) durch 8 teilbar ist. Umkehrschlüsse sind richtig.
3 3. Gegeben sind die Matrizen A,B und C mit Einträgen aus R: [ ] [ A =, B = 3, C = 3 (a) Man bestimme C. (b) Man berechne die Matrix X M, die die Matrizengleichung C X = A B C erfüllt. (c) Welche Matrizenprodukte mit Faktoren aus {A, B, C} sind nicht definiert? (d) Man berechne det(4c C ). [ ] [ ] (a) C = A A C = 3 A A [ ] (b) X = C (A B C), mit A B = gilt 7 3 [ ] [ ] [ ] A B C = =, woraus [ ] X = C 5 (AB C) = folgt. 9 (c) Da nur Matrizen des Formats m n mit Matrizen des Formats n r multiplizierbar sind, sind A A, B B, C B und A C nicht definiert. ] (d) det(c) =. Damit gilt: det(4c C ) = det(4e) det(c) det(e) = det(4e) = 6 3
4 4. Gegeben ist die Matrix A = (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A. M 3 3 mit Einträgen aus R: (b) Geben Sie zwei zueinander orthogonale Eigenvektoren an. (c) Benutzen Sie das Ergebnis aus (b), um eine Orthonormalbasis des R 3 zu konstruieren. (a) Eigenwertproblem: A x = λx (A λe)x = A λe = λ λ 3 λ = ( λ)(( λ) 9) = damit folgt: λ = und λ 4λ = λ 4λ 5 = λ,3 = ± = ± 3 Damit hat A den doppelten Eigenwert λ = λ = und den einfachen Eigenwert λ 3 = 5. (b) λ = λ = 5 x x x 3 b (-) x +3x +6x 3 = 9x 3 = x 3 =,x = t,x = t Eigenvektor: = e x x x 3 b () () -6 3x +3x +6x 3 = 3x 3 = x 3 =,x = t,x = t Eigenvektor: = e mit t =. Es gilt: e e =, d. h. e ist orthogonal zu e. (c) Klar: e 3 = ist orthogonal zu e,e, oder berechne: i j k = i + j k orthogonal zu e,e. e Orthonormalbasis: e = e, e = e, 3 e 3 = 4
5 5. Gegeben ist folgendes Gleichungssystem im Restklassenkörper modulo 3. Dabei wird abkürzend k für [k] 3 verwendet: x + x + x 3 + x 4 = x + x + x 3 + x 4 = x + x + x 4 = α (a) Für welche α ist das Gleichungssystem unlösbar? (b) Man setze α = und bestimme die Lösungsmenge L(A,b) des Gleichungssystems. (c) Man gebe alle Lösungen an, die x = erfüllen. x x x 3 x 4 b () () α () α α + x +x +x 3 +x 4 = x 3 = x 4 = α + (a) Rang(A) = 3 =Rang(A b) für α +, d. h. für α = und α = hat das Gleichungssystem keine Lösungen. (b) Mit α = : Rang(A) = =Rang(A b), d.h. Gleichungssystem ist lösbar. Da n r = 4 =, sind Variable frei zu wählen: x 4 = t,x = t. Es folgt: x 3 = und x = x + x 3 + x 4 = t + + t = + t + t. Allgemeine Lösung des Gleichungssystems: L(A,b) = x x x 3 x 4 = + t + t t,t Z 3 (c) x = wird nur im Falle t beliebig, t = angenommen, also entstehen die 3 Lösungen: t = t = t =,, 5
6 6. Wahr oder falsch? Begründen Sie sorgfältig Ihre Entscheidung! () Die komplexe Zahl z = i ist eine Lösung der Gleichung z 6 = i. () Die Vektoren a und a 3 bilden eine Basis der linearen Hülle der Vektoren a,a,a 3,a 4 R 3 : a = 3, a =, a 3 =, 3 a 4 =. 4 (3) Gegeben ist die Matrix A mit Einträgen aus R: A = a 6 6 b (a) Für alle a, b R ist A regulär. (b) Für f : R 3 R 3 mit der Abbildungsmatrix A gilt: Es gibt genau ein Wertepaar (a,b), so dass Bild (f) die Dimension hat. (c) Für f : R 3 R 3 mit der Abbildungsmatrix A gilt: Es gibt genau ein Wertepaar (a,b), so dass Kern(f) die Dimension hat. Lösung () z = = cos 5 4 π + isin 5 4 π (z ) 6 = cos π + isin 4 π = cos 5 π + isin 5 π = cos 3 π + isin 3 π = i, d. h. Aussage ist richtig. () Da 3 = a 4 a 3 a = 6 gilt, ist die Dimension der linearen Hülle aller vier Vektoren gleich 3, also können die Vektoren a,a 3 keine Basis sein. Aussage ist falsch! 6
7 (3) Anwendung des Gaussalgorithmus auf A liefert: A = a 6 6 b ( ) (3) Damit folgt: Rang (A) = 3 (a b 3) Rang (A) = (a = b 3) (a b = 3) Rang (A) = (a = b = 3) Aussage (a) ist falsch, da es die 3 Fälle gibt! a b 3 Aussage (b) ist richtig, da dim(bild(f)) = Rang(A) = nur für a = b = 3 gilt Aussage (c) ist falsch: aus dim(kern(f)) = folgt dim(bild(f)) =. Für dim(bild(f)) = Rang(A) = gibt es aber mehr als eine Lösung, z. B. a = = b, a = 3 = b. 7
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt
MehrMathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011
Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)
Mehrklar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s
Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen
Mehr3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung
3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.
MehrWie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist?
Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) Wie kann man beweisen, dass (H, )
MehrMusterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung
Musterlösungen zu n über gewöhnliche Differentialgleichungen a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung y + - y = e - ln, > 0 Man gebe die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung an Wie lautet
MehrEinführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:
MehrMathematik III für Ingenieure
Mathematik III für Ingenieure im Bachelor-Studiengang Maschinenbau Vorlesung Wintersemester 21/211 B. Schuster aktualisert am 27. Januar 211 Inhalt I. Eigenwerte und Eigenvektoren 1 1. Komplexe Matrizen
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1
Mehr3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME
176 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an
MehrHöhere Mathematik I. 1. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel. Winter 2007/08
Dr. A. App Dr. M. Pfeil. Gruppenübung zur Vorlesung Prof. Dr. M. Stroppel Höhere Mathematik I Winter 7/8 Aufgabe P. Binomialkoeffizienten Berechnen Sie ohne Taschenrechner: ( ) (a) x = 5 ( ) ( ) ( ) (b)
Mehr6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische
MehrLineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme
Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
MehrStatistische Methoden
Statistische Methoden Dr CJ Luchsinger 6 Repetition: Rechnen mit Matrizen für die Statistik Matrizen sind aus zwei Gründen für die Statistik sehr wichtig: Sie ermöglichen uns einerseits eine sehr elegante
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach)
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SS 0 Blatt.06.0 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Abgabe: Dienstag, 0. Juli 0, bis 4:00
MehrÜbungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS
Doz.Dr. Norbert Koksch TU DRESDEN Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Übungsaufgaben LAAG I für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Logik: Übungsaufgabe 1. Begründen Sie, ob es sich um eine Aussage
MehrVorlesung 12 22. bzw. 23. Januar 2014. Determinanten 1. Cramersche Regel
Vorlesung 2 22 bzw 23 Januar 204 Lineares Gleichungssystem a a 2 b b 2 = F a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 = V V =< a, b c > c b a b a F V Seite 70 a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 b = 0 < a x + a 2 x 2 + a 3 x 3
MehrKapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme
Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren
MehrLineare Algebra - alles was man wissen muß
Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger
MehrSeminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie
Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis
MehrElemente der Analysis II
Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel
Mehrx 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt
- 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +
MehrHans Walser, [20090509a] Wurzeln aus Matrizen
Hans Walser, [0090509a] Wurzeln aus Matrizen 1 Worum es geht Zu einer gegebenen,-matri A suchen wir,-matrizen B mit der Eigenschaft: BB = B = A. Wir suchen also Quadratwurzeln der Matri A. Quadrieren Wenn
Mehr0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )
Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,
MehrKapitel IR:III (Fortsetzung)
Kapitel IR:III (Fortsetzung) III. Retrieval-Modelle Modelle und Prozesse im IR Klassische Retrieval-Modelle Bool sches Modell Vektorraummodell Retrieval-Modelle mit verborgenen Variablen Algebraisches
MehrLeitfaden Lineare Algebra: Determinanten
Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv
MehrKlassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen
Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens: x + 4y = 8 5x y = x y = x y = Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.
MehrAufgabe 1. Sei A Mat(n n, R) mit Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A + 3E n ).
Aufgabe Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(3A E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Kern(A 3E n ). Sei A Mat(n n, R) Eigenwert 3. Dann gilt: Eig(A, 3) = Bild(A
MehrKlausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth
Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung Mathematik Klausuraufgaben zur Mathematik - von Wolfgang Langguth Aufgabenstellungen
MehrKlausuraufgabensammlung Mathematik. Klausuraufgaben zur Mathematik 1-3 von Wolfgang Langguth
Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes University of Applied Sciences Fakultät für Ingenieurswissenschaften Bachelorstudiengang Biomedizinische Technik Prof. Dr. W. Langguth Klausuraufgabensammlung
MehrComputer Vision SS 2011. Skript
Computer Vision SS 211 Skript (Work in Progress) Simon Hawe & Martin Kleinsteuber Skript: Manuel Wolf Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1 1.1 Was ist ein Bild?................................. 1 1.2 Wie
MehrDiskrete Mathematik für Informatiker
Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische
Mehrwww.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )
Mehr4. Relationen. Beschreibung einer binären Relation
4. Relationen Relationen spielen bei Datenbanken eine wichtige Rolle. Die meisten Datenbanksysteme sind relational. 4.1 Binäre Relationen Eine binäre Relation (Beziehung) R zwischen zwei Mengen A und B
Mehr2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik
Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,
MehrComputer Vision: 3D-Geometrie. D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17
Computer Vision: 3D-Geometrie D. Schlesinger () Computer Vision: 3D-Geometrie 1 / 17 Lochkamera Modell C Projektionszentrum, Optische Achse, Bildebene, P Hauptpunkt (optische Achse kreuzt die Bildebene),
MehrV 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,
Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen
MehrOptimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen
Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel
Mehr7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme
7 LINEARE ABBILDUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 5 7 Lineare Abbildungen und Lineare Gleichungssysteme 7 Lineare Abbildungen 7 Abbildungen: Eine Verallgemeinerungen des Funktionsbegriffs Bemerkung:
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität
MehrLINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow
LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrMathematik für Ökonomen
Springer-Lehrbuch Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab Bearbeitet von Wolfgang Kohn, Riza Öztürk 1. Auflage 2012. Taschenbuch. xv, 377 S. Paperback
MehrWolfgang Kohn Riza Öztürk. Mathematik für Ökonomen. Ökonomische Anwendungen der linearen. Algebra und Analysis mit Scilab
Wolfgang Kohn Riza Öztürk Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab 3., erweiterte und überarbeitete Auflage ^ Springer Gabler Inhaltsverzeichnis Teil
Mehr11. Primfaktorzerlegungen
78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung
MehrNumerische Behandlung des Eigenwertproblems
Numerische Behandlung des Eigenwertproblems Zusammenfassung Das Ziel dieses Vortrages ist, zwei gute Methoden für die numerische Bestimmung der Eigenwerte zu zeigen und wie man diese mit Matlab anwenden
Mehr(λ Ri I A+BR)v Ri = 0. Lässt sich umstellen zu
Herleitung der oppenecker-formel (Wiederholung) Für ein System ẋ Ax + Bu (B habe Höchstrang) wird eine Zustandsregelung u x angesetzt. Der geschlossene egelkreis gehorcht der Zustands-Dgl. ẋ (A B)x. Die
MehrDer Zwei-Quadrate-Satz von Fermat
Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat
MehrDAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein
DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal
MehrDidaktik der Zahlbereiche 4. Die Menge der ganzen Zahlen. Mathematikunterricht in der Jahrgangsstufe 7. Zahlbereichserweiterungen in der Hauptschule
Zahlbereichserweiterungen in der Hauptschule Didaktik der Zahlbereiche 4 Dr. Christian Groß Lehrstuhl Didaktik der Mathematik Universität Augsburg Wintersemester 2006/07 Natürliche Zahlen, : Klasse 5 positive
Mehr5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56
5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten
MehrBeispiele für Relationen
Text Relationen 2 Beispiele für Relationen eine Person X ist Mutter von einer Person Y eine Person X ist verheiratet mit einer Person Y eine Person X wohnt am gleichen Ort wie eine Person Y eine Person
MehrLineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung
Lineare Algebra (Mathe I) für Wirtschaftsinformatiker; Zusammenfassung Artur Trzewik sw562@uni-essen.de v1., 26.3.1998 korrigiert 16. Februar 2 Zusammenfassung Warnung: für die Richtigkeit der Definitionnen
MehrDirk Hachenberger Mathematik für Informatiker
Dirk Hachenberger Mathematik für Informatiker ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney Mexico City Madrid Amsterdam Inhaltsverzeichnis Vorwort
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrAufgabe 1 (Excel) Anwendungssoftware 1 / 11 Semesterschlussprüfung 21.06.2004
Anwendungssoftware 1 / 11 Dauer der Prüfung: 90 Minuten. Es sind alle fünf Aufgaben mit allen Teilaufgaben zu lösen. Versuchen Sie, Ihre Lösungen soweit wie möglich direkt auf diese Aufgabenblätter zu
Mehr4 Kongruenz und Modulorechnung
4 Kongruenz und Modulorechnung 39 4 Kongruenz und Modulorechnung In unserer Zeitrechnung haben wir uns daran gewöhnt, nur mit endlich vielen Zahlen zu rechnen. Es ist gerade 3 Uhr und in 50 Stunden muss
MehrProbabilistische Primzahltests
Probabilistische Primzahltests Daniel Tanke 11. Dezember 2007 In dieser Arbeit wird ein Verfahren vorgestellt, mit welchem man relativ schnell testen kann, ob eine ganze Zahl eine Primzahl ist. Für einen
MehrKongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln...
Kongruenzrechnung Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen 2 1.1 Einige Beispiele aus dem Alltag..................... 2 1.2 Kongruenzrechnung im Alltag und Rechenproben........... 3 1.3 Kongruenzen
MehrKlausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min
Klausur, Multivariate Verfahren, SS 2006, 6 Kreditpunkte, 90 min 1 Prof. Dr. Fred Böker 08.08.2006 Klausur zur Vorlesung Multivariate Verfahren, SS 2006 6 Kreditpunkte, 90 min Gesamtpunkte: 39 Aufgabe
Mehrlineare-algeba.wxmx 1 / 7 Mathematik in wxmaxima www.mathematik-verstehen.de Haftendorn Dez 2010
lineare-algeba.wxmx / Lineare Algebra Mathematik in wxmaxima www.mathematik-verstehen.de Haftendorn Dez. Handling Achtung: Durch Anklicken der linken Zellmarkierung kann man die Abschnitte und auch einzelne
MehrVorwort. Günter M. Gramlich. Lineare Algebra. Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8. Weitere Informationen oder Bestellungen unter
Vorwort Günter M. Gramlich Lineare Algebra Eine Einführung ISBN: 978-3-446-43035-8 Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-43035-8 sowie im Buchhandel. Carl Hanser
MehrMatrixalgebra. mit einer Einführung in lineare Modelle. Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@stat.uni-muenchen.
Matrixalgebra mit einer Einführung in lineare Modelle Stefan Lang Institut für Statistik Ludwigstrasse 33 email: lang@statuni-muenchende 25 August 24 Vielen Dank an Christiane Belitz, Manuela Hummel und
MehrLösung des Kleinste-Quadrate-Problems
Lösung des Kleinste-Quadrate-Problems Computergestützte Statistik Lisakowski, Christof 15.05.2009 Lisakowski, Christof ()Lösung des Kleinste-Quadrate-Problems 15.05.2009 1 / 34 Themen 1 Problemstellung
MehrBerechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
Kapitel 5 Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 5.1 Einführung Bemerkung 5.1 Aufgabenstellung. Diese Kapitel behandelt numerische Verfahren zur Lösung des Eigenwertproblems. Gegeben sei A R n n.
MehrMathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.
Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen
MehrLösungen zum 3. Aufgabenblatt
SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.
MehrBildverarbeitung Herbstsemester 2012. Kanten und Ecken
Bildverarbeitung Herbstsemester 01 Kanten und Ecken 1 Inhalt Einführung Kantendetektierung Gradientenbasierende Verfahren Verfahren basierend auf der zweiten Ableitung Eckpunkterkennung Harris Corner Detector
MehrErinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen
Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend
MehrA Matrix-Algebra. A.1 Definition und elementare Operationen
A Matrix-Algebra In diesem Anhang geben wir eine kompakte Einführung in die Matrizenrechnung bzw Matrix-Algebra Eine leicht lesbare Einführung mit sehr vielen Beispielen bietet die Einführung in die Moderne
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
MehrLinearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben
Linearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben Lb S. 166 Nr.9 Im Jugendherbergsverzeichnis ist angegeben, dass in der Jugendherberge in Eulenburg 145 Jugendliche in 35 Zimmern übernachten können. Es gibt
Mehr7 Die Determinante einer Matrix
7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =
MehrGeometrische Mannigfaltigkeiten
Geometrische Mannigfaltigkeiten Thilo Kuessner Abstract Kurzfassung der Vorlesung: Definitionen, Beispiele und Sätze, keine Beweise. Definition 1. Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie
MehrWirtschaftsmathematik-Klausur vom 04.02.2015 und Finanzmathematik-Klausur vom 27.01.2015
Wirtschaftsmathematik-Klausur vom 04.0.015 und Finanzmathematik-Klausur vom 7.01.015 Bearbeitungszeit: W-Mathe 60 Minuten und F-Mathe 45 Min Aufgabe 1 a) Für die Absatzmenge x in ME) und den Verkaufspreis
MehrOptimalitätskriterien
Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder
Mehr11 Normalformen von Matrizen
11 Normalformen von Matrizen Wir wenden uns in diesem Kapitel noch einmal der Untersuchung linearer Abbildungen auf endlichdimensionalen Vektorräumen und deren Darstellung mittels Matrizen zu Speziell
MehrDidaktik der Algebra Jürgen Roth Didaktik der Algebra 4.1
Didaktik der Algebra 4.1 Didaktik der Algebra Didaktik der Algebra 4.2 Inhalte Didaktik der Algebra 1 Ziele und Inhalte 2 Terme 3 Funktionen 4 Gleichungen Didaktik der Algebra 4.3 Didaktik der Algebra
MehrKapitel 15: Differentialgleichungen
FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen
Mehrw a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2
1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba
MehrKAPITEL 4. Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 4.1. Das Ohmsche Gesetz: U = RI. Eine Meßreihe von Daten:
KAPITEL 4 Lineare Ausgleichsrechnung Beispiel 41 Das Ohmsche Gesetz: Eine Meßreihe von Daten: U = RI (U i, I i ) (Spannung, Stromstärke), i = 1,, m Aufgabe: man bestimme aus diesen Meßdaten den Widerstand
Mehr5 Relationen. Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 2012. Robert Marti
Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 2012 Robert Marti Vorlesung teilweise basierend auf Unterlagen von Prof. emer. Helmut Schauer Allgemeine Definition einer Relation Eine n-stellige Relation
MehrSatz 25 A sei eine (n n)-matrix über K
Satz 25 Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ 1,...,λ m. Satz 25 A sei eine (n n)-matrix über K mit paarweise verschiedenen
MehrEinführung in MATLAB
Kapitel 4 Einführung in MATLAB 41 Allgemeines MATLAB ist eine kommerzielle mathematische Software zur Lösung mathematischer Probleme und zur graphischen Darstellung der Ergebnisse Die Verfahren in MATLAB
MehrHauptkomponentenanalyse PCA
Hauptkoponentenanalyse PCA Die Hauptkoponentenanalyse (Principal Coponent Analysis, PCA) ist eine Methode zur linearen Transforation der Variablen, so dass: öglichst wenige neue Variablen die relevante
MehrLiteratur zu geometrischen Konstruktionen
Literatur zu geometrischen Konstruktionen Hadlock, Charles Robert, Field theory and its classical problems. Carus Mathematical Monographs, 19. Mathematical Association of America, Washington, D.C., 1978.
MehrSerie 13: Online Test
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.
MehrLineare Ausgleichsprobleme. Lineare Ausgleichsprobleme. Normalgleichungen. Normalgleichungen
Wir betrachten in diesem Abschnitt das lineare Ausgleichsproblem Ax b 2 = min! (1) Heinrich Voss voss@tu-harburgde Hamburg University of Technology Institute for Numerical Simulation mit gegebenem A R
MehrMathematik-Klausur vom 28.01.2008
Mathematik-Klausur vom 28.01.2008 Studiengang BWL PO 1997: Aufgaben 1,2,3,4 Dauer der Klausur: 90 Min Studiengang B&FI PO 2001: Aufgaben 1,2,3,4 Dauer der Klausur: 90 Min Studiengang BWL PO 2003: Aufgaben
MehrStandardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung. Mathematik. Probeklausur März 2014. Teil-1-Aufgaben
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik Probeklausur März 2014 Teil-1-Aufgaben Beurteilung Jede Aufgabe in Teil 1 wird mit 0 oder 1 Punkt bewertet, jede Teilaufgabe in
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen
MehrFakultät für Mathematik und Informatik. Seminar über angewandte Analysis. Sommersemester 2007. Der Kreissatz von Gerschgorin
Fakultät für Mathematik und Informatik Lehrgebiet angewandte Mathematik Prof. Dr. H. Linden Dipl.-Math. H.-J. Schäfer Seminar über angewandte Analysis Sommersemester 2007 Der Kreissatz von Gerschgorin
Mehr