Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am

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1 U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik 1 Schiftliche Püfung aus Regelungstechnik am Name / Voname(n): Matikel-Numme: Bonuspunkte aus den MALAB-Übungen: O ja O nein eeichbae Punkte eeichte Punkte

2 U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik Aufgabe 1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße Ausgangsgöße y : e y R(s) P(s) und de Die Regelstecke mit de Übetagungsfunktion Ps () sei vom einfachen yp, ih Fequenzgang P( jw ) liegt in Fom von Bode-Diagammen gaphisch vo: P(jω) [db] ac(p(jω)) [ ] ω [ad/s] a) Die Spungantwot des geschlossenen Regelkeises soll eine Übeschwingweite von M = 1.5 und eine bleibende Regelabweichung von e = 0 aufweisen. Hiefü stehen p vie veschiedene Regle zu Auswahl ( K, w Z und i) R( s) = K ii) R( s) w N K = Ks iii) Rs () = iv) s sind dabei eelle Paamete): s 1+ w Z Rs () = K s 1+ w Um welche Regletypen handelt es sich? Wählen Sie einen Regle und begünden Sie Ihe Wahl! b) Dimensionieen Sie den unte a) ausgewählten Regle mit Hilfe des Fequenzkennlinienvefahens. c) Die Anstiegszeit de Spungantwot des geschlossenen Regelkeises mit dem unte b) dimensionieten Regle soll bei gleiche Übeschwingweite und gleiche bleibende Regelabweichung halbiet weden. Wählen Sie in nachvollziehbae Weise einen geeigneten Regle und dimensionieen Sie diesen. Geben Sie die vollständige Regleübetagungsfunktion an! m : m 1 ϕmax = acsin : m m : db N

3 U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik 3 Aufgabe : Gegeben sei die Übetagungsfunktion eine Regelstecke mit de Eingangsgöße u und de ys () s+ Ausgangsgöße y: Ps () = = 3 us () s + s + s+ 4 AW = 0 a) Geben Sie das dazugehöige Zustandsaummodell in de Steuebakeitsnomalfom an. dx u dt = Ax + b y = cx + du b) Entwefen Sie einen Zustandsegle de Fom u= hx+ V so, dass de Regelkeis stationä genau ist und seine Eigenwete bei λ1 = λ = λ3 = liegen. Bestimmen Sie die Übetagungsfunktion des Regelkeises. c) Ist das geegelte System steueba und/ode beobachtba? Begünden Sie Ihe Antwoten! Aufgabe 3: Gegeben sei das mathematische Modell eine Stecke mit de Eingangsgöße Ausgangsgöße y : dx 0 1 = u dt + 1 x y = [ 0 1] x u und de a) Da de Zustandsvekto x messtechnisch nicht efassba ist, soll ein asymptotische Beobachte de Fom d xˆ ˆ = Ax ˆ ˆ u ˆ 1 + b + b y mit ˆ b 1 b =, b = dt bˆ vewendet weden. Bestimmen Sie den gößtmöglichen Beeich de eellen Koeffizienten ˆb 1 und ˆb so, dass fü den Beobachtungsfehle lim ( x x ˆ ) = 0 gilt. b) Wie müssen die Koeffizienten ˆb 1 und ˆb gewählt weden, damit die Eigenwete de Systemmatix des Beobachtes  b ei s1 = s = liegen? c ) Fü die Regelung de Stecke wid ein Zustandsegle de Fom u [ ] x ˆ t = vewendet. Die Zusammenschaltung von Stecke, Zustandsegle und Beobachte egibt ein Gesamtsystem de Fom: dz dt = Az + b y = c z mit xˆ z = x Bestimmen Sie zahlenmäßig die Systemdaten A, b und de Matix A? c. Wo liegen die Eigenwete

4 U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik 4 Aufgabe 4: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Standadegelkeises mit de Fühungsgöße und de Ausgangsgöße y (siehe Bild Aufgabe 1). Die Otskuve P( jω ) de Stecke liegt gaphisch vo: Im{P(jω)} Re{P(jω)} a) Zu welche de folgenden Übetagungsfunktionen Ps ( ) kann obige Otskuve gehöen? Begünden Sie Ihe Antwot! i) () 10 s+ s+ s+ 5 Ps = ( )( 3 )( ii) Ps () = 10 + s+ 3 ( s )( ) ) iii) Ps () = iv) Ps () = 1( s 10) ( s+ )( s+ 3) ( s + 10) ( s+ )( s+ 3) b) Als Regle wid ein Popotionalegle R( s) = K eingesetzt (K ist dabei ein eelle Paamete). Bestimmen Sie mit Hilfe des Nyquist-Kiteiums nachvollziehba (mit Falluntescheidungen und Emittlung de stetigen Winkeländeung fü jeden Fall) den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K, fü den obige Regelkeis die BIBO- Eigenschaft besitzt. c) Fü den Regle gilt n un K = 1. Ist bei obigem Regelkeis das veeinfachte Schnittpunkt- Kiteium anwendba? Geben Sie die dazu notwendigen Bedingungen an und übepüfen Sie diese! Bestimmen Sie die Phaseneseve F und die Duchtittsfequenz w. Hinweis: ac{1 + L( jω )} = ( na + n) π Ls () stellt hiebei die Übetagungsfunktion des offenen Keises da. c

5 U Gaz, Institut fü Regelungstechnik 1 Schiftliche Püfung aus Regelungstechnik am Name / Voname(n): Studienichtung: Kenn-Mat.N.: 1 3 eeichbae Punkte eeichte Punkte

6 U Gaz, Institut fü Regelungstechnik Aufgabe 1 Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße und de Ausgangsgöße y: K G(s) y (K ist hiebei ein eelle positive Paamete.) Zusätzlich liege de Fequenzgang G( jω ) eine Stecke 3. Odnung mit n = 1, d.h. mit eine eellen positiven Polstelle, gaphisch vo: a) Bestimmen Sie mit Hilfe des NYQUIS-Kiteiums den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K, fü den obige Regelkeis die BIBO-Eigenschaft besitzt. b) Zeigen Sie, dass mit Hilfe des obigen Popotionalegles (K) folgende Fodeung nicht eeicht weden kann: lim yt ( ) 1.1 fü t ( ) = σ ( t) Hinweis: { ω } t ac 1 + L( j ) = ( na + n) π Ls ( ) stellt hiebei die Übetagungsfunktion des offenen Keises da.

7 U Gaz, Institut fü Regelungstechnik 3 Aufgabe Gegeben sei ein mathematisches Modell de Fom: dx = u dt x a) Kann duch den Einsatz eines Zustandsegles de Fom ( ) u = hx= h1 h h3 eine beliebige Lage de Eigenwete de Systemmatix des Regelkeises ezielt weden? (Begünden Sie Ihe Antwot!) b) Entwefen Sie fü obiges Modell einen konstanten Zustandsegle gemäß a) so, dass alle Eigenwete des geegelten Systems bei liegen. λ1 = λ = λ3 = 1 c) Bei de Realisieung des Zustandsegles aus b) wude itümlich 1 0 h = gesetzt. Ist de so entstandene Regelkeis asymptotisch stabil? (Begünden Sie Ihe Antwot!) x

8 U Gaz, Institut fü Regelungstechnik 4 Aufgabe 3: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße und de Ausgangsgöße y : e R(s) P(s) y Die Regelstecke mit de Übetagungsfunktion Ps ( ) sei vom einfachen yp, ih Fequenzgang P( jw ) liegt in Fom folgende BODE-Diagamme gaphisch vo: P(jω) [db] ac(p(j ω)) [ ] ω [ad/s] a) Als Regle soll zunächst ein Popotionalegle R( s) = K (K ist hiebei ein eelle Paamete) eingesetzt weden. Dimensionieen Sie mit Hilfe des Fequenzkennlinienvefahens den Popotionalegle so, dass die Spungantwot des geschlossenen Regelkeises ein pozentuales Übeschwingen von 10 [%] aufweist. Wie goß ist die zu ewatende Anstiegszeit t? (Begünden Sie Ihe Antwot.) b) Als Fühungsgöße wid t () 9cos( 7t) = gewählt. Beechnen Sie fü den unte a) emittelten Regle den Regelfehle et ( ) im eingeschwungenen Zustand.

9 U Gaz, Institut fü Regelungstechnik s / ωz c) De Regle wid nun mit Rs () = K mit ωn = mω Z 1 + s / ωn angesetzt ( K, ω Z und ω N sind hiebei eelle Paamete). Dimensionieen Sie mit Hilfe de folgenden abelle (näheungsweise) die Paamete ω Z und ω N so, dass gegenübe a) bei gleichem Übeschwingen die Anstiegszeit t halbiet wid. N m = ω : ω Z m 1 ϕmax = acsin : m m db:

10 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 1 Schiftliche Püfung aus Regelungstechnik am Name / Voname(n): Studienichtung: Kenn-Mat.N.: Bonuspunkte aus den MALAB-Übungen: ja nein 1 3 eeichbae Punkte eeichte Punkte

11 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik Aufgabe 1 Gegeben sei das Blockschaltbild eines Standad-Regelkeises mit de Fühungsgöße de Ausgangsgöße y : und R(s) P(s) y Als Regle wid ein Popotional-Regle mit de Übetagungsfunktion R(s) = K vewendet. K ist hiebei ein eelle Paamete. Die Übetagungsfunktion de Stecke lautet: s 1.5 Ps () s s 1 a) Skizzieen Sie fü K 1 den Velauf de Fequenzgangs-Otskuve L( j ) des offenen Keises in de komplexen Ebene. b) Bestimmen Sie mit Hilfe des NYQUIS-Kiteiums in nachvollziehbae Weise (mit Falluntescheidung und Emittlung de stetigen Winkeländeung fü jeden Fall) den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K, fü den obige Regelkeis die BIBO- Eigenschaft besitzt. c) Als Fühungsgöße wid nun t () cos t gewählt. Beechnen Sie die Ausgangsgöße yt () im eingeschwungenen Zustand fü K 0.5. ac 1 L( j ) ( na n) Ls ( ) stellt hiebei die Übetagungsfunktion des offenen Keises da. Hinweis: Aufgabe Gegeben sei die Übetagungsfunktion Ps () eine Regelstecke mit de Eingangsgöße u und de Ausgangsgöße y : s 1 Ps () 3 s 3s 3s 1 a) Geben Sie das zugehöige mathematische Modell in de Steuebakeitsnomalfom dx b nu, y du dt Ax e cx an. Zu Regelung des Systems aus Punkt a) wid nun ein Zustandsegle de Fom u hx eingesetzt.

12 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 3 b) Emitteln Sie h so, dass die Eigenwete des Regelkeises bei liegen. c) Da de Zustandsvekto x messtechnisch nicht efassba ist, soll ein asymptotische Beobachte de Fom dx ( ) u y dt A bc x b b vewendet weden. Fü den Vekto stehen zwei mögliche Vaianten zu Auswahl: (i) b [0 0 1] (ii) b [ ] Wählen Sie einen Vekto und begünden Sie Ihe Wahl. Aufgabe 3 Gegeben sei das Blockschaltbild eines Standad-Regelkeises mit de Fühungsgöße de Ausgangsgöße y aus Aufgabe 1. Die Regelstecke mit de Übetagungsfunktion Ps ( ) sei vom einfachen yp ; Ih Fequenzgang P( j ) liegt in Fom von BODE-Diagammen gaphisch vo: und a) Als Regle wid zunächst ein Popotionalegle R( s) K (K ist hiebei ein eelle Paamete) eingesetzt. Dimensionieen Sie mit Hilfe des Fequenzkennlinienvefahens den Popotionalegle so, dass die Phaseneseve bei 45 liegt, d.h. 45. Emitteln Sie näheungsweise und nachvollziehba die Anstiegszeit t und die pozentuale Übeschwingweite ü des Regelkeises. Emitteln Sie näheungsweise und nachvollziehba die bleibende Regelabweichung e des geschlossenen Regelkeises auf die Rampenfunktion t () t () t.

13 U Gaz, Institut fü Regelungs- und Automatisieungstechnik 4 b) De Regle wid nun mit 1 s / z Rs () K 1 s / N angesetzt. (K,, sind hiebei eelle Paamete). Dimensionieen Sie die Paamete so, dass N Z die Anstiegszeit t nu noch 1.5 betägt und die pozentuale Übeschwingweite gegenübe a) auf /5 eduziet wid. Hinweis: N m : Z m 1 max acsin : m m db :

14 U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik 1 Schiftliche Püfung aus Regelungstechnik am Name / Voname(n): Matikel-Numme: Bonuspunkte aus den MALAB-Übungen: O ja O nein eeichbae Punkte eeichte Punkte

15 U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik Aufgabe 1: Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße und de Ausgangsgöße y : e R(s) P(s) y Die Übetagungsfunktion de Stecke lautet: 50 10s 1 s s s Ps () Als Regle wid ein Popotionalegle R() s = K eingesetzt (K ist dabei ein eelle, positive Paamete). Zusätzlich liegt de Fequenzgang P( j ) de Stecke fü 0 in maßstäbliche Dastellung, abe ohne Beschiftung, gaphisch vo. a) Ist das veeinfachte Schnittpunkt-Kiteium hie anwendba? Püfen sie alle dafü notwendigen Bedingungen! b) Bestimmen Sie mit Hilfe des Nyquist-Kiteiums nachvollziehba (mit Falluntescheidungen und Emittlung de stetigen Winkeländeung fü jeden Fall) den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K, fü den obige Regelkeis die BIBO- Eigenschaft besitzt. c) Emitteln Sie den gößtmöglichen Wetebeeich des Paametes K, fü den bei Vewendung eine spungfömigen Fühungsgöße t ( ) = s ( t) eine bleibende e = lim e t < ezielt wid. Regelabweichung ( ) tæ Hinweis: ac{1 L( j )} ( na n) Ls () stellt hiebei die Übetagungsfunktion des offenen Keises da.

16 U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik 3 Aufgabe : Gegeben sei das Blockschaltbild eines Regelkeises mit de Fühungsgöße und de Ausgangsgöße y : e R(s) P(s) y Die Regelstecke mit de Übetagungsfunktion Ps ( ) sei vom einfachen yp, ih Fequenzgang P( jw ) liegt in Fom von Bode-Diagammen gaphisch vo: a) Emitteln Sie fü den P-Regle R s 1 und de Fühungsgöße t () cos 3t 4 den Regelfehle et ( ) im eingeschwungenen Zustand. 1+ s w1 b) Nun wid ein PI-Regle Rs () = K (mit den eellen Paameten K und w 1 ) s eingesetzt. Skizzieen Sie zunächst die Bode-Diagamme des Regles fü K = 1 und w 1 = 10. Dimensionieen Sie mit Hilfe des Fequenzkennlinienvefahens näheungsweise und nachvollziehba den Regle so, dass die Spungantwot des geschlossenen Regelkeises die Anstiegszeit t = 0.5 s und die Übeschwingweite M = 1.5 aufweist. p c) Die Anstiegszeit de Spungantwot des geschlossenen Regelkeises mit dem unte b) dimensionieten Regle soll bei gleiche Übeschwingweite und gleiche bleibende Regelabweichung auf ein Zehntel eduziet weden. Eweiten Sie den unte b) gefundenen Regle auf geeignete Weise und dimensionieen Sie näheungsweise und nachvollziehba Ihe Eweiteung. Geben Sie die komplette Regle- Übetagungsfunktion an! m : m 1 max acsin : m m : db P(j ) [db] ac(p(j )) [ ] [ad/s]

17 U Gaz, Institut Regelungs- und Automatisieungstechnik 4 Aufgabe 3: Gegeben sei das mathematische Modell eine Regelstecke mit de Eingangsgöße u: dx 3 1 u dt 3 1 x 0 a) ansfomieen Sie obiges System in Steuebakeitsnomalfom d z u dt A Bz e. b) Entwefen Sie einen Zustandsegle de Fom u kz so, dass die Eigenwete des Regelkeises bei 1, 1 j liegen. Aufgabe 4: Gegeben sei das mathematische Modell eine Stecke mit de Eingangsgöße u und de Ausgangsgöße y : dx 0 1 u dt 4 x 3 y 1 1 x a) Da de Zustandsvekto x messtechnisch nicht efassba ist, soll ein asymptotische Beobachte de Fom dxˆ ˆ ˆ u ˆ y dt Ax b b mit ˆ ˆ b bˆ 1 b, 1 b 3 vewendet weden. Bestimmen Sie den gößtmöglichen Beeich de eellen Koeffizienten ˆb 1 und ˆb so, dass fü den Beobachtungsfehle lim x x ˆ 0 gilt. b) Wie müssen die Koeffizienten ˆb 1 und ˆb gewählt weden, damit die Eigenwete de Systemmatix des Beobachtes  bei 1 1 und liegen? c) Die Zusammenschaltung von Stecke und Beobachte egibt ein Gesamtsystem de Fom: t dz u dt Az b y c z mit e z x Bestimmen Sie zahlenmäßig die Systemdaten A, b und de Matix A? c. Wo liegen die Eigenwete