Regelungstechnik (A)

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Julia Melsbach
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1 Intitut für Elektrotechnik und Informationtechnik Aufgabenammlung zur Regelungtechnik (A) Prof. Dr. techn. F. Gauch Dipl.-Ing. C. Balewki Dipl.-Ing. R. Berat

2 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 1 Aufgabe 1 Ein Gleichtrommotor oll eingeetzt werden, um eine Werkzeugfrämachine anzutreiben. Die Spindel der Fräeraufnahme mu mit einer kontanten Drehzahl arbeiten. Diee Drehzahl it abhängig von Typ und Größe de Fräer und mu vom Machinenbediener eintellbar ein. Weiter oll die Drehzahl unabhängig von der Belatung de Antrieb kontant gehalten werden. Da Antriebytem der Machine it in den Abb. 1 und 2 dargetellt. J G 1 = 0,4 kg m 2 Getriebe 5:1 J W 2 = 0,01...0,05 kg m 2 Fräer ω 2 J M Motor ω 1 Abb. 1: Mechaniche Anordnung de Antrieb Um diee Entwicklungaufgabe erfüllen zu können, mu da geamte Problem in kleinere Probleme zerlegt werden. Veruchen Sie eine Zerlegung der Aufgabe in kleinere Entwicklungabchnitte. = 0,5 K M R = 0,6 Ω Nm A J = 0,5 kg m 2 L = 0,1 Nm A 2 u = 48V N u i M R u EMK L MM M z M M = K M i M M M M z u EMK = K M ω J = J ω Abb. 2: Gleichtrommotor de Sytem 1

3 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 1 Aufgabentellung: 1. Bechreiben Sie da Sytem mathematich. 2. Definieren Sie in den Gleichungen die Eingang- und Auganggrößen. 3. Stellen Sie da Sytem al Strukturbild dar. 4. Geben Sie die Struktur eine Regelkreie an. 2

4 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 2 Aufgabe 2 Gegeben ei ein telekopförmiger Roboterarm (iehe Abb. 3) mit zwei Bewegungmöglichkeiten. Zum einen die Drehbewegung um die vertikale Ache um den Winkel θ und zum anderen die radiale Bewegung de beweglichen Teil de Roboterarm um den Weg r. F(t) J 0 mg r M, Abb. 3: Telekopförmiger Roboterarm Aufgabentellung: 1. Stellen Sie die Differentialgleichungen de Sytem auf. 2. Betimmen Sie die Ruhelagen de Sytem, und lineariieren Sie e um die Abweichung von den Ruhelagen. 3. Berechnen Sie die Eigenwerte und die Eigenvektoren für da lineariierte Sytem. 4. Geben Sie die Übertragungfunktion an. 3

5 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 3 Aufgabe 3 Gegeben ei eine Allpa-Filterchaltung wie in Abb. 4 dargetellt. E gilt R > 0, C > 0, L > 0. R C L u e R R u i + - V = 2 u a u R u V Abb. 4: Allpa 2.Ordnung Aufgabentellung: 1. Betimmen Sie die Übertragungfunktion de Sytem. 2. Zeichnen Sie da Pol-Nulltellen-Diagramm. 3. Betimmen Sie den Verlauf der Augangpannung im Zeitbereich mit den Parametern R = 1 Ohm, L = 1 mh und C = 1 µh und kizzieren Sie dieen. 4

6 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 4 Aufgabe 4 Gegeben eien die in Abb. 5 bi 7 dargetellten Strukturbilder. Betimmen Sie die Übertragungfunktionen entprechender Syteme. y b 2 b u K a 3 a 2 a 1 Abb. 5: Sytem 1 u y 2 1 Abb. 6: Sytem 2 5

7 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe u y Abb. 7: Sytem 3 6

8 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 5 Aufgabe 5 Gegeben eien zwei Regeltrecken mit den Übertragungfunktionen G 1 () = und G 2 () = Welche Bedingungen müen die Parameter K P und T n = K P T I eine PI-Regler erfüllen, damit da Geamtytem tabil it, bzw. die Poltellen der Übertragungfunktion in der linken offenen -Halbebene liegen? Die Abb. 8 zeigt da Strukturbild de geamten Regelkreie. r(t) e(t) K p u(t) G () y(t) T I 1 Abb. 8: Strukturbild 7

9 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 6 Aufgabe 6 1. In der Aufgabe 5 wurde mit Hilfe de Hurwitz-Kriterium heraugefunden, da die Übertragungfunktion G() = K P (1 + T n ) T n 2 + T n (2 + K P ) + K P für T n > 0 und K P > 0 tabil it. Unteruchen Sie mit dem Nyquit-Kriterium die folgenden zwei Fälle: 1. T n = 1, K P = 1 2. T n = 1, K P = 1 2. Zeichnen Sie die Nyquit-Ortkurven für den geamten Frequenzbereich für folgende Übertragungfunktionen de offenen Kreie: L 1 () = V ; V 0 L 2 () = V 2 ; V 0 L 3 () = V + 1 ; V 0 V L 4 () = ( + 1) ; V 0 Prüfen Sie anchließend mit Hilfe de grafichen Kriterium, ob der gechloene Krei nach Abb. 9 BIBO-tabil it. Begründen Sie Ihre Auage! r(t) L() Ry(t) Abb. 9: gechloener Krei 8

10 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 7 Aufgabe 7 Da Nyquit-Kriterium it ein graphiche Verfahren, mit deen Hilfe man von den Eigenchaften de offenen Kreie auf die Stabilität de gechloenen Kreie chließen kann. Abb. 10: Direkte Gegenkopplung mit L() al Übertragungfunktion de offenen Kreie Mit L() = z() n(), grad {z()} = m n = grad {n()} gelten folgende Kriterien für die Stabilitätunteruchungen am gechloenen Krei: 1. gechloener Krei it BIBO-tabil lim L() 1 und z()+n() it Hurwitzpolynom 2. gechloener krei it BIBO-tabil arg {1 + L(jω)} = (n a + 2n r )π (allgemeine Nyquit-Kriterium) 3. gechloener krei it BIBO-tabil Phaenreerve Φ > 0 (vereinfachte Nyquit- Kriterium nur für Übertragungfunktionen vom einfachen Typ) Für die folgenden Beipiele 1 bi 10, in denen jeweil die Nyquitortkurve und die Lage der Pole und der Nulltellen de offenen Kreie gegeben ind, entcheide man über die Stabilität de gechloenen Kreie. Hinwei: Die Pol-Nulltellen-Diagramme entprechen - zum beeren Erkennen - nur quantitativ der echten Lage der Stellen! 9

11 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 7 Im{} Re{} Abb. 11: Beipiel 1 Im{} Re{} Abb. 12: Beipiel 2 10

12 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 7 Im{} Re{} Abb. 13: Beipiel 3 Im{} Re{} Abb. 14: Beipiel 4 11

13 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 7 Im{} Re{} Abb. 15: Beipiel 5 Im{} Re{} Abb. 16: Beipiel 6 12

14 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 7 Im{} Re{} Abb. 17: Beipiel 7 Im{} Re{} Abb. 18: Beipiel 8 13

15 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 7 Im{} Re{} Abb. 19: Beipiel 9 Im{} Re{} Abb. 20: Beipiel 10 14

16 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 8 Aufgabe 8 Gegeben ei ein RC-Tiefpa, wie in Abb. 21 dargetellt. R i(t) u (t) e C u (t) a Abb. 21: RC-Tiefpa Aufgabentellung: 1. Betimmen Sie die Übertragungfunktion der gegebenen Schaltung, und kizzieren Sie die logarithmiche Betragkennlinie (R = 1, C = 1). 2. Skizzieren Sie die logarithmiche Betragkennlinie für die folgende Übertragungfunktion: + 2 G() = Skizzieren Sie die logarithmiche Betragkennlinie für ein Sytem, da au einer Serienchaltung der Syteme au 1.) und 2.) beteht. 15

17 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 9 Aufgabe 9 Gegeben ei ein vereinfachte Modell eine Gleichtrommotor mit Getriebe und einer Schwungcheibe, deren Poition geregelt werden oll. u A. φ 1 ü φ 1 φ 2 G 1 () G 2() Abb. 22: Vereinfachte Modell de Gleichtrommotor Die zur Abb. 22 zugehörigen Übertragungfunktionen lauten: V 1 G 1 () = 1 + T 1 V 2 G 2 () = ζ T 2 + T2 2 2 Aufgabentellung: 1. Zeichnen Sie die BODE-Diagramme der Regeltrecke für folgende Parameter: V 1 = V 2 = 1, ü = 5, T 1 = 0, 2, T 2 = 1, ζ = 0, 1 2. Entwerfen Sie einen Regler mit Hilfe de Frequenzkennlinienverfahren o, da folgende Spezifikationen erfüllt werden: t r = 0, 75, ü = 10 % 16

18 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 10 Aufgabe 10 Gegeben ei die Übertragungfunktion einer Regeltrecke: G() = + 10 ( + 1) ( + 20). Entwerfen Sie einen P-Regler mit Hilfe de Frequenzkennlinienverfahren o, da für die bleibende Regelabweichung de gechloenen Kreie gilt: e = 0, 01. Skizzieren Sie die Antwort de Sytem für eine rampenförmige Tetfunktion. 17

19 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 11 Aufgabe 11 Verändern Sie die II. Standardform der Realiierung o, da man antelle de Vektor b den Eingangvektor b verwenden kann. Realiieren Sie die folgende Reglerübertragungfunktion nach dieer neuen Form: G() = 1, , 5 + 8, ,

20 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe 12 Zuatzaufgabe 1. Skizzieren Sie die Ortkurven und die logarithmichen Frequenzkennlinien für die folgenden Übertragungfunktionen: 0. G 0 () = V 1. G 1 () = V G 2 () = V G 3 () = 1 + T G 4 () = V 1 + T G 5 () = ζ T + (T ) 2 6. G 6 () = ζ T + (T ) 2 7. LEAD-Übertragungglied: G 7 () = 1 + T T 2 mit T 1 > T 2 8. LAG-Übertragungglied: G 8 () = 1 + T T 2 mit T 1 < T 2 Beachten Sie, da der Parameter V beliebig it. 19

21 Übungaufgaben in Regelungtechnik A Aufgabe Betimmen Sie die tetige Winkeländerung für die in Abb. 23 gegebenen Ortkurven. Welche quantitativen Auagen über die Stabilität de gechloenen Regelkreie kann man anhand dieer Ortkurven machen? Abb. 23: verchiedene Ortkurven Fragen zu dieer Aufgabe können in der augewieenen Sprechtunde (iehe Auhang P ) getellt werden. 20

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