Binomialkoeffizient. Für n, k N 0 mit n k definiert man den Binomialkoeffizienten. ( ) n n! n(n 1)(n 2) (n k + 1) Binomialkoeffizient 1-1
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- Gesche Fischer
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1 Binomialoeffizient Für n, N 0 mit n definiert man den Binomialoeffizienten n! n(n 1)(n 2) (n + 1) = =. (n )!! 1 ( 2)( 1) Binomialoeffizient 1-1
2 Binomialoeffizient Für n, N 0 mit n definiert man den Binomialoeffizienten n! n(n 1)(n 2) (n + 1) = =. (n )!! 1 ( 2)( 1) Er gibt die Anzahl der -elementigen Teilmengen einer Menge mit n Elementen an. Binomialoeffizient 1-2
3 Binomialoeffizient Für n, N 0 mit n definiert man den Binomialoeffizienten n! n(n 1)(n 2) (n + 1) = =. (n )!! 1 ( 2)( 1) Er gibt die Anzahl der -elementigen Teilmengen einer Menge mit n Elementen an. Wegen 0! = 1 gilt insbesondere ( 0 0 ) = 1, ( n n und aus der Definition folgt: = n ) = ( n 0. ) = 1 Binomialoeffizient 1-3
4 Beispiel ( ) 5 = 5! 2 3!2! = = 10 Binomialoeffizient 2-1
5 Beispiel ( ) 5 = 5! 2 3!2! = = 10 Auswahl von 2-elementigen Teilmengen aus der Menge {a, b, c, d, e} {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e} {b, a}, {b, c}, {b, d}, {b, e} Binomialoeffizient 2-2
6 Beispiel ( ) 5 = 5! 2 3!2! = = 10 Auswahl von 2-elementigen Teilmengen aus der Menge {a, b, c, d, e} {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e} {b, a}, {b, c}, {b, d}, {b, e} 5 4 Teilmengen Binomialoeffizient 2-3
7 Beispiel ( ) 5 = 5! 2 3!2! = = 10 Auswahl von 2-elementigen Teilmengen aus der Menge {a, b, c, d, e} {a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e} {b, a}, {b, c}, {b, d}, {b, e} 5 4 Teilmengen Reihenfolge irrelevant Division durch 2 {a, b} = {b, a}, Binomialoeffizient 2-4
8 Pascalsches Dreiec Die Binomialoeffizienten = n! (n )!! lassen sich mit Hilfe der Reursion + 1 = + 1 in einem Dreiecsschema, dem sogenannten Pascalschen Dreiec, berechnen. Binomialoeffizient 3-1
9 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) Binomialoeffizient 3-2
10 Beweis: zu zeigende Reursion: + 1 = + 1, d.h. (n + 1)! (n + 1 )!! = n! (n + 1)! ( 1)! + n! (n )!! Binomialoeffizient 4-1
11 Beweis: zu zeigende Reursion: + 1 = d.h. + 1, (n + 1)! (n + 1 )!! = n! (n + 1)! ( 1)! + n! (n )!! Division durch n! und Multipliation mit (n + 1)!! n + 1 = + (n + 1 ) Binomialoeffizient 4-2
12 Binomischer Satz Mit der binomischen Formel lassen sich Potenzen einer Summe von zwei Variablen berechnen. Für alle n N 0 gilt ( ) ( ) n n (a + b) n = a n + a n 1 b + + ab n 1 + b n 1 n 1 n = a n b. =0 Binomialoeffizient 5-1
13 Binomischer Satz Mit der binomischen Formel lassen sich Potenzen einer Summe von zwei Variablen berechnen. Für alle n N 0 gilt ( ) ( ) n n (a + b) n = a n + a n 1 b + + ab n 1 + b n 1 n 1 n = a n b. =0 Insbesondere ist für n = 2, 3 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2, (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3. Binomialoeffizient 5-2
14 Beweis: vollständige Indution Binomialoeffizient 6-1
15 Beweis: vollständige Indution Indutionsanfang (n = 0): 0 =0 ( 0 ) ( a 0 b 0 = 0 ) a 0 b 0 = 1 = (a + b) 0 Binomialoeffizient 6-2
16 Binomialoeffizient 6-3
17 Indutionsschluss (n n + 1): Binomialoeffizient 6-4
18 Indutionsschluss (n n + 1): Indutionsvoraussetzung = (a + b) n+1 = (a + b) (a + b) n = (a + b) n =0 a n b Binomialoeffizient 6-5
19 Indutionsschluss (n n + 1): Indutionsvoraussetzung = (a + b) n+1 = (a + b) (a + b) n = (a + b) =0 n =0 a n b Indexverschiebung ( 1) im zweiten Summand n n+1 a n +1 b + a n +1 b 1 =1 Binomialoeffizient 6-6
20 Indutionsschluss (n n + 1): Indutionsvoraussetzung = (a + b) n+1 = (a + b) (a + b) n = (a + b) n =0 a n b Indexverschiebung ( 1) im zweiten Summand n n+1 a n +1 b + a n +1 b 1 =0 =1 Konvention ( ( n n+1) = 0 = n ) 1 Summation jeweils von 0 bis n + 1 Binomialoeffizient 6-7
21 Indutionsschluss (n n + 1): Indutionsvoraussetzung = (a + b) n+1 = (a + b) (a + b) n = (a + b) n =0 a n b Indexverschiebung ( 1) im zweiten Summand n n+1 a n +1 b + a n +1 b 1 =0 =1 Konvention ( ( n n+1) = 0 = n ) 1 Summation jeweils von 0 bis n + 1 Reursion für Binomialoeffizienten ( ) ( ) ( ) n n n = 1 Formel für (a + b) n+1 n a n+1 b =0 Binomialoeffizient 6-8
22 Identitäten für Binomialoeffizienten Für Binomialoeffizienten gelten folgende Identitäten: 2 n = 0 = = = n ( n n ( n =0 =0 ), ) ( 1), n 1, ( ) n 1 + i, < n, i i=0 n ( ) 1 + i, > 0. 1 i=0 Binomialoeffizient 7-1
23 Beweis: (i) Erste und zweite Identität: Binomialoeffizient 8-1
24 Beweis: (i) Erste und zweite Identität: folgen aus dem Binomischen Lehrsatz, (a + b) n = mit a = b = 1 bzw. a = b = 1 n =0 a n b, Binomialoeffizient 8-2
25 (ii) Dritte und vierte Identität: Binomialoeffizient 8-3
26 (ii) Dritte und vierte Identität: wiederholte Anwendung der Reursionsformel ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + 1 ( ) ( ) ( ) n 1 n 2 n 2 = = ( ) ( ) ( ) n 1 n 2 n 1 = ( ) n 1 + i = i d.h. die dritte Identität i=0 Binomialoeffizient 8-4
27 (ii) Dritte und vierte Identität: wiederholte Anwendung der Reursionsformel ( ) ( ) ( ) n n 1 n 1 = + 1 ( ) ( ) ( ) n 1 n 2 n 2 = = ( ) ( ) ( ) n 1 n 2 n 1 = ( ) n 1 + i = i i=0 d.h. die dritte Identität Substitution (n ), ( ) ( m j = m ) m j vierte Identität Binomialoeffizient 8-5
28 Illustration der letzten beiden Identitäten als Summationswege im Pascalschen Dreiec Binomialoeffizient 8-6
29 Illustration der letzten beiden Identitäten als Summationswege im Pascalschen Dreiec Binomialoeffizient 8-7
30 Illustration der letzten beiden Identitäten als Summationswege im Pascalschen Dreiec dritte Identität: = 10 Binomialoeffizient 8-8
31 Illustration der letzten beiden Identitäten als Summationswege im Pascalschen Dreiec dritte Identität: = 10 vierte Identität: = 10 Binomialoeffizient 8-9
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