Octave/Matlab Kurzeinführung 1

Transkript

1 Octave/Matlab Kurzeiführug 1 Zeichekette: pritf( Hello World! \ ) Oliehilfe: help help Matrize Eiheitsmatrix der Dimesio : eye() Nullmatrix der Dimesio m: zeros(,m) Matrix mit ur Eise der Dimesio m: oes(,m) ( ) Allgemeie Matrix, z. B. A = : A = [1 2 3; 4 5 6] Elemet a ij : A(i,j) Spalte j: A(:,j) Zeile i: A(i,:) Teilmatrix, z.b. Zeile 2-3, Spalte 4-6: A(2:3,4:6) übliche Fuktioe: Determiate - det, Rag - rak, Iverse - iv, Traspoierte vo A ist A Lösug eies Gleichugssystems Ax = b bei gegebee A, b: A\b Vergleiche ==, >=, <=, <, >, = (ugleich) Verwug Doppelpukt A=1:5 etspricht A=[ ] A=1:0.2:2 etspricht A=[ ] A=1:0.3:2 etspricht A=[ ] Programmiere For-Schleife Korrektur vo i zu = for i = 1: Äderug: While-Schleife If-Else while (cod. 1) if (cod. 1) if (cod. 2) Abbruch vo Schleife mit break Fuktioe: fuctio [out_1,.., out_] = fuctioame(i_1,,i_m) Die.m-Datei eier Fuktio muss deselbe Name habe wie die Fuktio selbst. 1 Quelle: Christoph Helmberg, TU Chemitz Uiversität Hamburg 1 1. Jui 2011, Nico Düvelmeyer

2 Präsezübug 1, Aufgabe 1.1 Teste Sie die geate Matrixfuktioe. Aufgabe 1.2 Schreibe Sie i Octave eie Fuktio matmult(a,b), die das Produkt zweier Matrize A, B berechet, falls dies möglich ist. Aufgabe 1.3 Zeiche Sie mit Octave die Fuktio f(x) = si(x) x im Bereich x [ 100, 100] mit plot ud mit fplot. Aufgabe 1.4 Zeiche Sie mit Octave die Fuktioe f 1 (x, y) = x 2 + y 2, f 2 (x, y) = x 2 y 2, f 3 (x, y) = x 2 y 2, f 4 (x, y) = x 2 + y im Bereich x, y [ 5, 5] mit mesh, cotour, cotourf, surf ud surfc. Aufgabe 1.5 Suche Sie durch vergrößerte graphische Darstelluge alle lokale ud globale Extremstelle der Fuktio f(x) = e x (x 3 5x 2 4x + 10) bis auf eie Nachkommastelle geau. Nutze Sie da die Fuktio sqp, um geauere Näheruge der Extremstelle zu bereche. Hausübug 1 Papieraufgabe, Abgabe: zum Begi der Übug Gebe Sie diese Aufgabe bitte auf Papier aufgeschriebe ab. Aufgabe 1.6 (5 Pukte) Bereche Sie mit Hilfe der Differetialrechug alle lokale ud globale Extremstelle der Fuktio f(x) = x 3 5x 2 4x + 10 ud charakterisiere Sie diese etsprech! (Zur Erierug: Ableitug Null setze!) [Bewertug:1 Pukt Ableitug, 2 Pkt. Nullstelle, 1 Pkt. Diskussio Mi/Max, 1 Pkt Atwort iklusive globale Extrema] Rechug f (x) = 3x 2 10x 4 Nullsetze ud ach x auflöse! f (x) = 0 x 2 10/3x 4/3 = 0 x 5/3 ± 25/9 + 4/3 = 5/3 ± 37/3 1,6667 ± 2,0276, also rud x 1 = 0,3609 ud x 2 = 3,6943. f (x) = 6x 10 Damit ist f (x 1 ) < 0 ud f (x 2 ) > 0, also ist x 1 ei lokales Maximum (Fuktioswert f(x 1 ) 10,7453) ud x 2 ei lokales Miimum f(x 2 ) 22,5972. Weitere lokale Extremstelle gibt es icht, ud auch keie globale Extremstelle, da lim x f(x) = + ud lim x f(x) =. Programmieraufgabe, Abgabe: bis , 12 Uhr Bitte se Sie für diese Aufgabe ihre Quelldateie per (wifopt1@googl .com bzw. ach Gruppe bis zu wifopt3@googl .com) a Ihre Übugsleiter. Aufgabe 1.7 (6 Pukte) Für de Biomialkoeffiziete gilt folge Gleichug ( ) ( ) ( ) 1 1 = + k k 1 k sowie ( ( ) = ( 0) = 1, ( 1) = ud k) = 0, falls k >. [Bewertug:Umsetzug der 4 Fälle: je 1 Pukt. Rahme für Fuktio 1 Pukt. Testaufruf 1 Pukt] Schreibe Sie i Octave eie rekursive Fuktio biomialkoeff(,k), die de Biomialkoeffiziete mithilfe obiger Rekursiosgleichug berechet. Bereche Sie damit ( ) Liefer Sie dazu eie Datei biomialkoeff.m ud eie Datei aufgabe17.m ab. Rechug Datei biomialkoeff.m: Uiversität Hamburg 2 1. Jui 2011, Nico Düvelmeyer

3 fuctio biom = biomialkoeff(,k) # Berechet de Biomialkoeffiziet ueber k if ( < 0 k < 0) # vermeide eier Edlosrekursio pritf( Fehler -ur fuer aturliche Zahle ud die Null defiiert!\ ) if (k > ) # 3. Soderfall laut Aufgabe biom = 0; if (k == 0 k == ) # erster Soderfall laut Aufgabe biom = 1; if k == 1 # zweiter Soderfall laut Aufgabe biom = ; # "Normalfall" (rekursiv) laut Aufgabe biom = biomialkoeff(-1,k-1) + biomialkoeff(-1,k); Aufruf mittels (aufgabe17.m) pritf("aufgabe 1.7 \") biomialkoeff(10,2) Ergebis: 45 Aufgabe 1.8 (9 Pukte) Visualisiere Sie mit Octave die Fuktio vo Himmelblau so, wie im Gerdts- Skript, Beispiel 1.0.2, dargestellt (die Gradiete solle Sie icht darstelle). [Bewertug:2 Pukte für 3D+Cotour-Darstellug im Bereich [ 5, 5] 2.] Erzeuge Sie dazu eie Octave-Datei aufgabe18.m. We Sie Hilfsfuktioe selber schreibe wolle, so speicher Sie diese bitte i der Form aufgabe18_*.m. Suche Sie alle lokale Extremstelle durch geeigete Vergrößeruge der Bilder. Gebe Sie die Koordiate auf eie Nachkommastelle geau a, direkt als Textausgabe mittels pritf. [Bewertug:5 mal je 1 Pukt für lokale Extrema] Nutze Sie da die Fuktio sqp, um geauere Näheruge der Extremstelle zu bereche. Fasse Sie alle damit berechete Miima ud Maxima jeweils zu eier Matrix zusamme (iklusive Fuktioswerte) ud gebe diese Matrize als letztes aus. [Bewertug:2 Pukte für die richtige sqp-aufrufe ud abschließe Ausgabe] Damit erzeugte Graphike icht ubemerkt überschriebe werde, utze Sie bitte die Fuktioe pause, figure oder/ud subplot. Rechug Datei aufgabe18_erg.m (Hilfsfuktio): fuctio [] = aufgabe18_erg(x,y,breite) # Hilfsfuktio, die die Fuktio vo Himmelblau i eiem Bereich # der Breite ud Höhe breite um (x,y) mittels cotour() darstellt Az=100; lies=50; b = breite/2; d = breite/100; X = (x-b):d:(x+b); Y = (y-b):d:(y+b); [XX, YY] = meshgrid (X, Y); fh = (XX.^ 2 + YY -11).^ 2 + (XX + YY.^2-7).^2; cotour(xx,yy,fh,lies) Datei aufgabe18_h.m (Fuktio vo Himmelblau): fuctio h = aufgabe18_h(xy) # Hilfsfuktio, die die Fuktio vo Himmelblau a der Stelle xy=[x y] # auswertet. x=xy(1); y=xy(2); h = (x^2 + y - 11) ^ 2 + (x + y^2-7)^2; ; Uiversität Hamburg 3 1. Jui 2011, Nico Düvelmeyer

4 Datei aufgabe18_mh.m (Hilfsfuktio): fuctio h=aufgabe18_mh(xy) # Hilfsfuktio zur Berechug der egierte Fuktio vo Himmelblau h=-aufgabe18_h(xy); Datei aufgabe18.m: pritf("aufgabe 1.8 \") # Darstellug der Fuktio vo Himmelblau aalog zum Skript vo Gerdts # als Surface-Plot X = -5:0.1:5; Y = X; [XX, YY] = meshgrid (X, Y); fh = (XX.^ 2 + YY -11).^ 2 + (XX + YY.^2-7).^2; figure(2) surfc(xx,yy,fh) # Darstellug der Fuktio vo Himmelblau aalog zum Skript vo Gerdts # als Cotour-Plot figure(3) aufgabe18_erg(0, 0, 10); figure(1) # weitere Ausgabe i Figure 1 Maxima = zeros(3,1); # i dieser Matrix wird vo dem eie Maximum die Koordiate x,y # ud der Fuktioswert gespeichert aufgabe18_erg(-0.3, -0.9, 0.1); # Maximum bei (-0,3;-0,9) erkat, # Kotrolle ob Rudug auf 1 Nachkommastelle stimmt pritf("nach Skript: Maximum bei (-0,3;-0,9) \"); # Ausgabe Ergebis # Bestimmug geauerer Koordiate vom Maximum mittels sqp, # agewadt auf die egierte Fuktio vo Himmelblau wege # dem Maximum statt Miimum. # Stelle ud Wert werde i die Matrix Maxima a die etspreche Stelle geschriebe [Maxima(1:2,1), Maxima(3,1)] = sqp([-0.3; Maxima(3,:) = -Maxima(3,:); # Korrektur lokaler Optimalwert, da wir -H miimiert habe! Miima = zeros(3,4); # Hierei werde (spalteweise) die beide Miima mit Wert gespeichert pause;aufgabe18_erg(-4, -3, 1); # ei lok. Miimum bei (-4; -3) erkat pause;aufgabe18_erg(-3.8, -3.3, 0.1); # geauer bei (-3,8 ; -3,3) pritf("ei Mi. ist bei (-3,8; -3,3) \"); [Miima(1:2,1), Miima(3,1)] = sqp([-3.8; -3.3],@aufgabe18_H); pause;aufgabe18_erg(-2, 3, 4); # ei lok. Miimum grob bei (-2; 3) erkat pause;aufgabe18_erg(-3, 3, 1); # gerudet (-3; 3) pause;aufgabe18_erg(-2.8, 3.1, 0.1);# geauer (-2,3; 3,1) pritf("ei Mi. ist bei (-2,8; 3,1) \"); [Miima(1:2,2), Miima(3,2)] = sqp([-2.8; 3.1],@aufgabe18_H); Uiversität Hamburg 4 1. Jui 2011, Nico Düvelmeyer

5 pause;aufgabe18_erg(3,2,1); # ei lok. Miimum bei (3; 2) erkat pause;aufgabe18_erg(3,2,0.1); # geauer sogar bei (3,0; 2,0) pritf("ei Mi. ist bei (3,0; 2,0) \"); [Miima(1:2,3), Miima(3,3)] = sqp([3; 2],@aufgabe18_H); pause;aufgabe18_erg(3.5,-2,1); # ei lol. Miimum grob bei (3,5; -2) erkat, # aber 1. Nachkommastelle uklar pause;aufgabe18_erg(3.6,-1.8,0.1); # Vermutug (3,6; -1,8), aber icht sicher pause;aufgabe18_erg(3.58,-1.84,0.04); pause;aufgabe18_erg(3.585,-1.85,0.01); # damit u aber sicher pritf("ei Mi. ist bei (3,6; -1,8) \"); [Miima(1:2,4), Miima(3,4)] = sqp([3.6; -1.8],@aufgabe18_H); # Ausgabe Miima Miima # Ausgabe Maxima Maxima Uiversität Hamburg 5 1. Jui 2011, Nico Düvelmeyer