Übungsrunde 6, Gruppe 2 LVA , Übungsrunde 5, Gruppe 2, Markus Nemetz, TU Wien, 11/2006

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1 Angabe Übungsrunde 6, Gruppe 2 LVA , Übungsrunde 5, Gruppe 2, Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 11/2006 Ein Los aus elektronischen Bauteilen des Umfangs N = 400 wird nach folgendem zweistufigen Plan geprüft: 1. Stufe: Zunächst wird eine Stichprobe (ohne Zurücklegen) des Umfangs 32 gezogen. Gibt es höchstens ein unbrauchbares Stück, wird das Los sofort angenommen; gibt es 4 oder mehr unbrauchbare Stücke, wird das Los sofort zurückgewiesen. Gibt es in der Stichprobe 2 oder 3 unbrauchbare Stücke, geht man zur 2. Stufe. 2. Stufe: Eine weitere Stichprobe (ohne Zurücklegen) des Umfangs 32 wird gezogen. Ist die Zahl der unbrauchbaren Stücke insgesamt ( Stichprobe) nicht größer als 4, wird das Los akzeptiert, ansonsten (endgültig) zurückgewiesen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit mit der bei diesem Plan ein Los mit einem Ausschußanteil von 2,5angenommen wird. Rechnen Sie dabei exakt (hypergeometrische Verteilung) sowie auf Basis einer passenden Binomialapproximation. 1.2 Theoretische Grundlagen: Hypergeometrische Verteilung Die Hypergeometrische Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung. Umgangssprachlich werden Fragestellungen, die von der hypergeometrischen Verteilung erfasst werden auch als Ziehen ohne Zurücklegen bezeichnet. Sie wird verwendet, um Vorgänge zu modellieren, bei denen aus einer dichotomen Grundgesamtheit zufällig eine Stichprobe entnommen und auf eine bestimmte Eigenschaft geprüft wird. Die hypergeometrische Verteilung gibt dann Auskunft darüber, mit welcher Wahrscheinlichkeit in der Stichprobe eine bestimmte Anzahl von Elementen vorkommt, die die gewünschte Eigenschaft haben. Bedeutung kommt dieser Verteilung daher etwa bei Qualitätskontrollen zu. Ein beispielhaftes Problem: In einer Urne befinden sich 45 Kugeln, 20 davon sind gelb. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit in einer 10-elementigen Stichprobe 4 gelbe Kugeln zu ziehen? Definition: Die hypergeometrische Verteilung ist abhängig von drei Parametern: 1. der Anzahl N der Elemente einer Grundgesamtheit. 2. der Anzahl M N der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft in dieser Grundmenge. 3. ser Anzahl n N der Elemente in einer Stichprobe. 1

2 Die Verteilung gibt nun Auskunft darüber, wie wahrscheinlich es ist, dass sich k Elemente mit der zu prüfenden Eigenschaft in der Stichprobe befinden. Der Ergebnisraum Ω ist daher {0, 1,...,n}. Eine diskrete Zufallsgröße X unterliegt der hypergeometrischen Verteilung mit den Parametern M,N und k, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten h(k N; M; n) := P(X = k) = ( )( ) M N M k n k ( ) N n für x Ω besitzt. Dabei bezeichnet ( N n) den Binomialkoeffizienten N über n. Die Verteilungsfunktion H(x N; M; n) gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass höchstens k viele Kugeln erster Sorte in der Stichprobe sind. Diese kumulierte Wahrscheinlichkeit ist die Summe H(k N; M; n) := P(X k) = k h(y N; M; n) = y=0 y<k y=0 ( M y Binomialapproximation der hypergeometrischen Verteilung )( ) N M n y ( ). N n Für eine Folge von hypergeometrischen Verteilungen mit den Paramtern M,N und n mit gilt: 1.3 Lösung des Beispiels N, M und M N p für N lim H N,M,n(k) = B n,p (k) N Man benötigt insgesamt 3 hypergeometrische Verteilungen: 400 OK 0,1 W 1 32 >3 Ausschuss 2 3 W 2 W ,1,2 OK Ausschuss OK 2

3 1. Stufe 1: Eine - W 1 (x), N = 400, A = 10, n = Stufe 2: Eine (falls zuvor zwei unbrauchbare gezogen wurden) - W 2 (x), N = 368, A = 8, n = Stufe 3: Eine (falls zuvor drei unbrauchbare gezogen wurden) - W 3 (x), N = 368, A = 7, n = 32 Für die Gesamtwahrscheinlichkeit rechnen wir: W 1 (0) + W 1 (1) + W 1 (2) (W 2 (0) + W 2 (1) + W 2 (2)) + W 1 (3) (W 3 (0) + W 3 (1)) Konkretes Beispiel: W 3 {1} = ( ) ( ) ( ) Man benötigt insgesamt 3 solche Verteilungen, da sich nach dem ersten Ziehen nicht mehr 400 Stück sondern 32 weniger im Pool befinden. Das Ergebnis nach o.g. Formel ist , für die Binomialapproximation Die Abweichung ist sehr gering - die Binomialverteilung kann sehr gut zur Annäherung verwendet werden. In der ISO-Norm sind bis zu 7-stufige Prüfungsmodelle definiert Angabe Bestimmen Sie die Modalwerte einer Poissonverteilung, d.h. jene x-werte, für die W {X = x} maximal ist. (Hinweis: Betrachten Sie den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Wahrscheinlichkeiten.) 2.2 Theoretische Grundlagen: Poisson-Verteilung Approximation für die Binomialverteilung für kleines p und großes n (tritt bei seltenen Ereignissen auf) - Bsp.: Rosinen pro Brötchen; Druckfehler pro Seite; gleichzeitig geführte Telefonate innerhalb einer Firma. Sei X = N 0 = {0, 1, 2, 3,... }, B = P(X). Das durch P(B) := k B µ k k! e µ, B X, definierte Maß heißt Poisson-Verteilung mit Parameter µ > 0. 3

4 2.3 Lösung des Beispiels Zu betrachten ist der Quotient aus den Wahrscheintlichkeiten P(k + 1) bzw. P(k 1) und P(k), unterschieden durch: 1. P(x 1) P(x) 2. P(x + 1) P(x) Betrachten ersten Fall: P(x) µxe µ P(x 1) = x! µ x 1 e µ (x 1)! x µ = µ x 1 Betrachten zweiten Fall: P(x) µxe µ P(x + 1) = x! µ x+1 e µ (x+1)! x [µ 1, µ] = x + 1 µ 1 Das kleinste k mit k + 1 > µ ist der Modalwert; ist µ ganzzahlig, gibt es 2 Modalwerte, µ 1 und µ: Modalwert = µ, falls µ / N; Modalwert = µ 1 und µ, falls µ N Angabe Bei der Herstellung von Glasscheiben kommt es immer wieder zur Bildung von kleinen Bläschen, die eine optische Beeinträchtigung darstellen. Ein Abnehmer bezieht 400 Scheiben dieser Art und prüft nach folgendem Schema: 50 Scheiben werden geprüft; gibt es insgesamt nicht mehr als 14 Bläschen wird die Lieferung angenommen, ansonsten zurückgewiesen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der Annahme, wenn (im Mittel) jede vierte (jede zweite) Scheibe einen derartigen Fehler aufweist? 3.2 Theoretische Grundlagen: Poisson-Verteilung Siehe Beispiel 3.22! 3.3 Lösung des Beispiels Einzusetzen ist Wahrscheinlichkeit einer einzelnen defekten Scheibe Anzahl der entnommenen Scheiben, z.b. fürs erste: λ = 25. Beispielresultate sind dann: jede zweite Scheibe: P(14) = , jede vierte Scheibe: P(14) = Am Ende alle Wahrscheinlichkeiten addieren. 4

5 Konkretes Beispiel für µ = = 12.5: Mit R berechnet: 1 > sum(dpois(seq(0,14,by=1), 12.5)) 2 [1] > sum(dpois(seq(0,14,by=1), 25)) 4 [1] W({0} = e ! Listing 1: Poisson-Verteilung mit R berechnen Angabe [R-Aufgabe] In der Vorlesung werden Bedingungen angegeben unter denen eine Binomialverteilung gut durch eine Poissonverteilung approximiert werden kann. Überprüfen Sie dies graphisch an mehreren Beispielen (mit und ohne erfüllten Bedingungen), etwa durch leicht versetzt nebeneinander gezeichnete Stabdiagramme. 4.2 Theoretische Grundlagen: Poisson-Verteilung Siehe Beispiel 3.22! 4.3 Lösung des Beispiels Ist die Anzahl der Experimente sehr groß und die Erfolgswahrscheinlichkeit klein, so kann man die Binomialverteilung durch eine Poissonverteilung approximieren. Wir gehen dabei von der Approximation der Binomialverteilung aus. Sei X b(n, π). Wenn π klein ist und n gross ist, dann gilt asymtotisch X Poisson(λ) Veranschaulichung durch folgende Abbildung, in der die Wahrscheinlichkeitsfunktionen der Po(5)-Verteilung und einiger Binomialverteilungen, für die λ = nπ = 5 mit wachsendem n und fallendem π gilt, dargestellt ist. 5

6 Ein typisches Beispiel für die Anwendung dieses Satzes findet man in der Versicherungswirtschaft. Die Anzahl n der Versicherten ist groß, die Wahrscheinlichkeit π eines Schadenfalles ist klein. Sei X die Anzahl der Versicherten, die in einem bestimmten Zeitraum (z.b. ein Jahr) einen Schaden anmelden. Wenn man annimmt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Schadensfalles für jeden Versicherten gleich groß ist, so gilt X b(n, π). Als Approximation kann unter den obigen Voraussetzungen die Poissonverteilung verwendet werden: X Poisson(λ), λ = nπ R-Befehle zur Poissonverteilung: dpois(x, lambda) berechnet die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung mit dem Parameter λ =lambda an der Stelle x. Dabei kann x ein Vektor sein. ppois(q, lambda) berechnet die Verteilungsfunktion der Poissonverteilung mit dem Parameter λ =lambda an der Stelle q. Dabei kann q ein Vektor sein. qpois(p, lambda) berechnet die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion der Poissonverteilung mit dem Parameter λ =lambda an der Stelle p. Dabei muss pein Vektor von Wahrscheinlichkeiten, d.h. von Zahlen zwischen 0 und 1 sein. rpois(n, lambda) erzeugt n poissonverteilte Zufallszahlen mit dem Parameter λ =lambda Konkrete Ausführung: 6

7 Listing 2: Binom/Poisson mit R visualisieren 1 n=100; 2 p=0.5; 3 x=seq(0,n,by=2); 4 binom.pois<-data.frame(binom=dbinom(x,n,p), pois=dpois(x,n,p)) 5 binom.pois<-as.matrix(binom.pois) 6 barplot(binom.pois, beside=true) Es gilt das Poisson-Paradigma: lim b n,p(k) = P µ (k) n,p 0,np µ Anmerkung: War nicht in Gruppe 2 auf, wurde aber von Prof. Gurker vorgerechnet. 6 Angabe Zeigen Sie die Gedächtnislosigkeit der geometrischen Verteilung, d.h. zeigen Sie für X G p : W {X > a + b X > a} = W {X > b}, a, b N Wie läßt sich diese Beziehung interpretieren? (Hinweis: X sei die diskrete Wartezeit auf den Eintritt eines bestimmten Ereignisses, etwa der Ausfall einer Komponente, der Gewinn beim Joker, etc.) 6.1 Theoretische Grundlagen: Geometrische Verteilung Siehe Beispiel 3.29! 7

8 6.2 Lösung des Beispiels X G P G P Geometrische Wahrscheinlichkeit p(x) = W {X = x} = (1 p) x 1 p, qquadx = 1, 2,... W {X > a + b X > a} = W {X > b} Joker ist ein erwartetes erstmaliges Ereignis mit p = Der Erwartungswert für G P mit x als Nr. der Runde des ersten Gewinnes ist E(x) = 1 p = 100 Nach jeder Runde startet das Spiel neu - darunter versteht man die Gedächtnislosigkeit (Geometrische Verteilung hat als einzige diese Eigenschaft). Vgl. hierzu Komponenten mit gleicher Wahrscheinlichkeit für Lebensdauer - wenn funktionierend ist eine Komponente so gut wie neu. Wir brechnen weiter: W {X > k} = }{{} =(1 p) k i=k+1 (1 p) i 1 p = (1 p) k F(k) = W {X k} = 1 W {X > k} = 1 (1 p) k W {X > a + b, x > a} W {X > a} = W {X > a + b} W {X > a} (1 p) a+b (1 p) a = (1.p) b = W{X > b} Eine geometrische Verteilung ist selbstähnlich (eine Poisson-Verteilung z.b. nicht). Selbstähnlichkeit ist die Eigenschaft von Gegenständen, Körpern, Mengen oder geometrischen Objekten, in größeren Maßstäben, d.h. bei Vergrößerung dieselben oder ähnliche Strukturen aufzuweisen wie im Anfangszustand Angabe Bestimmen Sie die Ausfallrate (vgl. Beispiel 3.12) der geometrischen Verteilung. Interpretieren Sie das Ergebnis an Hand eines konkreten Beispiels. (Hinweis: Vgl. Sie das vorhergehende Beispiel (3.28).) 7.2 Theoretische Grundlagen: Geometrische Verteilung Eine diskrete Zufallsgröße X n mit dem Parameter p (Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg), q = 1 p (Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg) genügt der geometrischen Verteilung G(p), wenn: = 8

9 Variante A sei die Wahrscheinlichkeit, dass man genau n Versuche benötigt, um zum ersten Erfolg zu kommen, zu P(X = n) = p(1 p) n 1 = pq n 1 (n = 1, 2,...) Variante B sei die Wahrscheinlichkeit, n Fehlversuche vor dem ersten Erfolg zu haben, zu P(Y = n) = p(1 p) n = pq n (n = 0, 1, 2,...) besitzt. In beiden Fällen bilden die Werte für die Wahrscheinlichkeiten eine geometrische Folge. Damit besitzt die geometrische Verteilung die folgenden Verteilungsfunktionen: Variante A F(k) = P(X k) = p k i=1 k 1 q i 1 = p q i = p qk 1 q 1 = 1 qk = 1 (1 p) k i=0 Variante B F(n) = P(Y < n) = p n i=0 q i = p qn+1 1 q 1 = 1 q n+1 = 1 (1 p) n Lösung des Beispiels Angabe h(x) = W {X = x X > x} W(A B) = W(A B) W(B) = W(X = x) p(1 p)x 1 = W(X x) p(1 p) x 1 = 1 Ermitteln Sie zu jeder der folgenden stetigen Verteilungsfunktionen die zugehörige Dichtefunktion; stellen Sie beide Funktionen (zum einfacheren Vergleich untereinander) graphisch dar. (a) F(x) = (1 + e x ) 1, < x < (b) F(x) = exp( e x ), < x < (c) F(x) = arctan(x), < x < 9

10 8.2 Theoretische Grundlagen: Kontinuierliche eindimensionale Verteilungen - Definition und Satz In kontinuierlichen eindimensionalen Verteilungen nehmen stochastische Grössen X alle Werte eines Intervalls an (Kontinuum). Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ist durch eine integrierbare Funktion (Dichtefunktion) bestimmt: f : R [0, ), mit W([a, b]) = W {a X B} = b f(x) x = 1 a f(x) x Für kontinierliche Verteilungen bzw. kontinuierlich verteilten stochastischen Grössen X mit Dichte f( ) gilt: 1. Verteilungsfunktion F(x) = x f(ξ) ξ 2. x F(x) f(x) = F (x) 3. W {X = x} = 0 x R x R Die Dichtefunktion dient zur Beschreibung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, daher wie sich die Wahrscheinlichkeit auf mögliche Zufallsergebnisse verteilt. Im Gegensatz zu stetigen Zufallsvariablen können die einzelnen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausprägungen nicht angegeben werden, denn sie müssten streng genommen 0 gesetzt werden. Es lassen sich nur Wahrscheinlichkeiten f(x)dx dafür angeben, dass die Werte innerhalb eines Intervalls dx um x liegen. Die Funktion f(x) heißt dann Dichtefunktion. Damit es sich um eine Dichtefunktion handelt muss die Fläche unter Kurve 1 sein. Man erhält sie wenn man die Verteilungsfunktionen differenziert. 8.3 Lösung des Beispiels Wir benötigen die Ableitungen: e (a) x - logistiche Verteilung (1+e x ) 2 (b) e ( (e x ) x) (c) 1 π 1 - Cauchy/t-Verteilung 1+x 2 10

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