6. Übung (Hypothesenprüfung und einfache Tests)

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1 6. Übung (Hypothesenprüfung und einfache Tests) Es wird eine H0 Hypothese und eine Gegen- oder Arbeitshypothese aufgestellt. Sie schließen sich aus. Es wird von den betreffenden Populationen eine repräsentative Stichrobe genommen. Anhand eine Formel wird eine Probestatistik, eigentlich eine Zahl berechnet. Gewisse Unterschied zwischen den Stichprobe und der Population kann der Zufall auch resultieren. Es wird berechnet, dass der beobachtete (oder davon größere) Unterschied mit welcher Change vorkommen könnte, wenn die H0 Hypothese richtig wäre. Das wird ein sog. p-wert sein. Wenn dieser Wert genügend groß ist, d.h. grösser als 0.05, dann wird die H0 Hypothese angenommen, sonst wird die H0 Hypothese abgelehnt und es wird die Gegenhypothese H1 für richtig gehalten. Es wird im Weiteren die Daten von Blutparameter und Falter gebraucht. Binomial-Test Der Binomial-Test prüft nach, ob eine Teilproportion einer Gruppe in einer Population mit der von uns angenommener Wert gleich ist. Frage: Es wird Anhand der vorigen Untersuchungen angenommen, dass 53% der behandelten Hunden männlich ist. Kann es auf Grund der genommenen Stichprobe auch für richtig halten? Antwort: Es wird angenommen, dass die einzelne Blutparametern an zufällig ausgewählten Individuen gemessen wurden. Anhand der H0 Hypothese die Proportion der Männlichen ist In der Stichprobe ist dieser Wert nur Es schein so zu sein, dass die Proportion der Männlichen kleiner ist. Zur Beantworten dieser Frage wird der Binomial-Test gebraucht: Statistics/Proportions/Single-samlple proportion test Es wird erst die Veränderliche ausgewählt: Nur aus den Faktoren kann man wählen. (und zwar nur solche die nur zwei Kategorien haben. Wenn mehrere Kategorien vorhanden sind, dann mit Hilfe der Funktion ifelse kann man zwei Kategorien angeben. Bitte aufpassen! Bei der Angabe der Nullhypothese muss man die Aufgabe umformulieren. Die Aufgabe kann mehrere Kategorien haben. (Erinnere, die Kategorien sind die einzelnen Gruppen, in den man die Beobachtungen eingeordnet hat. In unserem Falle male und female wurde gebraucht und das Programm wird immer das brauchen, was alphabetisch vorher steht! Darum muss man die Nullhypothese ändern. Es wird im Weiteren angenommen, dass 47% der Hunde weiblich sind. Das Konfidenzintervall bleibt an 95%. Also im Options Fenster muss man für die Nullhypothese 0.47 angeben. Die Gegenhypothese kann zweiseitige oder einseitige sein. Es wird jetzt zweiseitige gebraucht. Es wird bedeuten, wenn die Proportion der Weiblichen in beliebige Richtung wesentlich von 47% abweicht, dann glaubt man die H0 Hypothese nicht mehr. Wenn man einseitige Gegenhypothese hat, dann betrachtet man nur eine Richtung. Später wird dafür ein Beispiel erläutert. Börzsönyi L. 1

2 Zum Schluss wird den Typ der statistischen Test eingestellt, nämlich man kann von mehreren Möglichkeiten wählen. Exact binomial Test ist zu einem kleinen Fallzahl zu brauchen ist. Wenn die Fallzahl zu groß ist, und der Binomial-Test nicht zu brauchen ist, dann wählt man eine normale Ernährung. Das Ergebnis des Tests ist: >.Table Gender female male > binom.test(rbind(.table), alternative='two.sided', p=.47, conf.level=.95) Exact binomial test data: rbind(.table) number of successes = 40, number of trials = 70, p-value = alternative hypothesis: true probability of success is not equal to probability of success Der p-wert ist , d.h. es ist 9.445%. Das ist grösser, als 5% und darum wird die Nullhypothese nicht abgelehnt. Es wird im Weiteren auch geglaubt, dass das Verhältnis der Weiblichen 47% ist, d.h. das Verhältnis der Männlichen ist 53% ist. Das Konfidenzintervall mit 95% zeigt darauf hin, dass die Proportion der Weiblichen in der Stichprobe mit der Wahrscheinlichkeit 95% zwischen und liegt. In dem Intervall ist die Proportion 47% enthalten, d.h. es wir die Nullhypothese bei zweiseitigen Gegenhypothese nicht abgelehnt. Wie die letzte Reihe zeigt die Proportion der Weiblichen in der Stichprobe ist (Die zwei letzten ist eine Intervall- bzw. eine Punktschätzung für die Proportion der Weiblichen anhand der Stichprobe. Einstichproben t-test Der einstichproben t-test ist dazu geeignet, dass man damit einstscheiden kann, ob ein durchschnittlicher Wert der Population mit von uns angenommenen Wert übereistimmt. Oder eine Stichprobe aus einer bekannt en Population stammt oder nicht. Die Annahme der Anwendung ist die normalverteilte Population. Börzsönyi L. 2

3 Frage: Ist die Annahme zu glauben, ob der Durchschnittswert von HCO3 bei Hunden 18.3 ist? Antwort: Es steht eine Stichprobe zu Verfügung, daraus folgt auch, dass man einstichproben t-test angewendet wird. Erst wird die Normalität der Population, wovon die Stichprobe stammt, überprüft. In Praxis ist die visuelle Überprüfung der Normalität verbreitet. Dazu lässt man ein QQ-Plot durch das folgende Menü: Graphs/Quantile-comparison plot erscheinen. Normalerweise gibt man nur die Name der untersuchende Variable an und in Options Fenster füllt man nichts aus. Prinzipiell könnte man die untersuchenden Daten zu der Normalverteilung vergleichen, aber deren Wichtigkeit ist vernachlässigbar. Das Ergebnis ist folgendes: Die Normalität ist dann zu glauben, wenn eine geringe Anzahl der Punkte außer den gestrichelten Kurven fallen und die Mehrheit der Punkte an der kontinuierlichen Gerade anpassen. Wenn die Punkte hufeisenförmig sind, an den zwei Randen liegen die Punkte über der Gerade und in der Mitte unter der Gerade, dann liegt meist keine Normalität vor. Eine andere Methode zu der visuellen Kontrolle der Normalität ist Zeichnen eines Histogramms. Zu dem Histogramm soll eine symmetrische Glockenkurve gut anpassen und sie muss uni modal (einhöckerig) sein. Börzsönyi L. 3

4 In unserem Falle liegt eine Normalverteilung vor. Der einstichproben t-test wird durch das Menü: Statistics/Means/Single sample berechnet. Es wird die untersuchende Variable HCO3 ausgewählt, für welchen Mittelwert ein Interesse hat. Man gibt den angenommenen Mittelwert 18.3 an. Den Konfidenzniveau kann gelassen (oder geändert) werden. Bei der Angabe der Alternativhypothese wird eine zweiseitige Fragestellung gebraucht. > t.test(blut$hco3, alternative='two.sided', mu=18.3, conf.level=.95) One Sample t-test data: Blut$HCO3 t = 0.151, df = 69, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to mean of x Der p-wert ist , das ist grösser als 5%, d.h. die Nullhypothese wird beibehalten, daraus folgt bei dieser Konfidenzniveau ist es zu glauben, dass Populationsmittelwert 18.3 ist. In der letzten Zeile findet man den Stichprobenmittelwert und dieser Wert fällt zwischen den 95%-en Konfidenzgrenzen: und Zweistichproben t-test. Mit Hilfe des zweistichproben t-tests wird zu entscheiden, ob zwei Populationsmittelwerte, an Hand zwei unabhängigen Stichprobengruppen übereinstimmen oder nicht. Es ist angenommen, dass die Populationen, wovon die Stichproben stammen, normalverteilt sind. Frage: Ist die Annahme zu glauben, ob die Durchschnittswerte von HCO3 bei männlichen und weiblichen Hunden übereinstimmen? Antwort: Es gibt zwei Gruppen (männliche und weibliche Hunde). Die Durchschnittswerte werden offensichtlich mit Hilfe zweistichproben t-test verglichen. Die Normalität wird jetzt gruppenweise kontrolliert. Für die gesamte Population wurde schon die Normalität der HCO3-Werte überprüft. Jetzt wird dafür ein Boxplot betrachtet. Sonst, wenn der QQ-Plot nicht ganz überzeugend ist, dann wird oft dafür ein Boxplot angegeben. Nun in unserem Falle: Börzsönyi L. 4

5 Die Dosen sind symmetrisch, es gibt keine sichtbare Disproportionalität zwischen den Inneren und Äußeren der Dosen. Wenn es nicht so wäre, dann würde man die Überprüfung nicht mehr fortsetzen. Es werden im Weitern die männlichen und weiblichen getrennt untersucht. Herstellung der Teilmengen Es wird das folgende Menü zweimal nacheinander angewendet: Data/Active data set/subset active data set In der neuen Datenmenge werden alle Spalten eingenommen: Man schreibe die Filterannahme ein. Erst muss man den Name der Spalte angeben, dann schreibt man zwei Gleichheitszeichen nacheinander. (Bitte aufpassen, wenn man nur ein Gleichheitszeichen schreibt, dann kann das Programm die weiblichen auch für männlichen umschreiben!!!) Zum Schluss gibt man den Wert der Variable an, was man in der Teilmenge einnehmen möchte. Im Falle einer Textvariablen muss man den Wert zwischen Gänsefüßchen legen. Selbstverständlich nicht nur Gleichheit kann man angeben. Einige Beispiele für mögliche Teilmengen: HCO3<10, HCO3<=10. HCO3<10&HB<0.5 (Bei einer und- Verknüpfung müssen beiden Seiten der Anknüpfung gelten!), HCO3<10 HB<0.5 (Im Falle einer oder- Verknüpfung muss mindestens eine Anknüpfung gelten.) Es mag noch die Anknüpfung!is.na(HCO3) wichtig zu sein, die nimmt diejenige Zeilen in der Teilmenge ein, bei den die Werte HCO3 angegeben sind. Das Aufrufzeichen bedeutet die Negation, d.h. unter der Verknüpfung HCO3!=10 werden in der Teilmenge eingenommen, wobei die Werte von HCO3 von 10 unterschiedlich sind. Zum Schluss gibt man einem neuen Name für die Datenmenge: Man prüfe die Normalität an, wie es früher gemacht wurde: Börzsönyi L. 5

6 Bei solchem kleinen Stichprobenumfang sind diese Fehlern noch zu erlauben. Man kehre zu den ursprünglichen Daten zurück: die die Daten der weiblichen enthält:. Man fertige die Datenmenge an, Ma überprüfe die Normalität hier auch: Bei denen gilt die Normalität auch. Also die zweistichproben t-test ist anwendbar. Es geht mit dem folgenden Menü: Statistics/Means/Independent samples t-test Jetzt kehre man zu den ursprünglichen Daten Blut zurück. Man muss eine solche Variable auswählen, die zwei Kategorien besitzt und sie teilt derart die Beobachtungen in zwei Börzsönyi L. 6

7 Gruppen. Die Variable Geschlecht (Gender) ist so eine. Die Zielvariable HCO3 sind in zwei Gruppen geteilt, deren Mittelwerte möchte man miteinander vergleichen. Im Options Fenster stellt man die Gegenhypothese ein, was eine zweiseitige Hypothese ist, wie es üblich ist. Das Konfidenzintervall gibt man mit der Sicherheit 95% an. Das Programm fragt noch nach der Gleichheit der Varianzen an. Hier könnte man prinzipiell zwei Methoden anwenden. Einmal für ja, und einmal für nein. In der Praxis wählen ein Teil der Statistiker immer nein. (Nach ihrer Meinung können zwei Varianzen nie gleich sein.) > t.test(hco3~gender, alternative='two.sided', conf.level=.95, + var.equal=false, data=blut) Welch Two Sample t-test data: HCO3 by Gender t = 0.655, df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to mean in group female mean in group male Der p-wert ist Dieser Wert ist grösser, als 5%. Daraus folgt, dass die Nullhypothese wird nicht abgelehnt, d.h. der Mittelwert von HCO3 bei den männlichen und weiblichen gleich sind. Wie üblich bekommt man in beiden Gruppen Der Mittelwert, sowie ein Konfidenzintervall für die Differenz der zwei Mittelwerte mit 95% Sicherheit. Zweistichproben t-test (einseitige Gegenhypothese) Frage: Ist die Annahme zu glauben, dass der durchschnittliche HCO3-Wert bei männlichen Hunden grösser, als weiblichen ist? Antwort: Die Frage bezieht sich auf den Durchschnittswert von HCO3. Die Beobachtungen sind in zwei Gruppen (männlich und weiblich) geteilt worden. Es wird offensichtlich eine zweistichproben t-test angewendet. Erst muss man die Normalität der Daten überprüfen. Bei der vorigen Aufgabe wurde es schon angefertigt. Der zweistichproben t-test wird unter den Menü: Statistics/Means/Independent samples t-test angewendet. Die Einstellungen sind fast die selben, wie bei der vorigen Aufgabe. Unsere Nullhypothese ist jetzt, dass der HCO3-Wert bei männlichen grösser, als der weiblichen ist. Weil man die Variable Gender ausgewählt wurde, das Programm zeigt uns, dass die Differenz female-male gerechnet wird. Es wird negativ sein, wenn der HCO3-Wert bei männlichen Börzsönyi L. 7

8 grösser ist. Der Gegenhypothese muss die Nullhypothese ausschließen, d.h. man muss im Options Fenster Difference<0 wählen. > t.test(hco3~gender, alternative='less', conf.level=.95, var.equal=false, + data=blut) Welch Two Sample t-test data: HCO3 by Gender t = 0.655, df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is less than 0 -Inf mean in group female mean in group male Der p-wert , was grösser als 5%, d.h. die Nullhypothese wird beibehalten, also bei männlichen ist der durchschnittliche HCO3-Wert signifikant nicht grösser, als der weiblichen. Das Programm schreibt in beiden Gruppen den Durchschnitt, und für den Differenz der Mittelwerten ein Konfidenzintervall mit 95% Sicherheit aus. Es lohnt sich beobachten, dass das Konfidenzintervall in dem vorigen Beispiel auf den Differenz der Durchschnitten symmetrisch war. Diese Symmetrie gilt nicht mehr, von links ist sie minus unendlich und von rechts ist sie eine endliche Zahl. Der paarige t-test (verbundener t-test) Dieser Test wird dann angewendet, wenn man bei jeden Individuen zwei zugehörige Beobachtungen registriert wird und die Differenz dieser zwei Werte testen möchte. Frage: Ist die Annahme zu glauben, dass die durchschnittliche Raupenmenge und Larvenmenge bei Falter übereinstimmen? Antwort: Bei dieser Fragestellung wird ein verbundener t-test angewendet. Man muss erst überprüfen, ob die Differenz der zugehörigen Daten normalverteilt ist. Durch den Befehl gibt man die Differenz der Variablen an: Falter$DIFFERENZ=Falter$LARVENMENGE-Falter$RAUPENMENGE0 In diesem Falle braucht man meist den Befehl: Data/Active data set/refresh active data set um die angefertigte neue Spalte anwendbar sei. Börzsönyi L. 8

9 Der QQ-Plot für die Variable DIFFERENZ: (Wenn DIFFERENZ nicht erscheinen würde, dann muss man die Datenmenge erfrischen: Data- Active data set Refresh active data set). Die letzten zwei Plots sind nicht mehr so einfach und eindeutig abzulesen. In solchen Fällen lohnt sich es um die Meinung eines Statistikers zu bitten. Die konkrete Entscheidung ist jetzt dafür, dass diese Daten angenähert normalverteilt betrachtet werden kann. Der paarige T-Test wird durch das folgende Menü angewendet: Statistics/Means/Paired t-test Die Einstellungen sind fast die selben, als bei den zweistichproben t-test. Es gibt zwei Unterschiede: einerseits hier braucht man nicht auf die Gleichheit der Varianzen kümmern, anderseits es wird hier zwei Datenvariable ausgewählt, weil es zu jeden Beobachtung zwei zugehörige Werte angehört, die werden verkoppelt. > t.test(falter$larvenmenge, Falter$RAUPENMENGE0, alternative='two.sided', + conf.level=.95, paired=true) Paired t-test data: Falter$LARVENMENGE and Falter$RAUPENMENGE0 t = , df = 55, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to mean of the differences Börzsönyi L. 9

10 Der p-wert ist 2.2x10-16, was keiner als 5% ist, d.h. die Nullhypothese (die durchschnittliche Raupenmenge und Larvenmenge stimmen bei Falter überein) wird abgelehnt. Daraus folgt, dass die durchschnittliche Raupenmenge und Larvenmenge nicht gleich sind. Die üblich Differenz der Durchschnitte und die übliche Konfidenzintervall zu der Sicherheit 95% wird angegeben. Der paarige t-test (verbundener t-test mit einseitiger Gegenhypothese) Frage: Ist die Annahme zu glauben, dass die durchschnittliche Raupenmenge grösser, als die Larvenmenge bei Falter ist? Antwort: Bei dieser Fragestellung wird ein verbundener t-test mit einseitiger Gegenhypothese angewendet. Die Einstellungen sind ähnlich, wie bei der vorigen Fragestellung, bloß die Alternativhypothese wählt man wie folg: Difference>0; d.h. (LARVENMENGE- RAUPENMENGE0>0) ist. > t.test(falter$larvenmenge, Falter$RAUPENMENGE0, alternative='greater', + conf.level=.95, paired=true) Paired t-test data: Falter$LARVENMENGE and Falter$RAUPENMENGE0 t = , df = 55, p-value < 2.2e-16 alternative hypothesis: true difference in means is greater than Inf mean of the differences Der p-wert ist 2.2x10-16, was keiner als 5% ist, d.h. die Nullhypothese wird abgelehnt und die Alternativhypothese beibehalten. Daraus folgt, dass die durchschnittliche Larvenmenge signifikant grösser, als Raupenenmenge0 ist. Es ist einfach zu zeigen, wenn man die Alternativhypothese: Difference<0 ist; d.h. (LARVENMENGE-RAUPENMENGE0<0) wählen würde, dann hätte man den p-wert=1 bekommen, d.h. in diesem Falle müsste man die H0 Hypothese beibehalten. Mit anderen Worten es ist nicht zu glaube, dass die Larvenmenge signifikant kleiner, als die Raupenmenge0 ist. Börzsönyi L. 10

11 > t.test(falter$larvenmenge, Falter$RAUPENMENGE0, alternative='less', + conf.level=.95, paired=true) Paired t-test data: Falter$LARVENMENGE and Falter$RAUPENMENGE0 t = , df = 55, p-value = 1 alternative hypothesis: true difference in means is less than 0 -Inf mean of the differences F-Test Mit Hilfe von F-Test wird entschieden, ob zwei Populationsvarianzen gleich oder unterschiedlich sind. Die Annahme des Tests ist normalverteilte Populationen und Unabhängigkeit der Stichproben. Frage: Ist die Annahme zu glauben, dass die Varianzen der HCO3-Werten bei männlichen und weiblichen Hunden gleich sind? Antwort: Die Normalität der HCO3-Werten wurde schon früher kontrolliert. Die Stichproben bei männlichen und weiblichen Hunden sind unabhängig. Der F-Test ist anwendbar. Man kommt in folgendes Menü: Statistics/Variances/Two-variances F-test Es wird eine zweiseitige Probe angewendet. Die Variablen sind wie üblich ausgewählt. > tapply(blut$hco3, Blut$Gender, var, na.rm=true) female male > var.test(hco3 ~ Gender, alternative='two.sided', conf.level=.95, data=blut) F test to compare two variances data: HCO3 by Gender F = , num df = 39, denom df = 29, p-value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to ratio of variances Börzsönyi L. 11

12 Der p-wert ist , was kleiner als 5% ist, d.h. die Nullhypothese wird abgelehnt, die Varianzen sind nicht gleich in den zwei Gruppen. Es ist zu bemerken, dass das Konfidenzintervall auf dem Quotienten der Varianzen berechnet wurde. Levine-Test Mit Hilfe von Levine-Test wird entschieden, ob zwei oder mehrere Populationsvarianzen gleich oder unterschiedlich sind. Mit anderen Worten, ob die untersuchten Varianzen homogen sind. Die Stichproben müssen unabhängig sein, aber die Normalität ist hier nicht vorausgesetzt. Frage: Ist die Annahme zu glauben, dass die Varianzen der Larvenmengen der drei unterschiedlichen Temperaturgruppen gleich sind? Antwort: Es muss mehr, als zwei Gruppen untersucht werden, so wird der Levine-Test angewendet. Die Stichprobengruppen sind von einander unabhängig und es sind drei Gruppen. Man wählt das folgende Menü: Statistics/Variances/Levene s test Man wählt die Gruppierungsvariable TEMP, sowie die untersuchende Variable LARVENMENGE aus. Nachher muss man noch die anwendbare Methode auswählen. Für mean wird ein klassischer Levine-Test angewendet. Wenn man median ausgewählt wird, dann wird ein wesentlich robuster Test angewendet. > tapply(falter$larvenmenge, Falter$TEMP, var, na.rm=true) erwaermt gekuelht zimmert > levenetest(falter$larvenmenge, Falter$TEMP, center=mean) Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = mean) Df F value Pr(>F) group Der p-wert ist , was größer als 5% ist, d.h. die Nullhypothese wird beibehalten, die Varianzen können gleich betratet werden. Wenn man eine signifikantes Ergebnis bekommen hätte, das würde bedeuten das unter den drei Varianzen sind mindestens zwei verschieden. Mit diesem Test könnte man es nicht beantworten, dass welche zwei Varianzen sind nicht gleich, sowie weißt man auch nicht ob eventuell alle der Varianzen sind unterschiedlich. Börzsönyi L. 12