Anomaler Zeeman-Effekt

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1 Anomaler Zeeman-Effekt Im allgemeinen wird bei einem äußeren Magnetfeld ein Aufspaltungsbild beobachtet das sich vom normalen Zeeman-Effekt unterscheidet. Diese Aufspaltung wird als anomaler Zeeman-Effekt bezeichnet. Der normale Zeeman-Effekt wurde ohne Berücksichtigung des Elektronen-Spins hergeleitet. Ohne Spin gilt µ ges = µ l = ( µ B h ) l. Da jedoch ein magnetische Moment durch den Spin µ s = g s (µ B h ) s hinzu kommt, gilt allgemein µ ges = µ j = µ l + µ s = µ B h ( l + g s s). Hieraus folgt, daß der normale Zeeman-Effekt Systeme beschreibt, für deren Gesamtspin S = i s i = 0 gilt. Solche Syteme haben eine gerade Anzahl von Elektronen deren Spins jeweils Paarweise antiparallel orientiert sind. Da Wasserstoff ein Einelektronensystem ist muss µ s berücksichtigt werden. Ohne ein

2 äußeres Magnetfeld ist j = l + s im Coulombpotential zeitlich konstant. Da s jedoch um das durch die Bahnbewegung erzeugte atomare Magnetfeld präzediert, muss µ j um die Richtung von j präzedieren.

3 Der zeitliche Mittelwert von µ j ist somit die Projektion von µ j auf j : j < µ j >= µ j j = µ B h ( l j j + g s ) s j. j Mit j = l + s folgt < µ j >= g j µ B j h, wobei der Landé-Faktor g j definiert ist durch g j = 1 + j(j + 1) + s(s + 1) l(l + 1). 2j(j + 1)

4 Liegt ein äußeres Magnetfeld B = {0,0, B z } an kann der Gesamtdrehimpuls j die Projektionen j z = m j h mit j m j +j haben. Die z-komponente von < µ j > wird somit zu < µ j > z = m j g j µ B Die zusätzliche Potenzielle Energie im Magnetfeld E mj = < µ j > z B führt dazu daß sich die Energieaufspaltung zweier benachbarter Zeeman-Komponenten m j und m j 1 schreiben lässt als E mj,m j 1 = g j µ B B. Liegt reiner Bahnmagnetismus vor (s = 0, j = l), so ist g j = 1 und man erhält für E mj,m j 1 l das Ergebnis des normalen Zeeman-Effektes. Für reinen Spinmagnetismus (l = 0, j = s) erhält man E mj,m j 1 s = 2 E mj,m j 1 l. Im allgemeinen Fall ist g j von j, l, (s), also dem Zustand des Systems, abhängig und kann Werte

5 zwischen 0 und 2 annehmen. Die Zeeman-Aufspaltung der Zustände hängt somit vom Zustand selber ab und ist nicht mehr für alle Zustände äquidistant. Das allgemeine Bild der Zeeman-Aufspaltung besteht daher meist aus mehr als drei Komponenten. Im folgenden wird g j für die Niveaus S 1/2,P 1/2 und P 3/2 berechnet : g j ( 2 S 1/2 ) = 2 g j ( 2 P 1/2 ) = 2/3 g j ( 2 P 3/2 ) = 4/3. Es ergeben sich folgende Termschemata für die Übergänge 2 P 1/2 2 S 1/2 und 2 P 3/2 2 S 1/2 :

6 a: 2P1/2 2 S1/2 ; b: 2P3/2 2 S1/2

7 Hyperfeinstruktur Betrachtet man das Spektrum des Wasserstoffes mithilfe hochauflösender,dopplerfreier Spektroskopie, so zeigt sich, daß die Energieniveaus der Feinstruktur nocheinmal in jeweils zwei Niveaus aufspalten. Diese Aufspaltung nennt man Hyperfeinstruktur. Unser bisheriges Modell kann diese nicht erklären, da in der bisherigen Herleitung der Atomkern als Punktförmig mit einer einzigen Eigenschaft seiner Ladung (Z )e und dem dazugehörigen Coulombpotential ψ(r) = Ze 4πɛ 0 r angesehen wurde. Tatsächlich besitzt der Kern jedoch eine Ausdehnung und kann somit einen mechanischen Drehimpuls besitzen. Völlig analog zum Elektronenspin führen wir diesen Drehimpuls I als weitere Eigenschaft des Kernes ein und nennen ihn Kernspin. Für seinen Betrag muss gelten I = I(I + 1) h

8 I wird als Kernspinquantenzahl eingeführt. Die z-komponente kann die Werte annehmen, wobei die Bedingung I z = m I h I m I +I dazu führt, daß genau (2I + 1) Werte angenommen werden können. Mit dem Kernspin ist ein magnetische Moment µ I des Kernes verbunden. Als Einheit führen wir analog zum Bohrschen Magneton µ B das Kernmagneton µ K = e 2m p h = 5, JT 1 ein. Das magnetische Kernmoment lässt sich in dieser Einheit als

9 µ I = g I µk h I schreiben. Der dimensionlose Faktor g I = γ K h µ K heißt Kern-g-Faktor. Analog zur Feinstruktur betrachten wir nun das, durch das umlaufende Elektron mit dem Gesamtdrehimpuls j, am Ort des Kernes erzeugte Magnetfeld B j. Die zusätzliche Energie durch das Kernmoment beträgt E HFSI,j = µ I B j. Führt man den Gesamtdrehimpuls F = j + I ein, so erhält man mit µ I E HFSI,j = A 2 [F(F + 1) j(j + 1) I(I + 1)]

10 wobei die Hyperfeinstrukturkonstante A = g I µ K B j, j(j + 1) vom Drehimpuls j des Elektrons abhängt. Die Energieniveaus E n,l,j spalten also in die Hyperfeinstrukturkomponenten E n,l,j,f = E n,l,j + A [F(F + 1) j(j + 1) I(I + 1)] 2 auf. Das Magnetfeld B j (0) hängt außer vom Drehimpuls j von der räumlichen Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons ab, die durch die Wellenfunktion

11 ψ n,l 2 bestimmt wird. Eine Berechnung ergibt für S-Zustände A = 2 3 µ 0g e µ B g I µ K ψ n (r = 0) 2. Zusammen mit den für Wasserstoff(Protonen) experimentell bestimmten Werten I = 1 2,g I = +5,58 ergibt sich für den 1S 1/2 Zustand des H-Atoms eine Aufspaltung von E = ev zwischen F = 1 und F = 0. Die Wellenlänge dieses magnetischen Dipolübergangüberganges beträgt λ = 21cm. Diese Linie spielt in der Radioastronomie eine wichtige Rolle.Zusätzlich zu dem Beitrag durch die Wechselwirkung des magnetischen Kernmoments mit dem am Kernort von

12 dem Elektron erzeugten Magnetfeld gibt es einen weiteren Beitrag zu den Energien. Dieser lässt sich als Dipol-Dipol Wechselwirkung zwischen den magnetischen Dipolmomenten von Kern und Elektron beschreiben. Für die s-zustände ist dieser Beitrag aufgrund der kugelsymetrischen Ladungsverteilung Null. Mit steigendem l 1 wird dieser Beitrag immer wichtiger und der erste Beitrag nimmt ab, da der mittlere Elektronenabstand größer wird. Bei größeren Atomen treten weitere Beiträge zur Hyperfeinstruktur auf, die durch elektrische Quadrupolmomente der Kerne entstehen. Beim Wasserstoff ist das Quadrupolmoment und somit auch sein Beitrag Null.

13 .

14 Paschen-Back-Effekt Unter dem Einfluß der inneren, durch Elektron und Kern erzeugten, Magnetfelder entstehen die Feinstruktur und die Hyperfeinstruktur der atomaren Energieniveaus. Durch den Einfluß äußerer Magnetfelder splitten diese Niveaus in mehrere Zeeman-Komponenten auf. Die Anzahl der Komponenten sowie deren Abstände hängen vom Zustand selber ab. Wird die Aufspaltung durch das äußere Magnetfeld größer als die Hyperfeinstruktur- bzw. Feinstrukturaufspaltung, so entkoppel j und I bzw. l und s. Die Entkopplung bezeichnet man als Paschen-Back-Effekt.

15 Sie führt dazu, daß das Aufspaltungsbild des anomalen Zeeman-Effektes zum Aufspaltungsbild des normalen Zeeman-Effektes wird.

16 linearer Stark-Effekt Besitzen Atome (oder Moleküle) ein permanentes elektrisches Dipolmoment p el so spalten sich analog zum Zeeman-Effekt die Niveaus mit dem Gesamtdrehimpuls J in einem elektrischen Feld E in (2J + 1) Komponenten auf. Ohne äußeres Feld ist J konstant, so daß p el um J präzediert. Für die gemittelte Komponente < p el > ergibt sich durch Projektion auf J < p el >= p el cosβ wobei β der Winkel zwischen p el und J ist. Mit der Projektion K h von J auf die

17 Richtung von p el folgt K < p el >= p el. J(J + 1) In einem elektrischen Feld E präzediert p el und mit ihm zusammen J um E. Ist M h die Projektion von J auf E ergibt sich für die Energieverschiebung der Niveaus K M E = < p el > E = p el J(J + 1) E Die Verschiebung ist der elektrischen Feldstärke proportional und wird daher als linearer Stark-Effekt bezeichnet.

18 quadratischer Stark-Effekt Atome die normalerweise kein elektrisches Dipolmoment besitzen erhalten durch ein äußeres elektrisches Feld ein induziertes elektrische Dipolmoment p ind el = α E. Die Polarisierbarkeit α ist ein Tensor, er beschreibt die im atomfesten System richtungsabhängige Polarisierbarkeit. Im allgemeinen zeigt p ind el daher nicht in die Richtung von E. Die Verschiebung der Energie im elektrischen Feld ist somit E = p ind el E = (α E) E = p ind el E 2 cosβ, mit dem Winkel β zwischen E und p ind el. Da diese Verschiebung proportional zu E 2 ist, nennt man sie quadratischer Stark-Effekt.

19 Bei wasserstoffähnlichen Atomen würde man normalerweise kein permanentes elektrisches Dipolmoment erwarten. Die n-entartung der Schrödinger Theorie führt zu einem Mischen der Wellenfunktionen gleicher Hauptquantenzahl n aber unterschiedlicher Bahndrehimpulsquantenzahl l, so daß ein permanentes Dipolmoment entsteht. Man beobachtet also bei wasserstoffähnlichen Atomen den linearen und nicht den erwarteten quadratischen Stark-Effekt.

20 Lamb-Verschiebung Um ein Atom das elektromagnetische Strahlung absorbieren und emittieren kann korrekt zu beschreiben muss zusätzlich zu allen bisher vorgestellten Wechselwirkungen seine Wechselwirkung mit dem Strahlungsfeld berücksichtigt werden. Diese Wechselwirkung wird durch die Quantenelektrodynamik (QED) beschrieben. Sie besteht darin, daß das Elektron im Coulombfeld des Kernes, während einer Zeit t h E = 1 ω, ein sogenanntes virtuelles Photon der Energie hω absor-

21 bieren und wieder emittieren kann, ohne daß im Rahmen der Unschärferelation der Energiesatz verletzt wird. Der Rückstoß dieser virtuellen Emissionen und Absorptionen führt in unserem bisherigen Bild vom Wasserstoffatom dazu, daß das Elektron auf seiner Bahn um den Kern eine Zitterbewegung ausführt. Obwohl für den Erwartungswert der Verschiebung δr gilt < δr >= 0, ist der Erwartungswert von 1 r+δr 1 r + δr 1 r Die Mittlere potentielle Energie E potδr unter der Berücksichtigung von δr ist

22 somit von der ungestörten potentiellen Energie E pot verschieden, es gilt < E potδr >= Ze2 4πɛ 0 Die Verschiebung E = E potδr E pot bezeichnet man als Lamb- Verschiebung. Sie hängt von der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons im Coulombfeld des Kernes ab und ist somit von n,l abhängig. 1 Ze2 r + δr 4πɛ 0 1 r =< E pot >.

23 Lamb-Retherford-Experiment Der experimentelle Nachweis, des Lamb-Shifts im 2 2 S 1/2 Zustand des Wasserstoffes, gelang 1947 Willis Lamb und Robert Retherford. Die verwendete Versuchsanordnung war folgendermaßen: In einem geheizten Wolframofen wurde Wasserstoff thermisch dissoziert. Die austretenden H-Atome wurden durch eine Blende zu einem Atomstrahl kollimiert. Durch Elektronenstöße wurde in den H-Atomen des Strahls der 2 2 S 1/2 Zustand, mit einer Lebensdauer von mehr als 1s, angeregt. Nach einer kurzen Flugstrecke treffen die angeregten Atome auf ein Wolframblech, wobei sie ihre anregungsenergie abgeben und dabei ein Elektron auslösen. Der Strom durch die ausgelösten Elektronen wird gemessen. Auf der Flugstrecke durchlaufen die Atome ein Hochfrequenzfeld, dessen Frequenz so abgestimmt wird, daß möglichst viele angeregte H-Atome durch induzierte Emission in den 2 2 P 1/2 Zustand übergehen. Da der

24 2 2 P 1/2 Zustand eine Lebensdauer von τ = s hat geht er noch auf der Flugstrecke unter Emission eines L α -Photons in den 1 2 S 1/2 Zustand über und kann auf dem Wolframblech keine Elektronen mehr auslösen. Trifft man also mit der Frequenz des Hochfrquenzfeldes möglichst genau die Energie des Überganges 2 2 S 1/2 2 2 P 1/2 so wird der registrierte Strom minimal. Der von Lamb und Retherford gefundene Wert für den Lamb-Shift des 2 2 S 1/2 Niveaus beträgt E = 4, ev. Er stimmt ziemlich genau mit dem aus der QED errechneten Wert von E th = 4, ev überein.

25 Versuchsaufbau Lamb-Retherford Experiment

26 Zusammenfassung Wasserstoffatom Aus der einfachen Schrödingergleichung für den Wasserstoff ergeben sich die Spektrallinen des Bohrschen Atommodells. Das Experiment von Stern-Gerlach hat gezeigt, daß das Elektron eine Eigenschaft den Elektronenspin besitzt, die durch die Schrödinger Theorie nicht erklärt werden kann. Erweitert man die Schrödingergleichung um einen Term der den Spin berücksichtigt so kann die Feinstruktur welche ebenfalls experimentell gefunden wird berechnet werden. Eine vollständige Theorie die den Elektronenspin von Anfang an einschließt, wurde 1928 von Paul A.M. Dirac entwickelt, anstelle der Schrödingergleichung stellte er die Dirac-Gleichung auf die außerdem relativistische Effekte berücksichtigt. Die relativistische Massenzunahme des Elektrons kann ebenfalls in der Schrödinger Theorie berücksichtigt werden, die n entartung wird hierduch aufgehoben. Hochauflösende dopplerfreie Spektroskopie zeigt jedoch, daß die Komponenten

27 der Feinstruktur jeweils aus zwei Komponenten bestehen. Diese sogenannte Hyperfeinstruktur kann analog zur Feinstruktur durch eine Eigenschaft des Kernes, den sogenannten Kernspin, erklärt werden. Berücksichtigt man nun noch den Lamb-Shift der durch die Wechselwirkung des Atoms mit seinem eigenen Strahlungsfeld erzeugt wird und durch die Quantenelektrodynamik beschrieben wird, so können alle bis heute gefundenen Energieniveaus im Spektrum des ungestörten H-Atoms erklärt werden. Unter dem Einfluß äußerer magnetischer und elektrischer Felder splitten die Niveaus des Wasserstoffs weiter auf. Der Einfluß durch magnetische Felder wird durch den Zeeman-Effekt (normal und anomal), der Einfluß durch elektrische Felder durch den Stark-Effekt (linear oder quadratisch) beschrieben, und ist im allgemeinen vom Systemzustand selbst abhängig.

28 Spektrum des H-Atoms

29 Korrespondenzprinzip Um den Übergang zwischen klassischer Physik und der Quantentheorie herzustellen, formulierte Bohr das sogenannte Korrespondenzprinzip. Es besagt: 1. Die Aussagen der Quantentheorie über ein atomares System müssen im Grenzfall großer Quantenzahlen mit den Aussagen der klassischen Physik übereinstimmen. 2. Auswahlregeln gelten für den gesamten Bereich der Quantenzahlen, d.h. eine aus der klassischen Theorie erhaltene Auswahlregel (für große Quantenzahlen) muss auch in der Quantentheorie für den Grenzfall kleiner Quantenzahlen Gültigkeit behalten

30 Beispiel für das Korrespondenzprinzip Nach der klassischen Elektrodynamik würde ein Elektron auf seiner Bohrschen Bahn, Licht der Frequenz ν kl welche seiner Umlauffrequenz entspricht emittieren. ν kl = v 2πr = m Z2 e 4 4ɛ 2 0 n3 h 3 Die Quantentheorie sagt h ν QM = E, es folgt ν QM = m Z2 e 4 8ɛ 2 0 h3 ν QM = m Z2 e 4 4ɛ h3 2 ( 1 n 2 i 1 n 2 k ) (n k + n i ) (n k n i ) n 2 i n2 k

31 Für große Quantenzahlen n und kleine Quantensprünge n geht ν QM über in ν QM = m Z2 e 4 4ɛ 2 0 n3 h 3 n. Für n = 1 erhält man also die klassisch berechnete Frequenz. Vergleich man die Abweichung zwischen klassischer und quantentheoretischer Rechnung bei steigendem n und n = 1, so ergibt sich bei n = 5 eine Abweichung von 29%, bei n = 100 von 1, 5% und bei n = von 0,015%.

32 Wie groß ist ein Elektron? Über die Eigenschaften des Elektrons wissen wir bisher folgendes: 1. m e = 9, kg 2. e = 1, C 3. s = 3 2 h. s kann mathematisch wie ein Drehimpuls behandelt werden. 4. µ s = γ s = g s µ B e s 5. r e =?

33 In einem vereinfachenden klassischen Modell nimmt man an, daß m e und e sich gleichmäßig über das Volumen einer Kugel mit dem Radius r e verteilen. Unter der Annahme, daß die elektrostatische Energie der Ruheenergie des Elektrons entspricht ergibt sich: r e = e 2 4πɛ 0 m e c 2 = 2, m. Nimmt man weiterhin an, daß die Kugel mit einer Winkelgeschwindigkeit ω rotiert, so kann man µ s aus dem resultierenden Kreisstrom berechnen. Ein Vergleich mit dem experimentel bestätigten Wert µ s = 2 µ B führt zu einer äquatorialen Umlaufgeschwindigkeit v = ω r e > m/s c, ein offensichtlich sinnloses Ergebnis. Ähnlich verhält es sich für den Fall, daß

34 man s als mechanischen Eigendrehimpuls der isotropen Masse m e interpretiert. s kann mithilfe des Trägheitsmoments einer Kugel berechnet werden. Durch einen Vergleich mit dem Wert s = 3 2 h folgt v = ω r e > m/s c. Wiederum ein offensichtlich falsches Ergebnis. Aus Elektron-Elektron- Streuexperimenten ergibt sich die Gültigkeit des Coulombgesetzes bis hinunter zu Abständen r < m. Die gesamte Ladung des Elektrons muss also auf ein Volumen mit r < m konzentriert sein. In unserem Modell würde die Umlaufgeschwindigkeit hierdurch noch weiter erhöht werden. Tatsächlich gibt es bislang kein überzeugendes in sich konsistentes Modell des Elektrons. Alles deutet darauf hin daß das Elektron als punktförmiges Teilchen behandelt werden kann dessen Ruheenergie seiner Feldenergie äquivalent ist. Der Spin kann als weitere Eigenschaft des Elektrons angesehen werden, die nur formal

35 den selben Rechenregeln wie ein Drehimpuls gehorcht.

36 Das Heliumatom Nachdem wir die Spektren von Einelektronensystemen beschreiben können, wenden wir uns dem einfachsten Mehrelektronensystem dem He-Atom zu. Es gilt: 1. m KHe 4m KH 2. Z = 2 3. Helium besitzt zwei Elektronen Wie beim Wasserstoff gehen wir zum Schwerpunktsystem über. Der Zustand der Elektronen

37 wird durch die Wellenfunktion ψ( r 1, r 2 ) beschrieben. Für die potentielle Energie gilt ( E pot = e2 Z + Z 1 ). 4πɛ 0 r 1 r 2 r 12 Der Operator der kinetischen Energie wird zu Ê kin = h 2µ ( 1 r r 2 ) mit der reduzierten Masse Da m K > 7300m e setzen wir µ = m e m K m e + m K. µ = m e = m

38 und erhalten so die Schrödingergleichung für das Heliumatom h2 2m 1ψ( r 1, r 2 ) h2 2m 2ψ( r 1, r 2 ) + E pot ψ( r 1, r 2 ) = Eψ( r 1, r 2 ). Der Wechselwirkungsterm der beiden Elektronen in der Potentiellen Energie führt dazu daß das Potential nicht mehr Kugelsymmetrisch ist, sondern vom Winkel α zwischen r 1 und r 2 abhängt. Anders als beim H-Atom kann man die Schrödingergleichung nicht mehr analytisch Lösen, da die Wellenfunktion nicht mehr in einen Radialanteil und einen Winkelanteil separiert werden kann.

39 Näherungsmodelle In einer ersten Näherung vernachlässigen wir die Elektronen-Elektronen Wechselwirkung in der potentiellen Energie und machen einen Produktansatz Ψ( r 1, r 2 ) = ψ 1 ( r 1 ) ψ 2 ( r 2 ). Die Schrödingergleichung geht dann in zwei dem Wasserstoff identische Gleichungen für die beiden voneinander unabhängigen Elektronen über. Sie lassen sich schreiben als: h 2 2m iψ i ( r i ) e2 Z ψ i ( r i ) = E i ψ i ( r i ). 4πɛ 0 r i Die Lösungen der Gleichungen sind identisch mit denen des Wasserstoffatoms.

40 Für die Energie des Heliums im Grundzustand n = 1 für beide Elektronen folgt E He = 2Z 2 E H = 108, 8eV. Die experimentell bestimmte Ionisationsenergie von He ++ beträgt jedoch nur E exp = 78, 93eV. Durch unsere Näherung haben wir also einen Fehler von 40% gemacht.

41 In einer zweiten Näherung berücksichtigen wir, daß sich die Elektronen in einem Potential bewegen das sich aus dem Coulombpotential des Kernes und dem des zeitlich gemittelten kugelsymmetrischen Potentials des zweiten Elektrons zusammensetzt. Das zweite Elektron schirmt das Coulombfeld des Kernes teilweise ab, so daß das effektive Potential durch eine effektive Kernladung von (Z S) e erzeugt wird. S wird als Abschirmungskonstante bezeichnet. Für S = 1, was einer vollständigen Abschirmung durch ein Elektron entspricht, erhalten wir für das eine Elektron eine Bindungsenergie von E He1 = E H. Für das zweite unabgeschirmte Elektron ergibt sich E He2 = Z 2 E H was zu einer Ionisationsenergie von E He = E H Z 2 E H = 67, 5eV führt. Der Fehler beträgt also nur noch 15%. Den experimentellen Wert E He = 78, 983eV erhält man unter der Annahme daß nur ein Elektron abgeschirmt wird bei S = 0, 656. Unter der Annahme daß sich beide Elektronen gleichermaßen abschirmen erhalten wir für beide einen Wert von S = 0, 298. Es werden also

42 15% der Kernladung abgeschirmt.

43 Symmetrie der Wellenfunktion Betrachtet man den Produktansatz Ψ( r 1, r 2 ) = ψ 1 ( r 1 ) ψ 2 ( r 2 ), so hängen die beiden beiden Separationsanteile ψ 1 und ψ 2 von den Quantenzahlen a = (n 1, l 1,m 1 ) und b = (n 2, l 2,m 2 ) ab. W(a,b) = Ψ ab 2 beschreibt die Wahrscheinlichkeit daß der Atomzustand (a,b) realisiert ist. Da die Elektronen ununterscheidbar sind muss gelten: W(a,b) = W(b,a)

44 Mit Ψ ab = ψ 1a ψ 2b und Ψ ba = ψ 2a ψ 1b folgt somit Ψ ab 2 = Ψ ba 2 Ψ ab = e iϕ Ψ ba Aus der Ununterscheidbarkeit der beiden Elektronen ergibt sich also, daß sich nach einer Vertauschung der beiden Teilchen die beiden Wellenfunktionen nur um eine Faktor e iϕ unterscheiden dürfen. Da nach einer zweite Vertauschung daß System wieder in den urspünglichen Zustand zurückkehren muss, kann ϕ entweder 0 oder π sein. Die Quantenmechanische Berechnung der Vertauschung zweier identischer Teilchen durch den Vertauschungsoperator ˆP ik zeigt, daß unser

45 Produktansatz dieser Relation nicht genügt. Der symmetrische Ansatz Ψ s = 1 2 [ ψ1a ψ 2b + ψ 2a ψ 1b ] für den gilt ˆP ab Ψ s = Ψ s und der antisymmetrische Ansatz Ψ a = 1 2 [ ψ1a ψ 2b ψ 2a ψ 1b ] für den gilt ˆPab Ψ a = Ψ a, genügen der Vertauschungsrelation. Das Produkt gleicher Zustände, z.b. Ψ aa genügt ebenfalls der Vertauschungsrelation. Hiermit folgt für den Fall daß sich beide Elektronen im selben Zustand befinfen, daß Ψ a 0.

46 In diesem Fall beschreibt Ψ s das System.

47 Berücksichtigung des Elektronenspins Bisher haben wir den Elektronen Spin vernachlässigt. Beim Wasserstoffatom hat sich gezeigt, daß der Spin jedoch unbedingt berücksichtigt werden muss um die Zustände eine Systems korrekt zu beschreiben. Für den Spin eines Elektrons gilt : 1. s = s(s + 1) h 2. s = < s z >= m s h mit m s = ± 1 2

48 Wir führen nun die Spinfunktionen χ + und χ ein, welche die beiden Spineinstellungen m s = und m s = 1 2 beschreiben ein. Die genaue mathematische Form der Funktionen geht in unsere Überlegungen nicht weiter ein. Die Zustände in denen der Spin beider Elektronen parallel ist können wir schreiben als χ I = χ + 1 χ+ 2, χ II = χ 1 χ 2. Die beiden Zustände (χ + 1,χ 2 ) und (χ+ 2,χ 1 ) mit antiparallelen Spin können als identisch angesehen werden. Analog zur Wellenfunktion finden wir eine symmetrische Spinfunktion χ III = 1 2 [ χ + 1 χ 2 + χ+ 2 χ 1 ]

49 und eine antisymmetrische Spinfunktion χ IV = 1 2 [ χ + 1 χ 2 χ+ 2 χ 1 ]. Jetzt führen wir den Gesamtspin des Systems als S = s1 + s 2 mit S = S(S + 1) h und die Gesamtspinquantenzahl S ein. Die Projektion von S wird durch M S = m s1 + m s2 beschrieben. Für die verschiedenen Spinfunktionen gilt: χ I : S = 1, M S = +1 χ II : S = 1, M S = 1

50 χ III : S = 1, M S = 0 χ IV : S = 0, M s = 0 Da der Spin für S = 1 genau drei mögliche Einstellungmöglichkeiten besitzt, nennen wir dies einen Triplett-Zustand. Entsprechend nennen wir den einen Zustand mit S = 0 einen Singulett-Zustand. Unsere Gesamtwellenfunktion können wir nun schreiben als Ψ ges = Ψ ab χ spin (S,M S ). Ein Zustand des Systems wird durch die Quantenzahlen (n 1,l 1,m l1, n 2,l 2, m l2, S,M S ) eindeutig beschrieben.

51 Das Pauliprinzip Für das Produkt von zwei Funktionen gilt: antisymmetrisch antisymmetrisch = symmetrisch antisymmetrisch symmetrisch = antisymmetrisch symmetrisch symmetrisch = symmetrisch Unsere Gesamtwellenfunktion kann also prinzipiell symmetrische und antisymmetrische Zustände annehmen. Tatsächlich beobachtet man jedoch in den Spektren aller Atome ausschließlich Atomzustände deren Gesamtwellenfunktionen antisymmetrisch gegen die Vertauschung von zwei Elektronen sind! Hieraus ergibt sich daß vom Nobelpreisträger Wolfgang Pauli 1925 aufgestellte Postulat :

52 Die Gesamtwellenfunktion eines Systems mit mehreren Elektronen(Fermionen) ist immer antisymmetrisch gegen Vertauschung zweier Elektronen(Fermionen). Dieses Postulat wird als Pauliprinzip bezeichnet. Bis zum heutigen Tag wurde keine Ausnahme zu diesem Prinzip gefunden. Aus unserer Gesamtwellenfunktion ergibt sich durch das Pauliprinzip folgendes: Wenn sich beide Elektronen im gleichen Zustand a = b befinden, ist Ψ ab wie wir bereits gesehen haben symmetrisch. D.h. die Spinfunktion muss antisymmetrisch sein. Nur χ IV weist diese Eigenschaft auf. Es folgt daß der Gesamtspin des Systems Null sein muss. Verallgemeinert bedeutet dies, daß jeder Zustand mit den räumliche Quantenzahlen n, l, m von genau zwei Elektronen eingenommen werden kann, deren Spins antiparallel sind und sich zu S = 0 addieren. Man kann daher das Pauliprinzip auch folgendermaßen formulieren: Ein durch die vier Quantenzahlen (n,l,m l,m s ) vollständig beschriebener Zustand eines Atoms kann höchsten von einem Elektron besetzt werden.