Umfassende Aufgaben zu. Exponentialfunktionen. Funktionsterme mit Brüchen, Wurzeln und Ln. Lösungen auch mit CAS. Alle Methoden ganz ausführlich

Transkript

1 ANALYSIS Funktionntraining Umfassnd Aufgabn zu Eponntialfunktionn Funktionstrm mit Brüchn, Wurzln und Ln Lösungn auch mit CAS All Mthodn ganz ausführlich Dati Nr Stand 6. Oktobr 016 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Dmo-Tt für

2 45130 Aufgabnsammlung: po 3 Vorwort Dis Sammlung an umfangrichn Aufgabn zu komplizirtn Eponntialfunktionn ist zur Auswahl für Übungszwck gdacht. Mistns ligt Abiturnivau vor. Di Mustrlösungn sind tilwis auch mit CAS-Vrwndung rstllt wordn, dnnoch wurdn all Mthodn ausführlich dargstllt. Wr also nicht mit inm CAS arbitt, kann dis Lösungn dnnoch vrwndn um di Mthodn zu trainirn und di Lösungn zu vrglichn. (1) Hir in klin Zusammnstllung ds Grundwissns für und ln: Dis Grundlagn kann man in dn Ttn 1810, 1830, 1850 lrnn und übn. a lna Bispil: n () n lna lna (3) Bispil: lna a Bispil: a (4) 0 ln0 1 ln3 ln3 ln9 1 1 ln4 ln 4 ln 4 ln ln3 ln9 9 1 ln 4 ln ln a ln a 1 a Umkhrung von (): (5) (6) Bispil: ln 1 ln u v lnu ln v 1. Logarithmusrgl Bispil: ln ln 1 ln ln ln ln 1 u ln ln u ln v. Logarithmusrgl v Bispil: ln ln ln 1 ln Nwtonschs Nährungsvrfahrn: h n1 n h' rgibt in Nährungsfolg für di Nullstll inr Hilfsfunktion h. Sih Tt bzw Dmo-Tt für n n Fridrich Buckl

3 45130 Aufgabnsammlung: po 3 3 WISSEN: Rgl von d l Hospital für problmatisch Grnzwrt: Am Bispil f 1 rknnt man, was für passirt: Dr 1. Faktor ght ggn Unndlich, dr zwit ggn 0: Doch dr Ausdruck "0 " ist unbstimmt.. lim 1 0 Im Grundkurs wird dr Lhrr disn Tatbstand im Untrricht rklärn und dann mist damit zufridn sin, dass man disn Tatbstand wiß. Man kann disn Fakt auch ganz licht mit inm Taschnrchnr übrprüfn: f(5) 5 5 0, f(10) 10 0, f(0) 0 5,6 10 0, Dis lässt rknnn, wi schnll di Funktion dm Grnzwrt 0 zustrbt. Auf Listungskursnivau wird man für disn und ähnlich Fäll di Rgl von d l Hospital anwndn. Si bsagt (infach formulirt): Wnn dr Grnzwrt istirt, gilt z() lim n() a a z'() lim. n'() Damit kann man Grnzwrt von Bruchfunktionn durch dis spzill Art ds gtrnntn Ablitns von Zählr und Nnnr brchnn. 1. Schritt: Man vrwandlt das Produkt. Schritt: Nach d L'Hospital gilt: 1 in inn Bruch: 1 1 f 1 In inn Bruch vrwandln 1 1 lim f lim lim lim lim lim 0 Also ist y = 0 di waagrcht Asymptot für. Ablitn nach d L'Hospital zurück vrwandln Dmo-Tt für Fridrich Buckl

4 45130 Aufgabnsammlung: po 3 4 Aus folgndr List kann man rknnn, wlch Zusatzaufgabn vorkommn. Inhalt Funktionstrm Inhalt Aufgab Lösung 301 fk Punktsymmtri zu Z, Umkhrbarkit, k Intgralfläch, t f Ortskurv dr Wndpunkt, Monotoni, k t Punktsymmtri zum Wndpunkt trmr Drickinhalt, Nwton-Itration 6 0 3t 303 f Ortskurv dr Wndpunkt, Punktsymmtri, k t Intgralfläch, Umkhrfunktion 7 5 Partill CAS-Lösung im Anhang t f Punktsymmtri zum Wndpunkt, Monotoni, t 4 1 Umkhrfunktion mit Flächnbrchnung f Monotoni, Umkhrfunktion, minimalr 3 1 Rchtckumfang, Spiglung an dr y-achs f 1 8 Kondnsatoraufladung, Monotoni, 4 Punktsymmtri, Intgralfläch abschätzn 9 39 k 311 f Gminsam Punkt mit y k 1, Intgralfläch f Monotoni, Stammfunktion, Umkhrfunktion. Anwndung: Gschwindigkit Fallschirm, Wg. g' Spzialfragn zu y h g f = Rchtckinhalt, Bwis inr Unglichung 1+ Abschätzung inr Intgralfläch Drhkörpr-Volumn, Abschätzung inr f 4 Intgralfläch durch Vrglich mit t 1 g f =ln +t Dfinitionsbrich, Asymptotn f =ln +4 Etrm- und Wndpunkt, Umkhrfunktion Dmo-Tt für Fridrich Buckl

5 45130 Aufgabnsammlung: po 3 5 Aufgabnsammlungn mit -Funktionn Nur Kurvndiskussionn vilr Artn von -Funktionn Umfassnd Aufgabn mit infachn -Funktionn 4510 Umfassnd Aufgabn mit -Funktionn in Produktn Umfassnd Aufgabn mit komplizirtrn -Funktionn (disr Tt) Aufgabnsammlung: Eponntills Wachstum 4581 Aufgabnsammlung: Bgrnzts Wachstum Aufgabnsammlung: Logistischs Wachstum Abituraufgabn zum Thma Wachstum Abituraufgabn zum Thma Wachstum mit Diffrntialglichungn Abituraufgabn zum Thma Krankhitn und Mdikamnt Abituraufgabn mit spzilln -Funktionn Abituraufgabnsammlungn von Bruflichn Gymnasin nthaltn vil Aufgabn zum Thma -Funktionn: 7401 BW Analysis ab Analysis Til 3 Anwndungsaufgabn 005 bis Analysis Til 4 Anwndungsaufgabn ab 010 Abituraufgabnsammlungn zur Fachhochschulrif: Analysis 1 ganzrational (+ -Fkt..) Analysis ganzrational (+ -Fkt..) ab Analysis 3 Eponntialfunk. (+ ganzrat. Fkt.) Analysis 4 Eponntialfunk. (+ trigon. Fktr.) ab 010 Dmo-Tt für Fridrich Buckl

6 45130 Aufgabnsammlung: po 3 6 Eponntialfunktionn mit Bruchtrmn Aufgab 301 f k k mit k \ 0 a) Ermittl all Asymptotn ds Schaubilds C k von f k. Untrschid dabi zwischn positivm und ngativm k. Untrsuch di Eistnz von Etrm- und Wndpunktn von C k Zichn di Schaubildr C 1 und C -1 für 4 4 mit Längninhit 1 cm. b) Es si k > 0. Zig, dass C k punktsymmtrisch zu Zlnk 1 ist. c) Brchn mit dm Nwtonschn Itrationsvrfahrn dn Schnittpunkt von C 1 mit dr rstn Winklhalbirndn. d) Untrsuch allgmin di Umkhrbarkit dr Funktion f k. ) C - bgrnzt zusammn mit dn Gradn = ln und = r ( r < ln ) in Fläch. Brchn drn Inhalt A(r) sowi drn Grnzwrt für r. Wi groß ist di Fläch zwischn dr Gradn y =, K - und dn Gradn = ln und = r (r > ln ) im Grnzfall für r? Aufgab 30 f t t t für t > 0 a) Bstimm Schnittpunkt mit dr -Achs, Etrm- und Wndpunkt für das Schaubild K t von f t. Wlch Glichungn habn di Asymptotn? Brchn di Glichung dr Ortskurv dr Wndpunkt. Zichn K für [ - 4 ; 4 ] b) Untrsuch das Monotonivrhaltn dr Funktion f t. Bstimm di Glichung dr Umkhrfunktion g t zu f t. Gib drn Dfinitionsbrich und ihr Asymptotn an. Zichn das Schaubild G von g ins glich Achsnkruz. c) Zig, dass K t punktsymmtrisch zum Wndpunkt ist. d) P u f u mit u > 0 si in Punkt von K. Di -Achs, di Grad y = und di Parallln dazu durch P bgrnzn in Rchtck. Zig, dass dr Inhalt diss Rchtcks inn Etrmwrt annimmt. Dmo-Tt für (Auf in Kontroll mit dr. Ablitung darf vrzichtt wrdn). Brchn di Etrmstll mit dm Nwtonschn Nährungsvrfahrn auf 3 Dzimaln gnau. Fridrich Buckl