Regine Schreier

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1 Regine Schreier

2 Kryptographie Verschlüsselungsverfahren Private-Key-Verfahren und Public-Key-Verfahren RSA-Verfahren Schlüsselerzeugung Verschlüsselung Entschlüsselung Digitale Signatur mit RSA 2

3 Lehre der Datenverschlüsselung Schutzziele Vertraulichkeit Integrität Authentizität Zurechenbarkeit 3

4 Definition Ein Verschlüsselungsverfahren oder Kryptosystem ist ein Fünftuppel (Ƥ,Ƈ,Ƙ,Ɛ,Ɗ) mit folgenden Eigenschaften: 1) Menge Ƥ Klartextraum (Plaintext), Elemente Klartexte 2) Menge Ƈ Chiffretextraum (Ciphertext), Elemente Schlüsseltexte oder Chiffretexte 3) Menge Ƙ Schlüsselraum (Key), Elemente Schlüssel 4) Familie von Funktionen Ɛ={E k : Ƥ Ƈ k Ƙ}, Elemente Verschlüsselungsfunktionen 5) Familie von Funktionen Ɗ={D k : Ƈ Ƥ k Ƙ}, Elemente Entschlüsselungsfunktionen 6) e Ƙ d Ƙ p Ƥ : D d (E e (p))=p 4

5 Grundsätzliche Idee Alice möchte die Nachricht m Ƥ vertraulich an Bob schicken Übermittlung von c Benötigt e Ƙ Berechnet Chriffretext c=e e (m) Benötigt d Ƙ Berechnet Klartext m=d d (c) 5

6 Beispiel Verschiebungschiffren Idee: ABC DEF Verschieben um 3 Klartext-, Chiffretext- und Schlüsselraum ist ={A,B,C,,Z} Identifizierung von Buchstaben mit Zahlen ermöglicht das Rechnen mit Buchstaben A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z = Z/26Z 6

7 Definition: Kongruenz und Restklassen a ist kongruent zu b modulo n mit a,b Z und n N, wenn n die Differenz b-a teilt. Schreibweise: a b mod n. Äquivalente Aussagen: 1) a b mod n 2) a = b+kn mit k Z 3) a und b lassen bei Division durch n denselben Rest. Kongruenz modulo n ist eine Äquivalenzrelation. Äquivalenzklasse [a] = {b Z b a mod n} = a+nz heißen Restklassen von a mod n. [a]+[b] [a+b] [a] [b] [a b] 7

8 Beispiel Verschiebungschiffren A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Identifizierung = Z/26Z (z.b. K=[10]) Ver- & Entschlüsselungsschlüssel ist [e] Z/26Z ([e]=[5]) Verschlüsselungsfunktion E [e] : [x] [x+e] ([10] [15]) Entschlüsselungsfunktion D [e] : [y] [y-e] ([15] [10]) KRYPTOGRAPHIE E [5] PWDUYTLWFUMNJ D [5] KRYPTOGRAPHIE 8

9 Idee e und d stimmen überein bzw. d lässt sich aus e leicht berechnen (symmetrisches Kryptosystem) Ablauf Alice und Bob tauschen Schlüssel über eine sicher Leitung aus Alice verschlüsselt m zu c=e e (m) Übertragung von c Bob entschlüsselt c zu m=d d (c) Problematik Verteilung und Verwaltung der Schlüssel 9

10 Annahme In einem Netzwerk mit n Teilnehmern wollen alle geheim miteinander kommunizieren können. 1. Möglichkeit Je zwei Teilnehmer tauschen Schlüssel geheim aus => Schlüssel müssen geheim übertagen werden 71,7 Millionen Internetnutzern in Deutschland (Stand 2015) => Geheimer Austausch von 2, Schlüssel 2. Möglichkeit Zentrale Stelle für Kommunikation => Jeder tauscht Schlüssel mit zentralen Stelle aus 10

11 Idee e und d sind verschieden und d lässt sich nicht mit vertretbarem Aufwand aus e bestimmen - asymmetrisches Kryptosystem. Dazu nutzen Public-Key-Verfahren schwer zu lösende Berechnungsprobleme aus der Zahlentheorie. Ablauf Bob (Empfänger) veröffentlicht e und hält d geheim Alice (Absender) nutzt öffentlich zugängige e und verschlüsselt m zu c=e e (m) Übertragung von c Bob entschlüsselt c zu m=d d (c) e öffentlicher Schlüssel (public key), d geheimer Schlüssel (private key) 11

12 Öffentliche Schlüsselverzeichnisse Name Öffentlicher Schlüssel Bob Regine Problematik Sicherheit des öffentlichen Verzeichnis Man muss sicher gehen können, dass der im öffentlichen Verzeichnis stehende Schlüssel auch tatsächlich der öffentliche Schlüssel des Empfängers ist und dieser nicht manipuliert wurde. => Digitale Signaturen 12

13 Private-Key-Verfahren gelten als sehr sicher, beinhalten jedoch die Problematik der Verteilung und Verwaltung der Schlüssel Public-Key-Verfahren vereinfachen Schlüsselmanagement Bekannte Public-Key-Verfahren sind nicht so effizient im Vergleich zu vielen Private-Key-Verfahren => In Praxis häufig Kombination beider Verfahren Beispiel: Hybrid-Verfahren 13

14 Erste und bis heute wichtigste Public-Key-Verfahren Erfinder (1978) Ron Rivest Adi Shamir Len Adleman Zugrundeliegendes zahlentheoretische Berechnungsproblem: Zerlegung großer Zahlen in Primfaktoren 14

15 Definition Eine natürliche Zahl p>1 heißt Primzahl, wenn sie genau 2 positive Teiler besitzt, nämlich 1 und p. Man sagt a teilt n, wenn es eine ganze Zahl b gibt mit n=a b. a heißt Teiler von n. Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie Jede natürliche Zahl a>1 kann als Produkt von Primzahlen geschrieben werden. Bis auf die Reihenfolge sind die Faktoren in diesem Produkt eindeutig bestimmt. 15

16 Bob (Empfänger) wählt zufällig Primzahlen p und q und berechnet das sogenannte RSA-Modul n=p q p und q werden etwa gleichgroß gewählt p und q mit Bit-Länge 256 => n mit Bit-Länge 512 (Mindestlänge) Experimentelle Untersuchungen zeigen: Langfristige Sicherheit erfordert Bit-Länge von 1024 bzw Zufällige Auswahl ein Primzahl mit fester Bit-Länge erfolgt über mathematisches Verfahren 16

17 Bob (Empfänger) wählt eine natürliche Zahl e mit (1) 1 < e < ɸ(n) = (p-1) (q-1) (2) ggt(e,ɸ(n)) = 1 Eulersche Phi-Funktion ɸ : N N mit ɸ(n) {a N 1 a n und ggt(a,n)=1} Falls p und q teilerfremd gilt: ɸ(p q) = ɸ(p) ɸ(q) => ɸ(n) = ɸ(p q) = ɸ(p) ɸ(q) = (p-1) (q-1) 17

18 Auswahl von e e wird so gewählt, dass Verschlüsselung möglichst effizient (bzgl. Rechenaufwand), aber dennoch sicher ist => e sollte nicht beliebig groß werden Nach Voraussetzung ist 1<e e 2, da ɸ(n)=(p-1) (q-1) gerade und somit ggt(2,ɸ(n))=2 => kleinste mögliche e ist e=3 Low-Exponent-Attacke => e = = üblich 18

19 Bob (Empfänger) bestimmt natürliche Zahl d mit (1) 1 < d < ɸ(n) = (p-1) (q-1) (2) d e 1 mod ɸ(n) d existiert d wird über den erweiterten Euklidischen Algorithmus bestimmt => Öffentlicher Schlüssel (n,e) mit n RSA-Modul und e Verschlüsselungsexponent Bob veröffentliche (n,e) Geheime Schlüssel d mit d Entschlüsselungsexponent 19

20 Alice (Absender) verschlüsselt Klartext m zum Chiffretext c mittels Verschlüsselungsfunktion E (n,e) : Ƥ Ƈ E (n,e) (m) = m e mod n = c Alice übermittelt c an Bob Klartextraum Ƥ = {m N 0 m <n} Üblich ist n mit Bit-Länge 1024 und e=65537 => Berechnung von sehr großer Zahlen nötig => Verfahren Schnelle Exponentiation 20

21 Bob entschlüsselt Chiffretext c zurück zum Klartext m mittels der Entschlüsselungsfunktion D d : Ƈ Ƥ D d (c) = c d mod n d Denn es gilt: m c d mod n 21

22 Ziel: Tim muss sichergehen können, dass Lena tatsächlich der Urheber eines Dokuments ist Ablauf: Schlüsselerzeugung Lena erzeugt die Schlüssel (n,e) und d Lena veröffentlicht (n,e) Signaturerzeugung Lena berechnet für das Dokument m die Signatur s = m d mod n Lena verschickt m und s Verifikation Tim besorgt sich den öffentlichen Schlüssel (n,e) Tim überprüft, ob m = s e mod n 22

23 Buchmann, J. (2010). Einführung in die Kryptographie (5. Auflage). Heidelberg: Springer. 23

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