Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 2.1

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1 .1 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra

2 . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen & Gleichungssysteme Quadratische und Gleichungen Exponentialfunktionen

3 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Program Elemente der Algebra.

4 . Inhaltsverzeichnis Kapitel :.1 Der Funktionsbegriff. Injektive, surjektive und bijektive. Monotonie. Umkehrfunktion

5 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Program.1 Der Funktionsbegriff.

6 Funktionale Zusammenhänge.6

7 Funktionale Zusammenhänge.7

8 Kubikzahlen Kubikzahlen Summe der Sechseckzahlen K(1) = 1 K() = = 8 K() = = 7 K() = = 6 K(n) = n + (n 1) n (n + 1) = n³

9 .9 Tanken

10 .10 Bußgeld

11 .11 Funktionale Zusammenhänge

12 .1 Funktionale Zusammenhänge

13 .1 Funktionale Zusammenhänge

14 .1 Funktionale Zusammenhänge

15 .1 Funktionale Zusammenhänge

16 .16 Funktionale Zusammenhänge

17 .17 Aspekte des Funktionsbegriffs Vollrath, Weigand: Algebra in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, 007, S. 10 Malle: Zwei Aspekte von : Zuordnung und Kovariation. In: ml, Heft 10, 000, S Aspekte des Funktionsbegriffs Zuordnung Änderungsverhalten (Kovariation) Sicht als Ganzes

18 Beispiel: Dreieckssehne Roth: Kurvenerzeugende Sehnen. In: Mathematik lehren, Heft 10, 00, S Zuordnung Änderungsverhalten (Kovariation) Sicht als Ganzes.18

19 .19 Figuren verändern - verstehen Zuordnung Modellierung! Entstehung eines Funktionsgraphen Änderungsverhalten (Kovariation) Eigenschaften eines Funktionsgraphen Sicht als Ganzes

20 Darstellungen in Beziehung setzen Roth: Systematische Variation Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. In: Mathematik lehren, Heft 16, Februar 008, S

21 Was ist eigentlich eine Funktion?.1

22 . Was ist eigentlich eine Funktion?

23 . Was ist eigentlich eine Funktion? Definitionsmenge D Wertemenge W

24 Was ist eine Funktion? Definition: A und B sind zwei nichtleere Mengen. Ist jedem x A genau ein y B zugeordnet, so nennt man diese Zuordnung eine Funktion mit Definitionsmenge A und Zielmenge B (bzw. eine Abbildung von der Menge A in die Menge B). Bemerkung Definition (alternativ): Eine Funktion ist eine Teilmenge der Produktmenge A B zweier nichtleerer Mengen A und B, für die gilt: x A! y B (x, y) A B (Für jedes x A existiert genau ein y B, so dass das Paar (x, y) Element der Produktmenge A B ist.). Für eine Funktion mit Definitionsmenge A und Zielmenge B gilt: (1) x A y B y = f(x) Linkstotal () f(x 1), f(x ) B f(x 1 ) f(x ) x 1 x Rechtseindeutig

25 Was ist eine Funktion?. Bemerkungen: Um auszudrücken, dass f eine solche Funktion (Abbildung) ist, schreibt man f : A B. Das dem Element x A zugeordnete Element y B wird mit f(x) bezeichnet. Damit erhält man y = f(x). Man schreibt auch: f : A B, x f(x) f(x) heißt Funktionswert von f an der Stelle x (oder Bild von x bei der Abbildung f). x heißt Argument der Funktion f (oder Urbild von f(x) bei der Abbildung f). Die Definitionsmenge einer Funktion f wird auch mit D f bezeichnet. Bei einer Kurve im zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem handelt es sich genau dann um den Graph einer Funktion f : R R, wenn jede vertikale Gerade den Graphen G f genau einmal schneidet.

26 Was ist eine Funktion? A f W B.6 f : R R, x x

27 .7 Was ist eine Funktion? Bei einer Funktion f : A B interessiert man sich auch für die Menge der Funktionswerte, d.h. für die Menge der Elemente der Zielmenge, die als Bilder der Abbildung vorkommen. Definition: Die Wertemenge der Funktion f : A B ist die Menge Bemerkung: Es gilt: W B W = {y B x A f(x) = y } = {f(x) x A} Die Wertemenge einer Funktion f wird auch mit W f bezeichnet. f 1 = f ( A 1 = A = D x D f 1 (x) = f (x) ) f 1 f ( A 1 A x A1 A f 1 (x) f (x) )

28 .8 Präsenzübung Funktion oder nicht? (1) f : R R, x 7x + x () f : R R, x 1 x () f : N N, x x () 1 f : N R, n n () f : N N, n Anzahl der Teiler von n (6) Achsenspiegelung an der Geraden y = x f : R R R R, (x, y) ( y, x)

29 .9 Polynomfunktionen Polynomfunktion Die Aussageform heißt Polynom. Eine Funktion p( x ) = a a k= 0 n p : R R, x a p( x ) = a a k= 0 k n n 1 k x = anx + an 1x a1x + k n n 1 k x = anx + an 1x a1x + mit k N a k R und a n 0 heißt Polynomfunktion. n Die natürliche Zahl n heißt Grad des Polynoms und wird mit deg p bezeichnet. Die festen reellen Zahlen a n,, a 0 heißen Koeffizienten des Polynoms. 0 0

30 Exkurs: Polynomdivision Schriftliche Division 6088 : 6 = Polynomdivision (x 6 + 7x + x + x ) : (x + 1) (x 6 + x ) = x + x + x x + x (x + x ) x + x (x + x ).0

31 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Program. Injektive, surjektive und bijektive.1

32 Injektive. Definition: Eine Funktion f : A B heißt injektiv oder linkseindeutig, genau dann wenn x1,x A x 1 x f(x 1 ) f(x ) d. h. genau dann wenn x1,x A f(x 1 ) = f(x ) x 1 = x. Für die Funktion f bedeutet die Eigenschaft injektiv: An verschiedenen Stellen hat die Funktion f immer verschieden Werte. Für eine injektive Funktion f : A B gilt: A B Für jedes y B hat die Gleichung f(x) = y höchstens eine Lösung. In der Wertetabelle kommt in der Spalte der Funktionswerte kein Wert mehrfach vor (falls kein Wert von A mehrfach auftritt). Man kann von einem Funktionswert f(x) auf das Argument x schließen. Eine Funktion f : R R ist genau dann injektiv, wenn jede horizontale Gerade den Graphen G f höchstens einmal schneidet.

33 Injektive A f W B. f : R R, x e x

34 Surjektive. Definition: f : A B heißt surjektiv oder rechtstotal bzgl. B genau dann wenn y B x A f(x) = y. Bemerkung: Jede Funktion f : A B ist surjektiv bzgl. ihrer eigenen Wertemenge W B. Für die Funktion f : A B bedeutet die Eigenschaft surjektiv: Für jedes y B hat die Gleichung f(x) = y mindestens eine Lösung x A. In der Wertetabelle kommt in der Spalte der Funktionswerte jedes Element von B vor, d. h. B = W Im Fall B = A heißt eine surjektive Funktion eine Abbildung von A auf sich. Eine Funktion f : R R ist genau dann surjektiv, wenn jede horizontale Gerade den Graphen G f mindestens einmal schneidet. Für eine surjektive Funktion f : A B gilt: A B

35 . Surjektive A f B = W f : R R, x 0, x + x + x 0, x

36 Bijektive.6 Definition: f : A B heißt bijektiv genau dann wenn sie surjektiv und injektiv ist. Für die Funktion f : A B bedeutet die Eigenschaft bijektiv: Für jedes y B hat die Gleichung f(x) = y genau eine Lösung. Eine bijektive Funktion f : A B ist eine eineindeutige Zuordnung zwischen A und B. Die Funktion f : R R ist genau dann bijektiv, wenn jede horizontale Gerade den Graphen G f genau einmal schneidet. Für eine bijektive Funktion f : A B gilt: A = B Definition: Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive Funktion f : A B gibt.

37 Bijektive A f B = W.7 f : R R, x x

38 Präsenzaufgabe.8 Funktion f : R R surjektiv injektiv bijektiv f(x) = ax + b (a 0) ja ja ja f(x) = ax + b (a = 0) nein nein nein f(x) = x nein nein nein x + 1 für x < 1 f(x) = 0 für 1 x 1 ja nein nein x 1 für x > 1 f(x) = x ja ja ja f(x) = e x exp(x) nein ja nein f(x) = sin x nein nein nein f(x) = [x] := max {k Z k x} nein nein nein

39 .9 Präsenzaufgabe f(x) = x surjektiv injektiv bijektiv f :R R nein nein nein f : R + 0 R f : R R + 0 f : R R f : R R nein ja nein ja nein nein ja ja ja ja ja ja

40 Exkurs: Äquivalenzumformungen.0 Äquivalenzumformungen von Gleichungen und Ungleichungen Eine (Un-)Gleichung ist eine Aussageform. Äquivalenzumformungen verändern die Erfüllungsmenge (Lösungsmenge) einer Aussageform nicht. Für die ursprüngliche Aussageform und die umgeformte Aussageform muss über der Grundmenge G also gelten: x G A( x ) B( x ) Äquivalenzumformungen für Gleichungen : Addition identischer Terme auf beiden Seiten der Gleichung Subtraktion identischer Terme auf beiden Seiten der Gleichung Multiplikation beider Gleichungsseiten mit identischen von Null verschiedenen Termen Division beider Gleichungsseiten durch identische von Null verschiedene Termen Vertauschung der Gleichungsseiten

41 Exkurs: Äquivalenzumformungen.1 Äquivalenzumformungen für Ungleichungen, die das Ungleichungszeichen unverändert lassen: Addition (bzw. Subtraktion) identischer Terme auf beiden Seiten der Ungleichung Multiplikation beider Ungleichungsseiten mit identischen von Null verschiedenen positiven Termen Division beider Ungleichungsseiten durch identische von Null verschiedene positive Termen Äquivalenzumformungen für Ungleichungen, die zur Umkehrung des Ungleichungszeichens führen: Multiplikation beider Ungleichungsseiten mit identischen von Null verschiedenen negativen Termen Division beider Ungleichungsseiten durch identische von Null verschiedene negative Termen Vertauschung der Ungleichungsseiten

42 Beispiel. Untersuchen Sie, ob surjektiv oder injektiv ist. Surjektivität: y = ax + b b y b = ax : a a 0 1 b y = x a a b x = 1 y a a ( ) Es gibt also für jedes y R ein x R, so dass y = f(x) ist. Damit ist f surjektiv. Injektivität: x 1, x R x1 x ( x ) f ( x1 ) = ax + b ( ax1 + b) = { a ( x x1 ) 0 0 f 1 0 f ( x1 ) f ( x ) Damit ist f injektiv und, weil es auch surjektiv ist, sogar bijektiv.

43 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Program. Monotonie.

44 . Intervalle Definition: Ein Intervall ist eine zusammenhängende Teilmenge von R. [ a; b] := { x R a x b} ] a ; b[ := { x R a < x < b} ] a; b] := { x R a < x b} [ a ; b[ := { x R a x < b} Bemerkung: Es gilt: ] ; [ : = { x R < x < } = R heißt abgeschlossenes Intervall. heißt offenes Intervall. heißt linksseitig offenes Intervall. heißt rechtsseitig offenes Intervall.

45 Monotonie. Definition: Es sein Ι ein Intervall. Eine Funktion f : Ι R heißt monoton steigend, wenn gilt: monoton fallen, wenn gilt: streng monoton steigend, wenn gilt: streng monoton fallen, wenn gilt: Bemerkung: In der Literatur findet man synonym statt monoton steigend auch monoton wachsend oder monoton zunehmend, monoton fallend auch monoton abnehmend. x x x1 < x f ( x1 ) f ( ) 1, x x Ι x1 < x f ( x1 ) f ( ) 1, x x Ι x1 < x f ( x1 ) f ( ) x < 1, x x Ι x1 < x f ( x1 ) f ( ) x > 1, x x Ι

46 Beispiele.6 f : R R, x [ x] f : R R, x e x monoton fallend streng monoton fallend x + 1 für x > 1 f : R R, x 0 für 1 x 1 x 1 für x > 1 f : R R, x x monoton steigend streng monoton steigend

47 Beispiele f : R R, x x f : R R, x 0, x + x + x 0, x.7 f : R R, x sin(x)

48 .8 Monotonie und Injektivität Satz: Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion f : Ι R ist injektiv. Bemerkung: Auf streng kann nicht verzichtet werden! Beweis: f sei streng monoton steigend oder fallend. Sind x 1, x Ιund x 1 x, dann gilt x 1 x oder x 1 x. Nach Voraussetzung ist dann entweder f(x 1 ) f(x ) oder f(x 1 ) f(x ), auf jeden Fall aber f(x 1 ) f(x ). Dies ist aber gerade die definierende Eigenschaft für die Injektivität von f. #

49 Monotonie und Injektivität.9 Satz: Jede streng monoton steigende oder fallende Funktion f : Ι R ist injektiv. Bemerkung: Die Umkehrung ist im Allgemeinen falsch! Beispiel: Die Funktion f : R R, x x a x x für für für x < 1 1 x 1 x > 1 ist injektiv (sogar bijektiv), andererseits ist f weder monoton steigend noch fallend.

50 .0 Monotoniekriterium Bemerkung: Zur Untersuchung der Monotonie einer Funktion f : Ι R ist es gelegentlich hilfreich die Differenz f(x ) f(x 1 ) für alle x 1, x Ιmit x 1 x zu betrachten. f : Ι R ist nämlich monoton steigend, wenn gilt: monoton fallen, wenn gilt: streng monoton steigend, wenn gilt: streng monoton fallen, wenn gilt: x < ( ) ( ) 0 1, x Ι x1 x f x f x 1 x < ( ) ( ) 0 1, x Ι x1 x f x f x 1 x < ( ) ( ) 0 1, x Ι x1 x f x f x > 1 x < ( ) ( ) 0 1, x Ι x1 x f x f x < 1

51 .1 Beispiel Untersuchen Sie Sei 0,; und x <. f [ [ x, x1 1 x ( x ) f ( x ) = ( x x ) ( x x 6) = x x = x 6 x ( x x ) ( x ) 1 x1 ( x x ) [ ( x + ) 1] = 1 x1 1 { { >0 >0, 0, 1 f ist folglich streng mononton steigend. >0 6 > 0 auf Monotonie.

52 Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Program. Umkehrfunktion.

53 . Umkehrfunktion

54 . Umkehrfunktion Definition: Die Umkehrfunktion einer Funktion f : A B ist die Funktion f 1 : B A, für die gilt: x A f 1 (f(x)) = x y B f (f 1 (y)) = y Bemerkungen: Die Bezeichnung f 1 für die Umkehrfunktion der Funktion f darf nicht mit (f(x)) 1 1 verwechselt werden. 1 ( f ( x )) = 1 1 f ( x ) Beispiel: f(x) = x + 1 ( f ( x )) = x + 1 Im Fall f : A R A R erhält man den Graph der 1 Umkehrfunktion f : A R A R, indem man den Graph der Funktion f an der Geraden y = x (das ist Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten) spiegelt.

55 . Umkehrfunktion Satz: Zu einer Funktion f existiert genau dann eine Umkehrfunktion, wenn f bijektiv ist. A f B = W

56 Verkettung.6 Definition: Seien P, Q und R nichtleere Mengen und f : P Q sowie g : Q R, dann nennt man die durch g f : P R, x (g f )(x) := g(f(x)) definierte Funktion die Verkettung von f und g. Für g f spricht man g nach f. Beispiel: Definition: Die Funktion id A : A A, x x, die jedes Element der Menge A auf sich selbst abbildet, heißt identische Abbildung (oder Identität) auf A. Bemerkung: Für f : A B, f 1 : B A gilt f 1 f = id A und f f 1 = id B. Für f : A A gilt: f 1 f = f f 1 f : R R, x x + 1; g : R R, x x g f : R R, x (g f )(x) = g(f(x)) = g(x+1) = (x + 1)

57 Funktionsterm der Umkehrfunktion.7 Geg.: f : R R, x x 1 Ges.: f 1 : R R Funktionsgleichung von f auflösen nach x: x und y vertauschen: 1 1 y = x Ergebnis: y = x + 1 y 1 = x 1 1 y = x 1 1 x = y f 1 : R R, x a 1 x 1

58 .8 Beispiele