Zeit (in h) Ausflussrate (in l/h)
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- Sebastian Heintze
- vor 6 Jahren
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1 Aufgabe 6 (Enwicklung einer Populaion): (Anforderungen: Inerpreaion von Schaubildern; Inegralfunkion in der Praxis) Von einer Populaion wird - jeweils in Abhängigkei von der Zei - die Geburenrae (in Individuen pro Jahr) durch die Funkion f und die Todesrae (in Individuen pro Jahr) durch die Funkion g beschrieben. Die zugehörigen Schaubilder seien K und C (vgl. Figur). Zu Beginn der Beobachung seien keine Individuen vorhanden. a) Gesuch sind die Gesamzahl der Geburen zur Zei, die Zahl der Lebenden zur Zei, die Zei *, zu der die Populaion am größen is, die Zei ˆ, zu der die Wachsumsrae der Populaion am größen is. Geburenrae Todesrae Beschreiben Sie, wie man die gesuchen Zahlen berechnen kann. b) Skizzieren Sie ein Schaubild für die Zahl der Lebenden zur Zei. Zei Aufgabe 7 (Ölank): (Anforderungen: Inegral als Summe von Änderungen; Funkionsanpassung) Ein Ölank leck, die Ausflussrae wird sündlich gemessen. Die Tabelle zeig das Ergebnis dieser Messungen. Zei (in h) 1 3 Ausflussrae (in l/h) a) Schäzen Sie anhand der Tabellenwere den maximalen Ölverlus während der ersen vier Sunden. Erläuern Sie Ihre Schäzung und die dabei verwendeen Annahmen. b) Besimmen Sie eine Funkion, deren Schaubild den Verlauf der Ausflussrae näherungsweise wiedergib. Schäzen Sie hiermi den Ölverlus während der ersen vier Sunden. c) Nach welcher Zei sind 1 Lier Öl ausgelaufen? Aufgabe 8 (Welbevölkerung): (Anforderungen: Funkionsanpassung; Beureilung einer Modellierung; Inerpreaion eines Inegrals) In der Tabelle sind Schäzungen über die Größe der Welbevölkerung angegeben. Jahr Bevölkerung (in Mrd.),59,77,81 1, 1,5,555 3,771,5 5,78 6,11 a a) Gesuch is eine Funkion f vom Typ f () =, deren Schaubild die angegebenen Daen 1+ b gu annäher; dabei sei die Zahl der Jahre sei 17 und f() die Anzahl der Welbevölkerung in Milliarden. Berechnen Sie a und b; geben Sie den Term der Funkion f an. b) Veranschaulichen Sie die angegebenen Daen. Zeichnen Sie ein Schaubild von f im gleichen Koordinaensysem. Wie beureilen Sie die Modellierung durch die Funkion f? c) Schreiben Sie den Term aus Teilaufgabe a) so um, dass =17 dem Jahr 17 ensprich.
2 Die Verdoppelungszei V der Welbevölkerung is nich konsan, sondern häng von der Zei ab. Ermieln Sie V in Abhängigkei von. d) Berache wird das Inegral 1 5 g () d, wobei g() der in Teilaufgabe c) ermiele Term is. Was wird mi diesem Inegral berechne? Aufgabe 9 (Feldmäuse): (Anforderungen: Berechnungen innerhalb eines vorgegebenen Modells; exponenielles Wachsum; Inegral bei der Beureilung von Wirkungen) Wenn Feldmäuse günsige Bedingungen haben, so kann eine Populaion sehr rasch anwachsen. Eine vereinfachende Modellrechnung geh davon aus, dass eine Mäusepopulaion pro Mona um jeweils 7% ihres Besandes wächs. Is sie allerdings auf 3 Mäuse pro Hekar angewachsen, so komm es zum Zusammenbruch der Populaion auf ewa 1 Tiere pro Hekar. Verursach wird dieser Zusammenbruch durch Gedrängeschock vermiels Bluzuckersenkung. Die Feldmauspopulaion enwickel sich also zyklisch. a) Geben Sie einen Term an, der beschreib, wie sich nach diesem Modell eine Populaion von anfangs 1 Mäusen auf einem Hekar enwickel. Wie lange dauer es, bis sie ihre Maximalgröße erreich ha? b) Nun ineressier der Schaden, den diese Mäusepopulaion in ihrem Lebensraum anriche. Begründen Sie, warum man annehmen kann, dass der Schaden, den eine zahlenmäßig konsane Populaion von N Mäusen in der Zeispanne anrichen würde zu N proporional is. 1 Begründen Sie, warum dann N () d ein sinnvolles Maß für den Schaden is, den eine zeilich veränderliche Populaion von N() Mäusen zwischen den Zeipunken 1 und anriche. Vergleichen Sie den Schaden im fünfen Mona des ersen Jahres mi dem Schaden im fünfen Mona des zweien Jahres. Lösungen: Aufgabe 6: a) Is F() die Gesamzahl der Geburen zur Zei, so is F '()=f(); weierhin is F()=. Also ergib sich F() als Inegral über die Funkion f von bis ; d.h. als Flächeninhal uner dem Schaubild K von bis. Is L() die Zahl der Lebenden zur Zei und D() die Zahl der Todesfälle bis zur Zei, so gil: L()=F() - D(). Also ergib sich L() als Flächeninhal zwischen den Schaubildern K und C von bis. Dabei is für > mi f () = g() die Fläche von bis negaiv zu nehmen. Die Populaion is am größen, wenn L '()=F '() D'()= is. Aus F '() D '()= folg F '()=D '() bzw. f()=g(). Dami is die Populaion am größen zur Zei, dem Abszissenwer des Schnipunkes von K und C. Gesuch is die Zei ˆ, wo L '() ein Maximum ha, d.h. L ''()= is. Aus L ''()=F ''() D ''()=f '() g '()= folg f '()=g '(), d.h., die Zei ˆ is die Zei, wo K und C die gleiche Seigung haben. Es sei 1 die Zei mi gleicher posiiver und die Zei mi gleicher negaiver Seigung. Für < 1 is f '()>g '(), d.h. L ''()>; für 1 << is L ''()<; für > is L ''()>.
3 Also is ˆ = 1. Man erhäl somi die gesuche Zei als die Selle, an der K und C die gleiche posiive Seigung haben. b) Zahl der Lebenden Aufgabe 7: a) Bei konsaner Ausflussrae gil: Ölverlus (in l) = Ausflussrae (in l/h) Zei (in h). Die Funkionswere für die Ausflussrae sind sreng monoon fallend. Eine Abschäzung nach oben bzw. nach unen für den maximalen Ölverlus V während der ersen vier Sunden erhäl man also mihilfe der Obersumme O bzw. der Unersumme U. O = = 11 ; U = = 1 Dami gil: 1 V 11. b) Die gezeichneen Punke (vgl. Figur) scheinen näherungsweise auf dem Schaubild einer quadraischen Funkion zu liegen. Mi dem Ansaz y = ax + bx + c ergib sich (GTR; quadraische Regression): a=,5; b= - 5,5; c=35. Dami is f: x,5x 5,5x + 35 die gesuche Funkion; die Figur zeig ein Schaubild von f. Die Annäherung des Schaubildes an die Punke is sehr gu. Zei Ermilung des Ölverluses während der ersen vier Sunden mihilfe von f: (,5x 5,5x + 35) dx 16,7 (GTR) Während der ersen vier Sunden sind rund 16,7 Lier Öl ausgelaufen. c) Berechnung der Zei, nach der 1 Lier Öl ausgelaufen sind:
4 Is die gesuche Zei, so gil:,5x 5,5x + 35) dx = = (. Aus [ x x 35x] 1 folg = 1 3 bzw. 16, =. Mihilfe des GTR ergib sich 3, 7. Nach rund 3,7 Sunden sind 1 Lier Öl ausgelaufen. Aufgabe 8: a) Punkprobe mi den Punken P 1 (,59) und P 1 (3 6,11) ergib,59 a=,59 und b, 3. Dami gil: f () =. 1,3 (Andere Möglichkei: Funkionsanpassung mihilfe einer Ausgleichsgeraden) b) Die Figur veranschaulich die gegebenen Daen und die Funkion f. Die Annäherung des Schaubildes an die Daen über einen Zeiraum von 3 Jahren is ersaunlich gu. Vorhersagen mi der Funkion f sind aber kaum möglich, denn die gebrochenraionale Funkion f ha ungefähr an der Selle 333, dh. irgendwann im Jahr 33, eine Unendlichkeisselle. 6,59 c) Für die Funkion g mi g() = 1,3( 17 ) ensprich =17 dem Jahr 17.,59,59 1,3,3 V + 5,1 1,3+ 5,1 Aus 1,3 (+ V 17 ) = 1,3 ( 17 ) folg =.,59 1, 188 Auflösung ergib: V 116,7,5. d) Die Zahl, die sich als Inegral über die Funkion g vom Jahr bis zum Jahr ergib, ha die Einhei Personen-Jahre. Dividier man diese Zahl durch 5, ergib sich die Anzahl der Personen, die im Zeiraum von bis jemals auf der Erde geleb haben, wenn man von einem Durchschnisaler von 5 Jahren ausgeh. Aufgabe 9: a) Es sei N die Anzahl der Feldmäuse pro Hekar und die Zei in Monaen. k Mi dem Ansaz N() = 1 e und N(1)=17 erhäl man k=ln 1,7,6766;,6766 N() = 1 e. ln 1,7 Aus 3 = 1 e folg = ln 3 5, 7. ln 1, 7 Die Mäusepopulaion erreich also nach rund 5 Monaen ihre Maximalgröße. b) Sinnvolle Annahmen:
5 Doppel so viele Mäuse richen doppelen Schaden an. In der doppelen Zei is der angerichee Schaden doppel so groß. Aus "Schaden is proporional zu N" und "Schaden is proporional zu " folg "Schaden is proporional zu N ". Bei konsanem N()=N kann N gedeue werden als Inhal einer recheckigen Fläche. Mi der Summendefiniion des Inegrals folg der Res. Vergleich der Schäden: Es is 5,6766, e d 135,6 und 1 e d 35,. (GTR) , Der Quoien, 5 besag, dass der Schaden im zweien Jahr über doppel so groß is 135,6 wie im ersen Jahr.
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