Hans Walser, [ ] Erdbilder 1 Worum geht es? Es wird ein Modell besprochen (Abb. 1). Geodaten aus [1]. 2 Orthografische Projektionen

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1 Hans Walser, [ ] Erdbilder 1 Worum geht es? Es wird ein Modell besprochen (Abb. 1). Geodaten aus [1]. Abb. 1: Modell 2 Orthografische Projektionen a) b) Abb. 2: Orthografische Projektionen

2 Hans Walser: Erdbilder 2 / 11 Die Abbildung 2a zeigt die Erdkugel in verschiedenen orthografischen Projektionen. Das Bild im Kreuzungspunkt zeigt die Erde von vorne. Dabei ist vorne eurozentrisch gedacht (Nullmeridian und Äquator als Mittellinien). Links und rechts davon die Erde ebenfalls von links beziehungsweise rechts, oben der Nordpol, unter dem Kreuzungspunkt der Südpol und ganz zuunterst die Erde von hinten (Pazifik, aber auf dem Kopf ). 3 Würfelmodell mit Netz 3.1 Lateinisches Kreuz Die Anordnung der Projektionen in der Abbildung 2a ( lateinisches Kreuz ) lässt an ein Würfelnetz denken (Abb. 2b). Im Anhang eine größere Version als Bastelvorlage. In jeder Frontalansicht sehen wir eine orthografische Projektion der Erdkugel. Die Anordnung auf der Würfeloberfläche entspricht den Ansichten, die eine in einen Glaswürfel eingegossene Erdkugel ergäbe. Die Abbildung 2b zeigt allerdings bei weitem nicht die einzige Lösung. Die Abbildung 3 zeigt andere konsistente Belegungen mit orthografischen Projektionen. a) b) Abb. 3: Andere Belegungen Natürlich stellt sich nun die kombinatorische Frage, wie viele Belegungen mit orthografischen Projektionen im lateinischen Kreuz möglich sind. Nun, eine bestimmte Projektion zum Beispiel die Sicht auf den Nordpol kann auf jedem der sechs Felder des Kreuzes abgelegt werden. Die Projektion kann dann allerdings noch um Vielfache von 90 gedreht werden, also vier Möglichkeiten im selben Feld. Somit haben wir insgesamt 24

3 Hans Walser: Erdbilder 3 / 11 Möglichkeiten, die Sicht auf den Nordpol zu platzieren. Die anderen 5 Projektionen können dann allerdings nur noch auf eine Art konsistent platziert werden. 3.2 Didaktisches Mit einem Set von 6 orthografischen Projektionen (Abb. 4) können konsistente Anordnungen ausprobiert werden. Im Anhang das Set in größerem Format. Abb. 4: Ausschneiden und ausprobieren 3.3 Verschiedene Würfelnetze Nun gibt es aber 21 verschiedene Würfelnetze [2]. Die Abbildung 5 gibt eine schematische Übersicht. Die meisten Beispiele kommen in spiegelbildlichen Versionen vor. Abb. 5: Würfelnetze

4 Hans Walser: Erdbilder 4 / 11 Die Abbildung 6 gibt einige falsche Beispiele. Die mit gleicher Farbe markierten Quadrate kämen aufeinander zu liegen. Anderswo hätten wir dann fehlende Quadrate. Abb. 6: Falsche Beispiele Einige der Beispiele der Abbildung 5 sind ihrerseits punktsymmetrisch. Bei diesen Beispielen (vgl. Abb. 7) gibt es nur 12 Belegungen mit orthografischen Projektionen, da je zwei Belegungen zu identischen Schnittmustern führen (von den Klebefalzen abgesehen). Abb. 7: Gleich oder verschieden? 3.4 Klebefalze Die Abbildung 8 zeigt ein Beispiel, wo es mit den Klebefalzen nicht klappt. Die gelb markierten Klebefalze kommen sich in die Quere. An den lila markierten Kanten fehlt der Klebefalz.

5 Hans Walser: Erdbilder 5 / 11 Abb. 8: Probleme mit den Klebfalzen In einem Schnittmuster ist die Anzahl der Außenkanten gerade. Dies kann mit einem destruktiven Verfahren eingesehen werden. Wenn wir bei einem fertigen Modell eine Kante aufschneiden, entstehen zwei Außenkanten. Ein sicheres Verfahren zur Platzierung der Klebefalze besteht darin, an jeder zweiten Außenkante einen Klebefalz anzubringen. 4 Flechtmodell mit Streifen Das Modell der Abbildung 1 wurde nicht geklebt, sondern aus drei Streifen der Abbildung 9 geflochten. Im Anhang die Streifen in größerem Format. Abb. 9: Drei Streifen Beim Flechten des Modells muss natürlich wieder auf Konsistenz der Projektionen geachtet werden.

6 Hans Walser: Erdbilder 6 / 11 Das Flechtmodell hat gegenüber dem Klebemodell einige Vorteile. Es muss nicht mit Leim oder Klebestoff gearbeitet werden. Die Modelle sind (wenigstens im Prinzip) reversibel und können für Transport und Lagerung wieder auseinander genommen werden. Bei einiger Übung lassen sie sich auch schneller und präziser herstellen als Klebemodelle. 5 Schein und Sein Die meisten Orte der Erdoberfläche erscheinen auf der Oberfläche unseres Modells mehrfach, in der Regel dreifach. Das Schwarze Meer sehen wir auf den Seiten vorne, rechts und oben (Abb. 10a). London, auf dem Nullmeridian gelegen, wird auf vier Seiten sichtbar, der Nordpol auf fünf Seiten und Teile des Äquators gar auf allen sechs Seiten, allerdings oben und unten im wörtlichen Sinne nur peripher und auf den übrigen Seiten nur je zur Hälfte. a) b) Abb. 10: Sicht über Eck Unser Modell entspricht also nicht der Vorstellung der in den transparenten Würfel eingegossenen Erdkugel (Abb. 10b). Die Abbildung 11 zeigt die sechs orthografischen Projektionen rund um die Kugel. Die Projektionen unten, hinten und links werden jetzt von innen gesehen. Sie erscheinen daher spiegelbildlich.

7 Hans Walser: Erdbilder 7 / 11 Abb. 11: Projektionen 6 Weitere Würfelwelten Weitere Beispiele zur Kombination von Erdkugel und Würfel siehe [3] und [4].

8 Hans Walser: Erdbilder 8 / 11 Websites [1] ETH Zürich. Institut für Kartografie und Geoinformation. Kartenprojektionen ( ): [2] Hans Walser: Würfelabwicklungen ( ): [3] Hans Walser: Würfelwelten ( ): [4] Hans Walser: Origami-Würfelwelt ( ):

9 Hans Walser: Erdbilder 9 / 11 Anhang

10 Hans Walser: Erdbilder 10 / 11

11 Hans Walser: Erdbilder 11 / 11