Naturwissenschaftler Band 3

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1 Lothar Papula Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3 Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung 6., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 550 Abbildungen, zahlreichen Beispielen aus Naturwissenschaft und Technik sowie 285 Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen STUDIUM 11 VIEWEG+ TEUBNER

2 IX Inhaltsverzeichnis I Vektoranalysis 1 Ebene und räumliche Kurven Vektorielle Darstellung einer Kurve Differentiation eines Vektors nach einem Parameter Ableitung eines Vektors Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor eines Massenpunktes Bogenlänge einer Kurve Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor Krümmung einer Kurve Ein Anwendungsbeispiel: Zerlegung von Geschwindigkeit und Beschleunigung in Tangential- und Normalkomponenten Flächen im Raum Vektorielle Darstellung einer Fläche Flächenkurven, Tangentialebene, Flächennormale, Flächenelement Flächen vom Typ z = f(x; y) Skalar- und Vektorfelder Ein einführendes Beispiel Skalarfelder Vektorfelder Spezielle Vektorfelder aus Physik und Technik Homogenes Vektorfeld Kugel- oder radialsymmetrisches Vektorfeld (Zentralfeld) Zylinder- oder axialsymmetrisches Vektorfeld Zusammenstellung der behandelten Vektorfelder Gradient eines Skalarfeldes Definition und Eigenschaften des Gradienten Richtungsableitung Flächen vom Typ F (x; y; z) = o Ein Anwendungsbeispiel: Elektrisches Feld einer Punktladung Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes Divergenz eines Vektorfeldes Ein einführendes Beispiel Definition und Eigenschaften der Divergenz Ein Anwendungsbeispiel: Elektrisches Feld eines homogen geladenen Zylinders

3 x Inhaltsverzeichnis 5.2 Rotation eines Vektorfeldes Definition und Eigenschaften der Rotation Ein Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Scheibe Spezielle Vektorfelder Quellenfreies Vektorfeld Wirbelfreies Vektorfeld Laplace- und Poisson-Gleichung Ein Anwendungsbeispiel: Potentialgleichung des elektrischen Feldes Spezielle ebene und räumliche Koordinatensysteme Polarkoordinaten Definition und Eigenschaften der Polarkoordinaten Darstellung eines Vektors in Polarkoordinaten Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in Polarkoordinaten Ein Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeitsvektor bei einer gleichförmigen Kreisbewegung Zylinderkoordinaten Definition und Eigenschaften der Zylinderkoordinaten Darstellung eines Vektors in Zylinderkoordinaten III Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten Zylindersymmetrische Vektorfelder Ein Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeitsvektor eines Massenpunktes in Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Definition und Eigenschaften der Kugelkoordinaten Darstellung eines Vektors in Kugelkoordinaten Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in Kugelkoordinaten Kugel- oder radialsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder) Ein Anwendungsbeispiel: Potential und elektrische Feldstärke in der Umgebung einer homogen geladenen Kugel Linien- oder Kurvenintegrale Ein einführendes Beispiel Definition eines Linien- oder Kurvenintegrals Berechnung eines Linien- oder Kurvenintegrals Wegunabhängigkeit eines Linien- oder Kurvenintegrals. Konservative Vektorfelder Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Kugel- oder radialsymmetrische Vektorfelder (Zentralfelder) Magnetfeld eines stromdurchflossenen linearen Leiters Elektrisches Feld in der Umgebung eines homogen geladenen Drahtes Arbeitsintegral Arbeit eines Kraftfeldes Ein Anwendungsbeispiel: Elektronen im Magnetfeld

4 Inhaltsverzeichnis XI 8 Oberflächenintegrale Ein einführendes Beispiel Definition eines Oberflächenintegrals Berechnung eines Oberflächenintegrals Oberflächenintegral in speziellen (symmetriegerechten) Koordinaten Oberflächenintegral in Flächenparametem Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Fluss eines homogenen Vektorfeldes durch die Oberfläche eines Würfels Fluss eines zylinder- oder axialsymmetrischen Vektorfeldes durch die Oberfläche eines Zylinders Fluss eines kugel- oder radialsymmetrischen Vektorfeldes durch die Oberfläche einer Kugel Integralsätze von Gauß und Stokes Gaußscher Integralsatz Ein einführendes Beispiel Gaußscher Integralsatz im Raum Gaußscher Integralsatz in der Ebene Stokesscher Integralsatz Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik Elektrisches Feld eines homogen geladenen Zylinders Magnetfeld eines stromdurchflossenen linearen Leiters Übungsaufgaben Zu Abschnitt I 230 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Wahrscheinlichkeitsrechnung Hilfsmittel aus der Kombinatorik Urnenmodell Permutationen Kombinationen Variationen Tabellarische Zusammenstellung der wichtigsten Formeln Grundbegriffe Einführende Beispiele Zufallsexperimente 268

5 XII Inhaltsverzeichnis 2.3 Elementarereignisse und Ergebnismenge eines Zufallsexperiments Ereignisse und Ereignisraum Verknüpfungen von Ereignissen Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente Wahrscheinlichkeitsaxiome Eigenschaften der relativen Häufigkeiten Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogoroff Festlegung unbekannter Wahrscheinlichkeiten in der Praxis ("statistische" Definition der Wahrscheinlichkeit) Wahrscheinlichkeitsraum Additionssatz für beliebige Ereignisse Bedingte Wahrscheinlichkeit Multiplikationssatz Stochastisch unabhängige Ereignisse Ereignisbäume Totale Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses und Bayessche Formel Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen Zufallsvariable oder Zufallsgrößen Einführende Beispiele Definition einer Zufallsvariablen Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen (diskrete Verteilung) Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen (stetige Verteilung) Kennwerte oder Maßzahlen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert einer Zufallsvariablen Ein einführendes Beispiel Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen Erwartungswert einer Funktion Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer diskreten Zufallsvariablen Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen Mittelwert und Varianz einer linearen Funktion Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Poisson-Verteilung 367

6 Inhaltsverzeichnis XIII 6.4 Gaußsehe Normalverteilung Allgemeine Normalverteilung Standardnormalverteilung Erläuterungen zur tabellierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der tabellierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Quantile der Standardnormalverteilung Exponentialverteilung Zusammenhang zwischen der Binomialverteilung und der Gaußsehen Normalverteilung Approximation einer diskreten Verteilung durch eine andere Verteilung, insbesondere durch die Normalverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen Ein einführendes Beispiel Zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilungen Verteilungsfunktion einer zweidimensionalen Zufallsvariablen Diskrete zweidimensionale Verteilung Stetige zweidimensionale Verteilung Stochastisch unabhängige Zufallsvariable Funktionen von mehreren Zufallsvariablen Summen und Produkte von Zufallsvariablen Additionssatz für Mittelwerte Multiplikationssatz für Mittelwerte Additionssatz für Varianzen Eigenschaften einer Summe von stochastisch unabhängigen und normalverteilten Zufallsvariablen Über die große Bedeutung der Gaußsehen Normalverteilung in den Anwendungen Zentraler Grenzwertsatz Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Summe von Zufallsvariablen Grenzwertsatz von Moivre-Laplace Prüf- oder Testverteilungen Chi-Quadrat-Verteilung t-verteilung von Student Übungsaufgaben Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt 6, 462 Zu Abschnitt

7 XIV Inhaltsverzeichnis III Grundlagen der mathematischen Statistik Grundbegriffe Ein einführendes Beispiel Zufallsstichproben aus einer Grundgesamtheit Häufigkeitsverteilung einer Stichprobe Häufigkeitsfunktion einer Stichprobe Verteilungsfunktion einer Stichprobe Gruppierung der Stichprobenwerte bei umfangreichen Stichproben (Einteilung in Klassen) Kennwerte oder Maßzahlen einer Stichprobe Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer Stichprobe Spezielle Berechnungsformeln für die Kennwerte einer Stichprobe Berechnung der Kennwerte unter Verwendung der Häufigkeitsfunktion Berechnung der Kennwerte einer gruppierten Stichprobe Statistische Schätzmethoden für die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ("Parameterschätzungen") Aufgaben der Parameterschätzung Schätzfunktionen und Schätzwerte für die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ("Punktschätzungen") Ein einführendes Beispiel Schätz- und Stichprobenfunktionen Schätzungen für den Mittelwert fa Schätzungen für die Varianz Schätzungen für einen Anteilswert p (Parameter p einer Binomialverteilung) Tabellarische Zusammenstellung der wichtigsten Schätzfunktionen und ihrer Schätzwerte Ein Verfahren zur Gewinnung von Schätzfunktionen Maximum-Likelihood-Methode Anwendungen auf spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen Binomialverteilung Poisson-Verteilung Gaußsehe Normalverteilung Vertrauens- oder Konfidenzintervalle für die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ("Intervallschätzungen") Vertrauens- oder Konfidenzintervalle und statistische Sicherheit Vertrauensintervalle für den unbekannten Mittelwert It einer Normalverteilung bei bekannter Varianz Vertrauensintervalle für den unbekannten Mittelwert fa einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz Vertrauens intervalle für die unbekannte Varianz 0 2 einer Normalverteilung

8 Inhaltsverzeichnis XV Vertrauensintervalle für einen unbekannten Anteilswert p (Parameter p einer Binomialverteilung), Vertrauensintervalle für den unbekannten Mittelwert fl einer beliebigen Verteilung Statistische Prüfverfahren für die unbekannten Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ("Parametertests"), Ein einführendes Beispiel Statistische Hypothesen und Parametertests Planung und Durchführung eines Parametertests Mögliche Fehlerquellen bei einem Parametertest Spezielle Parametertests Tests für den unbekannten Mittelwert fl einer Normalverteilung bei bekannter Varianz Tests für den unbekannten Mittelwert fl einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz Tests für die Gleichheit der unbekannten Mittelwerte fl, und fl2 zweier Normalverteilungen (Differenzentests) Abhängige und unabhängige Stichproben Differenzentests bei abhängigen Stichproben Differenzentests bei unabhängigen Stichproben Tests für die unbekannte Varianz 0 2 einer Normalverteilung, Tests für einen unbekannten Anteilswert p (Parameter p einer Binomialverteilung) Ein Anwendungsbeispiel: Statistische Qualitätskontrolle unter Verwendung von Kontrollkarten Statistische Prüfverfahren für die unbekannte Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ("Anpassungs- oder Verteilungstests") Aufgaben eines Anpassungs- oder Verteilungstests Ein einführendes Beispiel Chi-Quadrat-Test ("X 2 -Test") Korrelation und Regression Korrelation Korrelationskoeffizient einer zweidimensionalen Stichprobe Korrelationskoeffizient einer zweidimensionalen Grundgesamtheit Regression Übungsaufgaben Zu Abschnitt I 639 Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt

9 XVI Inhaltsverzeichnis IV Fehler- und Ausgleichsrechnung "Fehlerarten" (systematische und zufällige Messabweichungen). Aufgaben der Fehler- und Ausgleichsrechnung Statistische Verteilung der Messwerte und Messabweichungen ("Messfehler") Häufigkeitsverteilungen Normalverteilte Messgrößen Auswertung einer Messreihe Mittelwert und Standardabweichung Vertrauensbereich für den Mittelwert /1, Messunsicherheit, Messergebnis.., "Fehlerfortpflanzung" nach Gauß Ein einführendes Beispiel Mittelwert einer "indirekten" Messgröße Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz (Varianzfortpflanzungsgesetz) Messergebnis für eine "indirekte" Messgröße Ausgleichs- oder Regressionskurven Ein einführendes Beispiel Ausgleichung nach der "Gaußschen Methode der kleinsten Quadrate" Ausgleichs- oder Regressionsgerade Bestimmung der Parameter einer Ausgleichsgeraden Streuungsmaße und Unsicherheiten bei der Parameterbestimmung Ausgleichs- oder Regressionsparabel Nichtlineare Ausgleichsprobleme, die auf die lineare Regression zurückführbar sind Übungsaufgaben Zu Abschnitt Zu Abschnitt Zu Abschnitt 5 734

10 Inhaltsverzeichnis XVII Anhang Teil A: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Tabelle I: Verteilungsfunktion ep (u) der Standardnormalverteilung Tabelle 2: Quantile der Standardnormalverteilung Tabelle 3: Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung Tabelle 4: Quantile der t-verteilung von "Student", 746 Teil B: Lösungen der Übungsaufgaben 749 I Vektoranalysis 750 Abschnitt I Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt II Wahrscheinlichkeitsrechnung 786 Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt III Grundlagen der mathematischen Statistik Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt Abschnitt IV Fehler- und Ausgleichsrechnung Abschnitt Abschnitt Abschnitt Literaturhinweise Sachwortverzeichnis 834