Berechenbarkeit und Komplexität Vorlesung 11

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1 Berechenbarkeit und Komplexität Vorlesung 11 Prof. Dr. Wolfgang Thomas Lehrstuhl Informatik 7 RWTH Aachen 7. Dezember 2014 Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

2 Turing-mächtige Programmiersprachen Definition Eine Programmiersprache wird als Turing-mächtig bezeichnet, wenn jede Funktion, die durch eine TM berechnet werden kann, auch durch ein Programm in dieser Programmiersprache berechnet werden kann. Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

3 Die Programmiersprache WHILE Syntax Elemente eines WHILE-Programms Variablen x 1 x 1 x 3...für natürliche Zahlen Symbole ; := + Schlüsselwörter while, do, endwhile, if, then, else, endif Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

4 Die Programmiersprache WHILE Syntax Induktive Definition Induktionsanfang Zuweisung Für jedes c { 1,0,1} ist die Zuweisung x i := x j +c ein WHILE-Programm. Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

5 Die Programmiersprache WHILE Syntax Induktive Definition Induktionsschritte: Hintereinanderausführung Falls P 1 und P 2 WHILE-Programme sind, dann ist auch P 1 ;P 2 ein WHILE-Programm. if-then-else-konstrukt Falls P 1,P 2 WHILE-Programme sind, dann ist auch if x i 0 then P 1 else P 2 endif ein WHILE-Programm. while-konstrukt Falls P ein WHILE-Programm ist, dann ist auch while x i 0 do P endwhile ein WHILE-Programm. Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

6 Syntax durch kontextfreie Grammatik in BNF-Notation <WHILE-Prog> ::= <Wertzuweisung > <WHILE-Prog>;<WHILE-Prog> if x i 0 then <WHILE-Prog> else <WHILE-Prog> endif while x i 0 do <WHILE-Prog> endwhile Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

7 Beispiel Wir verwenden hier allgemeinere Tests und Wertzuweisungen. Diese werden später durch erlaubte Tests x i 0 und durch erlaubte Wertzuweisungen ersetzt. Wir geben den euklidischen Algorithmus als WHILE-Programm P E an. {x 1 > 0,x 2 > 0} while x 1 x 2 do if x 1 < x 2 then x 2 := x 2 x 1 else x 1 := x 2 x 1 endif endwhile {x 1 = ggt der Anfangswerte von x 1,x 2 } Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

8 Die Programmiersprache WHILE Semantik Ein WHILE-Programm P mit Variablen x 1,...x k bestimmt eine Transformation [P] : N k N k, die semantische Funktion zu P Es gilt [P](r 1,...,r k ) = (s 1,...,s k ), wenn P mit den Anfangswerten r 1,...r k der Variablen x 1,...,x k gestartet schließlich terminiert und dann s 1,...,s k die Werte der Variablen x 1,...,x k bei Termination sind. [P](r 1,...,r k ) ist undefiniert, wenn P mit den Anfangswerten r 1,...r k der Variablen x 1,...,x k gestartet nicht terminiert. Wir definieren [P] nun genau, durch Induktion über den Aufbau von P Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

9 Induktive Definition von [P] Ist P die Wertzuweisung x i := x j +1, so sei [P](r 1,...,r k ) = (r 1,...,r i 1,r j +1,r i+1,...,r k ), analog für x i := x j +0 und x i := x j 1 (mit der Konvention x y = 0 für y x). Für P = P 1 ;P 2 setzen wir die Hintereinanderausführung fest: [P](r 1,...,r k ) = [P 2 ]([P 1 ](r 1,...,r k )) Für P = if x i 0 then P 1 else P 2 endif setzen wir [P](r 1,...,r k ) = [P 1 ](r 1,...,r k ), falls r i 0, sonst = [P 2 ](r 1,...,r k ) Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

10 Semantik von while Für P = while x i 0 do P endwhile setzen wir [P](r 1,...,r k ) = [P] l (r 1,...,r k ) für das kleinste l, so dass die i-te Komponente von [P] l (r 1,...,r k ) = 0 ist, falls solch ein l existiert undefiniert, falls solch ein l nicht existiert. Hier ist [P] l die l-fache Anwendung von [P]. Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

11 Ein- und Ausgabekonvention Das WHILE-Programm P habe wieder die Variablen x 1,...,x k Wir verwenden P wie folgt zur Berechung einer n-stelligen Funktion f : N n N: Die Variablen x 1,...,x n enthalten die Eingabewerte. Alle anderen Variablen x n+1,...,x k werden mit 0 initialisiert. Das Resultat eines WHILE-Programms ist die Zahl, die sich am Ende der Rechnung in der Variable x 1 ergibt. Formal: Das WHILE-Programm P bestimmt zur Stellenzahl n die Funktion f (n) P : N n N mit f (n) P (m 1,...,m n ) = ([P](m 1,...m n,0...,0)) 1 Hierbei bezeichnet (s 1...s k ) 1 die erste Komponente eines Vektors (s 1...s k ). Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

12 Ein kleines Beispiel Für das Programm P: while x 2 0 do x 1 := x 1 +1 ; x 2 := x 2 1 endwhile gilt: [P](r 1,r 2 ) = (r 1 +r 2,0) f (2) P (m 1,m 2 ) = m 1 +m 2 f (1) P (m) = m Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

13 Beispiel ggt-programm Wir betrachten das anfangs präsentierte ggt-programm P E auch für Anfangswerte von x 1,x 2, die Null sein können. Es gilt dann f (2) P E (m 1,m 2 ) = ggt(m 1,m 2 ) falls m 1,m 2 > 0 f (2) P E (m 1,m 2 ) =, falls m 1 < 0,m 2 = 0 oder m 1 = 0,m 2 > 0 f (2) P E (m 1,m 2 ) = 0, falls m 1 = m 2 = 0 Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

14 Das loop-konstrukt Wir betrachten neben der while-schleife eine andere Art von Schleifenkonstrukt, die loop-schleife: loop x i do P endloop Die Ausführung ist so vereinbart: Ist r i der Anfangswert der Variablen x i, so wird P r i -mal ausgeführt. Wir erweitern die semantische Funktion [P] wie folgt: Für P = loop x i do P 0 endwhile setzen wir [P](r 1,...,r k ) = [P 0 ] r i(r 1,...,r k ) Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

15 LOOP-Programme LOOP-Programme sind definiert analog den WHILE-Programmen, jedoch mit der loop-schleife an Stelle der while-schleife. In BNF-Syntax sind die LOOP-Programme also wie folgt definiert: <LOOP-Prog> ::= <Wertzuweisung > <LOOP-Prog>;<LOOP-Prog> if x i 0 then <LOOP-Prog> else <LOOP-Prog> endif loop x i 0 do <LOOP-Prog> endloop Wir nutzen auch erweiterte WHILE-Programme, in denen sowohl loop- als auch while-schleifen erlaubt sind. Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

16 LOOP-Programme: Beispiele 1 Für das LOOP-Programm P: loop x 2 do x 1 := x 1 +1 endloop gilt: [P](r 1,r 2 ) = (r 1 +r 2,r 2 ), f (2) P (r 1,r 2 ) = r 1 +r 2 2 Entsprechend berechnet das Programm loop x 2 do x 1 := x 1 1 endloop die Subtraktion (mit x y = 0 für y > 0). 3 Das Programm loop x 2 do loop x 1 do x 3 := x 3 +1 endloop endloop berechnet die Multiplikation (beachte, dass m n die n-fache Summe m+...+m ist). Verallgemeinerte Tests (bei while und if-then-else) können mit Hilfsvariablen auf Tests der urprünglichen Form x i 0 reduziert werden: x < y y x = 0 x y (y x)+(x y) 0 Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

17 Ersetzbarkeit von loop durch while Satz Das loop-konstrukt ist durch while simulierbar. Beweis: Betrachte P mit x 1,...,x k Ersetze in P loop x i do P 0 endloop durch x k+1 := x i ; while x k+1 0 do x k+1 := x k+1 1;P 0 endwhile Wir behandeln nun zwei Fragen 1 Ist die Sprache der WHILE-Programme Turing-mächtig? (Antwort: ja) 2 Ist while durch loop ersetzbar? (Antwort: nein) Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

18 Die Programmiersprache WHILE Mächtigkeit Satz Die Programmiersprache WHILE ist Turing-mächtig. Genauere Formulierung (da wir über dem Bereich N arbeiten): Jede Turing-berechenbare Funktion f : N n N ist auch WHILE-berechenbar. Erinnerung: f : N n N ist Turing-berechenbar, wenn es eine TM M, gibt, die auf bin(r 1 )#...#bin(r n ) angesetzt stoppt gdw. f(r 1,...,r n ) definiert ist - und in diesem Fall mit Ausgabe bin(f(r 1,...,r n )) stoppt. Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

19 Beweisansatz In einer Übungsaufgabe haben wir gezeigt, dass eine TM durch eine RAM mit konstant vielen Registern und eingeschränktem Befehlssatz simuliert werden kann. LOAD, CLOAD, STORE, CADD, CSUB, GOTO, IF c(0) 0 GOTO, END Wir müssen also nur noch zeigen, dass jede Funktion, die durch eine eingeschränkte RAM (ein RAM 0 -Programm ) berechnet werden kann, auch durch ein WHILE-Programm berechnet werden kann. Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

20 Beweis Turing-Mächtigkeit von WHILE-Programmen Sei Π ein beliebiges RAM 0 -Programm, d.h. ein RAM-Programm mit eingeschränktem Befehlssatz, das aus l Zeilen besteht und neben dem Akkumulator k Register für natürliche Zahlen benutzt. Wir verwenden im WHILE-Programm die Variablen x 1,...,x k,x k+1,x k+2,x k+3 wobei wir die letzten drei schreiben als b für Befehlszähler, c 0 für Akku, z für Zero (enthält immer den Wert 0) Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

21 Beweis Turing-Mächtigkeit von WHILE-Programmen Die oben aufgelisteten RAM-Befehle werden nun in Form von konstant vielen Zuweisungen der Form x i := x j +c mit c {0,1} implementiert. Der RAM-Befehl LOAD i wird beispielsweise ersetzt durch c 0 := x i ; b := b +1 Der RAM-Befehl CLOAD i wird analog ersetzt durch c 0 := z; c 0 := c 0 +1;...; c 0 := c 0 +1; }{{} i mal b := b +1 Die RAM-Befehle STORE, CADD, CSUB und GOTO lassen sich leicht auf ähnliche Art realisieren. Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

22 Beweis Turing-Mächtigkeit von WHILE-Programmen Den RAM-Befehl IF c(0) 0 GOTO j ersetzen wir wie folgt: if c 0 0 then b := 0;b := b +1;...; b := b +1 }{{} j mal else b := b +1 endif Den RAM-Befehl END ersetzen wir durch b := 0. Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

23 Beweis Turing-Mächtigkeit von WHILE-Programmen Jede Zeile des RAM-Programms wird nun wie oben beschrieben in ein WHILE-Programm transformiert. Das WHILE-Programm für Zeile i bezeichnen wir mit P i. Wir betten P i in ein WHILE-Programm P i mit der folgenden Semantik ein: Falls b = i dann führe P i aus. Wie kann man P i implementieren? Übungen... Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24

24 Beweis Turing-Mächtigkeit von WHILE-Programmen Nun fügen wir die WHILE-Programme P 1,...,P l zu einem WHILE-Programm P zusammen: b := 1; while b 0 do endwhile P 1 ;...;P l P berechnet dieselbe Funktion wie Π. Wolfgang Thomas, Informatik 7 () Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität 7. Dezember / 24