Logik und Mengenlehre

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1 Logik und Mengenlehre 2 In diesem Kapitel werden die Grundlagen der mathematischen Logik und der Mengenlehre behandelt. Die dabei eingeführten Begriffe und Denkweisen sind von besonderer Bedeutung für die folgenden Kapitel, da sie die Basis für das Verständnis weiterführender mathematischer Betrachtungen bilden. 2.1 Aussagenlogik Die Logik ist die Lehre vom folgerichtigen Denken, d. h., sie befasst sich mit den Regeln des Schließens von gegebenen Aussagen auf neue, daraus ableitbare Folgerungen. Mit Hilfe der Logik ist es erst möglich, wissenschaftliche Aussagen eindeutig und widerspruchsfrei zu formulieren Aussagen Von zentraler Bedeutung innerhalb der mathematischen Logik ist der bereits im Kap. 1 mehrfach verwendete Begriff der Aussage. In der Umgangssprache wird eigentlich jeder mit einem Punkt abgeschlossene Satz als ein Aussagesatz bezeichnet, d. h., bis auf Frageund Aufforderungssätze wie Wo geht es zum Bahnhof? und Gehen Sie an der nächsten Ampel nach rechts! sind alle sinnvollen Sätze im Sinne der Umgangssprache als Aussagen anzusehen. Zu den Eigentümlichkeiten der Umgangssprache gehört es aber, dass solche Sätze nicht immer eindeutig interpretierbar sind. Beispiele dafür sind so einfache alltägliche Aussagen wie Das Wetter ist schön oder Der Film ist super, die entsprechend dem jeweiligen Geschmack des beurteilenden Menschen mehr oder weniger zutreffend sind. Noch schwieriger ist oft die Einschätzung von fachspezifischen Sätzen aus Wissenschaft oder Politik. Zum Beispiel kann die Aussage Der Aktienmarkt zeigt positive Tendenzen sowohl einen B. Luderer, U. Würker, Einstieg in die Wirtschaftsmathematik, Studienbücher Wirtschaftsmathematik, DOI / _2, Springer Fachmedien Wiesbaden

2 72 2 Logik und Mengenlehre allgemeinen Aufschwung als auch vereinzelte gute Ergebnisse inmitten einer Depressionsphase meinen. Weitere Aussagen haben zwar einen eindeutigen Wahrheitswert, dieser kann aber (nach unserem derzeitigen Wissensstand) nicht mehr oder noch nicht bestimmt werden. Beispiele dafür sind Im Jahre 2050 leben mehr als 30 Milliarden Menschen auf der Erde oder Mindestens eine Million Tier- und Pflanzenarten sind in den letzten 200 Jahren ausgestorben. Schließlich gibt es noch Sätze, die Widersprüche oder Paradoxa in sich enthalten, wie z. B. Diese fett gedruckte Aussage ist falsch. Wäre die Aussage richtig, so müsste sie deshalb falsch sein; wäre sie dagegen falsch, so müsste sie richtig sein. In der mathematischen Logik wollen wir uns dagegen nur mit solchen Aussagen beschäftigen, die einen objektiven Wahrheitsgehalt besitzen, d. h., für sie muss eindeutig feststellbar sein, ob sie wahr oder falsch sind. Definition Eine Aussage A ist ein Satz (in einer gewöhnlichen Sprache), der entweder wahr oder falsch ist. Die Definition besagt zum einen, dass keine Aussage gleichzeitig wahr und falsch sein kann (so genannte Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch). Dieser Sachverhalt bildet die Grundlage zum Führen indirekter Beweise. Zum anderen bedeutet diese Definition aber auch, dass eine mathematische Aussage nur wahr oder falsch sein kann, d. h., es gibt keine dritte Möglichkeit wie z. B. die unbestimmten Wahrheitswerte teilweise richtig, vielleicht richtig oder mit Wahrscheinlichkeit p richtig (so genannte Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten). Mit derartigen Begriffe befasst sich das relativ junge Gebiet der Fuzzy Logik, auf das an dieser Stelle jedoch nicht näher eingegangen werden kann. Im Folgenden werden wir Aussagen stets mit großen lateinischen Buchstaben benennen. Der Wahrheitswert einer Aussage A soll mit v(a) bezeichnet werden. Er muss laut Definition stets genau einen der beiden Werte wahr (Abkürzung w) oder falsch (Abkürzung f ) annehmen: v(a)={ w, f, A ist wahr, A ist falsch. Für die Abkürzungen w bzw. f sind auch die Schreibweisen TRUE, 1 oder L bzw. FALSE, 0 oder O üblich. Diese oder ähnliche Bezeichnungen findet man in eigentlich allen Programmiersprachen, die im Übrigen als exakte Anwendungsbeispiele für alle logischen Begriffe und Operationen dienen können. Die Bestimmung des Wahrheitsgehaltes von konkreten Aussagen kann, wie wir bereits weiter oben gesehen haben, von sehr unterschiedlicher Schwierigkeit sein. Zum Beispiel besteht der Satz Wenn die Sonne scheint und er keinen Besuch bekommt, dann geht Peter am Sonntag Pilze sammeln aus den drei Teilaussagen Die Sonne scheint, Peter bekommt Besuch und Peter geht am Sonntag Pilze sammeln, die mithilfe der Verbindungsworte und sowie wenn...,dann... miteinanderverbundensind.diegesamtaussage ist offensichtlich z. B. dann wahr, wenn die Sonne scheint, Peter keinen Besuch

3 2.1 Aussagenlogik 73 bekommt und er am Sonntag Pilze suchen geht. Sie ist allerdings auch dann wahr, wenn Peter in die Pilze geht, egal ob die Sonne scheint oder ob er Besuch bekommt. Diese auf denerstenblickverblüffendebehauptungwirdnurverständlich,wennmanexaktzwischen Aussage und Wahrheitswert unterscheidet. Die logische Verknüpfung von Einzelaussagen zu zusammengesetzten Aussagen wie in diesem Beispiel ist der eigentliche Gegenstand der mathematischen Aussagenlogik und soll im Folgenden näher dargestellt werden Aussagenverbindungen In der Umgangssprache werden zur Verknüpfung mehrerer Aussagen meist Worte wie nicht, und, oder, wenn... dann..., entweder... oder... usw. benutzt. Tatsächlich lassen sich alle, auch die kompliziertesten Konstruktionen, auf wenige Grundoperationen von jeweils höchstens zwei Aussagen zurückführen, die wir im Folgenden mit ihrer Fachbezeichnung, dem mathematischen Kurzsymbol und dem umgangssprachlichen Äquivalent einführen wollen. Negation (Symbol, lies: nicht ) Diese einstellige Operation (da sie nur auf eine Aussage angewendet wird) bewirkt die Umkehrung des Wahrheitswertes der betreffenden Aussage.D.h., die Negation A von A ist genau dann wahr, wenn A eine falsche Aussage ist, und sie ist falsch, wenn A eine wahre Aussage ist. Dies kann auch anschaulich anhand der folgenden Wahrheitswertetafel dargestellt werden, die für jeden möglichen Wert des Arguments (d. h. für jeden möglichen Wahrheitswert von A) den zugehörigen Wahrheitswert der Negation A angibt: A A w f f w Die Negation einer bereits negierten Aussage ergibt logischerweise wieder die ursprüngliche Aussage, wie der folgende Satz von der Negation der Negation allgemein beschreibt: ( A)=A. (2.1) Neben dieser einstelligen Operation, die den Wahrheitswert von einer Aussage verändert, gibt es eine Reihe von zweistelligen Operationen, die jeweils Wahrheitswerte liefern, welche von zwei Teilaussagen abhängig sind. Wir wollen an dieser Stelle die vier wichtigsten einführen, nämlich die Konjunktion, die Disjunktion, die Implikation und die Äquivalenz. Konjunktion (Symbol, lies: und ) Diese Verknüpfung soll genau dann eine wahre Aussage als Ergebnis liefern, wenn beide Teilaussagen richtig sind, d.h., A B ist wahr, wenn sowohl A als auch B wahre Aussagen sind. Sobald eine der beiden Teilaussagen (oder beide) falsch sind, ist auch die konjunktive Verknüpfung A B falsch.

4 74 2 Logik und Mengenlehre Auch diese Operation kann anschaulich mit einer Wahrheitswertetafel dargestellt werden, wobei jetzt alle Kombinationen möglicher Wahrheitswerte von A und B sowie die jeweils dazugehörigen Wahrheitswerte von A B in einer Tabelle aufgelistet sind (siehe Tab. 2.1). Disjunktion (Symbol, lies: oder ) Diese Verknüpfung soll genau dann eine wahre Aussage als Ergebnis liefern, wenn mindestens eine der beiden Teilaussagen richtig ist, d. h., A B ist wahr, wenn A oder B oder beide wahre Aussagen darstellen. Nur wenn beide Teilaussagen falsch sind, ist auch die disjunktive Verknüpfung A B falsch (siehe auch Wahrheitswertetafel in Tab. 2.1). Zu beachten ist dabei der Unterschied zur Formulierung entweder... oder... (exklusives Oder bzw. logische Antivalenz): Diese Aussagenverbindung ist genau dann wahr, wenn genau eine der beiden Teilaussagen richtig ist, nicht jedoch, falls beide Teile wahr sind. Umgangssprachlich wird oder zumeist im Sinne von entweder... oder... gebraucht. Beispiel 2.1 In einer Zeitungsanzeige war zu lesen: Zimmer zu vermieten an Studentin oder ehrliches Mädchen. Fasst man die Aussagenverbindung Studentin oder ehrliches Mädchen im Sinne von entweder Studentin oder ehrliches Mädchen auf, so hat eine ehrliche Studentin keine Chance, dieses Zimmer zu mieten. Oder ist eine Studentin niemals ehrlich? Implikation (Symbol,lies: wenn...,dann... ) Diese Operation ist eng verbundenmit logischenschlussregeln (sieheauch Abschn ), die die wesentliche Grundlage für mathematische Beweise bilden. Die Implikation liefert genau dann eine wahre Aussage als Ergebnis, wenn aus einer wahren Voraussetzung (Prämisse) A eine richtige Schlussfolgerung (Konklusion) B gezogen wird. Das heißt, die zusammengesetzte Aussage A B ist nur dann falsch, wenn aus einer wahren Aussage A eine falsche Aussage B abgeleitet wird (siehe auch Wahrheitswertetafel in Tab. 2.1). Mansagtauch, dassdie Voraussetzung A eine hinreichende Bedingung fürdie Konklusion B ist, wogegen Aussage B nur eine notwendige Bedingung für A darstellt. Diese Beziehung lässt sich im Allgemeinen nicht umkehren, d. h., aus B kann man nicht auf A schließen. (Beispiel: Wenn der Dollar steigt, dann wird das Benzin teurer, aber nicht unbedingt Wenn Benzin teurer wird, steigt der Dollar. ) Von besonderem Interesse ist aber der Fall, dass neben einer Implikation ebenfalls ihre Umkehrung gilt. Diese beidseitige Schlussfolgerung ( A ist wahr dannund nur dann,wenn B wahr ist ) heißt logischeäquivalenz. Äquivalenz (Symbol, lies:...genau dann, wenn... ) Die Äquivalenz zweier Aussagen A und B besagt, dass beide Aussagen denselben Wahrheitswert haben, also entweder beide wahr oder beide falsch sind. In diesem Fall ist A also eine notwendige und hinreichende Voraussetzung für Aussage B, und umgekehrt (siehe die Wahrheitswertetafel in Tab. 2.1).

5 2.1 Aussagenlogik 75 Tab. 2.1 Wahrheitswertetafel A B A B A B A B A B w w w w w w w f f w f f f w f w w f f f f f w w Beispiel 2.2 Gegeben sind Aussagen über den Marktanteil eines weltweit vertriebenen Markenerzeugnisses P in zwei Handelszonen EU (Europäische Union) sowie NA (Nordamerika): A = Das Produkt P hat in der EU einen Marktanteil von mehr als 25 %. B = Das Produkt P hat in NA einen Marktanteil von mehr als 25 %. Dann kann man folgende abgeleitete Aussagen aufstellen: A Der Marktanteil von P in der EU beträgt höchstens 25 %. A B Der Marktanteil von P beträgt in der EU und in NA mehr als 25 %. A B Der Marktanteil von P beträgt in der EU oder in NA mehr als 25 %. A B Wenn der Marktanteil von P in der EU mehr als 25 % beträgt, so liegt er auch in NA bei über 25 %. A B Der Marktanteil von P in der EU beträgt genau dann mehr als 25 %, wenn er auch in NA bei über 25 % liegt. Abschließend sei noch erwähnt, dass man weitere logische Operationen definieren kann, die z. B. auch in Form von logischen Bauelementen (Schaltalgebra) Anwendung finden. Diese lassen sich jedoch alle auf die oben eingeführten und allgemein üblichen Verknüpfungen zurückführen. Als Hilfsmittel bei der Untersuchung solcher komplizierterer Operationen und Aussagenverbindungen sind verallgemeinerte Wahrheitswertetafeln wie in Tab. 2.1 gut geeignet. So stellt z. B. die Aussagenverbindung (A B) (B C) (A C) (2.2) (Satz von der Transitivität, Kettenschluss) einesogenanntetautologie, d.h. einestets wahre Aussage, dar (unabhängig vom Wahrheitswert der Teilaussagen A, B und C). Davon überzeugt man sich, indem man analog zu Tab. 2.1 alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte von A, B und C auflistet (erste drei Spalten in Tab. 2.2), dann die einzelnen Teilausdrücke V 1 bis V 5 der zu überprüfenden Aussagenverbindungen berechnet und damit den Gesamtwahrheitswert bestimmt (Vorgehen von links nach rechts in Tab. 2.2).

6 76 2 Logik und Mengenlehre Tab. 2.2 Wahrheitswertetafel zum Kettenschluss V 1 = V 2 = V 3 = V 4 = V 5 = A B C (A B) (B C) (V 1 V 2) (A C) (V 3 V 4) w w w w w w w w w w f w f f f w w f w f w f w w w f f f w f f w f w w w w w w w f w f w f f w w f f w w w w w w f f f w w w w w Als weitere Beispiele für Tautologien können die Morgan schen Gesetze 1 (i) (A B) ( A B) (ii) (A B) ( A B) (2.3) dienen, deren Grundaussage man vereinfacht als Die Negation der Disjunktion ist die Konjunktion (und umgekehrt) beschreiben kann. Beispiel 2.3 Für A = Es regnet und B = Es schneit bedeutet z. B. (i), dass die Aussagen Es regnet oder schneit nicht sowie Es regnet nicht und es schneit nicht logisch äquivalent sind. Übungsaufgabe 2.1 Überzeugen Sie sich durch Aufstellen von Wahrheitswertetafeln, dass die Morgan schen Gesetze (2.3) Tautologien sind. Neben den stets wahren Aussagen (Tautologien) wie z. B. Der Dollar steigt oder er steigt nicht gibt es auch so genannte Kontradiktionen (Widersprüche), d. h. Aussagen, die für alle möglichen Kombinationen der Teilaussagen stets falsch sind. Ein Beispiel dafür ist die Aussage x 2 hat den Wert 100 und x = Quantoren In der Mengenlehre, im Zusammenhang mit der Aussagenlogik oder bei mathematischen Aussagenganzallgemein spielensogenannte Quantoren eine wichtige Rolle. Diese abkürzenden Bezeichnungen beziehen sich entweder auf die Gesamtheit aller Bezugselemente oder auf eines davon. 1 De Morgan, Augustus ( ), engl. Mathematiker und Logiker.

7 2.1 Aussagenlogik 77 Definition Der universelle Quantor oder Allquantor (umgedrehtes A) bedeutet für alle, für beliebige. Der Existenzquantor (umgedrehtes E) steht für es gibt mindestens ein, es existiert ein. Beispiel 2.4 Die Beziehung a + a = 2 a bedeutet, dass die Gleichung a + a = 2 a für alle Zahlen a gilt. Dagegen heißt a a a = 1, dass es mindestens eine Zahl a gibt, für die die Gleichung a a = 1 erfüllt ist (nämlich die beiden Zahlen a = 1unda = 1). Übungsaufgabe 2.2 Überlegen Sie sich die Bedeutung der nachstehenden Aussage: ε > 0 δ > 0 x y <δ x 2 y 2 <ε. Bemerkung Die Wahrheit von Existenzaussagen ist durch Angabe eines Beispiels beweisbar. Allaussagen kann mann mit einem Gegenbeispiel widerlegen. a Einfache Schlussweisen Als eine wichtige Anwendung der mathematischen Logik wollen wir uns im Folgenden kurz mit der Technik von Beweisverfahren beschäftigen. Beweise sind nicht nur für Mathematiker und Naturwissenschaftler von zentraler Bedeutung, Grundkenntnisse über ihre Anwendung gehören eigentlich zu jedem ernsthaften wissenschaftlichen Studium. Im vorigen Abschnitt haben wir uns bereits mit dem Wahrheitswert von Aussagen beschäftigt. Dabei ist es leicht, eine Aussage zu widerlegen, indem man ein Gegenbeispiel angibt. So ist die Behauptung Jede Quadratzahl ist durch 2 teilbar falsch, weil z. B. die Quadratzahl 9 = 3 2 nicht durch 2 teilbar ist. Dagegen reicht es zum Beweis der Richtigkeit einer Aussage, d. h. zum Beweis ihrer Allgemeingültigkeit, nicht aus, eines oder mehrere Beispiele anzugeben! Einzige Ausnahme: Ein solcher Nachweis ist theoretisch auch möglich, indem alle möglichen Fälle als Beispiel aufgeführt und die Gültigkeit der Behauptung in all diesen Fällen überprüft wird (Beweis durch vollständige Enumeration). Gegenstand eines mathematischen Beweises ist die logisch richtige Ableitung von Schlussfolgerungen (Konklusionen) aus Voraussetzungen (Prämissen), deren Wahrheitswert als richtig bekannt ist. Dabei kann man sowohl direkt als auch indirekt vorgehen, wie die folgenden drei grundlegenden Typen von Beweistechniken zeigen werden. Direkter Beweis Hierbei wird ausgehend von den als wahr bekannten Voraussetzungen versucht, mithilfe von logisch richtigen Verknüpfungen (also Tautologien), auf direktem Wege die Behauptung abzuleiten.

8 78 2 Logik und Mengenlehre Beispiel 2.5 Es ist zu zeigen, dass das geometrische Mittel x y zweier nichtnegativer reeller Zahlen nicht größer ist als ihr arithmetisches Mittel x+y 2. Diese Behauptung kann durch direkte Umformung einer bekannten wahren Aussage, nämlich (x y) 2 0, erhalten werden: (x y) 2 0 x 2 2xy+ y 2 0 x 2 + 2xy+ y 2 4xy (x + y) 2 4xy x + y 4xy = 2 xy x+y xy. 2 Die vierte Äquivalenzbeziehung ist richtig, da laut Voraussetzung x, y 0unddamit x + y 0sowiex y 0gilt. Bei der Anwendung der direkten Beweistechnik ist es oft günstig, rückwärts vorzugehen, d. h., Überlegungen darüber anzustellen, welche Voraussetzungen denn für die Gültigkeit der Behauptung ausreichen würden, und wie diese Voraussetzungen selbst nachweisbar sind. Im obigen Beispiel ist sicherlich die umgekehrte Schlussweise (von x+y 2 xy über äquivalente Umformungen zu (x y) 2 0) leichter zu finden als der Beweis in der notierten Form. Indirekter Beweis Hier wird versucht, ausgehend von der Negation der Behauptung, einen Widerspruch zu den Voraussetzungen zu konstruieren. Man beweist also, dass das logische Gegenteil falsch ist und damit die Behauptung selbst richtig sein muss (vgl. Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten (Abschn )). Der Vorteil dieser Technik liegt darin, dass man häufig zur Widerlegung der gegenteiligen Aussage ein Gegenbeispiel verwenden kann. Beispiel 2.6 Es ist zu zeigen, dass 2 keine rationale Zahl ist, d. h. nicht als Bruch m n mit natürlichen Zahlen m und n dargestellt werden kann. Zum Beweis gehen wir vom Gegenteil aus, nehmen also die Existenz zweier ganzer Zahlen m und n an, für die m n = 2 gilt. Zusätzlich können wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit (o.e.d.a.) annehmen, dass der Bruch m in gekürzter Form vorliegt, d. h. m n und n keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Offensichtlich muss auch n 0 sein. Dann formen wir um: m n = 2 m2 = 2 m 2 = 2n 2. n 2 Aus der letzten Beziehung folgt, dass m 2 durch zwei teilbar und damit eine gerade Zahl ist. Dies ist nur möglich, wenn auch m durch zwei teilbar ist, d. h. eine Darstellung m = 2 p mit einer ganzen Zahl p besitzt. Setzen wir diesen Ausdruck für m in die Gleichung m 2 = 2n 2 ein, so erhalten wir: (2p) 2 = 2n 2 4p 2 = 2n 2 2p 2 = n 2. Hieraus erhalten wir nun diesmal, dass n 2 und damit auch n eine gerade Zahl sein muss. Folglich sind m und n beides gerade Zahlen und mithin nicht wie vorausgesetzt teilerfremd. Dieser Widerspruch beweist, dass die Gegenannahme falsch und deshalb die zu beweisende Aussage richtig ist. Beweis durch vollständige Induktion Diese Beweistechnik ist insbesondere für Behauptungen geeignet, die sich auf eine unendliche Anzahl von Fällen beziehen. Zu beweisen

9 2.2 Mengenlehre 79 sei die Richtigkeit einer von einer natürlichen Zahl n abhängigen Aussage, und zwar für alle Werte von n. Die Idee der vollständigen Induktion ist es nun, die Gültigkeit zunächst für den ersten Parameterwert n zu zeigen, dann für den nächsten, den übernächsten usw. Um dabei nicht unendlich lange arbeiten zu müssen, geht man in drei Schritten vor, die ihrerseits wieder Beweise (einfacherer Art) erfordern: Induktionsanfang: Beweise die Gültigkeit der Behauptung für den kleinstmöglichen Wert von n (meist n = 0odern = 1). Induktionsvoraussetzung: Man nimmt an, die Aussage sei wahr für n = k (bzw. für alle Werte von n kleinerodergleichk). Induktionsschluss: Beweise unter Benutzung der Induktionsvoraussetzung, dass die Aussage auch für den folgenden Parameterwert n = k + 1 richtig ist. Die eigentlich unendlich vielen Beweisschritte sind dabei durch die allgemeine Hintereinanderausführbarkeit von Induktionsvoraussetzung und Induktionsschluss ersetzt: Zunächst erhält man die Gültigkeit z. B. für n = k = 1, daraus schließt man auf den Fall n = k + 1 = 2, unter Voraussetzung der Gültigkeit für n k = 2 erhält man daraus die Gültigkeit für n = k + 1 = 3usw. Beispiel 2.7 Es ist zu zeigen, dass für alle natürlichen Zahlen gilt: 2 n > n. Induktionsanfang: Die Behauptung gilt für die kleinste natürliche Zahl n = 0, da 2 0 = 1 > 0. Induktionsvoraussetzung: Es gelte 2 n > n für alle Werte n = 0,...,k. Induktionsschluss: Aus der Induktionsvoraussetzung erhalten wir insbesondere für n = k die Relation 2 k > k. Addieren wir dazu die offensichtlich erfüllte Ungleichung 2 k 1, so erhalten wir 2 k + 2 k > k + 1, d. h. 2 2 k = 2 k+1 > k + 1. Dies entspricht genau der Behauptung für den folgenden Parameterwert n = k + 1, sodass die Behauptung für alle n 0bewiesen ist. Übungsaufgabe 2.3 Weisen Sie nach, dass sich die Morgan schen Gesetze (2.3) aufeine beliebige (aber endlich große) Zahl von Teilaussagen A 1,...,A n verallgemeinern lassen: (i) (A 1 A 2... A n ) ( A 1 A 2... A n ) (ii) (A 1 A 2... A n ) ( A 1 A 2... A n ). (2.4) 2.2 Mengenlehre In diesem Abschnitt sollen lediglich die im Weiteren verwendeten Grundbegriffe und Bezeichnungen eingeführt werden.

10 2.2 Mengenlehre 81 Beispiel 2.9 Die Menge M 1 aller Ziffern lässt sich ebenfalls verbal beschreiben als Menge aller einstelligen natürlichen Zahlen. Alternativ sind die Schreibweise M 1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} als Aufzählung aller Elemente oder die bedingte Definition M 1 = {n N 0 n 9}. Letzteres ist dabei zu lesen als: M 1 ist die Menge aller derjenigen Elemente n aus der Menge N der natürlichen Zahlen, die zwischen 0 und 9 liegen. Beispiel 2.10 Die in Abschn eingeführten Intervalle lassen sich in Mengenschreibweise so angeben: [a, b]={x R a x b}; (a, b)={x R a < x < b}. Die Anzahl von verschiedenen Elementen einer Menge A wird Mächtigkeit der Menge genannt und meist als A oder card(a) bezeichnet (wobei card als Abkürzung für Kardinalzahl steht; unter den Mengen mit unendlich vielen Elementen gibt es dabei noch unterschiedliche Mächtigkeiten). Es gibt nur eine einzige Menge, deren Mächtigkeit gleich null ist: die leere Menge. Sie besitzt kein einziges Element und wird im Allgemeinen mit bezeichnet. Beispiel 2.11 Die Menge aller Ziffern besitzt die Mächtigkeit card(m 1 )= Mengenrelationen Zunächst befassen wir uns mit der Vergleichbarkeit von Mengen. Zwei Mengen A und B heißen gleich (Schreibweise A = B), wenn sie (unabhängig von der Art der Definition der Mengen) genau dieselben Elemente besitzen, d. h., wenn jedes Element von A auch Element von B und umgekehrt jedes Element von B auch Element von A ist. Ansonsten heißen die Mengen ungleich (Schreibweise A B). Beispiel 2.12 Die Lösungsmenge L 1 der linearen Gleichung 15x = 165 kann über die Beziehung L 1 ={x 15x = 165} definiert werden. Andererseits überzeugt man sich leicht davon, dass die aus der Lösungszahl 11 bestehende Menge L 2 ={11} offensichtlich gleich L 1 ist, so dass gilt: L 1 = L 2. Eine weitere Vergleichsmöglichkeit zwischen zwei Mengen bietet die Teilmengenbeziehung. Wir sagen, dass A eine Teilmenge (oderuntermenge)von B ist (Schreibweise A B), wenn jedes Element von A gleichzeitig auch Element von B ist (Mengeninklusion). Zur Veranschaulichung dient ein spezielles Venn-Diagramm (Abb. 2.2). Die Teilmengenbeziehung A B schließt den Fall der Mengengleichheit A = B mit ein. Oft wird die Bezeichnung A B für die echte Teilmengenbeziehung verwendet, bei der wenigstens ein Element der Obermenge B nicht zu A gehören darf. Allerdings findet man in vielen Büchern auch das Zeichen im Sinneder Inklusion.

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