Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9"

Transkript

1 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x )xe x = 3e x )xe x, f x) = 3 )e x )e x ) xe x = 4 )e x ) xe x, f x) = 4 ) e x ) e x ) 3 xe x = 5 ) e x ) 3 xe x, f 4) x) = 5 ) 3 e x ) 3 e x ) 4 xe x = 6 ) 3 e x ) 4 xe x. Allgemein gilt für k N mit k f k) x) = k + ) ) k e x ) k xe x. Hieraus folgt f0) =, f 0) = und f k) 0) = k + ) ) k für k. Nach Definition 9..7 lautet damit die Taylorreihe von f um a = 0 f k) 0) x k = x k + ) ) k x k. k= b) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x x, f x) = x + x x) = x), f x) = x) 3, f x) = 3 x) 4, f 4) x) = x) 5.

2 Allgemein gilt für k N f k) x) = k x) k+. Hieraus folgt f) = und f k) ) = ) k+ k für k N. Daher lautet nach Definition 9..7 die Taylorreihe von f um a = Aufgabe + ) k+ k x ) k. k= Bestimmung des Taylorpolynoms T 5 x, 0) von f um a = 0: Für die Angabe des Taylorpolynoms und des Fehlergliedes benötigen wir die Ableitungen von f bis zur Ordnung 6: fx) = cos x, f0) =, f x) = sin x cos x = sin x, f 0) = 0, f x) = cos x, f 0) =, f x) = 4 sin x, f 0) = 0, f 4) x) = 8 cos x, f 4) 0) = 8, f 5) x) = 6 sin x, f 5) 0) = 0, f 6) x) = 3 cos x. Nach Satz 9..3 lautet damit das 5. Taylorpolynom von f um a = 0: T 5 x, 0) = 5 f k) 0) x k =! x + 8 4! x4 = x + x4 3. Abschätzung des Fehlers auf dem Intervall [, ] : Nach Satz 9..3 ist das Fehlerglied gegeben durch E 5 x, 0) = f 6) ξ) x 6. Wegen x [ ], 6! ist x. Weiter ist immer cos ξ. Damit folgt fx) T 5 x, 0) = E 5 x, 0) = f 6) ξ) x 6 = 3 6! 6! cos ξ x 6 45 < Aufgabe 3 Die Ableitungen von f lauten fx) = x 4 x x + x +,

3 f x) = 4x 3 36x + 88x +, f x) = x 7x + 88, f x) = 4x 7, f 4) x) = 4. Alle höheren Ableitungen sind 0. Bilden wir in der Taylorschen Formel Satz 9..3) die Summe bis n = 4, so ist daher auch das Fehlerglied gleich 0. Die Funktion f ist somit gleich dem Taylorpolynom von f um a = 3. Für das Talorpolynom von f um a = 3 benötigen wir die Werte der Ableitungen an der Stelle a = 3: f3) = 60, f 3) = 50, f 3) = 0, f 3) = 0, f 4) 3) = 4. Damit folgt Satz 9..3) fx) = x 3) 4 0x 3) + 50x 3) Aufgabe 4 Nach Satz 9..3 lautet die Taylorformel für die Funktion fx) = cos x, wenn wir a = 0 und x = und damit x a = setzen n f k) 0) cos = k + f n+) ξ) n f k) 0) n + )! n+ = + f n+) ξ) mit 0 < ξ <. n + )! Da die Ableitungen von f gleich ± cos x oder ± sin x sind, ist f n+) ξ). Damit folgt f n+) ξ) n + )! n + )! <, falls n + )! > 500, 500 und dies gilt für n 5. Einen Näherungswert für cos mit einem Fehler < erhalten wir also, wenn wir in 500 der Summe oben n = 5 wählen. Wir schreiben zuerst die erforderlichen Werte f k) 0) für k = 0,,, 3, 4, 5 auf: f0) = cos 0 =, f 0) = sin 0 = 0, f 0) = cos 0 =, f 0) = sin 0 = 0, f 4) 0) = cos 0 =, f 5) 0) = sin 0 = 0. Der gesuchte Näherungswert für cos ist lautet dann cos Aufgabe 5 5 f k) 0) =! + 4! = + 4 = Nach Satz 9..3 benötigen wir für das Taylorpolynom von f vom Grad 6 die Ableitungen von f an der Stelle a = 0 bis zur Ordnung 6 und für das zugehörige Fehlerglied die Ableitung von f der Ordnung 7: fx) = + x, f0) =, 3

4 f x) = + x), f 0) =, f x) =! + x) 3, f 0) =!, f x) = 3! + x) 4, f 0) = 3!, f 4) x) = 4! + x) 5, f 4) 0) = 4!, f 5) x) = 5! + x) 6, f 5) 0) = 5!, f 6) x) = 6! + x) 7, f 6) 0) = 6!, f 7) x) = 7! + x) 8. Das Taylorpolynom vom Grad 6 um a = 0 lautet dann nach Satz 9..3 T 6 x, 0) = 6 f k) 0) x k = x + x x 3 + x 4 x 5 + x 6. Die Abweichung des Taylorpolynoms von der Funktion ist nach Satz 9..3 gegeben durch E 6 x) mit E 6 x) = f 7) ξ) x 7 = 7! 7! 7! + ξ) 8 x7 = + ξ 8 x 7 + ξ) 8 d7 für x [ d, d], ). Da ξ zwischen 0 und x liegt, folgt ξ [ d, d]. Die Funktion ξ ist auf dem Intervall [ d, d] streng monoton fallend und nimmt daher ihren +ξ) 8 maximalen Wert für ξ = d an. Also folgt für x [ d, d] E 6 x) d 7 d) 8 = Ed). Die Funktion d Ed) ist auf dem Intervall [0, ) streng monoton wachsend, denn für d 0, ) gilt E d) = d6 d + 7) d) 9 > 0. Wegen E0.08) < 0 7 können wir also d = 0.08 wählen. Aufgabe 6 Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = ln + x ), 4

5 f x) = + x = + x, f x) = + x), f x) = + x) 3, f 4) x) = 3! + x) 4. Allgemein gilt für k N f k) k k )! x) = ) + x). k Damit folgt und daher f0) = 0, f k) k k )! 0) = ), k N k f0) 0! = 0, f k) 0) = )k k k, k N. Nach Satz 9..3 lautet das Taylorpolynom von f der Ordnung n um a = 0 T n x, 0) = n ) k x k. k k k= Das zugehörige Fehlerglied ist gegeben durch ebenfalls nach Satz 9..3) E n x) = f n+) ξ) n + )! xn+ = ) n n + ) + ξ) n+ xn+. Wir schätzen nun das Fehlerglied ab. Wegen x [0, ] ist x n+ n+. Weiter liegt ξ nach Satz 9..3 zwischen 0 und x. Daher ist 0 < ξ <, und es gilt E n x) = n + ) + ξ n+ x n+ n + ) n+ n+ = n +. Daher gilt E n x) 0 3, falls n+ 0 3, d.h. für n 0 3 = 999. Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen zuerst die Nullstellen der Ableitung von f mit fx) = x 4 4x 3 : f x) = 8x 3 x = 4x x 3) = 0 x = 0 oder x = 3. 5

6 Nach Satz 9.. sind diese beiden Nullstellen x = 0 und x = 3 von f die möglichen Stellen, in denen f ein lokales Extremum oder einen Sattelpunkt besitzen kann. Die Funktionswerte an diesen beiden Stellen sind f0) = 0 und f ) 3 = 7. 8 Die zweite Ableitung von f lautet: f x) = 4x 4x = 4xx ). Es ist f x ) = 8 > 0 und daher hat f nach Satz 9.. in x ein lokales Minimum. Dieses ist fx ) = 7 8. Wegen f 0) = 0 müssen wir weitere Ableitungen von f bilden Satz 9..). Es ist f x) = 48x 4 und daher f 0) = 4 0. Da die Ordnung 3 dieser Ableitung eine ungerade Zahl ist, hat f nach Satz 9.. in 0 einen Sattelpunkt mit f0) = 0. b) Die partiellen Ableitungen der Funktion f mit fx, y) = x 3 + y 3 3xy lauten f x x, y) = 3x 3y = 3x y), f y x, y) = 3y 3x = 3y x). Wir bestimmen zuerst die Punkte x, y), in denen f x x, y) = 0 und f y x, y) = 0 gilt Satz 9..5). Diese beiden Bedingungen liefern die beiden Gleichungen x = y und y = x. Wir setzen die erste in die zweite Gleichung ein und erhalten x 4 = x x = 0 oder x =. Aus der ersten Gleichung x = y folgt y = 0 für x = 0 und y = für x =, und 0, 0) und, ) erfüllen auch die zweite Gleichung y = x. Als Stellen, in denen f ein lokales Extremum oder einen Sattelpunkt besitzt, kommen also nur die beiden Punkte 0, 0) und, ) in Frage. Um dies entsprechend Satz 9..5 herauszufinden, bilden wir die partiellen Ableitungen der Ordnung : f xx x, y) = 6x, f yy x, y) = 6y, f xy x, y) = f yx x, y) = 3. Überprüfung für den Punkt 0, 0): f; 0, 0)) = = 9 < 0. Daher hat f in 0, 0) nach Satz 9..5 einen Sattelpunkt mit f0, 0) = 0. Überprüfung für den Punkt, ): f;, )) = = 7 > 0. Wegen f xx, ) = 6 > 0 hat f in, ) nach Satz 9..5 ein lokales Minimum mit f, ) =. 6

7 c) Die partiellen Ableitungen der Funktion f mit fx, y) = xye x y lauten f x x, y) = ye x y xye x y = y x)e x y, f y x, y) = xe x y xye x y = x y)e x y. Wir bestimmen zuerst die Punkte x, y), in denen f x x, y) = 0 und f y x, y) = 0 gilt Satz 9..5). Diese beiden Bedingungen liefern wegen e x y > 0 die beiden Gleichungen y x) = 0 und x y) = 0. Die erste Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn x = oder y = 0 ist. Die zweite Gleichung liefert für x = den Wert y = und für y = 0 den Wert x = 0. Als Stellen, in denen f ein lokales Extremum oder einen Sattelpunkt besitzt, kommen also nur die beiden Punkte, ) und 0, 0) in Frage. Um dies entsprechend Satz 9..5 herauszufinden, bilden wir die partiellen Ableitungen der Ordnung : f xx x, y) = yx )e x y, f yy x, y) = xy )e x y, f xy x, y) = f yx x, y) = x y + xy)e x y. Überprüfung für den Punkt 0, 0): f; 0, 0)) = 0 e e 0 = e4 < 0. Daher hat f in 0, 0) nach Satz 9..5 einen Sattelpunkt mit f0, 0) = 0. Überprüfung für den Punkt, ): f;, )) = 0 0 = > 0. Wegen f xx, ) = < 0 hat f in, ) nach Satz 9..5 ein lokales Maximum mit f, ) =. Abschnitt 9.3 Aufgabe a) Nach Satz hat die Potenzreihe wegen α = lim k k a k = lim den Konvergenzradius r =. k k = lim k = 0 b) Der in der Potenzreihe bei x ) k stehende Faktor ist der Koeffizient a k. Ersetzen wir in ihm k durch k +, so erhalten wir a k+. Es gilt also a k = k + ) k + 3 und a k+ = k + 3) k

8 Damit folgt α = lim a k+ a k = lim k + 3) k + 3) k + 5)k + ) = lim ) + 3 ) k + 3 k ) ) + 5 k + = =. k Nach Satz hat daher die Potenzreihe den Konvergenzradius r = α =. c) Der in der Potenzreihe bei x ) k+ stehende Faktor ist der Koeffizient a k+. Daher folgt α = lim a k+ a k = lim k + ) k + ) k + 3)k + ) = lim ) + ) k + k ) ) + 3 k + = =. k Nach Satz hat daher die Potenzreihe den Konvergenzradius r = α =. Aufgabe a) Die Potenzreihe hat die Form q k x + ) k mit q k = 5 ) k für k N 0. Nach Folgerung ist sie daher konvergent für x + < q = 5 = 5, hat also den Konvergenzradius r =. Weiter hat sie nach Folgerung die Summenfunktion 5 5 ) k x + ) k = ) = 5 x + ) = 5x x + ) = + 5x + ) b) Um Folgerung anwenden zu können, formen wir die Potenzreihe zuerst um: ) k= k 5k k+ x + )k+ = ) k+ 5k+ = 5 4 x + )3 x + )k+3 k+4 5 ) k x + ) k. Hier ist jetzt q = 5 und die Potenzreihe hat daher wie in a) den Konvergenzradius r =. Weiter hat sie nach Folgerung die Summenfunktion 5 ) k= k 5k x + k+ )k+ = 5 6 x + )3 5x + 7 = 5 8 x + ) 3 5x

9 Aufgabe 3 Die Stammfunktion von f lautet dx F x) = 3x) = 3 3x + C. Wie im Anschluss an Folgerung beschrieben, benutzen wir die Formel aus Folgerung für die Summenfunktion einer Potenzreihe, um jetzt umgekehrt die Potenzreihe zu bestimmen, deren Summenfunktion F ist. Es gilt 3x = 3 x = ) k 3 x k und daher F x) = 6 ) k 3 x k + C = 3 k k+ xk + C. Nach Folgerung hat diese Potenzreihe den Konvergenzradius r = und nach Satz ist sie die Taylorreihe von F um a = 0. Nach Satz erhalten wir durch Differenzieren daraus die Potenzreihen-Entwicklung von f um a = 0: fx) = F x) = k= 3 k k k+ xk = 3 k k + ) k+ x k. Sie hat nach Satz denselben Konvergenzradius r = 3 wie die Taylorreihe von F. Aufgabe 4 Nach Folgerung gilt für a = 0 fx) = x x + = x + = + x = ) = x ) k x k ) k = x k = k ) k x k = k k= k= ) k+ k x k. Wegen q = gilt für den Konvergenzradius r = =. q Nach Folgerung gilt für a = fx) = x x + = x + = 4 + x ) = 4 = 4) x ) = ) k x ) k 4 + x ) 4 = ) k k x ) k = + ) k+ k+ x ) k 9

10 Wegen q = 4 Aufgabe 5 = + k= ) k+ k+ x ) k. gilt für den Konvergenzradius r = 4. Nach Aufgabe 4 gilt für x, ) fx) = x x + = k= ) k+ k x k, da die Potenzreihe den Konvergenzradius r = hat. Durch Differenzieren folgt daraus nach Satz x + ) = f ) k+ k x) = x k ) k+ k + ) = x k k k+ und daher gx) = = x + ) = k= ) k k + ) k+ x k ) k k + ) k+ x k = ) k k + ) k+ x k. Dabei gilt diese Potenzreihen-Entwicklung ebenfalls im Intervall, ) Satz 9.3.6). Wieder nach Aufgabe 4 gilt für x, ) x + = Daraus folgt x + = x x + = fx) = k= k= ) ) k+ x k. k ) k+ k x k. Durch Integration ergibt sich nach Satz im Intervall, ) dx F x) = ln x + ) = x + = ) ) k+ x k dx k = = x k= k= ) ) k+ k k + ) xk+ + C = ) k+ k+ k + ) xk+ + C = ) k+ x k + C k k k= ) ) k+ k k + ) xk+ + C Für x = 0 folgt dann ln = 0 + C, also C = ln. Damit erhalten wir für x, ) ) k+ F x) = ln x + ) = ln + x k. k k k= 0

11

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Serie 13: Online Test

Serie 13: Online Test D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 3 Dr. Ana Cannas Serie 3: Online Test Einsendeschluss: 3. Januar 4 Bei allen Aufgaben ist genau eine Antwort richtig. Lösens des Tests eine Formelsammlung verwenden.

Mehr

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n

a n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen.

2.12 Potenzreihen. 1. Definitionen. 2. Berechnung 2.12. POTENZREIHEN 207. Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. 2.2. POTENZREIHEN 207 2.2 Potenzreihen. Definitionen Der wichtigste Spezialfall von Funktionenreihen sind Potenzreihen. Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 ist eine Reihe a n x x 0 n. Es gilt: es

Mehr

Z = 60! 29!31! 1,1 1017.

Z = 60! 29!31! 1,1 1017. Aufgabe : Eine Hochzeitsgesellschaft besteht aus 60 Personen. a Wieviele verschiedene Möglichkeiten für Sitzordnungen gibt es? b Nehmen Sie nun an, dass 9 Gäste aus dem Familien- und Freundeskreis der

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2013/14 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Aussagenlogik 2 Lineare Algebra 3 Lineare Programme 4 Folgen

Mehr

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila

Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila Mathematik Abitur Zusammenfassung Marius Buila 1.Analysis 1.1 Grundlagen: Ableitung f (u) ist Steigung in Punkt P (u/f(u)) auf K f(x) = a * x r f (x) = a * r * x r-1 Tangentengleichung: y= f (u) * (x-u)

Mehr

22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen

22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22 Die trigonometrischen Funktionen und die Hyperbelfunktionen 22.1 Sinus und Cosinus 22.3 Definition von 22.6 Sinus und Cosinus als eindeutige Lösungen eines Differentialgleichungssystems 22.7 Tangens

Mehr

Klausur Mathematik 2

Klausur Mathematik 2 Mathematik für Ökonomen WS 2014/15 Campus Duisburg PD Dr. V. Krätschmer, Fakultät für Mathematik Klausur Mathematik 2 17.02.2015, 12:30-14:30 Uhr (120 Minuten) Erlaubte Hilfsmittel: Nur reine Schreib-

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler 1 Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Lösungsvorschläge zur Klausur am 01.08.2003. Bitte unbedingt beachten: a) Verlangt und gewertet werden alle vier gestellten Aufgaben. Alle Aufgaben sind gleichwertig.

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Informatik Medieninformatik Wirtschaftsinformatik Wirtschaftsingenieurwesen

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

1. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 2. Sommersemester 2013

1. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 2. Sommersemester 2013 O. Alaya, R. Bauer K. Sanei Kashani, F. Kissling, B. Krinn, J. Schmid, T. Vassias. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematik Sommersemester Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshinweise zu den

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker

Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker TU Ilmenau Institut für Mathematik Prof. Dr. S. Vogel Höhere Mathematik III für Wirtschaftsinformatiker Funktionen von mehreren Variablen. Grenzwerte und Stetigkeit Betrachtet werden Funktionen f : D f

Mehr

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte

K2 MATHEMATIK KLAUSUR. Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max) 28 15 15 2 60 Punkte Notenpunkte K2 MATHEMATIK KLAUSUR 26.2.24 Aufgabe PT WTA WTGS Darst. Gesamtpunktzahl Punkte (max 28 5 5 2 6 Punkte Notenpunkte PT 2 3 4 5 6 7 8 9 P. (max 2 2 2 4 5 3 3 4 3 Punkte WT Ana A.a b A.c Summe P. (max 7 5

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben.

Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur für alle gemeldeten Fachrichtungen außer Immobilientechnik und Immobilienwirtschaft am 9..9, 9... Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)

Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wirtschftsmthemtik für Interntionl Mngement (BA) und Betriebswirtschft (BA) Wintersemester 2013/14 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Mthemtik: Gliederung 1 Aussgenlogik 2 Linere Algebr 3 Linere

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration

Mehr

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45.

Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 08.06.2004, 15.45 17.45. Mathematik I für Wirtschaftswissenschaftler Klausur am 8.6.4, 5.45 7.45. Bitte unbedingt beachten: a) Gewertet werden alle acht gestellten Aufgaben. b) Lösungswege und Begründungen sind anzugeben. Die

Mehr

Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008

Stochastische Eingangsprüfung, 17.05.2008 Stochastische Eingangsprüfung, 17.5.8 Wir gehen stets von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) aus. Aufgabe 1 ( Punkte) Sei X : Ω [, ) eine integrierbare Zufallsvariable mit XdP = 1. Sei Q : A R, Q(A)

Mehr

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) =

Beispiel 11.2. Wenn p ein Polynom vom Grad größer gleich 1 ist, ist q : C Ĉ definiert durch q (z) = Funktionentheorie, Woche Funktionen und Polstellen. Meromorphe Funktionen Definition.. Sei U C offen und sei f : U gilt, nennt man f meromorph auf U: Ĉ eine Funktion. Wenn folgendes. P := f hat keine Häufungspunkte;.

Mehr

Unterlagen für die Lehrkraft

Unterlagen für die Lehrkraft Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 01/01 Mathematik. Juni 01 09:00 Uhr Unterlagen für die Lehrkraft 1. Aufgabe: Differentialrechnung

Mehr

Selbständiges Arbeiten. Oberstufe - KSOe (SprachProfil) GeoGebra. Klasse 6bw. Okt. 2011 / R. Balestra

Selbständiges Arbeiten. Oberstufe - KSOe (SprachProfil) GeoGebra. Klasse 6bw. Okt. 2011 / R. Balestra Selbständiges Arbeiten Oberstufe - KSOe (SprachProfil) GeoGebra Klasse 6bw Okt. 2011 / R. Balestra Inhaltsverzeichnis 1 Ziel 2 2 freeware GeoGebra - Der Download 3 3 Die Eingabe von Funktionen 4 3.1 Bearbeitungsmöglichkeiten......................

Mehr

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis

Abitur - Grundkurs Mathematik. Sachsen-Anhalt 2002. Gebiet G1 - Analysis Abitur - Grundkurs Mathematik Sachsen-Anhalt Gebiet G - Analsis Aufgabe.. Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades mit einer Funktionsgleichung der Form f a b c d a,b,c,d, R schneidet die

Mehr

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009

Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt 10 21.12.2009 Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung.

Mehr

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2013/2014

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2013/2014 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 0/04 Fach (A) Prüfungstag 9. Mai 04 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise

Mehr

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein

DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal

Mehr

Vorkurs Mathematik für Ingenieure. Aufgaben und Lösungsvorschläge

Vorkurs Mathematik für Ingenieure. Aufgaben und Lösungsvorschläge Universität Duisburg-Essen, Campus Duisburg herausgegeben von der Fakultät für Ingenieurwissenschaften Vorkurs Mathematik für Ingenieure Aufgaben und Lösungsvorschläge Wintersemester 0/03 von Wolfgang

Mehr

Wirtschaftsmathematik.

Wirtschaftsmathematik. y y = f(x) F1 F3 a F b x Wirtschaftsmathematik. Lösungen: Fragen zur Selbstkontrolle Betriebswirtschaftslehre (B.A.) Lösungen Lösungen Lektion 1 1. Grundlagen der Analysis 1.1 Arithmetische und algebraische

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann

Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden

Mehr

Lösungen und Lösungshinweise zum Grundkurs Analysis 2

Lösungen und Lösungshinweise zum Grundkurs Analysis 2 Lösungen und Lösungshinweise zum Grundkurs Analysis 2 Vorbemerkung: Bei einem Buchprojekt dauert meist alles etwas länger als geplant. So ging es mir mit dem Erscheinungdatum des zweiten Bandes, der sich

Mehr

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil www.mathe-aufgaben.com Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen

Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen Kapitel 2 Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 21 Aufgabenstellung und Motivation Ist f eine in einem abgeschlossenen Intervall I = [a, b] stetige und reellwertige Funktion, so heißt

Mehr

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung),

Extremwertaufgaben. 3. Beziehung zwischen den Variablen in Form einer Gleichung aufstellen (Nebenbedingung), Extremwertaufgaben x. Ein Landwirt will an einer Mauer einen rechteckigen Hühnerhof mit Maschendraht abgrenzen. 0 Meter Maschendraht stehen zur Verfügung. Wie groß müssen die Rechteckseiten gewählt werden,

Mehr

Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1

Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1 Probeklausur Ingenieurmathematik für Maschinenbau Studiengang Prüfungsfach Prüfer Prüfungstermin Prüfungsdauer Prüfungsunterlagen Hilfsmittel Maschinenbau

Mehr

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall

Man kann zeigen (durch Einsetzen: s. Aufgabenblatt, Aufgabe 3a): Die Lösungsgesamtheit von (**) ist also in diesem Fall 4. Lösung einer Differentialgleichung. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a) Homogene Differentialgleichungen y'' + a y' + b y = 0 (**) Ansatz: y = e µx, also y' = µ e µx und y'' = µ e µx eingesetzt

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der

( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Hauptprüfung Fachhochschulreife 2013. Baden-Württemberg

Hauptprüfung Fachhochschulreife 2013. Baden-Württemberg Hauptprüung Fachhochschulreie 3 Baden-Württemberg Augabe 3 Analysis Hilsmittel: graikähiger Taschenrechner Beruskolleg Alexander Schwarz www.mathe-augaben.com Dezember 3 3. Das Schaubild einer Funktion

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Integral-Iterationsverfahren und die exakten Lösungen der partiellen Differentialgleichungen

Integral-Iterationsverfahren und die exakten Lösungen der partiellen Differentialgleichungen Integral-Iterationsverfahren und die exakten Lösungen der partiellen Differentialgleichungen Dr. rer. nat. Kuang-lai Chao Göttingen, den 16. Juni 2007 Abstract The integral iterative ethod and exact solutions

Mehr

Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung

Aufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ufgaben zur Flächenberechnung mit der Integralrechung ) Geben ist die Funktion f(x) = -x + x. a) Wie groß ist die Fläche, die die Kurve von f mit der x-chse einschließt? b) Welche Fläche schließt der Graph

Mehr

Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011

Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011 Mathematik-Klausur vom 05.10.2011 Finanzmathematik-Klausur vom 26.09.2011 Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur:

Mehr

Skalare Differentialgleichungen

Skalare Differentialgleichungen Kapitel 2 Skalare Differentialgleichungen 2.1 Skalare lineare Differentialgleichungen 2.2 Bernoulli und Riccati Differentialgleichungen 2.3 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 2.4 Exakte Differentialgleichungen

Mehr

VORBEREITUNG AUF DAS ABITUR

VORBEREITUNG AUF DAS ABITUR VORBEREITUNG AUF DAS ABITUR 9.5 Sinus- und Kosinusfuntionen 9.5. Bleib fit in Sinus- und Kosinusfuntionen. a) Die. Koordinate eines Puntes P ann diret in den Graphen übertragen werden. r = b) Die. Koordinate

Mehr

MATHEMATIK 3 STUNDEN. DATUM: 8. Juni 2009

MATHEMATIK 3 STUNDEN. DATUM: 8. Juni 2009 EUROPÄISCHES ABITUR 2009 MATHEMATIK 3 STUNDEN DATUM: 8. Juni 2009 DAUER DES EXAMENS : 3 Stunden (180 Minuten) ZUGELASSENE HILFSMITTEL : Europäische Formelsammlung Nicht graphischer und nicht programmierbarer

Mehr

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr.

Übungsklausur. Bitte wählen Sie fünf Aufgaben aus! Aufgabe 1. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Übungsklausur zu Mathematik I für BWL und VWL (WS 2008/09) PD Dr. Gert Zöller Übungsklausur Hilfsmittel: Taschenrechner, Formblatt mit Formeln. Lösungswege sind stets anzugeben. Die alleinige Angabe eines

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Klausur Analysis II (SS 2005)

Klausur Analysis II (SS 2005) Klausur Analysis II (SS 5) Prof. Dr. J. Franke Abschlußklausur vom. Juli 5 Name, Vorname: Matrikelnummer: Gruppe, Tutor: Pseudonym: ir wünschen Ihnen viel Erfolg! Mit 5 Punkten oder mehr von 5 ist die

Mehr

Übung zur Vorlesung Physikalische Chemie im Studiengang 3. FS KB Ch und 3. FS BB Phy

Übung zur Vorlesung Physikalische Chemie im Studiengang 3. FS KB Ch und 3. FS BB Phy Übung zur Vorlesung Physikalische Chemie im Studiengang 3. FS KB Ch und 3. FS BB Phy Dr. Raimund Horn a Dipl. Chem. Barbara Bliss b Dipl. Phys. Lars Lasogga c a Fritz Haber Institut der Max Planck Gesellschaft

Mehr

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2011/2012

Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2011/2012 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr / Fach (B) Prüfungstag 5. April Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen XIV Gewöhnliche Differentialgleichungen Definition 4. : Sei n IN, F : D(F IR n+2 IR. Gewöhnliche DGL n ter Ordnung a F (x, y, y,..., y (n = heißt gewöhnliche Differentialgleichung (DGL n ter Ordnung. Läßt

Mehr

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I

Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I Bayern FOS BOS Fachabiturprüfung 05 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I.0 Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f ' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz 0 definierten

Mehr

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:

Tangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort: Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung

Mehr

Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den

Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Name, Vorname: Prüfung der allgemeinen Fachhochschulreife an den Fachoberschulen im Schuljahr 007 / 008 Prüfungsfach: Mathematik (Vorschlag ) Prüfungstag:

Mehr

1 Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion

1 Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion Schülerbuchseite 6 8 Lösungen vorläufig Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion S. 6 Vermutung: Da das Zeit-Weg-Diagramm eine Sinuskurve und das zugehörige Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm 8 eine Kosinuskurve

Mehr

Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen

Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Integralrechnung 03.12.08 Das unbestimmte Integral/Stammfunktion Das bestimmte Integral/Flächenberechnung Integral als Umkehrung der Ableitung Idee:

Mehr

Formelsammlung Wirtschaftsmathematik

Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Formelsammlung Wirtschaftsmathematik Strobel Stefan 29. Januar 2006 Inhaltsverzeichnis I. Mathematik 2 1. Umrechnung von Dezimalzahlen in Brüche 2 2. Differentiationsregeln 2 2.1. Summenregel..................................

Mehr

Zusammenfassung - Mathematik

Zusammenfassung - Mathematik Mathematik Seite 1 Zusammenfassung - Mathematik 09 October 2014 08:29 Version: 1.0.0 Studium: 1. Semester, Bachelor in Wirtschaftsinformatik Schule: Hochschule Luzern - Wirtschaft Author: Janik von Rotz

Mehr

Musterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung

Musterlösungen zu Prüfungsaufgaben über gewöhnliche Differentialgleichungen Prüfungsaufgabe a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung Musterlösungen zu n über gewöhnliche Differentialgleichungen a) Gegeben sei die lineare Differentialgleichung y + - y = e - ln, > 0 Man gebe die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung an Wie lautet

Mehr

Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung

Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung Elemente der Analysis I: Zusammenfassung und Formelsammlung B. Schuster/ L. Frerick 9. Februar 200 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 5. Mengen und Zahlen................................ 5.. Mengen...................................

Mehr

Mathematik für ChemikerInnen I

Mathematik für ChemikerInnen I Mathematik für ChemikerInnen I Prof. Dr. Ansgar Jüngel Institut für Mathematik Johannes Gutenberg-Universität Mainz Winter 26 unkorrigiertes Vorlesungsskript Inhaltsverzeichnis Motivation 3 2 Grundbegriffe

Mehr

Wirtschaftsmathematik-Klausur vom 04.02.2015 und Finanzmathematik-Klausur vom 27.01.2015

Wirtschaftsmathematik-Klausur vom 04.02.2015 und Finanzmathematik-Klausur vom 27.01.2015 Wirtschaftsmathematik-Klausur vom 04.0.015 und Finanzmathematik-Klausur vom 7.01.015 Bearbeitungszeit: W-Mathe 60 Minuten und F-Mathe 45 Min Aufgabe 1 a) Für die Absatzmenge x in ME) und den Verkaufspreis

Mehr

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015

Schleswig-Holsteinische Ergänzung der Musteraufgaben für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 ische Ergänzung der für den hilfsmittelfreien Teil der schriftlichen Abiturprüfung im Fach Mathematik ab 2015 Ministerium für ildung und Wissenschaft des Landes Juni 2013 1 für Aufgabenpool 1 Analysis

Mehr

Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt

Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS. Prof. Dr. M. Voigt Vorlesung Wirtschaftsmathematik II SS 2015, 3/2 SWS Prof. Dr. M. Voigt 2. März 2015 II Inhaltsverzeichnis 5 Grundlagen 1 5.1 Funktionen einer Variablen...................... 1 5.2 spezielle Funktionen.........................

Mehr

Vorlesung Analysis I / Lehramt

Vorlesung Analysis I / Lehramt Vorlesung Analysis I / Lehramt TU Dortmund, Wintersemester 2012/ 13 Winfried Kaballo Die Vorlesung Analysis I für Lehramtsstudiengänge im Wintersemester 2012/13 an der TU Dortmund basiert auf meinem Buch

Mehr

Beispiel-Abiturprüfung

Beispiel-Abiturprüfung Mthemtik BeispielAbiturprüfung Prüfungsteile A und B Bewertungsschlüssel und Lösungshinweise (nicht für den Prüfling bestimmt) Die Bewertung der erbrchten Prüfungsleistungen ht sich für jede Aufgbe nch

Mehr

Mathematica. H. Todt, M. Wendt (UP) Computational Physics - Einführung WiSe 2014/15 1 / 32

Mathematica. H. Todt, M. Wendt (UP) Computational Physics - Einführung WiSe 2014/15 1 / 32 Mathematica H. Todt, M. Wendt (UP) Computational Physics - Einführung WiSe 2014/15 1 / 32 Mathematica I Mathematica ist ein Mathematik-Programm zum numerischen und symbolischen Lösen von Gleichungen Gleichungssystemen

Mehr

Gleichungen Aufgaben und Lösungen

Gleichungen Aufgaben und Lösungen Gleichungen Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. Januar 3 Inhaltsverzeichnis Lineare Gleichung. a x + b = c....................................................... Aufgaben....................................................

Mehr

Mathematik-Klausur vom 2. Februar 2006

Mathematik-Klausur vom 2. Februar 2006 Mathematik-Klausur vom 2. Februar 26 Studiengang BWL DPO 1997: Aufgaben 1,2,3,5,6 Dauer der Klausur: 12 Min Studiengang B&FI DPO 21: Aufgaben 1,2,3,5,6 Dauer der Klausur: 12 Min Studiengang BWL DPO 23:

Mehr

Funktionen (linear, quadratisch)

Funktionen (linear, quadratisch) Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)

Mehr

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen

Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel

Mehr

Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra

Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra Schulmathematik und Algorithmen der Computeralgebra Prof. Dr. Wolfram Koepf Universität Kassel http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf Tag der Mathematik 13. Dezember 2008 Universität Passau Überblick

Mehr

Mathematik für das Ingenieurstudium Lösungen der Aufgaben. 4. Dezember 2014

Mathematik für das Ingenieurstudium Lösungen der Aufgaben. 4. Dezember 2014 Mathematik für das Ingenieurstudium Lösungen der Aufgaben Jürgen Koch Martin Stämpfle 4. Dezember 4 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 5 Lineare Gleichungsssteme 9 Vektoren 7 4 Matrizen 5 Funktionen 9 6 Differenzialrechnung

Mehr

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen Notizen zur Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen G Sweers Wintersemester 08/09 ii Inhaltsverzeichnis Einführung Modelle 2 Explizite Lösungen 4 2 Trennbar 5 22 Linear erster Ordnung 6 23 Homogen

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

Mathematische Ökologie

Mathematische Ökologie Mathematische Ökologie Eine Zusammenfassung von Bernhard Kabelka zur Vorlesung von Prof. Länger im WS 2002/03 Version 1.04, 15. März 2004 Es sei ausdrücklich betont, dass (1) dieses Essay ohne das Wissen

Mehr